2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)

1、2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷一.填空題1. . （5分）已知集合A=1,2 , B=a, a2+3.若AH B=1，則實數(shù)a的值為2. （5分）已知復(fù)數(shù)z= （1+i） （1+2i）,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是3. （5分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400, 300, 100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品 中抽取60件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 件.4. （5分）如圖是一個算法流程圖：若輸入x的值為工，則輸出y的值是 訪（開始一/ /（結(jié)束）5. （5分）若 tan （a ）二.貝U tan a二 . 466. （5分）

2、如圖，在圓柱 OQ內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均 相切，記圓柱OO的體積為V1,球。的體積為 V 則上的值是.第1頁（共34頁）7. （5分）記函數(shù)f （x）=加+：.J定義域為D.在區(qū)間-4, 5上隨機(jī)取一個數(shù)x,則xC D的概率是.8. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線Y_-y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸3近線分別交于點P, Q其焦點是Fi, F2,則四邊形FiPF2Q的面積是.9. （5分）等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項為&,已知&4，&q， 貝 U a8=.10. （5分）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次,

3、 一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則 x 的值是.11. （5分）已知函數(shù)f （x） =x3-2x+ex-L,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f K： e（a-1） +f （2a2） <0,則實數(shù)a的取值范圍是.12. （5分）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量 五J,血，充 的模分別為1, 1,魚，豆與丘的夾角為 a,且tan a =7,85與瓦的夾角為45° .若西=m£+而欣（m, nC R),貝U m+n=13. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A （ - 12, 0）, B （0, 6）,點P在圓。 x2+y2=50上.若鈍,而0 20

4、,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .14. （5分）設(shè)f （x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1）上，f （x）2 二='''口，其中集合D=x|x=q，nCN*,則方程f （x） - lgx=0的解的個 Ki K 如n數(shù)是二.解答題15. （14分）如圖，在三棱錐 A- BCDt, AB±AD, BdBD,平面ABDL平面BCD 點E、F （E與A、D不重合）分別在棱 AD, BD上，且EF± AD.求證：(1) EF/平面ABC(2) ADI AC.16. (14分)已知向量=a= (cosx, sinx ), b= (3,近)，x C 0

5、 ,兀.(1)若W/E,求x的值；(2)記f (x)三*b,求f (x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的 x的化17. (14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓E： £區(qū)=1 (a>b>0)/b2的左、右焦點分別為Fi, F2,離心率為二，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點Fi作直線PFi的垂線l 1,過點F2作直線PE的垂線12(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線11, 12的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo).F； 0凡第3頁(共34頁)18. （16分）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺形玻璃容器H的高均為32cm,容器I的底面對

6、角線 AC的長為10斤cm,容器II的兩底面對角 線EG EG的長分別為14cm?口 62cm分別在容器I和容器R中注入水，水深均 為12cm現(xiàn)有一1g玻璃棒l ,其長度為40cm.（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不 計）（1）將l放在容器I中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC上，求l沒 入水中部分的長度；（2）將l放在容器R中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG上，求l沒 入水中部分的長度.管署I杏器II第5頁（共34頁）19. (16分)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列an滿足：an-k+ank+i+a-i+a+i+-+an+k .i+an+k=2ka對任意正整數(shù)n (n>k)總成立

7、，則稱數(shù)列an是“P (k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列an是“P (3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P (2)數(shù)列”，又是“ P (3)數(shù)列”，證明：an是等差 數(shù)列.20. (16分)已知函數(shù)f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, bCR)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f'(x)的極值點是f (x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)證明：b2> 3a；(3)若f(x),f' (x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于- 一，求a的取值范圍.二.非選擇題，附加題（21-24選做題）【選修4-1:幾何證明選講

8、】（本小題滿分0分）21. 如圖，AB為半圓。的直徑，直線PC切半圓。于點C, API PC, P為垂足.求證：（1） /PACW CAB（2） AC=AP?AB.選彳4-2 :矩陣與變換22.已知矩陣 A=。1, B=1。.11 010 2（1）求 AB；22（2）若曲線C:三+好=1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線 G,求G的方程.選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程<x=-8+*t23 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為t 。為參數(shù)），ri曲線C的參數(shù)方程為 卜二2 J （s為參數(shù)）.設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到 y=2V2s直線l的距離的最小值.第7頁（共34頁

9、）選修4-5 :不等式選講24 .已知 a, b, c, d 為實數(shù)，且 a2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd<8.【必做題】25 .如圖，在平行六面體 ABCD ABGD中，AAL平面 ABCD且AB=AD=2AA點 , /BAD=120 .(1)求異面直線AiB與AC所成角的余弦值;(2)求二面角B-AiD- A的正弦值.DiB：DB26 .已知一個口袋有m個白球，n個黑球(m, nCN*, n>2),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2, 3, m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k=1, 2,

10、3,，m+r).123 m+n(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E (X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明E (X) <-3_2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.填空題1. (5 分)(2017?江蘇)已知集合 A=1, 2, B=a, a2+3.若 AH B=1,則實 數(shù)a的值為 1 .【分析】利用交集定義直接求解.【解答】解：.集合 A=1, 2, B=a, a (5分)(2017?江蘇)已知復(fù)數(shù)z= (1+i) (1+2i),其中i是虛數(shù)單位，則z 的模是【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出.【解答

11、】解：復(fù)數(shù) z=(1+i) (1+2i) =1-2+3i= - 1+3i ,|z|= J故答案為：柝.【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與計算能 力，屬于基礎(chǔ)題.+3. AH B=1,a=1 或 a2+3=1,解得a=1.故答案為：1.【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義 及性質(zhì)的合理運用.第9頁(共34頁)3. （5分）（2017?江蘇）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量 分別為200, 400, 300, 100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以 上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽

12、取18件.【分析】由題意先求出抽樣比例即為 焉，再由此比例計算出應(yīng)從丙種型號的產(chǎn) 品中抽取的數(shù)目.【解答】解：產(chǎn)品總數(shù)為200+400+300+100=1000牛，而抽取60輛進(jìn)行檢驗，抽 樣比例為_亂二旦， 1000 100則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 300xJL=18件, 100故答案為：18【點評】本題的考點是分層抽樣.分層抽樣即要抽樣時保證樣本的結(jié)構(gòu)和總體的 結(jié)構(gòu)保持一致，按照一定的比例，即樣本容量和總體容量的比值，在各層中進(jìn)行 抽取.x的值為-L,則輸出y16的值是 一24. （5分）（2017?江蘇）如圖是一個算法流程圖：若輸入【分析】直接模擬程序即得結(jié)論.【解答】解：初始值x，不

13、滿足x>1, 所以 y=2+log壺=2- 1 口g224=-2,故答案為：-2.【點評】本題考查程序框圖，模擬程序是解決此類問題的常用方法, 法的積累，屬于基礎(chǔ)題.注意解題方5. （5分）（2017?江蘇）若 tan （a*）貝U tan a二二【解答】解：:tan （a -tanQ -1 114-tan1 tantan Cl +1【分析】直接根據(jù)兩角差的正切公式計算即可二 6tan a 6=tan a +1解得tan a二故答案為：±.【點評】本題考查了兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題6. （5分）（2017?江蘇）如圖，在圓柱 OO內(nèi)有一個球 O,該球與圓柱的上、下 底面及母

14、線均相切，記圓柱OO的體積為Vi,球。的體積為V2,則?"的值是:【分析】設(shè)出球的半徑，求出圓柱的體積以及球的體積即可得到結(jié)果.【解答】解：設(shè)球的半徑為R,則球的體積為：-17TR3,圓柱的體積為：ttR 2?2R=2t R3.比 27TR3 3|=匕4幾R$ 2 '-5故答案為：腎.【點評】本題考查球的體積以及圓柱的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.g7. （5分）（2017?江蘇）記函數(shù)f （x） 訴二J定義域為D.在區(qū)間-4, 5 上隨機(jī)取一個數(shù)x,則xCD的概率是 互.【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計算即可.【解答】 解：由 6+x x2

15、>0 得 x2 x - 6< 0,得20x&3,則 D=-2, 3,5-(-4)則在區(qū)間-4, 5上隨機(jī)取一個數(shù)x,則xCD的概率P=+4 至, 故答案為：一【點評】本題主要考查幾何概型的概率公式的計算，結(jié)合函數(shù)的定義域求出D,以及利用幾何概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵.8. （5分）（2017?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線號-y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點 P, Q,其焦點是Fi, F2,則四邊形FFF2Q的面積是 2V3_.【分析】求出雙曲線的準(zhǔn)線方程和漸近線方程，得到 P, Q坐標(biāo)，求出焦點坐標(biāo)， 然后求解四邊形的面積.【解答】解：雙曲線號-y2

16、=1的右準(zhǔn)線：x=|,雙曲線漸近線方程為：y*x, 所以 P （-,厘），Q（j -耳），F(xiàn)i （-2, 0）. F2 （2, 0）.則四邊形FiPFQ的面積是：y X4X=2/3.故答案為：2年.【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.9. （5分）（2017?江蘇）等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項為S,已知,&&,則 a8= 32 . 4【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為qwl, S3=-, S絡(luò) 44（1 - %力q理,聯(lián)立解出即可得出.l-q 4【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為qwl,u S3豈力（7）魚'4，'1-q" Lq

17、4 '解得 ai=L, q=2. 4貝（J a8=l_ x 27 =32.故答案為：32.【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能 力，屬于中檔題.10. （5分）（2017?江蘇）某公司一年購買某種貨物 600噸，每次購買x噸，運 費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用 之和最小，則x的值是 30 .【分析】由題意可得：一年的總運費與總存儲費用之和 &&M&+4X,利用基本 x不等式的性質(zhì)即可得出.【解答】解：由題意可得：一年的總運費與總存儲費用之和 3><6+4x14X2 戈X 檔”

18、=240 （萬元）.當(dāng)且僅當(dāng)x=30時取等號.故答案為：30.【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力， 屬于基礎(chǔ)題.11. （5分）（2017?江蘇）已知函數(shù)f （x） =x3-2x+ex-,其中e是自然對數(shù)第13頁（共34頁）的底數(shù).若f (a - 1) +f (2a2) <0,則實數(shù)a的取值范圍是 -1,1. 【分析】求出f (x)的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得 f (x)在R上遞增；再由奇偶性的定義，可得f (x)為奇函數(shù)，原不等式即為2a2<1-a,運用二次不等式的解法即可得到所求范圍.【解答】解：函數(shù)f (x) =x3 2x+ex

19、 上一的導(dǎo)數(shù)為:第15頁(共34頁)可得f (x)在R上遞增；又 f ( - x) +f (x) =( - x) 3+2x+e x - ex+x3 - 2x+ex -=0, e可得f (x)為奇函數(shù)，貝U f (a- 1) +f (2a2) <0,即有 f (2a2) < - f (a- 1) =f (1 - a),即有 2a2<1 -a,解得-1&a&L, 2故答案為：-1, t.【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應(yīng)用， 注意運用導(dǎo)數(shù)和定義法, 考查轉(zhuǎn)化思想的運用和二次不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題.12. (5分)(2017?江蘇)如圖，

20、在同一個平面內(nèi)，向量 演，而，祈的模分別為1,1,歷,位與66的夾角為a,且tan a =7,而與66的夾角為45° .若而二而鼠+而(m n C R),則 m+n= 3【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A (1 , 0).由項與前的夾角為a ,且tan a =7.可得 cos a =sin a 二&V2嗎，看）.可得cos( a +45 )= . sin5(a +45 ).B（咯，1）.利用55OC=m)A+nOB (m nCR),即可得出.【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A （1, 0）.由石!與花的夾角為a ,且tan a =7.cos ( + +45 ) = (

21、cos2s sin a )=35:、z .、sin ( + +45 ) =<=(sin a +cos a ) 20C=mA+nQB (m, n R),=m- jn,!=0jn解得m="貝 U m+n=3故答案為:3.【點評】本題考查了向量坐標(biāo)運算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計算能力, 屬于中檔題.13. （5分）（2017?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，A （ - 12, 0）, B （0, 6）,點P在圓O:x2+y2=50上.若近，百U20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是5.技【分析】根據(jù)題意，設(shè)P(X0, y0),由數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式化簡變形可得 2x0+y0+5&

22、lt;0,分析可得其表示表示直線 2x+y+5< 0以及直線下方的區(qū)域，聯(lián)立直線與圓 的方程可得交點的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖形分析可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)P(X。, y。),則有X02+y02=50,PA PB= ( - 12 - X0, - y0) ? - X0, 6 - yo) = (12+x°) x° - y° (6 - y) =12x0+6y+x02+y02 <20,化為：12x0-6y0+30< 0,即2X0-y0+50 0,表示直線2x+y+5< 0以及直線下方的區(qū)域，'22_聯(lián)立«町口,解可得X0=-5或X

23、0=1,工與-產(chǎn)口+5=0結(jié)合圖形分析可得：點P的橫坐標(biāo)X0的取值范圍是-5巧，1,【點評】本題考查數(shù)量積的運算以及直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用數(shù)量積化 簡變形得到關(guān)于X0、y0的關(guān)系式.14. (5分)(2017?江蘇)設(shè)f (x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f (x)=卜='ED 其中集合 D=x|x=HL, nCN*,則方程 f (x)- 心工知nlgx=0的解的個數(shù)是 8 .【分析】由已知中f (x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f (x)=慎"D ,其中集合口二僅除紅土，nC M,分析f (x)的圖象與y=lgx g工知妖圖象

24、交點的個數(shù)，進(jìn)而可得答案.【解答】解：在區(qū)間0 , 1)上，f (x)=宜'"k, k4D第一段函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又f (x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，廠2 匯在區(qū)間1 , 2)上，f (x) =無口，此時f(X)的圖象與丫=度 有, x®且只有一個交點; 同理：區(qū)間2 , 3)上, 區(qū)間3 , 4)上, 區(qū)間4 , 5)上, 區(qū)間5 , 6)上, 區(qū)間6 , 7)上, 區(qū)間7 , 8)上, 區(qū)間8 , 9)上, 在區(qū)間9 , +00)f (x)的圖象與y=lgx f (x)的圖象與y=lgx f (x)的圖象與y=lgx f (x)的圖象與y=l

25、gx f (x)的圖象與y=lgx f (x)的圖象與y=lgx f (x)的圖象與y=lgx 上，f有且只有一個交點; 有且只有一個交點; 有且只有一個交點; 有且只有一個交點; 有且只有一個交點; 有且只有一個交點; 有且只有一個交點;(x)的圖象與y=lgx無交點;故f (x)的圖象與y=lgx有8個交點;即方程f (x) - lgx=0的解的個數(shù)是8, 故答案為：8【點評】本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的圖象和性質(zhì), 轉(zhuǎn)化思想，難度中檔.二.解答題15. (14分)(2017?江蘇)如圖，在三棱錐 A- BCD中，AB±AD, BC1BD,平面 ABDL平面

26、BCD點E、F (E與A、D不重合)分別在棱 AR BD上，且EF±AD 求證：(1) EF/平面ABC(2) ADL AC.【分析】（1）利用AB/ EF及線面平行判定定理可得結(jié)論；（2）通過取線段CD上點G,連結(jié)FG EG更彳導(dǎo)FG/ BG則EG AC利用線面垂 直的性質(zhì)定理可知FG±AR結(jié)合線面垂直的判定定理可知 ADL平面EFG從而 可得結(jié)論.【解答】證明：（1）因為AB1 AD EF±AR且A、B、E、F四點共面，所以 AB/ EF,又因為EF?平面ABC AB?平面ABC所以由線面平行/U定定理可知：EF/平面ABC（2）在線段CD上取點G 連結(jié)FG

27、EG®彳3FG/ BG則EG/ AC,因為BC! BR所以FG/ BG又因為平面ABDL平面BCD所以FG,平面ABD所以FGL AR又因為 ADLEF,且 EFA FG=F所以AD1平面EFG所以ADL EG故 ADL AC【點評】本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化思 想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累， 屬于中檔題.16. （14分）（2017?江蘇）已知向量之二（cosx, sinx）,E= （3, -3）, xC0,兀.(1)若W/E,求x的值;(2)記f (x) =a-b,求f (x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的

28、x的值.【分析】(1)根據(jù)向量的平行即可得到tanx=-通，問題得以解決，3b= (3, -V3),后瓦(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出【解答】解：(1) a= (cosx, sinx ),一mcosx=3sinx , . tanx=一 V33九,-x0,xh.x(2) f (x) = a * b=3cosx -V?sinx=2 yf32cosx 一i-sinx ) =2/3cos (7TT),第19頁（共34頁）-x0,兀,7T_6'一 1 <cos (x當(dāng)x=0時，f (x)有最大值，最大值3,當(dāng)x=時，f (x)有最小值，最大值-2后.【點評】

29、本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù) 的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題17. (14分)(2017?江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:31 +-=1 (a>b>0)的左、右焦點分別為F1, F2,離心率為工，兩準(zhǔn)線之間的距離為8點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF的垂線11,過點F2作直線PE 的垂線l 2.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線1i, l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo).【分析】(1)由橢圓的離心率公式求得a=2c,由橢圓的準(zhǔn)線方程x=±2X二8,即可求得a和c的值，則b2=a2-c2=3,即可求得橢圓方程;(2)

30、設(shè)P點坐標(biāo)，分別求得直線 PF2的斜率及直線PF的斜率，則即可求得12 及l(fā)i的斜率及方程，聯(lián)立求得 Q點坐標(biāo)，由Q在橢圓方程，求得yo2=xo2- 1,聯(lián) 立即可求得P點坐標(biāo)；方法二：設(shè)P (m, n),當(dāng)nn 1時，kPF】 nH-1的方程，聯(lián)立求得Q點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性可得=± n2,聯(lián)立橢圓方程，即可第21頁(共34頁)求得P點坐標(biāo).【解答】解：(1)由題意可知：橢圓的離心率e=- a則a=2c,橢圓的準(zhǔn)線方程x=±23.二8,c 由解得：a=2, c=1, 則 b2=a2 - c2=3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)方法一：設(shè)P(X。，y。)，則直線PF2的斜率k貝U直線1

31、2的斜率k2二-直線12的方程y=-與? (x-1),直線PR的斜率kpF -7F% f+1則直線l 2的斜率k2二-直線l 2的方程y=放(x+1),戈二一5c 口.田答.V 口yJ由P, Q在橢圓上，P, Q的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)應(yīng)相等，則22/yo =X0 12 160-二"V0 = ±7T又P在第一象BM,所以P的坐標(biāo)為:Ar方法二：設(shè)P (m, n),由P在第一象限，則m>0, n>0,當(dāng)m=1時，除口不存在，解得：Q與Fi重合，不滿足題意,由 liPFi, l21PR,則氏二一四三，% ri nrl ,n直線li的方程y=-皿(x+1),直線12

32、的方程 nI 2 1聯(lián)立解得：x= - m，則 Q ( - mi,-),n由Q在橢圓方程，由對稱性可得： 里戶=±n2,v=-(xT),第23頁（共34頁）即 m2 - n2=1, 或 m2+n2=1,由P （m, n）,在橢圓方程,解，(2.2m -I -n22U 32 16 ri =-yj二7/12_ 21-m -n22j JI 4 3 1又P在第一象BM,所以P的坐標(biāo)為:考查直線的斜率公【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系, 式，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計算能力，屬于中檔題.18. （16分）（2017?江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺 形玻璃

33、容器II的高均為32cmi容器I的底面對角線 AC的長為1叫cm,容器H 的兩底面對角線EG EG的長分別為14cm和62cm,分別在容器I和容器II中注 入水，水深均為12cm,現(xiàn)有一1g玻璃棒l ,其長度為40cm （容器厚度、玻璃棒 粗細(xì)均忽略不計）（1）將l放在容器I中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC上，求l沒 入水中部分的長度；（2）將l放在容器R中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG上，求l沒 入水中部分的長度.【分析】（1）設(shè)玻璃棒在CC上的點為M玻璃棒與水面的交點為 N,過N作NP / MC 交 AC于點 P,推導(dǎo)出 CCL平面 ABCD CC,AC, NPL AG

34、 求出 MC=30cm 推導(dǎo)出ANSAAMC由此能出玻璃棒l沒入水中部分的長度.（2）設(shè)玻璃棒在GG上的點為M玻璃棒與水面的交點為 N,過點N作NPL EQ交EG于點P,過點E作EQL EG,交EG于點Q推導(dǎo)出EEGG為等腰梯形，求 出EiQ=24cm EiE=40cm由正弦定理求出 sin ZGEM=,由此能求出玻璃棒l沒 入水中部分的長度.【解答】解：（1）設(shè)玻璃棒在CC上的點為M玻璃棒與水面的交點為N, 在平面ACMfr,過N作NP/ MC交AC于點P,: ABCD ABCD為正四棱柱，. CCL平面 ABCDX v AC?平面 ABCDCC，AG NPLAC, NP=12cm 且 AM

35、=AC+MC,解得 MC=30cm. NP/ MC .AN即AAMC幽巫，幽上得AN=16cm朋I NO 式 30玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm（2）設(shè)玻璃棒在GG上的點為M玻璃棒與水面的交點為 N,在平面EEGGfr,過點N作NP! EG交EG于點P, 過點E作EQLEiG,交EC于點Q,EFGH EiFiGH 為正四棱臺，EE=GG, EG/ E1G ,EG EiG , .EEGG為等腰梯形，畫出平面 曰EGG勺平面圖,v EG=62crn EG=14cm EQ=32cm NP=12cmEQ=24cm由勾股定理得：E1E=40cm .sin /EEG=S5根據(jù)正弦定理得：sin /

36、EGM=sin/ EEG, cos/EGg-2, 55cos一" FsinZEGM =slhZEMG 5sin/EMG二擊,12 “二20cm sin / GEM=sin( / EGM+ EMG =sin / EGMcos EMG+cos EGMsinZHPEN= sin/CGEM玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cmB【點評】本題考查玻璃棒l沒入水中部分的長度的求法，考查空間中線線、線面、 面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能 力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.19. (16分)(2017?江蘇)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列an滿足：ak

37、+a卜+什+鼻 .i+an+i+an+k. i+a+k=2kan對任意正整數(shù)n (n>k)總成立，則稱數(shù)列an是“P (k) 數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列an是“P (3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P (2)數(shù)列”，又是“ P (3)數(shù)列”，證明：an是等差 數(shù)列.【分析】(1)由題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3= ( Hn .3+a+3)+ (an-2+an+2) + (an-1 + an+1)一2 x 3an,根據(jù) “P ( k)數(shù)列”的定義，可得 數(shù)列an是數(shù)(3)數(shù)列”；(2)由 “P (k)數(shù)列”的定義，則 an - 2

38、+an - 1 + an+1+an+2=4an , an - 3+an - 2+an - 1+a+1+an+2+an+3=6an,變形整理即可求得 2an=a-1+&+1,即可證明數(shù)列an是等差數(shù) 列.【解答】解：(1)證明：設(shè)等差數(shù)列an首項為a1,公差為d,則an=a1+ (n-1) d,貝U an - 3+a- 2+a T+an+1 + an+2+On+3 ,第25頁(共34頁)=(an-3+an+3)+ ( Hn - 2+On+2)+ (an-l+Hn+l),=2an+2an+2an,=2 x 3an,.等差數(shù)列an是“P (3)數(shù)列”；(2)證明：由數(shù)列an是 “P (2)數(shù)

39、列"an-2+an- l+an+l+8n+2=4an,數(shù)列an是 數(shù)(3)數(shù)列" a n - 3+an - 2+an - l+an+l+an+2+an+3=6an ,由可知：an-3+an-2+an+an+1=4an-1 ,An- l+an+On+2+an+3=4an+1 , (3)由一( +)：2an=6an 4an-1 4an+i,整理得：2an=an l+an+1 ,.數(shù)列an是等差數(shù)列.【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的新定義的性質(zhì)，考查數(shù)列的運算, 考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20. (16分)(2017?江蘇)已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+bx+1

40、 (a>0, bCR)有極值, 且導(dǎo)函數(shù)f' (x)的極值點是f (x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)證明：b2> 3a；(3)若f(x),f' (x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于- 一，求a的取值范圍.【分析】(1)通過對 f (x) =x3+ax2+bx+1 求導(dǎo)可知 g (x) =f' (x) =3x2+2ax+b,進(jìn)而再求導(dǎo)可知g' (x) =6x+2a,通過令g' (x) =0進(jìn)而可知f' (x)的極小值點為x= 一，從而f (-)=0,整理可知b= 1

41、9(a>0),結(jié)合 f (x)=x3+ax2+bx+1 (a>0, b RR有極值可知f' (x) =0有兩個不等的實根，進(jìn)而可知 a>3.(2)通過(1)構(gòu)造函數(shù)h (a)=b2- 3a普3(4a -27)27),結(jié)合a>3可知h (a) >0,從而可得結(jié)論;第26頁(共34頁)第29頁(共34頁)(3)通過(1)可知f' (x)的極小值為f'(-年)=b-'，利用韋達(dá)定理 3及完全平方關(guān)系可知y=f (x)的兩個極值之和為4L -絕+2,進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為 2732 g2解不等式b-H+選-噠+2衛(wèi)-葭-工，因式分解即得結(jié)論.3 2

42、71 方 a 92【解答】(1)解：因為f (x) =x3+ax2+bx+1,2所以 g (x) =f(x) =3x+2ax+b, g (x) =6x+2a,令 g' (x) =0,解得 x=-A.x< 一等時g由于當(dāng)x>-且時g' (x) >0, g (x) =f' (x)單調(diào)遞增；當(dāng)(x) <0, g (x) =f' (x)單調(diào)遞減;所以f' (x)的極小值點為x=-各由于導(dǎo)函數(shù)f' (x)的極值點是原函數(shù)f (x)的零點,所以f (-衛(wèi))=0,即- 3一二+1=0 3“(a>0) .所以b= 19因為 f (x

43、) =x3+ax2+bx+1 (a>0, bC & 有極值, 所以f' ( x) =3x2+2ax+b=0有兩個不等的實根，2所以 4a212b>0,即 a2- 公>0,解得 a>3,3 a所以 b=-+ (a>3).9 a(2)證明：由(1)可知 h (a) =b2- 3a&i-二1(4a3-27) (a3-813 a 81 a227),由于 a>3,所以 h (a) >0,即 b2>3a；2(3)解：由(1)可知f' (x)的極小值為f' (-) =b-3-,設(shè) x1，x2是 y=f (x)的兩個極值點

44、，則 x1+x2=/*, x1x2=1,所以 f (x1)+f (x2)=xj+xj+a (町。叼2)+b (x+x2)+2=(x+x2) (x+x2)2- 3xx2+a (x+x2)2 2xx2+b (x+x2)+227 | | 3又因為f （x）, f' （x）這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于- 1,所以 b-+AI-2abl+2=3 -3273 a 92因為 a>3,所以 2a3 63a 54<0,所以 2a （a2-36） +9 （a-6） < 0,所以（a 6） （2a2+12a+9） < 0,由于 a>3 時 2a2+12a+9>0,所以a

45、-6<0,解得a<6,所以a的取值范圍是（3, 6.【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查運算求解能力，考查 轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于難題.二.非選擇題，附加題（21-24選做題）【選修4-1:幾何證明選講】（本小題滿分0分）21. （2017?江蘇）如圖，AB為半圓。的直徑，直線PC切半圓。于點C, AP, PG P為垂足.求證：（1） /PACW CAB（2）aC=ap?ab.O B【分析】（1）利用弦切角定理可得：/ACP=r ABC利用圓的性質(zhì)可得/ACB=90 .再利用三角形內(nèi)角和定理即可證明.（2）由（1）可得：zAPSAACtB即可證明.【解答

46、】證明：（1） .直線PC切半圓。于點C, /ACPW ABC.AB為半圓。的直徑，./ ACB=90 .,. API PC, ./APC=90 .丁. / PAC=90 - / ACP / CAB=90 - / ABC丁 / PACW CAB(2)由(1)可得：zAPSAACIB AC-AP. 一 .AB AC. AC =ap?ab.【點評】本題考查了弦切角定理、圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形相似的 判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.選彳4-2 :矩陣與變換22. (2017?江蘇)已知矩陣 A=° ", B=1 .1 oj Lo 2j(1)求 A

47、B;22(2)若曲線C: jJ=1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線 G,求G82的方程.【分析】(1)按矩陣乘法規(guī)律計算;(2)求出變換前后的坐標(biāo)變換規(guī)律，代入曲線G的方程化簡即可.【解答】解：(1) AB=；(2)設(shè)點P (x, y)為曲線C的任意一點,點P在矩陣AB的變換下得到點P' (xo, y。),則普即 xo=2y, yo=x,工口 x=yo, y=-,即 xo2+yo2=8,曲線G的方程為x2+y2=8.【點評】本題考查了矩陣乘法與矩陣變換，屬于中檔題.選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程-8+t23. (2017?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為t(

48、t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動第35頁（共34頁）點，求點P到直線l的距離的最小值.【分析】求出直線l的直角坐標(biāo)方程，代入距離公式化簡得出距離 d關(guān)于參數(shù)s的函數(shù)，從而得出最短距離.【解答】解：直線l的直角坐標(biāo)方程為x - 2y+8=0,P到直線l的距離d=儂，揚閭 (V2s-2)2+4二當(dāng)s=6時，d取得最小值 【點評】本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.選修4-5 :不等式選講24. (2017?江蘇)已知 a, b, c, d 為實數(shù)，且 a2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd <8.【分析】a2+b2=4, c2+d2=16,令 a

49、=2cosa , b=2sin a , c=4cos0 , d=4sin 0 .代入ac+bd化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可證明.另解：由柯西不等式可得： (ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2),即可得出.【解答】證明：: a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cosa , b=2sin a , c=4cos0 , d=4sin 0 .ac+bd=8 (cos a cos 0 +sin a sin 0 ) =8cos ( a 0 ) < 8.當(dāng)且僅當(dāng)cos ( a-B) =1時取等號.因此 ac+bd<8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2) =4X 16=64,當(dāng)且僅當(dāng)包也 c d時取等號. . - 8<ac+bd< 8