線性代數(shù)之行列式的性質及計算

1、第二節(jié)行列式的性質與計算§ 2.1行列式的性質a11a12La1n考慮 Da21a22La2 n 將它的行依次變?yōu)橄鄳牧?，得LLLLan1an2Lanna11a21Lan1DTa12a22Lan 2LLLLa1na2 nLann稱 DT 為 D 的轉置行列式 .性質 1行列式與它的轉置行列式相等.（DTD ）b11b12Lb1n事實上，若記DTb21b22Lb2n則 bija ji (i, j1,2,L ,n)LLLLLLLbn1bn2LbnnDT( 1)( p p L p )b1pb2 p L bnp( 1)( p pL p )ap 1ap2 L a p n D .1 2n1n1

2、 2n212n說明 : 行列式中行與列具有同等的地位, 因此行列式的性質凡是對行成立的結論 ,對列也同樣成立 .性質 2互換行列式的兩行 ( rirj ) 或兩列 ( cicj ) ，行列式變號 .123123例如086351 .351086推論若行列式 D 有兩行（列）完全相同，則 D0 .證明 :互換相同的兩行 ,則有 DD ,所以D 0.性質 3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k ，等于數(shù) k 乘以此行列式，即a11a12La1na11a12La1nLLLLLLLLkai1kai 2Lkaink ai1ai 2LainLLLLLLLLan1an2Lannan1an 2Lann推論：

3、 (1)D 中某一行 ( 列) 所有元素的公因子可提到行列式符號的外面；大學數(shù)學(2) D 中某一行 ( 列) 所有元素為零，則 D 0 ；性質 4:行列式中如果有兩行 ( 列) 元素對應成比例 ,則此行列式等于零性質 5:若行列式某一行 ( 列) 的所有元素都是兩個數(shù)的和，則此行列式等于兩個行列式的和 . 這兩個行列式的這一行 ( 列 ) 的元素分別為對應的兩個加數(shù)之一，其余各行 ( 列 ) 的元素與原行列式相同 . 即a11a12La1na11a12La1na11a12La1nLLLLLLL LLL L La i1 bi1ai 2 bi 2Lainbina i1ai 2Lainbi1bi

4、2Lbin .LLLLLLL LLL L Lan1an 2Lannan1an 2Lannan1an 2Lann證 :由行列式定義D(1)( p1 p2 L p n ) a1p1a2 p2L(aipibip) L anpin(1)( p1 p2 L pn ) a1p1a2 p2LaipLanp( 1)( p1 p2 L pn ) a1 pa2 p LbipLanp .in12in性質 6行列式 D 的某一行（列）的各元素都乘以同一數(shù)k 加到另一行（列）的相應元rikr j素上，行列式的值不變 ( DD)，即a11a12La1na11a12La1nLLL L ri kr jLLLLa i1ai 2

5、Laina i1 ka j1ai 2 kaj 2Lainka jnLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lann計算行列式常用方法 :利用性質 2,3,6,特別是性質 6 把行列式化為上 ( 下) 三角形行列式 ,從而 ,較容易的計算行列式的值例 1:計算行列式2324311112321311(1) D234(2)13131042511131232r1r22324r22r1解: (1) D3234 r33 r104251232018808620425大學數(shù)學r 3 8 r2r44r1123230r3018r4858005862003037123201881 ( 1) 58 143 2

6、86 .00586214329000294666611111111r1ri111311ri r10200i 21 3(2) D11316131 i6026(1222) 48.12,3,400111311130002此方法稱為 歸邊法 .例 2:計算 n 階行列式1 a11L1(1)Dn11 a2L1LLL(2) DnL11L1 an( aiL, n)0,i 1,2,解: (1)xaLaaxLaLLLLaaLx1a1rir1a1Dna1i2,3,L nMa11c1ai ci11L111La20L00a2L0a3L0LLLMMMM00L00Lan1n11L1aii 2111L101a2L0La1

7、LLL( 箭形行列式 )Lan10Lana2a3 L an a10a2L0i 2,3, L , nLLLL00Lana2 a3 L an a1a2 L an (1n 1 ) a1a2 L an (1n 1 )i 2 aii 1 ai(2) 注意到行列式各行元素之和等于x (n 1)a , 有c1ciDni2,3,L ,nx (n 1)a a La1a Lax(n 1)a xLa1xLaLLL x(n 1)aLLLLLx(n 1)a aLx1aLx大學數(shù)學1aLarir10x aL0i 2,3,L , n x (n 1)a LLLL x (n 1)a( x a) n 1 .00Lxaa11La1

8、kMM0a11La1kb11ak1Lakk,D1MM,D2M例3: 設DLc1kb11Lb1nc11ak1Lakkbn1MMMMcn1Lcnkbn1Lbnn證明: D D1D2.證 : 對 D1 作行運算 rikr j ,把 D1 化為下三角形行列式 :p110D1MOp11 Lpkk ;pk1Lpkk對 D 2 作列運算 cikc j ,把 D2 化為下三角形行列式 :q110D2MOq11 L qnn .qn1Lpnk先對 D 的前 k k 行作行運算 rikr j ,然后對 D 的后 n 列作列運算 ci下三角形行列式 :p11MO0pk1Lpkk,DLc1kq11c11MMMOcn1L

9、cnkqn1Lqnn故 , D p11 L pkk q11 L qnnD1D2.思考練習1. 計算行列式L b1nM ,L bnnkc j ,把 D 化為大學數(shù)學25 12a1 1 a12 L a1n3 714a2 1 a22La2n(n2)(1)D927(2) DnMMMM546 1 2an 1 an2Lannabbccaabc2. 證明 a1b1b1c1c1a12 a1b1c1a2b2b2c2c2a2a2b2c23. 證明abacaea2(a1)2(a2)2(a3)2b2(b1)2(b2)2(b3)2(1) bdcdde4abcdef(2)0c2(c1)2(c2)2(c3)2bfcfefd

10、 2( d1)2(d2)2(d3)2abcdaababcab cd4. 計算行列式 D2ab3a2bc4a3b2cdaa 3ab6a3bc10a6b3cd答案152215221522c1 c31 734 r2 r1 ,r3 2r10 216 r2 r3 0 1 131.(1)D 429 5 7r4 r101130 216164201200120r32r2r4r2152215220113r4 r3 01139003000311(3)3000330003a111Ln1(2) Dn ici c1a21 1L n 1a1a2, n 22,3,L , nMMMM0,n2an11Ln1a bb cc aa

11、 bc ac a2. 左邊 = a1c2 c1b1b1c1c1a1a1b1c1a1c1a1a2b2b2c2c2a2a2b2c2a2c2a2abca2cabcacc3 c2a1b1c1a12c12 a1b1c1a1c1a2b2c2a22c2a2b2c2a2c2大學數(shù)學abacbacabcc2 c3c1 c2c1 c2c1 .2 a1b1a1c12 b1a1c12 a1b1a2b2a2c2b2a2c2a2b2c23.證111111111(1) 左邊 abcdef 1r2r1r2 r311abcdef 002abcdef 0204abcdef .11r3r12000210a22a14a46a9ci

12、c1b22b14b46b9(2) 左邊c22c14c46c9i 2,3,4d 22d14d46d9a22a126c32c2b22b126右邊c22c120c43c26d 22d1264. 解: 從第 4 行開始，后行減前行得，a bcdr4r3a bcda bcd0a a bab c0a a b a b c r4r3 0a a b a b cDa 2a b 3a2bc00a2ab00a2a b0r3r20a 3a b 6a3bc00a3ab000aa4§ 2.2行列式按行（列）展開對于三階行列式，容易驗證：a11a12a13a22a23a21a23a21a23a21a22a23a11

13、 a32a33a12 a31a33a13 a31a33a31a32a33可見一個三階行列式可以轉化成三個二階行列式的計算.問題： 一個 n 階行列式是否可以轉化為若干個n1 階行列式來計算？一、余子式與代數(shù)余子式a11a12La1n定義：在 n 階行列式 Da21a22La2n中，劃去元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列，余下LLLLan1an 2Lann的元素按原來的順序構成的n1 階行列式，稱為元素 aij 的余子式 ，記作 M ij ；而大學數(shù)學Aij( 1)i j M ij稱為元素 aij 的代數(shù)余子式 .a11a12a13a11a12例如三階行列式a21a22a23中元素 ai

14、j 的余子式為 M 23a31a32a31a32a32元素 a23 的代數(shù)余子式為 A23( 1)2 3M23M2310111110251515四階行列式x2中元素 x 的代數(shù)余子式為 A32 ( 1)3 2 0130010301二、行列式按行（列）展開a11a12La1n定理a21a22La2n等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的n 階行列式 DLLLLan1an2Lann代數(shù)余子式的乘積之和，即Dai1 Ai1ai 2 Ai 2L ain Ain(i1,2,L, n)或 Da1 j A1 ja2 j A2 jL anj Anj( j1,2,L, n)證（1）元素 a11 位于第一行、第

15、一列，而該行其余元素均為零;a110L0此時 Da21a22L a2n( 1) ( j1 j2 L jn ) a1 ja2 jL anjn( 1)( j1 j2 L j n ) a1 ja2 j2L anjnLLLLj1112j1 11an1an2Lanna11( 1)( jL j)a2 j2 Lanjna11M 112n( j2 j3L jn )而 A11( 1)1 1M11M 11 , 故 Da11 A11 ;a11La1 jLa1nMMMMM（2） D0LaijL0MMMMMan1LanjLann將 D 中第 i 行依次與前 i1行對調，調換 i1次后位于第一行 ;大學數(shù)學將 D 中第

16、j 列依次與前 j1列對調，調換 j1次后位于第一列 ;經 (i1) ( j1) i j 2次對調后， aij 就位于第 一行、第一列，即D( 1)i j 2aij M ij( 1)i j aij M ij aij Aij .(3)一般地a11a12La1nLLLLD a i1 0 L0 0 ai 2L0 L0 L0 ainLLLLan1an2Lanna11a12La1na11a12La1 na11a12L a1nL LL LLL L LLL L Lai 10L00ai 2L0 L00 L ainL LL LLL L LLL L Lan1an2L annan1an 2L annan1an 2

17、Lannai1 Ai 1ai 2 Ai 2L ain Ain同理有Da1 j A1 ja2 j A2 jL anj Anj .a11a12La1n推論 n 階行列式 Da21a22La2n的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對LLLLan1an2Lann應的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即ai1 As1ai 2 As2L ain Asn0 (i s)或a1 j A1ta2 j A2 tL anj Ant0 ( j t)證考慮輔助行列式a11L a1 jL a1 jL a1nD1a21La2 jLa2 jLa2 nMMMMMMMan1LanjLanjLa2 ni 列j列按第 t列展.而D1a1 j

18、 A1ta2 j A2 tL anj Ant（ jt ). 該行列式中有兩列對應元素相等0 ，所以大學數(shù)學a1 j A1ta2 j A2tL anj Ant（ j t) 0 .關于代數(shù)余子式的重要性質nD ijD , ij ,nD , ij , 其中 ij1, i，aki Akjaik AjkD ijjk 10 , ij ;k 10 , ij;0 , ij .在計算數(shù)字行列式時，直接應用行列式展開公式并不一定簡化計算，因為把一個n階行列式換成 n 個（ n1）階行列式的計算并不減少計算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時，應用展開定理才有意義.但展開定理在理論上是重要的.三、行列式的

19、計算利用行列式按行按列展開定理，并結合行列式性質，可簡化行列式計算：計算行列式時，可先用行列式的性質將某一行（列）化為僅含 1 個非零元素，再按此行（列）展開 , 變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式. 計算行列式常用方法： 化零，展開 .1234例 4:1012計算四階行列式 D11.301205c3 c1解 : Dc42c112222221000按第 2行展214631461112171217111r1 2121146r2(1)217111c2c2 1461217c3c1例 5 已知 4階行列式100按第1行展35351 12.2393930

20、402222M 43 M 44的值 . 其中 M ij 為 aij的余子式 .D70,求M41 M42005322解:(方法1)直接計算A4i(i的值然后相加（略）.1,2,3, 4),(方法 2)利用行列式的按列展開定理，簡化計算 .大學數(shù)學M 41M 42M 43M 441A14A24A34A441 A411 A42 ( 1) A43 1 A44304034034022223422214 11107072828 .0111002111111例 6:計算 n 階行列式xy 0L 00010L00xyL00002L0(1) Dn MMMMMM (2) DnM M MMM000Lxy000Ln

21、1y 00L0xn 00L0按第 1列展解：(1) D na11 A11a21A21L an1 An1x y 0L0 0y 0 0L0 00 x yL0 0x y 0L0 0x( 1)1 1 M M M MM My( 1)n 1 M M M MM M0 0 0Lx y0 0 0Ly 00 0 0 L 0 x0 0 0 L x yxn( 1)n 1 yn .按第1列展(2) D na11 A11a21 A21L an1An110L0002L00( 1)n 1 n M M M MM( 1)n 1 n! .00Ln2000L0n 1ab00ab例 7:計算四階行列式 D40abab00abab.0ab00ab解 :按第 1 行展開，有abab00ababD 4 (a b)( 1)1 1 abab0(a b)( 1)1 40abab ,00a bab00大學數(shù)學對等式右端的兩個3 階行列式都按第 3 行展開，得D ( a b) 2 ( a b)2 abab24 a2b2 .abab例 8: 證明范得蒙行列式（ Vandermonde)11L1Dnx1x2Lxn(xix j )( n 2) ,LLLL1j inx1n 1x2n 1L xnn 1xi x j （ j的乘積 .其中(xixj) 表示所有可能的(i)1j i n證 :(用數(shù)學歸納法 )n 2 時 , D211x