數(shù)學(xué)歸納法的變式及應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)歸納法的變式及應(yīng)用歸納法的變式及應(yīng)用第一頁(yè)，共24頁(yè)。目錄(ml)1.引言2.數(shù)學(xué)歸納法3.數(shù)學(xué)歸納法的變式4.數(shù)學(xué)歸納法和反證法的關(guān)系(gun x)5.關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的若干說(shuō)明6.總結(jié)第1頁(yè)/共23頁(yè)第二頁(yè)，共24頁(yè)。1.引言(ynyn) 數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法。它是一種常用于證明與正整數(shù)集有關(guān)命題的重要論證(lnzhng)方法，在幾何證明和代數(shù)證明中都有著廣泛的應(yīng)用。第2頁(yè)/共23頁(yè)第三頁(yè)，共24頁(yè)。2.數(shù)學(xué)(shxu)歸納法第一類數(shù)學(xué)(shxu)歸納法（數(shù)學(xué)(shxu)歸納法）第一類數(shù)學(xué)歸納法的基本(jbn)形式為：設(shè) 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果 p

2、n(1) 成立； 1p(2) 假設(shè) 成立，則 也成立； p k1p k p n那么， 對(duì)任意自然數(shù)n都成立。第3頁(yè)/共23頁(yè)第四頁(yè)，共24頁(yè)。第二類數(shù)學(xué)(shxu)歸納法 第二類數(shù)學(xué)歸納法又稱串值歸納法，它的基本(jbn)形式為：設(shè) 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果 p n(1) 成立； 1p(2) 假設(shè) 對(duì)于所有適合nk的正整數(shù)n成立，則 也成立； p n p k那么， 對(duì)任意自然數(shù)n都成立。 p n第4頁(yè)/共23頁(yè)第五頁(yè)，共24頁(yè)。例2.3.2 證明(zhngmng)可以僅用4分和5分郵票來(lái)組成等于和超過(guò)12分的每種郵資。12 , 13 , 14 ,15pppp(1) 當(dāng)n=12,13,14

3、,15時(shí)，命題 為真。票加上1個(gè)4分郵票就可以了。為了組成n+1分郵資，用組成n-3分郵資的郵即可以用4分和5分郵票來(lái)組成k（ ）分郵資。(2) 對(duì)于任意自然數(shù)n 15,假定命題 為真 p n15kn第5頁(yè)/共23頁(yè)第六頁(yè)，共24頁(yè)。兩類數(shù)學(xué)(shxu)歸納法是等價(jià)的 第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的，即用第一數(shù)學(xué)歸納法證明的 可以用第二數(shù)學(xué)歸納法證明，反之亦然。 p n第6頁(yè)/共23頁(yè)第七頁(yè)，共24頁(yè)。3.數(shù)學(xué)(shxu)歸納法的變式 1 跳躍歸納法跳躍歸納法的基本(jbn)形式為：那么， 對(duì)任意自然數(shù)都成立。 p n數(shù)k+l正確；(2) 假設(shè)對(duì)于自然數(shù)k正確，就能推出命題對(duì)自然(1)

4、 成立； 12ppp l、設(shè) 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果 p n第7頁(yè)/共23頁(yè)第八頁(yè)，共24頁(yè)。反歸納法的基本形式為：設(shè) 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果(1) 對(duì)無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)成立；(2) 假設(shè) 對(duì)于自然數(shù)k正確，就能推出命題對(duì)自然數(shù)k-1正確；那么， 對(duì)任意自然數(shù)n都成立。 p n p n p n p n2 反歸納法（倒推歸納法）第8頁(yè)/共23頁(yè)第九頁(yè)，共24頁(yè)。例 求證n個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于這n個(gè)數(shù)的幾何平均值，即nnnaaanaaa2121證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)， 因此命題對(duì)n=2正確。當(dāng)n=4時(shí)， 因此命題對(duì)n=4正確。同理可推出命題對(duì)都正確（s為任意自然數(shù)）。 212

5、12aaaa224341234121234()()()224aaaaaaaaa a a a342 , 2 , , 2snnn第9頁(yè)/共23頁(yè)第十頁(yè)，共24頁(yè)。 (2)設(shè)命題對(duì)n=k正確，令則 由歸納假設(shè)命題對(duì)n=k正確，所以所以即1,121121kaaaskaaaskkkkksaaaskkk11211121111211S()kkkkkkkaaasa aask11121Skkka aa11211211kkkaaakaaa第10頁(yè)/共23頁(yè)第十一頁(yè)，共24頁(yè)。 命題(mng t)對(duì)n=k-1也正確，由反歸納法原理知，命題(mng t)對(duì)一切自然數(shù)成立。 第一類數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是：由 成立往后推出

6、也成立；而反歸納法的關(guān)鍵恰是：由 成立往前推出 成立。 p k1p k p k1p k 第11頁(yè)/共23頁(yè)第十二頁(yè)，共24頁(yè)。雙歸納法的基本形式為：設(shè)命題P與兩個(gè)獨(dú)立的自然數(shù)對(duì)m與n有關(guān)，若(1) 命題P對(duì)m=1與n=1是正確(zhngqu)的；(2) 從命題對(duì)自然數(shù)對(duì)（m,n）正確(zhngqu)就能推出該命題對(duì)自然數(shù)對(duì)（m+1,n）正確(zhngqu)，和對(duì)自然數(shù)對(duì)（m,n+1）也正確(zhngqu)；則命題P對(duì)一切自然數(shù)對(duì)（m,n）都正確(zhngqu)。3 雙歸納法（二元?dú)w納法）第12頁(yè)/共23頁(yè)第十三頁(yè)，共24頁(yè)。蹺蹺板歸納法的基本形式為：有兩個(gè)命題 , 如果(1) 正確；(2) 假

7、設(shè) 正確，那么 也是正確的；(3) 假設(shè) 正確，那么 也是正確的；那么，對(duì)于任意自然數(shù)n, 命題 都是正確的。,nnA B1A1kAkAkBkB,nnA B4 蹺蹺板歸納法與螺旋式上升(shngshng)歸納法第13頁(yè)/共23頁(yè)第十四頁(yè)，共24頁(yè)。例 已知數(shù)列1，3，7，12，19，27，37，48，61設(shè) 為其第n項(xiàng)， 為其前n項(xiàng)的和，其中 求證：nSna22213 ,311llalal l2221211431 , 431 .22llSlllSlll證明：令 為 ； 為 為nA22114312nSnnnnB2214312nSnnn(1) ， 即 是正確的。11S 1A第14頁(yè)/共23頁(yè)第十五

8、頁(yè)，共24頁(yè)。(2) 假設(shè)那么即，假設(shè) 是正確的，那么 也正確。22114312kSkkk222221211431343122kkkSSakkkkkkkkAkB即，假設(shè) 是正確的，則 也正確。kB1kA(3) 假設(shè) ，那么2214312kSkkk 22212212322114313114316122211149721 4521 41311222kkkSSakkkk kkkkk kkkkkkkkkk 因此， 對(duì)任何自然數(shù)都是正確的。,nnA B第15頁(yè)/共23頁(yè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)。說(shuō)明：作為“蹺蹺板歸納法”的推廣，還可能要使用若干結(jié)論螺旋式上升的證明方法，這種方法的基本形式為：有五個(gè)命題 ，如果

9、(1) 是正確的；(2) 那么，這五個(gè)命題都是正確的。,nnnnnA B CD E1A1, , , , kkkkkkkkkkABBCCDDEEA第16頁(yè)/共23頁(yè)第十七頁(yè)，共24頁(yè)。 數(shù)學(xué)(shxu)歸納法和反證法的關(guān)系 凡是用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題 都可以用反證法來(lái)證明，因而數(shù)學(xué)歸納法在使用上可以用反證法來(lái)代替，反之不然。 p n第17頁(yè)/共23頁(yè)第十八頁(yè)，共24頁(yè)。 每一種形式的數(shù)學(xué)歸納法都有兩個(gè)步驟，第一步是驗(yàn)證步驟，第二步是歸納步驟。這兩步相輔相成(xing f xing chng)，缺一不可。 下面這個(gè)例子就是很好的說(shuō)明。5.關(guān)于(guny)數(shù)學(xué)歸納法的若干說(shuō)明第18頁(yè)/共23頁(yè)第十九

10、頁(yè)，共24頁(yè)。例 二項(xiàng)式 曾引起數(shù)學(xué)家們的極大興趣，最使數(shù)學(xué)家們感性趣的是把它分解為具有整系數(shù)因子的乘積。1nx 對(duì)許許多多特殊n的值，考查 的分解式。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：在分解式中，x的各次冪的所有系數(shù)的絕對(duì)值都不超過(guò)1。實(shí)際上，1nx 第19頁(yè)/共23頁(yè)第二十頁(yè)，共24頁(yè)。23242543262211,111 ,111 ,1111 ,111 ,11111 ,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 第20頁(yè)/共23頁(yè)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。48474643424039363534333231282624222017161514413127519862221.xxxxxxxxxxxxxx

11、xxxxxxxxxxxxxxxxxx 這表明它不具有所說(shuō)(su shu)的性質(zhì)。所有次數(shù)小于105的二項(xiàng)式都具有所說(shuō)的性質(zhì)，但當(dāng)n=105時(shí)， 的一個(gè)分解因子是1051x第21頁(yè)/共23頁(yè)第二十二頁(yè)，共24頁(yè)。 許多證明起來(lái)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題與公式，利用數(shù)學(xué)歸納法很容易就可以(ky)證明出來(lái)。 通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法，我們可以(ky)從個(gè)別事實(shí)中找出一般規(guī)律性。正如華羅庚先生在其數(shù)學(xué)歸納法一書中指出的那樣：“數(shù)學(xué)歸納法正是體現(xiàn)了人的認(rèn)識(shí)從有限到無(wú)限的飛躍?！笨?結(jié)第22頁(yè)/共23頁(yè)第二十三頁(yè)，共24頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)學(xué)。例2.3.2 證明可以(ky)僅用4分和5分郵票來(lái)組成。(1) 當(dāng)n=12,13