G204液流系統(tǒng)建模

1、工 程 應(yīng) 用 實 例g204 液流系統(tǒng)建模 圖 2.1 給出了一個液流系統(tǒng)。蓄水池（或水柜）底部帶有一個出水口，水從上方的進(jìn)水管流入蓄水池中，進(jìn)水管由注水閥控制。在本系統(tǒng)中，需要研究的變量包括液流速度v（單位為m/ s） 、液面高度h（單位為m）和水壓p（單位為n/ m2） 。水壓是指在水中指定的某個表面上， 水作用在單位面積（水處于靜止?fàn)顟B(tài)）上的力。水壓均勻地作用于該表面。 按照控制系統(tǒng)設(shè)計流程，本實例著重考慮的主題設(shè)計模塊如圖2.2 所示。具體工作是：確定系統(tǒng)配置，建立合適的教學(xué)模型，也就是說， 用輸入 - 輸出關(guān)系來描述蓄水池的液流過程。 圖 2.1 蓄水池系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)配置12 10 0

2、5 04 2.1圖 2.2 控制系統(tǒng)設(shè)計流程中，蓄水池液流系統(tǒng)實例強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的設(shè)計模塊描述液流運(yùn)動和能量轉(zhuǎn)換過程的通用方程非常復(fù)雜，常常是彼此耦合的偏微分方程（組）。為了降低數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜程度，我們必須有選擇地做出一些合理的假設(shè)。盡管控制工程師不必同時是西南科技大學(xué) 科學(xué)出版社自動控制原理- 1 -工 程 應(yīng) 用 實 例流體力學(xué)家，并不需要深入理解控制系統(tǒng)建模所需的流體力學(xué)的專門知識。但是，真正理解一些重要的、有利于簡化模型的假設(shè)，卻具有重要的工程意義。 為了建立一個合理且容易處理的數(shù)學(xué)模型以便描述蓄水池液流系統(tǒng)，必須首先做出一些重要的合理假設(shè)。假設(shè)蓄水池中的水是不可壓縮的，并且液流是非常粘滯、

3、無旋轉(zhuǎn)和穩(wěn)定的。不可壓縮的流體意味著其密度p（單位為kg/ m3）是常數(shù)。但實際上，所有的流體都在某種程度上是可壓縮的，可壓縮性用壓縮系數(shù)；而水的壓縮系數(shù)則為，也就是說，每增加1 個大氣壓（ 1 atm） ，水的體積僅僅縮小 0.05。由此可見，對于工程應(yīng)用而言，關(guān)于水是不可壓縮流體這一假設(shè)是合理的。 nmkair/98. 0216210105/109.42atmnmkoh再考慮運(yùn)動中的流體。如果兩個近鄰的液流層的初始流速不一致，那么分子的相互流動將導(dǎo)致這兩層液流速度趨向一致。也就是內(nèi)摩擦效應(yīng)，所實現(xiàn)的動量交換成為黏滯特性。就黏滯特性而言，固體最強(qiáng)，液體次之，氣體最差。黏滯特性用黏滯系數(shù) （單

4、位為 ns/ m2）表示，黏滯系數(shù)越大，表明物質(zhì)的黏滯特性越強(qiáng)。例如，20的標(biāo)準(zhǔn)條件下，空氣的黏滯系數(shù)為24/10178.0msnuair水的黏滯系數(shù)為23/10054.12msnuoh由此可見，水的黏滯系數(shù)是空氣的約60 倍。黏滯性主要取決于溫度，而非壓力。例如，水在0時的黏滯性是20時的兩倍。對于粘滯性低的流體，如空氣和水，只有在邊界層，摩擦特性的影響下才有比較明顯的體現(xiàn)，即在蓄水池壁和輸出管壁等處。因此，在建模過程中，我們可以忽略水的黏滯性，也就是說，我們認(rèn)為水是非黏滯的。 如果在液流中的每一點上，液流元素都沒有靜角速度，就稱該液流是非旋轉(zhuǎn)的。想像一下，在出水口的位置放置一個小葉輪，如果

5、葉輪沒有旋轉(zhuǎn)，就可以認(rèn)為液流是非旋轉(zhuǎn)的。在本實例中，假定水柜中的水是非旋轉(zhuǎn)的。對于非黏滯的流體而言，如果在初始情況下非旋轉(zhuǎn)，則液流將一直保持非旋轉(zhuǎn)。 水柜和出水口中的水流既可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。如果液流中每一點的速度都是保持恒定，就稱該液流是穩(wěn)定的。需要指出的是，這并不意味著液流中每一點的速度都必須相同，而是說對于某一點而言，其速度一直保持勻速，不隨時間而變化。液流處于低速時，容易滿足穩(wěn)定條件。在本實例中， 假定水流滿足穩(wěn)定條件。但是， 如果出水口過大，那么水柜中的水流速度將偏高，可能無法滿足穩(wěn)定條件。在這種情況下，所建的數(shù)學(xué)模型將無法準(zhǔn)確預(yù)測液流的運(yùn)動情況。 為了建立蓄水池液流的數(shù)

6、學(xué)模型，必須引入諸如能量守恒定律等原則。在給定時間內(nèi)，水柜中水的質(zhì)量為hpam1 (2.01)其中， a1 為水柜的底面積，為水的密度，h為蓄水池中水的高度。建模與計算過程中用到的一些物理常數(shù)如表2.1 所示。 西南科技大學(xué) 科學(xué)出版社自動控制原理- 2 -工 程 應(yīng) 用 實 例表 2.1 水柜系統(tǒng)的物理常數(shù) 在后面的公式中， 帶有下表1的變量表示輸入變量，帶有下表 2 的變量表示輸出變量。式 (2.01)的兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，可以得到 hpam1此處，用到了水是不可壓縮流體的假設(shè)（不可壓縮流體密度為常數(shù)，即 =0） ，而水柜的底面積a1也為常數(shù)，不隨時間發(fā)生變化。實際上，蓄水池中水的質(zhì)量的變化

7、，又等于注入水柜和流出水柜的質(zhì)量之差，故有2211vpaqhpam (2.02)其中， q1為單位時間內(nèi)的進(jìn)水質(zhì)量，滿足穩(wěn)定條件；v2為流出速度； a2為出水管的橫截面積。流出速度 v2水水面高度h的函數(shù)。根據(jù)伯努利（ bernoulli）方程可得 2221212121ppvpghppv其中， v1為蓄水池進(jìn)水口的水流速度；p1和 p2分別為進(jìn)水口和出水口的氣壓，它們都為1 個大氣壓；相對于a1而言， a2非常?。?a2=a1/100） ，因此進(jìn)水口的流速v1非常小，甚至可以忽略。這樣一來，可以將伯努利方程簡化為ghv22 (2.03)將式 (2.03)代入式 (2.02)中，并求解h，可以得

8、到111212qpahgaah(2.04)根據(jù)式 (2.03)，可以求得單位時間內(nèi)的出水質(zhì)量hagpvpaq)2(2222(2.05)為了對以上方程進(jìn)行簡化，定義如下替換變量：2312121212agpkpakagak于是，代入式 (2.04)和(2.05)，可得hkqqkhkh32121(2.06)這樣就建立了蓄水池液流模型，其中輸入為q1，輸出為q2.可以看出，由于式(2.06)中包含了項，西南科技大學(xué) 科學(xué)出版社自動控制原理- 3 -工 程 應(yīng) 用 實 例因此，這是一個非線性的一階常微分方程模型。將模型記為函數(shù)的形式：),(),(121qhhqqhfh其中，hkqhhqkhkqhf311

9、211),(),(在流量平衡點附近，對描述蓄水池液流模型的函數(shù)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，可以獲得一組線性化方程。當(dāng)蓄水池系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，液面高度保持穩(wěn)定，即有。令 q* 和 h*分別表示平衡狀態(tài)下，單位時間內(nèi)的進(jìn)水質(zhì)量換個液面高度，由式(2.06)可得0h*2*221hagphkkq(2.07)當(dāng)注入蓄水池中的水量足夠大，足以補(bǔ)償通過進(jìn)水口流出的水量時，上述平衡條件成立。在平衡狀態(tài)下，液面高度和單位時間內(nèi)進(jìn)水的質(zhì)量用該在平衡點附近波動，因此可以將它們寫為11*qqqhhh(2.08)其中，和是平衡點附近的小偏差信號。因此，可以得到的泰勒級數(shù)展開式為.*)(*)(*)*,(),(1*1*111qqq

10、fhhhfqhfqhfhqqhhqqhh(2.09)其中，2*1111*11*111*1111(*21(kqqkhkqfhkhqkhkhfqqhhqqhhqqhhqqhh由式 (2.07)可以得到22*agpqh于是有*122*1qgpaahfqqhh由于平衡狀態(tài)下的液面高度h* 為常數(shù)，因此，對式(2.08)的第一個公式兩邊求導(dǎo)，可以得到hh西南科技大學(xué) 科學(xué)出版社自動控制原理- 4 -工 程 應(yīng) 用 實 例西南科技大學(xué) 科學(xué)出版社自動控制原理- 5 -此外，根據(jù)平衡條件可以得到，f（h*， q* ）=0，忽略泰勒級數(shù)展開式(2.09)的高階項，最終可得111221*qpahqgpaah(2

11、.10)可以看出， 這個線性方程描述的是，單位時間內(nèi)進(jìn)行水質(zhì)量的輕微波動與液面高度相對于平衡點的偏差之間的關(guān)系。類似地，對于輸出變量q2，有1*1*122211*)*,(),(*qqfhhfqhhqhhqqqqqhhqqhh(2.11)其中，為單位時間內(nèi)出水質(zhì)量的輕微波動，且有2q0*1222*11qqhhqqhhqfqagphf，因此，輸出變量q2的線性方程為hqagpq*2222(2.12)用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，非常便于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計，而拉普拉斯變換則是求解傳遞函數(shù)的主要工具。對式(2.12)兩邊求導(dǎo)之后，再將其代入式(2.10)中，可以得到蓄水池系統(tǒng)的輸入 -輸出關(guān)系

12、112221222*qqgpaaqqgpaaq定義替換變量*122qgpaa(2.13)于是有122qqq(2.14)對式 (2.14)進(jìn)行拉普拉斯變換（零初始條件），可以得到傳遞函數(shù)為ssqsq)(/)(12(2.15)式(2.15)描述了單位時間內(nèi)進(jìn)水質(zhì)量的波動與出水質(zhì)量的波動之間的關(guān)系。類似地，對式(2.10)進(jìn)行拉普拉斯變換，還可以得到單位時間內(nèi)進(jìn)水質(zhì)量的波動與液面高度波動之間的傳遞函數(shù)sksqsh2)(/)(1(2.16)式(2.14)是一個描述蓄水池系統(tǒng)的線性定常方程。下面分別討論當(dāng)輸入為階躍信號和正弦信號時，工 程 應(yīng) 用 實 例西南科技大學(xué) 科學(xué)出版社自動控制原理- 6 -該系

13、統(tǒng)的輸出。需要再次強(qiáng)調(diào)的是，輸入變量是偏離平衡狀態(tài)時，進(jìn)水質(zhì)量首先考慮階躍輸入信號q* 的偏差小信號。sqsq/)(01其中，是階躍信號的幅值，初始條件為0)0(2q。因此，根據(jù)傳遞函數(shù)式(2.15)，可以得到)()(02ssqsq對上式進(jìn)行部分分式分解，可以得到sqsqsq002)(進(jìn)行拉普拉斯逆變換，可以得到由式 (2.13)可知 ? 0，因此，當(dāng)時間t 趨向無窮大時，指數(shù)項將收斂于0。因此，在幅度為的階躍輸入型號的激勵下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為002)(qeqtqt0ss2qq由此可見，在穩(wěn)態(tài)下，單位時間內(nèi)出水質(zhì)量相對于平衡點的偏差，就等于單位時間內(nèi)進(jìn)水質(zhì)量相對于平衡點的偏差。重新審視變量?

14、參見式 (2.13)可發(fā)現(xiàn)，出水管底面積a2越大， ? 也越大，指數(shù)項收斂到 0 的速度也就越快，也就是說，a2越大，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的速度就越快。類似地，針對傳遞函數(shù)式(2.16)，可以得到在節(jié)約輸入信號的激勵下，液面高度波動變量的拉普拉斯變換：sskqh11s20進(jìn)行拉普拉斯逆變換后，可以得到1t20tekqh由此可得，在幅度為的節(jié)約輸入信號的激勵下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為20sskqh接下來考慮正弦輸入信號tqtqsin01進(jìn)行拉普拉斯變換之后，可以得到2201ssqq工 程 應(yīng) 用 實 例西南科技大學(xué) 科學(xué)出版社自動控制原理- 7 -前已提及，系統(tǒng)的初始條件為0，即0)0(2q,由式 (2.15

15、)得意得到2202sssqq部分分式分解進(jìn)行拉普拉斯逆變換后，可以得到20teqt其中，很明顯，當(dāng)時間t 趨于無窮大時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為212222sintqqt202tqsin2由此可知，單位時間內(nèi)出水質(zhì)量的最大波動值為220max2tqq(2.17)利用解析方法求解系統(tǒng)對階躍信號和正弦信號等典型測試輸入信號的響應(yīng)，可以全面深入地把握系統(tǒng)響應(yīng)。但在很多情況下，解析方法將會受到限制，因此，對于復(fù)雜的系統(tǒng)而言，計算機(jī)仿真則更為有效，它能夠通過數(shù)值分析的方式，對系統(tǒng)的線性或者非線性模型進(jìn)行更為完善的描述、分析、演算和顯示。計算機(jī)仿真模型能夠?qū)ο到y(tǒng)的實際工作條件和實際輸入指令進(jìn)行模擬分析。控制工程師

16、可以選擇不同精度的仿真。在初始設(shè)計階段，應(yīng)個階，計算的精確度， 那么相對于解析方法，計算機(jī)仿真具有以下優(yōu)勢：針對尚處在與概念論證階段的待開發(fā)系統(tǒng)，可以檢驗所做的各種決策。和實物試相比，仿真試驗費(fèi)用較低。對系統(tǒng)進(jìn)行研究。分析和評價技術(shù)。該選擇交互性強(qiáng)的仿真軟件。在這段，計算機(jī)速度并不像現(xiàn)實和調(diào)試階段設(shè)計方案時那么重要，重要的反倒是直觀的圖形輸出功能。此外，由于在設(shè)計過程中，采用了許多必要的簡化（如線性化等）工作，因此分析階段（即初始設(shè)計階段）的仿真精度通常比較低。當(dāng)設(shè)計不斷成熟時，就有必要在更逼真的仿真環(huán)境中進(jìn)行進(jìn)行數(shù)值試驗。到了這個設(shè)計階段機(jī)處理速度就顯得非常重要了，否則過于漫長的仿真過程將導(dǎo)

17、致減少數(shù)值試驗次數(shù)并增加試驗費(fèi)用。這種高精度仿真通常使用fortran ，c，c+，matlab ，labview 或其他類似的高級語言。如果系統(tǒng)模型和仿真過程具有足夠高1可以觀察到系統(tǒng)在各種可能條件下的工作性能。2運(yùn)用預(yù)測模型進(jìn)行仿真，可以外推類似系統(tǒng)的性能。34針對被測試系統(tǒng)，開展多次運(yùn)行實驗，并大幅縮短設(shè)計周期。56能夠在各種想定條件下，甚至是不現(xiàn)實的條件下，7計算機(jī)仿真在某些時候是唯一可行或/和唯一安全的系統(tǒng)工 程 應(yīng) 用 實 例西南科技大學(xué) 科學(xué)出版社自動控制原理- 8 -將表 2.1 中的常數(shù)代入式(2.16)，蓄水池系統(tǒng)的非線性模型為hq77.342qhh102732. 1044

18、3.013-(2.18)在 h1便求解 h(t)和 q2(t)的變化曲線。系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖質(zhì)量(0)=0.5m，q (t)=34.77kg/s 的初始條件下， 可以對式 (2.18)進(jìn)行數(shù)值微分，以2.3 所示。由式 (2.17)可以進(jìn)行計算得出，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，進(jìn)水q*=34.77 kg/s 時，液面高度h*=1 m。圖 2.3 對非線性運(yùn)動方程(2.18)進(jìn)行數(shù)值積分得到的液面高度h 初始條件為h(0)=0.5m, q1(t)=q*=34.77 kg/s系統(tǒng)在250s 之后達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。假定系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，當(dāng)單位時間內(nèi)的進(jìn)水質(zhì)量波動信號為階躍信號時，再來分析系統(tǒng)的響應(yīng)。令skgq/1t1可以利用傳遞函數(shù)模型非線性模型下系統(tǒng)的