《高等數(shù)學(xué)》電子課件（自編教材）：第十一章 第2節(jié)常數(shù)項級數(shù)審斂法

1、2第二節(jié)第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法一一. 正項級數(shù)及一般審斂法則正項級數(shù)及一般審斂法則若,0nu1nnu定理定理 1 正項級數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界.若1nnu收斂 , 則nS由于,0nu則部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知因此它有界.則稱為正項級數(shù).收斂 , 單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”如級數(shù) .) 1(11nnn3定理定理2 (比較審斂法) 設(shè) 和 是兩個正項級數(shù)正項級數(shù),1nnu1nnv對任意的自然數(shù),n有nu(1) 若級數(shù)1nnv則級數(shù)1nnu(2) 若級數(shù)1nnu則級數(shù)1nnv證證: nSnv令nSnn則

2、有:收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .和分別表示級數(shù) 和級數(shù) 的則有部分和 ,1nnu1nnv由于nu，nv4(1) 若級數(shù)1nnv則有,limnn因此對一切, n有nS由定理定理 1 可知 , 級數(shù)1nnu則有(2) 若級數(shù)1nnu,limnnS因此,limnn這說明 級數(shù)1nnv也發(fā)散 .,和 是兩個正項級數(shù)正項級數(shù) ,1nnu1nnvnunvnSn也收斂 .發(fā)散 ,收斂 ,5比較審斂法推廣設(shè) 和 是兩個正項級數(shù)正項級數(shù),1nnu1nnv且存在,ZN對一切,Nn 有nu( 常數(shù) k 0 )(1) 若級數(shù)1nnv則級數(shù)1nnu(2) 若級數(shù)1nnu則級數(shù)1nnvnvk則有:收斂 ,也收斂

3、;發(fā)散 ,也發(fā)散 .61例例的斂散性判別級數(shù)121nnn:解解nnnnu2121收斂收斂而級數(shù)而級數(shù)121nn收斂級數(shù)121nnn例例 2 2 證證明明級級數(shù)數(shù) 1)1(1nnn是是發(fā)發(fā)散散的的.證明證明,11)1(1 nnn,12111nkkn發(fā)散發(fā)散而級數(shù)而級數(shù).)1(11 nnn發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)7例例 3 3 討討論論 P P- -級級數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p 解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散則則 P,時時當(dāng)當(dāng)1poyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx12

4、118 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級數(shù)收斂級數(shù)收斂則則 P 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng)級數(shù)級數(shù),1,1ppP重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù), , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). .94例例的斂散性的斂散性判別級數(shù)判別級數(shù)1211nnn)(:解解21211nnnun)(收斂收斂而級數(shù)而級數(shù)121nn收斂收斂級數(shù)級數(shù)1211nnn)(5例例的斂散性的斂散性！判別級數(shù)判別級數(shù)3221nnn)!(!:解解)!(!nnun221)!(!nnn2！)()!(nn21nnn2321)( ）（21n10收斂收斂而級數(shù)而級數(shù)121nn

5、收斂收斂！級數(shù)級數(shù)3221nnn)!(!6例例證明證明收斂收斂設(shè)正向級數(shù)設(shè)正向級數(shù),1nnu收斂收斂121nnu)(收斂收斂112nnnuu)(:證明證明)(1收斂，收斂，1nnu0nu100nuNnN時，有時，有當(dāng)當(dāng),2nnnnuuuuNn時，當(dāng)收斂，而1Nnnu收斂12Nnnu收斂即12nnu11)(2)(1121nnnnuuuu,)(收斂收斂而而11111nnnnnnnuuuu收斂收斂11nnnuu12定理定理3. (比較審斂法的極限形式)設(shè) 和 是1nnu1nnv,limlvunnn兩個正項級數(shù)正項級數(shù) , 若則有(1) 當(dāng) 時 , l0兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) 且級數(shù) 收

6、斂時 ,0l1nnv級數(shù) 也收斂 ;1nnu(3) 當(dāng) 且級數(shù) 發(fā)散時 , l1nnv級數(shù) 也發(fā)散 .1nnu證證: 根據(jù)極限定義 , 對,0存在,ZN當(dāng) 時,Nn lvunn即有nnnvluvl)()()(Nn )(l13nnnvluvl)()(1) 當(dāng) 時 , l0取,l由定理定理 2 可知級數(shù)1nnu與1nnv同時收斂或同時發(fā)散 ;(2) 當(dāng) 時 , 0l由定理2可知, 若級數(shù) 收斂 , 1nnv也收斂 .)(Nn 利用nnvlu)(, )(Nn(3) 當(dāng) 時 ,l存在,ZN當(dāng) 時 ,Nn ,1nnvu即nnvu 由定理定理2可知 , 若級數(shù)1nnv發(fā)散 , 則級數(shù)1nnu也發(fā)散.1nn

7、u則級數(shù)14,1nnu1nnv,limlvunnn是兩個正項級數(shù)正項級數(shù) , (1) 當(dāng) 時 , l0兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) 且級數(shù) 收斂時 ,0l1nnv級數(shù) 也收斂 ;1nnu(3) 當(dāng) 且級數(shù) 發(fā)散時 , l1nnv級數(shù) 也發(fā)散 .1nnu.:總結(jié)總結(jié)151例例7.判別級數(shù)11sinnn的斂散性 . 解解: nlim根據(jù)比較審斂法的極限形式知級數(shù) 發(fā)散.11sinnn例例8. 判別級數(shù)1211lnnn的斂散性 . 解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較審斂法的極限形式知1211lnnnnn11sin收斂.)ln(211n21n22111nn）（ ln169例例 131n

8、nnnnnn3131lim解解nnn311lim , 1 ,收斂收斂而而131nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.1710例例12211nnnnn)ln(cos:解解nnnnun2211)ln(cosnnn211)ln(,)ln(lim收斂收斂且且而而12323211111nnnnnnn.原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂18,lim1nnnuu二二. 比值審斂法和根值審斂法比值審斂法和根值審斂法1. 比值審斂法定理定理4 設(shè) 1nnu為正項級數(shù) , 且,lim1nnnuu則(1) 當(dāng)1(2) 當(dāng)1證證: (1) 當(dāng)1由,ZN11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu.1取 使收斂 ,1nnu收斂 .時

9、 , 級數(shù)收斂 ;或時 , 級數(shù)發(fā)散 .時,知存在當(dāng)Nn 時k)(由比較審斂法可知, 級數(shù)19或 1時,0,NuZN必存在當(dāng)Nn 11nnuu,0limNnnuu因此所以級數(shù)發(fā)散.nnnuu1lim時,(2) 當(dāng)nnuu11nuNu1lim1nnnuu說明說明:當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .例如 p - 級數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但1p級數(shù)收斂1p級數(shù)發(fā)散20例例 1111 判別下列級數(shù)的收斂性判別下列級數(shù)的收斂性: (1) 1nnnn!; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn. 解解)1(!)()!(limlimnnnnuunnnnn

10、n1111.!收斂收斂故級數(shù)故級數(shù)1nnnnnnn)(lim11111e21),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,)(2412121nnn,收斂收斂級數(shù)級數(shù)1241nn.)12(211收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nnn22 limn例例12. 討論級數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:當(dāng) 時 ,10 x級數(shù)收斂 ;當(dāng) 時 ,1x級數(shù)發(fā)

11、散 ;當(dāng) 時 ,1x級數(shù)1nn發(fā)散 .而232. 根值審斂法根值審斂法定理定理5 設(shè) 1nnu為正項級數(shù) , 且,limnnnu則(1) 當(dāng) 時 , 級數(shù)收斂 ;1(2) 當(dāng) 時 , 級數(shù)發(fā)散 .124時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 p - 級數(shù) pnn11pnnnnu1)(1n說明說明 :,1pnnu 但1p級數(shù)收斂1p級數(shù)發(fā)散25例例13. 證明級數(shù)11nnn收斂 , 并估計以部分和nS代替和 時所產(chǎn)生的誤差 . S解解: nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級數(shù)收斂 .令,nnSSr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1

12、nnnnn) 1(1) 1(111n近似2614例例12312nnnnn)(:解解nnnn3122)(nnn312222312312)(limlimnnnnnnnn而而1312收斂收斂12312nnnn收斂收斂即即12312nnnnn)(27三三. 交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)及其審斂法各項符號正負(fù)相間的級數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù) .定理定理6 ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件則級數(shù)),2, 1() 11nuunn0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項的絕對值.1nnur),2, 1,0(nun萊布尼茲萊布尼茲 (德

13、德) 1646 171611nnn)(如如28),2, 1() 11nuunnnnnu11) 1(證證: )()()(21243212nnnuuuuuuSnnnnuuuuuuuuS21222543212)()()(1u顯然 是單調(diào)遞增有界數(shù)列, 因此有nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSSSnn2lim故級數(shù)收斂于 S , 且,1uS nS的余項 :nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu000lim)2nnu29收斂收斂nn1) 1(4131211).11! )()(!).111413121121nn例15 用Leibnitz判別法判別法判別下列級數(shù)

14、的斂散性nnn10) 1(104103102101).31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;! ) 1(1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 !1 n! ) 1(1nn1 nnuu1 101 1nnnn10 nn1101 3016例例111nnnn)()(:解解)(limlimnnunnn1nnn11lim0)(nnun1而而nn11121nn12nn1nu收斂收斂111nnnn)()(31四四. 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂定義定義: 對任意項級數(shù),1nnu若若原級數(shù)收斂 , 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散 ,111) 1(nnn,! ) 1(1

15、) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu原級數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂 .例如 ：絕對收斂絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂條件收斂 .則稱可以證明:絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .32例例17. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :1214) 1()2(sin) 1 (nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂 .33例例17. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :1214) 1()2(sin) 1 (nnnnennn(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnne

16、n11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂 ,絕對收斂 .34例例18. 下列級數(shù)是否絕對收斂 :1132111nnnn)()(111112nnn)ln()()(:解解021nnulim發(fā)散發(fā)散113211nnnn)(:解解)ln(11nunxx )ln(1利用利用nn )ln(1nn111 )ln(即即發(fā)散發(fā)散111nn)ln(35111112nnn)ln()()(011)ln(nun)ln(11nun121nun)ln(條件收斂條件收斂11111nnn)ln()(36)()()(01131anannn:解解aannauunnnnnn1111)(limlim;,級數(shù)發(fā)散級數(shù)

17、發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)1a;,級數(shù)收斂級數(shù)收斂時時當(dāng)當(dāng)1a.)(,條件收斂條件收斂級數(shù)級數(shù)時時當(dāng)當(dāng)111nnna37證明下列各題證明下列各題例例19.,)(絕對收斂絕對收斂則則收斂收斂若若1121nnnnnuu:證明證明22121nununn,收斂收斂和和而而12121nnnnu.絕對收斂絕對收斂1nnnu38收斂收斂則則存在存在若若122nnnnuun,lim)(:證明證明,lim存在存在nnun2MunMn20 使使存在存在,2nMun收斂收斂而而12nnM收斂收斂1nnu收斂收斂即即1nnu39內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 利用正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu

18、不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別部分和極限1403. 任意項級數(shù)審斂法任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)1nnu1nnu若 收斂 ,1nnu稱 絕對收斂1nnu若 發(fā)散 ,1nnu稱 條件收斂Leibniz判別法: 若,01nnuu且,0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂概念概念:41練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題1、判別級數(shù)12tannn的斂散性 .解解: tan2n2n根據(jù)比較審斂法的極限形式知.tan12收斂nn12nn收斂，4242解解 因分母的最高次數(shù)與分子的最高次數(shù)之差為用比較法！13212nnnn、673123則取671nvnnnnvulimnlim21316721nnnn116711nnnnv為 p 級數(shù)，且 p1, 則原級數(shù)收斂。43431!