鄭州大學遠程教育學院高等數學模擬試卷3

1、高等數學 ( 一) 模擬試卷三得分評卷人一、選擇題： 1-10 小題，每小題4 分，共 40 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設 f (x) 在 x2處可導，且f (2)2 ，則 limf ( 2h)f (2) 等于（）h02hA 1B . 1C.2D.422. 設則 f ( x)1x ，則 f ( x) 等于 ()A.1B.xx2CC.xx2CD.2x x2C23.函數ysin x在區(qū)間 0,上滿足羅爾定理的等于（）A.0B.4C.2D.4. 將 limf (x)f ( a)1 ，則函數 f ( x) 在 xa 處（）xaxaA. 異數存在，且有 f(a)1B.異

2、數一定不存在C.f (a) 為極大值D.f (a) 為極小值5.dbarcsin xdx 等于dxa（）A.arcsin bar cosaB.11x2C.arcsin xD. 06. 下列關系正確的是（）11dx030A.1 x3B.x dxC.1D.1sin x4 dx 0sin x5 dx 0117. 設ysin x，則y等于（）x 0A. 1B.0C. -1D.-28. 設 zy2 x則z等于xA.2xy2 x 1B.2y2 xC. y2 x ln yD.2 y 2x ln y9交換二次積分次序221dy f ( x, y)dx 等于（）y22f (x, y) dy2xf ( x, y)

3、dyA.dxB.dx1x1122f (x, y)dy22f ( x, y)dyC.dxD.dx1x1y10下列命題正確的是（）A un發(fā)散，則un 必定發(fā)散n 1n1B. 若un收劍，則un必定收劍n 1n 1C.若un 收劍，則(un 1) 必定收劍n 1n 1D. 若un收劍，則un 必定收劍n 1n 1得分評卷人二、填空題： 11-20 小題，每小題4 分，共 40 分.分 . 把答案填在題中橫線上 .11若當 x0 時， 2 x2 與 sin ax 2為等價無窮 a=.312函數 = 31的間斷點為.2x113設函數 yx2sin x ，則 dy =.14.設函數 yy(x) 由方程

4、x2 yy 2 x 2 y 1 確定， y.15.不定積分1dx =.3x1dx216.sin tdt =.dx017.設 zx3 y2 ，則 dz=.x 1y 218.設區(qū)域 D: x2y2a2 ( a0), y0 ，則dxdy 化為極坐標下的表達式D為.19.過點 M 0(2,0, 1)xyz.且平行于1的直線方程為3120.冪級數xn.的收劍區(qū)間為n 1 2n得分評卷人三、解答題： 21-28 小題，共70 分 . 解答應寫出推理、演算步驟 .21. （本題滿分8 分）設tanbxf ( x)xx2x0,x0,且 f (x) 在點 x0 出連續(xù)，求 b.22.( 本題滿分 8 分 ) 設

5、函數 yx sin x ，求 y .23（本題滿分 8 分）x1,1,設 f (x)1x2f ( x)dx.2, x求02x1.24 （本題滿分8 分）求由方程 y2xcost 2 dt0 確定的 yy( x) 導函數 y .025. （本題滿分 8 分）設 z ex yy ，求z , z .xx y26. （本題滿分 10 分）計算x2y2 dxdy, 其中 D 是由 x2y21, yx 及 x 軸所圍成的第一象D域的封閉圖形.27.( 本題滿分 10 分 )求垂直域直線2x6 y10且與曲線yx33x25 相切的直線方程 .28. （本題滿分 10 分）求 y2y2x 的通解 .高等數學（

6、一）應試模擬第6 套參考答案與解題指導一、選擇題：每小題4 分，共 40分1 B【解析】本題考查的知識點為導線在一點處的定義.limf ( 2h)f (2)1 f (2)121,h 02h22可知應選 B。2.C【解析】本題考查的知識點為不定積分的性質.f ( x)f ( x) dx(1x)dx xx2C ,2可知應選C3.C【解析】本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結論.由于 ysin x 在 0,上連續(xù)，在 (0,) 內可導，且y0 y ，可知x 0xy sin x 在 0,上滿足羅爾定理，因此必定存在( 0,) 使ycosxcos0 ，從而應有.xx2故知應選C。4.A【解析】本題考查的

7、知識點為導數的定義.由于 lim f ( x)f (a)1，可知 f (a)1，因此選 A.xaxa由于 f(a)1 0, 因此 f (a) 不可能是 f ( x) 的極值，可知C.D 都不正確 .5.D【解析】本題考查的知識點為定積分的性質.b由于當 f (x) 可積時，定積分f (x)dx 的值為一個確定常數，因此總有adbf ( x)dx 0 ，dx a故應選 D6.C【解析】本題考查的知識點為定積分的對稱性.由于 sin x51,1 上為連續(xù)的奇函數，因此1o ，可知應選 C.在sin x5 dx1sin x4 為偶函數，且當0x1時， sin x40. 因此114 dx0.osin

8、x4 dx2 sin x可知 D不正確.10應該指出，1lim1，因此11x3 在 x=0 處沒有定義，且x31 x3 dx 不滿足定積分的x 0對稱性質 .相仿x3dx 為無窮區(qū)間上的廣義積分，也不滿足定積分的對稱性質.7 A【解析】本題考查的知識點為導數公式.由于(sin x)cos x, ycos x1,x 0x 0可知應選A.8 D【解析】本題考查的知識點為偏導數的運算z y2 x , 若求 z ，則需將 z 認定為指數函數，從而有zxy2 x ln y (2x) 2y 2x ln y,x可知應選D.9.B【解析】本題考查的知識點為交換二次積分次序.由所給二次積分可知積分區(qū)域D 可以表

9、示為 1y 2, yx 2,交換積分次序后，D 可以表示為1 x2,1 y x,故應選 B.10 D【解析】本題考查的知識點為收劍級數的性質和絕對收劍的概念.由收劍級數的性質“絕對收劍的級數必定收劍：可知應選D.由于調和級數1發(fā)散，而萊布尼茨級數( 1)n 1 . 1 收劍，可知 A,B 都不正確 .n 1 nn 1n由于當un 收劍時 lim un0,因此 lim (un 1) 10, 由級數發(fā)散的充分條件知nnn 1(un1) 發(fā)散，可知C 不正確 .n 1二、填空題：每空4 分，共 40分 .11 6【解析】本題考查的知識點為無窮小階的比較.由于當 x0 時， 2x 2與 sin ax2

10、為等價無窮小，因此31 lim2x 2lim2 x26 ,x 0ax2x 0ax2asin33可知 a=6.121.【解析】本題考查的知識點為判定函數的間斷點.31僅當 x210 即 x1 時，函數 y3x沒有定義，因此，x1為函21數的間斷點 .13 (2 x cosc) dx.【解析】本題考查的知識點為微分運算.解法一：利用dyy dx.由于y(x2sin)2xcos,xx可知 dy(2 x cos x)dx.解法二：利用微分運算法則(2sin)2sin(2cos ),dyd xxdxdxxx dx142xyy2x22xy2【解析】本題考查的知識點為隱函數的求異.將 x2 yy2 x 2y

11、1 兩端關于x 求異，兩端關于x 求異，( 2xy x2 y )(2 yy xy2 )2y0， ( x22xy2) y(2xy y 2 ) 0,因此 y2xy y 2.2xy2x215 1 ln( 3x1) C3【解析】本題考查的知識點為不定積分的換元積分法.1dx11d(3x1)1 ln( 3x1)C .3x133x1316 2x sin x2 .【解析】本題考查的知識點為可變上限積分的求導.dx2sin tdtsin( x2 )( x2 )2x sin x2.dx017 12dx4dy.【解析】本題考查的知識點為求函數在一點處的全微分.由于 zx3 y2 ，可知z3x2 y2 ，z2x3

12、y ，均為連續(xù)函數，因此xydzzdxzxdy,ydzzdxzy x 1dy 12dx 4dy.x1y x 1y2y 2y 2a18drdr .00【解析】本題考查的知識點為二重積分的直角坐標與極坐標轉化問題.由于 x2y 2a 2 , y 0可以表示為0,0 r a,dxdyda因此rdr .D0019 x2 yz1.311【解析】本題考查的知識點為求直線的方程.由于所求直線平行與已知直線 l , 可知兩條直線的方向向量相同，由直線的標準式方程可知所求直線方程為x2yz131120（ -2 ， 2）【解析】本題考查的知識點為冪級數的收劍區(qū)間.由于所給級數為不缺項情形，lim an 111li

13、m 2n 1,nann122n可知收劍半徑12,收劍區(qū)間為（ -2 ，2） .R三、解答題：共70 分21解：由于 limf ( x)lim tanbxlimbxb,x 0x 0xx0xlimf ( x)lim ( x2)2,x 0x 0又由于 f (x) 在點 x0 處連續(xù)，因此 limf ( x)f(0) 2.x 0可知b2.22解：由于 yx sin x, 可得yx sin xx (sin x)sin xx cos x212f (x)dx23. 解:f (x)dxf ( x) dx10012 1212112=1)dxdxxx)x3(x2x(60120124. 解: 將方程兩端關于 x 求異，得2yycosx20, ycosx 2.2 y25 解： zex yy ,則xz(ex y) x( y )xxy8 .3ex yy,x2z(ex y)( y )yx yex1 .x26 解：在極坐標系中， D 可以表示為 0,0 r 1.422414 131xydxyd rrdrrdD000 3014 d12.3027 解 ： 由 于 直 線 2x6 y 1 0 的 斜 率 k1，與其垂直的直線的斜率3k113.k對于3325,326 .yxxyxx由題意應有 3x26x3, 因此x22x10,x1