Chapt冪級數(shù)展開PPT課件

1、1第三章第三章 冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開意義：1、利用級數(shù)計算函數(shù)的近似值； 2、級數(shù)法求解微分方程； 3、以級數(shù)作為函數(shù)的定義； 4、奇點附近函數(shù)的性態(tài)。3.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)一、復(fù)級數(shù)概念kkkwwww211kkkvuwi第1頁/共72頁2原級數(shù)成為這樣復(fù)級數(shù) 歸結(jié)為兩個實級數(shù) ，實級數(shù)的一些性質(zhì)可移于復(fù)級數(shù)二、收斂性問題 1、收斂定義：部分和 于1111kkkkkkkkkviuivuw1kkw1kku1kkv, 3 , 21 ,1,nwAnkknn第2頁/共72頁3有確定的極限，便稱級數(shù)收斂，極限不存在有確定的極限，便稱級數(shù)收斂，極限不存在或或 ，便稱級數(shù)發(fā)散，便稱級數(shù)發(fā)散2、柯西收斂

2、判據(jù)、柯西收斂判據(jù) （級數(shù)收斂的充分必要條（級數(shù)收斂的充分必要條件）：件）： 對于任給的小正數(shù)對于任給的小正數(shù) 必有必有N存在，存在，使得使得 nN 時，時，式中式中 p 為任意正整數(shù)。為任意正整數(shù)。nnAlim,1pnnkkw第3頁/共72頁43、絕對收斂級數(shù)、絕對收斂級數(shù)若若 收斂，則收斂，則 絕對絕對收斂收斂. a. 絕對收斂級數(shù)改變先后次序，和不變絕對收斂級數(shù)改變先后次序，和不變. b. 兩個絕對收斂級數(shù)逐項相乘，其和收斂，兩個絕對收斂級數(shù)逐項相乘，其和收斂，為兩級數(shù)和之積為兩級數(shù)和之積., ,00BqApkkkk1221|kkkkkvuw1kkw第4頁/共72頁5ABcqpqpnnk

3、llkkkkk00000nkknknqpc0第5頁/共72頁6三、函數(shù)項級數(shù)三、函數(shù)項級數(shù)1、概念與收斂判據(jù)、概念與收斂判據(jù)設(shè)設(shè) 是是z平面上平面上某區(qū)域某區(qū)域B中的單值解析函數(shù)。如果函數(shù)項級數(shù)中的單值解析函數(shù)。如果函數(shù)項級數(shù) 在在B中（或某曲線中（或某曲線l上）所有點上都收斂，則說級上）所有點上都收斂，則說級數(shù)在數(shù)在B中（或某曲線中（或某曲線l上）收斂。上）收斂。)()()()(211zwzwzwzwkkk), 3 , 2 , 1( )(kzwk1)(kkzw第6頁/共72頁7柯西收斂判據(jù)柯西收斂判據(jù) （級數(shù)收斂的充分必要條件）：（級數(shù)收斂的充分必要條件）： 對對B內(nèi)每點內(nèi)每點 z，任給小正

4、數(shù)，任給小正數(shù) 必有必有 存在，使得當(dāng)存在，使得當(dāng) 時，時，式中式中 p 為任意正整數(shù)。為任意正整數(shù)。N一般隨一般隨z不同而不同，不同而不同，但如果對任給小正數(shù)但如果對任給小正數(shù) 存在與存在與z無關(guān)的無關(guān)的 使得使得 時，上式成立，時，上式成立，便說便說 在在B內(nèi)內(nèi)一致收斂。一致收斂。 ,)(1pnnkkzw, 0),(zN, 01)(kkzw),(zNn),(N)(Nn 第7頁/共72頁82、一致收斂級數(shù)的性質(zhì)、一致收斂級數(shù)的性質(zhì)記級數(shù)和為記級數(shù)和為（1）在）在B內(nèi)一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每內(nèi)一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每一項一項 都是都是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)的級數(shù)的和和

5、也是也是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。（2）逐項求積分逐項求積分 在曲線在曲線l上一致收斂的級數(shù)，上一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每一項如果級數(shù)的每一項 都是都是l上的連續(xù)函上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)的和數(shù)，則級數(shù)的和 也是也是l上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)，而且級數(shù)可沿而且級數(shù)可沿l逐項求積分。逐項求積分。)(zw)(zwk)(zw)(zw)(zwk11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw第8頁/共72頁9（3）逐項求導(dǎo)數(shù)（外氏逐項求導(dǎo)數(shù)（外氏Weierstrass 定理）定理）設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 在在 中一致收斂，中一致收斂， 在在 中單值解析，則級數(shù)的和中單值解析，則級數(shù)的和 也是也是 中的

6、單值解析函數(shù)，中的單值解析函數(shù)， 的各階導(dǎo)數(shù)可由的各階導(dǎo)數(shù)可由 逐項求導(dǎo)數(shù)得到，即：逐項求導(dǎo)數(shù)得到，即：且最后的級數(shù)且最后的級數(shù) 在在 內(nèi)的任意內(nèi)的任意一個閉區(qū)域中一致收斂。一個閉區(qū)域中一致收斂。 1)(kkzwB), 2 , 1 , 0( )(kzwkBB)(zw)(zw1)(kkzw1)()()()(knknzwzw1)()(knkzwB第9頁/共72頁103、級數(shù)一致收斂的外氏（、級數(shù)一致收斂的外氏（Weierstrass）判）判別法，或優(yōu)級數(shù)判別法，或別法，或優(yōu)級數(shù)判別法，或M判別法判別法若對于某區(qū)域若對于某區(qū)域B(或曲線或曲線l )上所有各點上所有各點z, 函數(shù)項函數(shù)項級級 數(shù)數(shù) 各

7、項的模各項的模 （ 是與是與z無關(guān)無關(guān)的正數(shù)的正數(shù))，而正的常數(shù)項級數(shù)，而正的常數(shù)項級數(shù) 收斂，則收斂，則 在區(qū)域在區(qū)域B(或曲線或曲線l )上上絕對且一致收斂。絕對且一致收斂。1kkm1)(kkzw ,| )(|kkmzw km1)(kkzw第10頁/共72頁113.2 冪級數(shù)冪級數(shù)一、定義一、定義其中 為復(fù)常數(shù)。這樣的級數(shù)叫作以z0為中心的冪級數(shù)。二、冪級數(shù)斂散性冪級數(shù)斂散性 1、比值判別法（達朗伯判別法）、比值判別法（達朗伯判別法）,)()()(20201000zzazzaazzakkk,|)(| )(|)(|20201000zzazzaazzakkk，2100aaaz第11頁/共72頁

8、12按比值判別法（達朗伯判別法）按比值判別法（達朗伯判別法）若若則（則（）收斂，而（）收斂，而（）絕對收斂）絕對收斂引入記號則即：若 ，則（3.2.1) 絕對收斂 , 1|lim|lim010101zzaazzazzakkkkkkkk1limkkkaaRRaazzkkk10lim|第12頁/共72頁13另一方面，若 則 級數(shù)發(fā)散即： 收斂 發(fā)散 Rzz|0, 1lim|lim10101Raazzazzakkkkkkkk,|0Rzz,|0RzzR0z收斂發(fā)散RCR：收斂半徑CR: 收斂圓第13頁/共72頁142、根式判別法：若 （）收斂，（）絕 對收斂 級數(shù)發(fā)散收斂半徑的另一公式,lim|1kk

9、akR1|lim0kkkkzza1|lim0kkkkzzaR0z收斂發(fā)散RC第14頁/共72頁153、收斂圓內(nèi)冪級數(shù)絕對且一致收斂 作 在 有 對 有 冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂！冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂！0z收斂發(fā)散RC1RCR1RkkkkRazza10|)(|01|kkkRa, 1lim|lim111111RaaRaRakkkkkkkk)( 11RRCR10|Rzz應(yīng)用比值判別法第15頁/共72頁16三、例題例1 求 的收斂圓。t 為復(fù)數(shù) kttt21. 111limlim1kkkkaaR,111120ttttttnnnkk若, 1| t,1111lim10ttttnnkkn1)

10、.|(| 1112tttttk則解：第16頁/共72頁17例 2 求 的收斂圓。z 為復(fù)數(shù)解：0z收斂發(fā)散RC1RCR1Rtz 26421zzz321ttt. 111limlim1kkkkaaR1).|(| 1112642zzzzz第17頁/共72頁18四、冪級數(shù)所代表的函數(shù)的解析性質(zhì)四、冪級數(shù)所代表的函數(shù)的解析性質(zhì)1、冪級數(shù)每一項均是、冪級數(shù)每一項均是z的解析函數(shù)，而且在的解析函數(shù)，而且在收斂圓內(nèi)任一閉區(qū)域中一致收斂，據(jù)外氏定收斂圓內(nèi)任一閉區(qū)域中一致收斂，據(jù)外氏定理，這級數(shù)的和理，這級數(shù)的和w(z)是收斂圓內(nèi)的一個解析是收斂圓內(nèi)的一個解析函數(shù)函數(shù)2、冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項積分3、冪級數(shù)在收斂

11、圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw1)()()()(knknzwzw第18頁/共72頁194、冪級數(shù)的回路積分表示00000000)(d)(i21d)(i211i21)(11kkkkCkkCkkkkkkzzazzazzazzaRR第19頁/共72頁203.3 解析函數(shù)的泰勒（解析函數(shù)的泰勒（Taylor）級數(shù)展開：）級數(shù)展開：定理：設(shè) f(z) 在以 z0 為圓心的圓 CR 內(nèi) 解析，則 對圓內(nèi)的任意 z 點, f(z) 可展為冪級數(shù)， 其中展開系數(shù)為 為圓CR 內(nèi)包含z且與CR 同心的圓。00,)()(kkkzzazf1!)(d)()(210)(10RCk

12、kkkzfzfia1RC第20頁/共72頁21證明：證明： 作作 ,d)(i21)(1RCzfzf00000111)()(11zzzzzzzz .1 111002000000zzzzzzzzzzzz)( 11RRCR展開其中由柯西公式第21頁/共72頁22將（）代入（）逐項積分0100000011kkkkkkzzzzzzzz.d)(i21)()(11000RCkkkzfzzzf).|(| )(!)()(0000)(Rzzzzkzfzfkkk即以以 為中心的泰勒級數(shù)。展開是唯一的為中心的泰勒級數(shù)。展開是唯一的第22頁/共72頁23例1、求 ez 在 鄰域的 Taylor 展開。解：因為故收斂半徑

13、 1|e|)e ()(00)(0)(zzzkzkzf.! 2! 11e02kkkzkzkzzz00z!)!1(limlim1kkaaRkkkk第23頁/共72頁24例2、求 ez 在 z0=1 鄰域的 Taylor 展開。解：因為故收斂半徑e|)e (1)(znz!) 1(! 2) 1(! 1) 1(1ee2kzzzkz!)!1(limlim1kkaaRkkkk第24頁/共72頁25例3、求 和 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開。解：故0|)(sin ;) 1(|)(sin0)2(0)12(zkkzkzz , 0)( ,sin)(, 1)( ,cos)(, 0)0( ,sin)( , 1

14、)0( ,cos)( , 0)0( ,sin)()4(1)4(1)3(1)3(1111111zfzzfzfzzffzzffzzffzzf.)!12() 1()!12() 1(! 5! 3! 1sin0121253kkkkkzkkzzzzzzzfsin)(1zzfcos)(2第25頁/共72頁26收斂半徑類似收斂半徑02242)!2() 1( )!2() 1(! 4! 21coskkkkkzkkzzzz)!2()!22(limlim1kkaaRkkkk)!12()!32(limlim1kkaaRkkkk第26頁/共72頁27例4、求 1/(1-z)2 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開。解：

15、因為 而 所以zdzdz11)1 (12.1112zzz01102) 1(11)1 (1kkkkkkzkkzzdzdzdzdz第27頁/共72頁28收斂半徑 一般言, 收斂半徑為展開中心至最近奇點之距收斂半徑為展開中心至最近奇點之距離離 此例收斂半徑 R=1。 事實上，該函數(shù)的奇點為 z=1, z=0 與 z=1 的距離為 1。121limkkRk因此，上述級數(shù)在 |z|1時收斂！第28頁/共72頁29二、多值函數(shù)的 Taylor 展開多值函數(shù)在確定了單值分支后，可象單值函數(shù)那樣在各單值分支上作泰勒展開例5、在 展開zzfln)(10z第29頁/共72頁30 ,)!1() 1() 1 ( ,)

16、!1() 1()( , ! 3)( ,! 3)(, ! 2)( ,! 2)(, 1) 1 ( ,! 1)( , 1) 1 ( ,1)( ,21ln) 1 ( ,ln)(1)(1)()4(4)4()3(3)3(2kfzkzfzfzzfzfzzffzzffzzfinfzzfkkkkk第30頁/共72頁31收斂半徑 R=1。n=0的那一支為主值分支。1)|1(| ) 1() 1(2)(11zzknizfkkk1oyx第31頁/共72頁32例6、求 在 鄰域的 Taylor 展開（m不是整數(shù)）。解：mzzf)1 ()(00z,1 ) 1()2)(1()0( ,)1)(1()2)(1()( ,1 )2)

17、(1()0( ,)1)(2)(1()(,1 ) 1()0( ,)1)(1()( ,1)0( ,)1 ()( ,1)0( ,)1 ()()()()3(3)3(21mkkmkmmmmmmmmkmmmmfzkmmmmzfmmmfzmmmzfmmfzmmzfmfzmzffzzf第32頁/共72頁330022)!( !1 1 !) 1() 1( ! 2) 1(! 111 !1 ) 1() 1( ! 21 ) 1(! 111)(kkmkkmkmkmmmmzkmkmzkmzkkmmmzmmzmzkkmmmzmmzmzf從而m 為整數(shù)第33頁/共72頁34收斂半徑 R=1。式中n=0為主值分支。非整數(shù)二項式定

18、理。三、無窮遠點鄰域內(nèi)的泰勒展開 若存在R, 使f(z)在以z=0為圓心，R為半徑的圓外（包括 ）解析， 作變換 有)0,1,2,( e)e (12i2inmnmnm,1tz ),(1ttf,)(,)(22102210zazaazftataat第34頁/共72頁353.4 解析延拓解析延拓解析延拓是解析函數(shù)理論中的一個重要概念(3.3.11) 1)|z(| ,1z)(1(3.3.10) 1)|1-z(| ,4) 1(3) 1(2) 1() 1(2ln(3.2.8) 1)|z(| ,111(3.2.7) 1)|(| ,11043264220kkmmlkzkmzzzzinzzzzzttt第35頁/

19、共72頁36一、解析延拓的定義： 設(shè)巳知一個函數(shù) f1(z)在區(qū)域 B1中解析如果在與B1 有重疊部分b(可以是一條線)的另一區(qū)域B2 內(nèi)存在一個解析函數(shù) f2(z), 在b中 稱f2(z) 為f1(z) 在B2中的解析延拓；反過來， f1(z) 也是f2(z) 在B1 中的解析延拓 ),()(21zfzf第36頁/共72頁37通常在兩類問題中用到解析延拓一類問題是，巳知在某區(qū)域中有定義的解析函數(shù)，例如用級數(shù)、積分或者其他表達式來表達的函數(shù)，用解析延拓的方法擴大其定義域和解析范圍；另一類問題是，巳知數(shù)學(xué)問題的解是某區(qū)域B內(nèi)(除了個別奇點外)的解析函數(shù)；例如；根據(jù)常微分方程的普遍理論，毋需實際求

20、出解式，就可以知道，在一定條件下，方程的解是一定區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，第37頁/共72頁38但求解的方法只能給出在B的某一子區(qū)域內(nèi)才有效的函數(shù)表達式，利用解析延拓的方法，可以從這個表達式推算出解在B的其他子區(qū)域中的表達式二、延拓方法：原則上講，可通過泰勒展開進行。 例： 1)|(| ,11)(01zzzzfkk ,2112201kkiiif第38頁/共72頁39 ,21!21)(1nninif ,211220211kkiikif2i1C2C2/5oxy第39頁/共72頁40 在上面的例子中，我們用函數(shù)的冪級數(shù)表達式作解析延拓照那樣做下去，將得到有不同收斂圓的許多幕級數(shù)，這些冪級數(shù)的全體代表一個解析

21、函數(shù)F(z)每一個冪級數(shù)常稱為F(z)的一個元素，在它自己的收斂圓內(nèi)代表F(z)的泰勒展開。解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的證明（略） ,25212iR ,2211012nnnizizf第40頁/共72頁413.5 解析函數(shù)的洛朗（解析函數(shù)的洛朗（Laurent）展開）展開一、雙邊冪級數(shù)正冪部分有收斂半徑， 引入新變量負冪部分成為有收斂半徑， 其在 內(nèi)部收斂，即在 的外部收斂。若 級數(shù)在202010101202)()()()(zzazzaazzazza,1R,10zz 33221aaa,12R21|R20|Rzz,12RR 第41頁/共72頁42 內(nèi)絕對且一致收斂。 稱為級數(shù)的收斂環(huán)。若級數(shù)

22、發(fā)散。二、羅朗展開定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域 的內(nèi)部單值解析，則對環(huán)域上任一點z, f(z)可展為冪級數(shù)其中路徑C 是位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。kkkzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21102|RzzR102|RzzR,12RR 102|RzzR第42頁/共72頁43證：作沿d)(i21d)(i21)(21RRCCzfzfzf1RC01001kkkzzzz,1RC2RC0z2RC1R2R1RC1RC2RCCz第43頁/共72頁440100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzzzzzzzzzzz2RC沿第44頁/共

23、72頁45代入積分 第二和式換求和指標 后, 成為 d)()(21)( d)()(21)()(00)1(0010021lCllkCkkRRzfizzzfizzzf12 ,) 1(RRCCkl d)()(21)(d)()(21)(110001)1(0)1(011kCkklCllRRzfizzzfizz第45頁/共72頁46從而其中C 是環(huán)區(qū)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。kkkzzazf)()(0CkCkkzfzfaRd)()(i21d)()(i2110101第46頁/共72頁471、正冪部分、正冪部分稱為 Laurent 級數(shù)的正則部分，在 圓內(nèi)絕對且一致收斂；2、負冪部分、負冪部分

24、稱為 Laurent 級數(shù)的主部，在 圓外絕對且一致收斂；00)(kkkzza10)(kkkzzaLaurent 級數(shù) 展開也是唯一的。因此可用各種方法求一個函數(shù)的級數(shù)展開。10|Rzz20|Rzz第47頁/共72頁48 關(guān)于關(guān)于 Laurent 級數(shù)展開的注意點級數(shù)展開的注意點：1、盡管上式中含有(z-z0) 的負冪次項，而這些項在z=z0 點是奇異的，但z0點可以是也可以不是函數(shù) f(z) 的奇點； 2、盡管求展開系數(shù)ak 的公式與 Taylor 展 開系數(shù)的積分公式形式一樣，但 不論z0 是否 f(z)的奇點。若z0 為f(z)的奇點，則f(k)(z0) 根本不存在；若z0 不是f(z)

25、的奇點，則f(k)(z0) 存在，但f(k)(z0) 還是不等于f(k)(z0)/k! !)(0)(kzfakk第48頁/共72頁49因為 成立的條件是在以C為邊界的區(qū)域上f(z)解析，而現(xiàn)在區(qū)域上有f(z)的奇點（若無奇點就無需考慮Laurent 展開了展開了）3、如果只有環(huán)心 z0 是f(z)的奇點，則內(nèi)圓半徑可以無限小， z 可以無限接近z0 ,這時稱（）為f(z)在他的孤立奇點z0 鄰域上的Laurent 展開式。展開式。可用以研究函數(shù)在其孤立奇點附近可用以研究函數(shù)在其孤立奇點附近的性質(zhì)。的性質(zhì)。Ckkzfikzfd)()(2!)(100)(第49頁/共72頁50 例1、在 的鄰域?qū)

26、inz/z展開)|(| ! 7! 5! 3! 1sin753zzzzzz00z0)( 1sinlim 0)( sin)(0zzzzzzzfz)|(0 ! 7! 5! 3! 11sin642zzzzzz重新定義第50頁/共72頁51例2、在 的環(huán)域上將 展開解：)|(| ! 7! 5! 3! 11)(642zzzzzf|1z11)(2zzf 111 11111111)(642022222zzzzzzzzzfkkZ=0 并非f(z)奇點 第51頁/共72頁52 例3、在 的鄰域?qū)?展開解：其中于是10z11)(2zzf11211121) 1)(1(1)(zzzzzf 2)|1(| .21) 1(4

27、12/ ) 1(11412) 1(12111210zzzzzkkk 2)|1|(0 ) 1(2) 1(1121)(02zzzzfkkkk第52頁/共72頁53 例4、在 的鄰域?qū)?展開解：00z1/ze)(zf)|(| ! 2! 11e02zkzkzzzkkkz 1 1! 311! 211! 111e32/1zzzzz 0 )!(1e0/1zzkkkz第53頁/共72頁54例5：在 求函數(shù) 的 Laurent 展開。解：利用指數(shù)函數(shù)的展開公式因此： )1(2e)(zzxzf 121!1e ;21!1e0102121nnzxllxzzxnxzl00zzxxzzf12121ee)(第54頁/共72

28、頁55 121)!(121!1 121!121)!(1 121!121!1ee10000012121hlhllmnnnmlnnlzxxzzxhlxzlzxnxznmzxnxzl第55頁/共72頁56 2)!( !) 1( 2!)!() 1(102002hhllhhlmmnnmnzxhllzxnnm , ,nlmh)|(0 ,)( 2|)!|( !) 1() 1( 2!)!() 1(102|002 zzxJzxmnnzxnnmmmmmmnnmnmmmnnmn第56頁/共72頁573.6 孤立奇點的分類孤立奇點的分類在不同類型的奇點附近，函數(shù)具有不同的性質(zhì) 一、孤立奇點的定義孤立奇點的定義: 若函

29、數(shù) f(z) 在某點 z0 不可導(dǎo)。而在 z0 的任意小鄰域內(nèi)除z0 外處處可導(dǎo)，便稱 z0 為 f(z) 的孤立奇點孤立奇點。若在 z0 點的無論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到除 z0 以外的不可導(dǎo)的點，便稱 z0 為 f(z) 的非孤立奇點非孤立奇點。例一、z=0 是 函數(shù) 的孤立奇點，因為在以z=0 為圓心， R1 的圓內(nèi)，除z=0 外，無其他不可導(dǎo)點。)1 (1)(zzzf第57頁/共72頁58例二、z=0 是函數(shù) sin(1/z)-1 的非孤立奇點，因為該函數(shù)的 奇點為 zn=1/n, n=0,1, 2. ,只要 n 足夠大， 1/n 可以任意接近于 z=0, 即在 z=0 的無論多么小

30、的鄰域內(nèi)，總可以找到函數(shù)的其它奇點。1)/1Resin(),(zyxu函數(shù)的實部第58頁/共72頁59二、孤立奇點的分類孤立奇點的分類:設(shè)z0 是單值函數(shù) f(z) 的孤立奇點，則在以 z0 為圓心的一個環(huán)狀鄰域 0|z-z0| 內(nèi), 可以展開成 Laurent 級數(shù)：正冪部分：解析部分，負冪部分：主要部分1、若展式不含負冪項：z0為f(z)的可去奇點2、若展式含有限個負冪項： z0 為f(z)的極點3、若展式含無限個負冪項： z0 為f(z)的本性奇點三、函數(shù)在孤立奇點鄰域的性質(zhì)三、函數(shù)在孤立奇點鄰域的性質(zhì)1、可去奇點,)()()(202010zzazzaazfkkkbzazf)()(第59

31、頁/共72頁60 有 定義 則 為Taylor 展開2、極點0)(lim0azfzz)( )( )()(000zzazzzfzg,)()()(202010zzazzaazg, )( )()( )()()(02020101010mkkkmmmmzzazzazzaazzazzazf第60頁/共72頁61有 m：極點的階，一階極點稱單極點3、本性奇點有 與 的方式有關(guān)，或稱無極限。,)(lim0zfzz, )()(0kkkzzazf)(lim0zfzz0zz 與不存在極限的區(qū)別第61頁/共72頁62例：z=0是函數(shù) e1/z 的本性奇點，在|z| 的環(huán)域內(nèi)，它的 Laurent 級數(shù)為.1! 2111e21zzz當(dāng) (1) z 沿正實軸0 時，1/z , 故 e1/z ； (2) z 沿負實軸0 時，1/z , 故 e1/z ； (3) z 沿虛軸，按i/(2n) 0 時，e1/z 1；第62頁/共72頁63因此：