Chapt冪級(jí)數(shù)展開(kāi)PPT課件

1、1第三章第三章 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)意義：1、利用級(jí)數(shù)計(jì)算函數(shù)的近似值； 2、級(jí)數(shù)法求解微分方程； 3、以級(jí)數(shù)作為函數(shù)的定義； 4、奇點(diǎn)附近函數(shù)的性態(tài)。3.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)級(jí)數(shù)概念kkkwwww211kkkvuwi第1頁(yè)/共72頁(yè)2原級(jí)數(shù)成為這樣復(fù)級(jí)數(shù) 歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù) ，實(shí)級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)可移于復(fù)級(jí)數(shù)二、收斂性問(wèn)題 1、收斂定義：部分和 于1111kkkkkkkkkviuivuw1kkw1kku1kkv, 3 , 21 ,1,nwAnkknn第2頁(yè)/共72頁(yè)3有確定的極限，便稱級(jí)數(shù)收斂，極限不存在有確定的極限，便稱級(jí)數(shù)收斂，極限不存在或或 ，便稱級(jí)數(shù)發(fā)散，便稱級(jí)數(shù)發(fā)散2、柯西收斂

2、判據(jù)、柯西收斂判據(jù) （級(jí)數(shù)收斂的充分必要條（級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件）：件）： 對(duì)于任給的小正數(shù)對(duì)于任給的小正數(shù) 必有必有N存在，存在，使得使得 nN 時(shí)，時(shí)，式中式中 p 為任意正整數(shù)。為任意正整數(shù)。nnAlim,1pnnkkw第3頁(yè)/共72頁(yè)43、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)若若 收斂，則收斂，則 絕對(duì)絕對(duì)收斂收斂. a. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)改變先后次序，和不變絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)改變先后次序，和不變. b. 兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相乘，其和收斂，兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相乘，其和收斂，為兩級(jí)數(shù)和之積為兩級(jí)數(shù)和之積., ,00BqApkkkk1221|kkkkkvuw1kkw第4頁(yè)/共72頁(yè)5ABcqpqpnnk

3、llkkkkk00000nkknknqpc0第5頁(yè)/共72頁(yè)6三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、概念與收斂判據(jù)、概念與收斂判據(jù)設(shè)設(shè) 是是z平面上平面上某區(qū)域某區(qū)域B中的單值解析函數(shù)。如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的單值解析函數(shù)。如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在在B中（或某曲線中（或某曲線l上）所有點(diǎn)上都收斂，則說(shuō)級(jí)上）所有點(diǎn)上都收斂，則說(shuō)級(jí)數(shù)在數(shù)在B中（或某曲線中（或某曲線l上）收斂。上）收斂。)()()()(211zwzwzwzwkkk), 3 , 2 , 1( )(kzwk1)(kkzw第6頁(yè)/共72頁(yè)7柯西收斂判據(jù)柯西收斂判據(jù) （級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件）：（級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件）： 對(duì)對(duì)B內(nèi)每點(diǎn)內(nèi)每點(diǎn) z，任給小正

4、數(shù)，任給小正數(shù) 必有必有 存在，使得當(dāng)存在，使得當(dāng) 時(shí)，時(shí)，式中式中 p 為任意正整數(shù)。為任意正整數(shù)。N一般隨一般隨z不同而不同，不同而不同，但如果對(duì)任給小正數(shù)但如果對(duì)任給小正數(shù) 存在與存在與z無(wú)關(guān)的無(wú)關(guān)的 使得使得 時(shí)，上式成立，時(shí)，上式成立，便說(shuō)便說(shuō) 在在B內(nèi)內(nèi)一致收斂。一致收斂。 ,)(1pnnkkzw, 0),(zN, 01)(kkzw),(zNn),(N)(Nn 第7頁(yè)/共72頁(yè)82、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)記級(jí)數(shù)和為記級(jí)數(shù)和為（1）在）在B內(nèi)一致收斂的級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)的每?jī)?nèi)一致收斂的級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)一項(xiàng) 都是都是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的和和

5、也是也是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。（2）逐項(xiàng)求積分逐項(xiàng)求積分 在曲線在曲線l上一致收斂的級(jí)數(shù)，上一致收斂的級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng) 都是都是l上的連續(xù)函上的連續(xù)函數(shù)，則級(jí)數(shù)的和數(shù)，則級(jí)數(shù)的和 也是也是l上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)，而且級(jí)數(shù)可沿而且級(jí)數(shù)可沿l逐項(xiàng)求積分。逐項(xiàng)求積分。)(zw)(zwk)(zw)(zw)(zwk11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw第8頁(yè)/共72頁(yè)9（3）逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)（外氏逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)（外氏Weierstrass 定理）定理）設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 在在 中一致收斂，中一致收斂， 在在 中單值解析，則級(jí)數(shù)的和中單值解析，則級(jí)數(shù)的和 也是也是 中的

6、單值解析函數(shù)，中的單值解析函數(shù)， 的各階導(dǎo)數(shù)可由的各階導(dǎo)數(shù)可由 逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)得到，即：逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)得到，即：且最后的級(jí)數(shù)且最后的級(jí)數(shù) 在在 內(nèi)的任意內(nèi)的任意一個(gè)閉區(qū)域中一致收斂。一個(gè)閉區(qū)域中一致收斂。 1)(kkzwB), 2 , 1 , 0( )(kzwkBB)(zw)(zw1)(kkzw1)()()()(knknzwzw1)()(knkzwB第9頁(yè)/共72頁(yè)103、級(jí)數(shù)一致收斂的外氏（、級(jí)數(shù)一致收斂的外氏（Weierstrass）判）判別法，或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，或別法，或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，或M判別法判別法若對(duì)于某區(qū)域若對(duì)于某區(qū)域B(或曲線或曲線l )上所有各點(diǎn)上所有各點(diǎn)z, 函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 各

7、項(xiàng)的模各項(xiàng)的模 （ 是與是與z無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)的正數(shù)的正數(shù))，而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂，則收斂，則 在區(qū)域在區(qū)域B(或曲線或曲線l )上上絕對(duì)且一致收斂。絕對(duì)且一致收斂。1kkm1)(kkzw ,| )(|kkmzw km1)(kkzw第10頁(yè)/共72頁(yè)113.2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一、定義一、定義其中 為復(fù)常數(shù)。這樣的級(jí)數(shù)叫作以z0為中心的冪級(jí)數(shù)。二、冪級(jí)數(shù)斂散性冪級(jí)數(shù)斂散性 1、比值判別法（達(dá)朗伯判別法）、比值判別法（達(dá)朗伯判別法）,)()()(20201000zzazzaazzakkk,|)(| )(|)(|20201000zzazzaazzakkk，2100aaaz第11頁(yè)/共72頁(yè)

8、12按比值判別法（達(dá)朗伯判別法）按比值判別法（達(dá)朗伯判別法）若若則（則（）收斂，而（）收斂，而（）絕對(duì)收斂）絕對(duì)收斂引入記號(hào)則即：若 ，則（3.2.1) 絕對(duì)收斂 , 1|lim|lim010101zzaazzazzakkkkkkkk1limkkkaaRRaazzkkk10lim|第12頁(yè)/共72頁(yè)13另一方面，若 則 級(jí)數(shù)發(fā)散即： 收斂 發(fā)散 Rzz|0, 1lim|lim10101Raazzazzakkkkkkkk,|0Rzz,|0RzzR0z收斂發(fā)散RCR：收斂半徑CR: 收斂圓第13頁(yè)/共72頁(yè)142、根式判別法：若 （）收斂，（）絕 對(duì)收斂 級(jí)數(shù)發(fā)散收斂半徑的另一公式,lim|1kk

9、akR1|lim0kkkkzza1|lim0kkkkzzaR0z收斂發(fā)散RC第14頁(yè)/共72頁(yè)153、收斂圓內(nèi)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)且一致收斂 作 在 有 對(duì) 有 冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂！冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂！0z收斂發(fā)散RC1RCR1RkkkkRazza10|)(|01|kkkRa, 1lim|lim111111RaaRaRakkkkkkkk)( 11RRCR10|Rzz應(yīng)用比值判別法第15頁(yè)/共72頁(yè)16三、例題例1 求 的收斂圓。t 為復(fù)數(shù) kttt21. 111limlim1kkkkaaR,111120ttttttnnnkk若, 1| t,1111lim10ttttnnkkn1)

10、.|(| 1112tttttk則解：第16頁(yè)/共72頁(yè)17例 2 求 的收斂圓。z 為復(fù)數(shù)解：0z收斂發(fā)散RC1RCR1Rtz 26421zzz321ttt. 111limlim1kkkkaaR1).|(| 1112642zzzzz第17頁(yè)/共72頁(yè)18四、冪級(jí)數(shù)所代表的函數(shù)的解析性質(zhì)四、冪級(jí)數(shù)所代表的函數(shù)的解析性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)每一項(xiàng)均是、冪級(jí)數(shù)每一項(xiàng)均是z的解析函數(shù)，而且在的解析函數(shù)，而且在收斂圓內(nèi)任一閉區(qū)域中一致收斂，據(jù)外氏定收斂圓內(nèi)任一閉區(qū)域中一致收斂，據(jù)外氏定理，這級(jí)數(shù)的和理，這級(jí)數(shù)的和w(z)是收斂圓內(nèi)的一個(gè)解析是收斂圓內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)函數(shù)2、冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分3、冪級(jí)數(shù)在收斂

11、圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw1)()()()(knknzwzw第18頁(yè)/共72頁(yè)194、冪級(jí)數(shù)的回路積分表示00000000)(d)(i21d)(i211i21)(11kkkkCkkCkkkkkkzzazzazzazzaRR第19頁(yè)/共72頁(yè)203.3 解析函數(shù)的泰勒（解析函數(shù)的泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)展開(kāi)：）級(jí)數(shù)展開(kāi)：定理：設(shè) f(z) 在以 z0 為圓心的圓 CR 內(nèi) 解析，則 對(duì)圓內(nèi)的任意 z 點(diǎn), f(z) 可展為冪級(jí)數(shù)， 其中展開(kāi)系數(shù)為 為圓CR 內(nèi)包含z且與CR 同心的圓。00,)()(kkkzzazf1!)(d)()(210)(10RCk

12、kkkzfzfia1RC第20頁(yè)/共72頁(yè)21證明：證明： 作作 ,d)(i21)(1RCzfzf00000111)()(11zzzzzzzz .1 111002000000zzzzzzzzzzzz)( 11RRCR展開(kāi)其中由柯西公式第21頁(yè)/共72頁(yè)22將（）代入（）逐項(xiàng)積分0100000011kkkkkkzzzzzzzz.d)(i21)()(11000RCkkkzfzzzf).|(| )(!)()(0000)(Rzzzzkzfzfkkk即以以 為中心的泰勒級(jí)數(shù)。展開(kāi)是唯一的為中心的泰勒級(jí)數(shù)。展開(kāi)是唯一的第22頁(yè)/共72頁(yè)23例1、求 ez 在 鄰域的 Taylor 展開(kāi)。解：因?yàn)楣适諗堪霃?/p>

13、 1|e|)e ()(00)(0)(zzzkzkzf.! 2! 11e02kkkzkzkzzz00z!)!1(limlim1kkaaRkkkk第23頁(yè)/共72頁(yè)24例2、求 ez 在 z0=1 鄰域的 Taylor 展開(kāi)。解：因?yàn)楣适諗堪霃絜|)e (1)(znz!) 1(! 2) 1(! 1) 1(1ee2kzzzkz!)!1(limlim1kkaaRkkkk第24頁(yè)/共72頁(yè)25例3、求 和 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開(kāi)。解：故0|)(sin ;) 1(|)(sin0)2(0)12(zkkzkzz , 0)( ,sin)(, 1)( ,cos)(, 0)0( ,sin)( , 1

14、)0( ,cos)( , 0)0( ,sin)()4(1)4(1)3(1)3(1111111zfzzfzfzzffzzffzzffzzf.)!12() 1()!12() 1(! 5! 3! 1sin0121253kkkkkzkkzzzzzzzfsin)(1zzfcos)(2第25頁(yè)/共72頁(yè)26收斂半徑類似收斂半徑02242)!2() 1( )!2() 1(! 4! 21coskkkkkzkkzzzz)!2()!22(limlim1kkaaRkkkk)!12()!32(limlim1kkaaRkkkk第26頁(yè)/共72頁(yè)27例4、求 1/(1-z)2 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開(kāi)。解：

15、因?yàn)?而 所以zdzdz11)1 (12.1112zzz01102) 1(11)1 (1kkkkkkzkkzzdzdzdzdz第27頁(yè)/共72頁(yè)28收斂半徑 一般言, 收斂半徑為展開(kāi)中心至最近奇點(diǎn)之距收斂半徑為展開(kāi)中心至最近奇點(diǎn)之距離離 此例收斂半徑 R=1。 事實(shí)上，該函數(shù)的奇點(diǎn)為 z=1, z=0 與 z=1 的距離為 1。121limkkRk因此，上述級(jí)數(shù)在 |z|1時(shí)收斂！第28頁(yè)/共72頁(yè)29二、多值函數(shù)的 Taylor 展開(kāi)多值函數(shù)在確定了單值分支后，可象單值函數(shù)那樣在各單值分支上作泰勒展開(kāi)例5、在 展開(kāi)zzfln)(10z第29頁(yè)/共72頁(yè)30 ,)!1() 1() 1 ( ,)

16、!1() 1()( , ! 3)( ,! 3)(, ! 2)( ,! 2)(, 1) 1 ( ,! 1)( , 1) 1 ( ,1)( ,21ln) 1 ( ,ln)(1)(1)()4(4)4()3(3)3(2kfzkzfzfzzfzfzzffzzffzzfinfzzfkkkkk第30頁(yè)/共72頁(yè)31收斂半徑 R=1。n=0的那一支為主值分支。1)|1(| ) 1() 1(2)(11zzknizfkkk1oyx第31頁(yè)/共72頁(yè)32例6、求 在 鄰域的 Taylor 展開(kāi)（m不是整數(shù)）。解：mzzf)1 ()(00z,1 ) 1()2)(1()0( ,)1)(1()2)(1()( ,1 )2)

17、(1()0( ,)1)(2)(1()(,1 ) 1()0( ,)1)(1()( ,1)0( ,)1 ()( ,1)0( ,)1 ()()()()3(3)3(21mkkmkmmmmmmmmkmmmmfzkmmmmzfmmmfzmmmzfmmfzmmzfmfzmzffzzf第32頁(yè)/共72頁(yè)330022)!( !1 1 !) 1() 1( ! 2) 1(! 111 !1 ) 1() 1( ! 21 ) 1(! 111)(kkmkkmkmkmmmmzkmkmzkmzkkmmmzmmzmzkkmmmzmmzmzf從而m 為整數(shù)第33頁(yè)/共72頁(yè)34收斂半徑 R=1。式中n=0為主值分支。非整數(shù)二項(xiàng)式定

18、理。三、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域內(nèi)的泰勒展開(kāi) 若存在R, 使f(z)在以z=0為圓心，R為半徑的圓外（包括 ）解析， 作變換 有)0,1,2,( e)e (12i2inmnmnm,1tz ),(1ttf,)(,)(22102210zazaazftataat第34頁(yè)/共72頁(yè)353.4 解析延拓解析延拓解析延拓是解析函數(shù)理論中的一個(gè)重要概念(3.3.11) 1)|z(| ,1z)(1(3.3.10) 1)|1-z(| ,4) 1(3) 1(2) 1() 1(2ln(3.2.8) 1)|z(| ,111(3.2.7) 1)|(| ,11043264220kkmmlkzkmzzzzinzzzzzttt第35頁(yè)/

19、共72頁(yè)36一、解析延拓的定義： 設(shè)巳知一個(gè)函數(shù) f1(z)在區(qū)域 B1中解析如果在與B1 有重疊部分b(可以是一條線)的另一區(qū)域B2 內(nèi)存在一個(gè)解析函數(shù) f2(z), 在b中 稱f2(z) 為f1(z) 在B2中的解析延拓；反過(guò)來(lái)， f1(z) 也是f2(z) 在B1 中的解析延拓 ),()(21zfzf第36頁(yè)/共72頁(yè)37通常在兩類問(wèn)題中用到解析延拓一類問(wèn)題是，巳知在某區(qū)域中有定義的解析函數(shù)，例如用級(jí)數(shù)、積分或者其他表達(dá)式來(lái)表達(dá)的函數(shù)，用解析延拓的方法擴(kuò)大其定義域和解析范圍；另一類問(wèn)題是，巳知數(shù)學(xué)問(wèn)題的解是某區(qū)域B內(nèi)(除了個(gè)別奇點(diǎn)外)的解析函數(shù)；例如；根據(jù)常微分方程的普遍理論，毋需實(shí)際求

20、出解式，就可以知道，在一定條件下，方程的解是一定區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，第37頁(yè)/共72頁(yè)38但求解的方法只能給出在B的某一子區(qū)域內(nèi)才有效的函數(shù)表達(dá)式，利用解析延拓的方法，可以從這個(gè)表達(dá)式推算出解在B的其他子區(qū)域中的表達(dá)式二、延拓方法：原則上講，可通過(guò)泰勒展開(kāi)進(jìn)行。 例： 1)|(| ,11)(01zzzzfkk ,2112201kkiiif第38頁(yè)/共72頁(yè)39 ,21!21)(1nninif ,211220211kkiikif2i1C2C2/5oxy第39頁(yè)/共72頁(yè)40 在上面的例子中，我們用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式作解析延拓照那樣做下去，將得到有不同收斂圓的許多幕級(jí)數(shù)，這些冪級(jí)數(shù)的全體代表一個(gè)解析

21、函數(shù)F(z)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)常稱為F(z)的一個(gè)元素，在它自己的收斂圓內(nèi)代表F(z)的泰勒展開(kāi)。解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的證明（略） ,25212iR ,2211012nnnizizf第40頁(yè)/共72頁(yè)413.5 解析函數(shù)的洛朗（解析函數(shù)的洛朗（Laurent）展開(kāi)）展開(kāi)一、雙邊冪級(jí)數(shù)正冪部分有收斂半徑， 引入新變量負(fù)冪部分成為有收斂半徑， 其在 內(nèi)部收斂，即在 的外部收斂。若 級(jí)數(shù)在202010101202)()()()(zzazzaazzazza,1R,10zz 33221aaa,12R21|R20|Rzz,12RR 第41頁(yè)/共72頁(yè)42 內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。 稱為級(jí)數(shù)的收斂環(huán)。若級(jí)數(shù)

22、發(fā)散。二、羅朗展開(kāi)定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域 的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域上任一點(diǎn)z, f(z)可展為冪級(jí)數(shù)其中路徑C 是位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。kkkzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21102|RzzR102|RzzR,12RR 102|RzzR第42頁(yè)/共72頁(yè)43證：作沿d)(i21d)(i21)(21RRCCzfzfzf1RC01001kkkzzzz,1RC2RC0z2RC1R2R1RC1RC2RCCz第43頁(yè)/共72頁(yè)440100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzzzzzzzzzzz2RC沿第44頁(yè)/共

23、72頁(yè)45代入積分 第二和式換求和指標(biāo) 后, 成為 d)()(21)( d)()(21)()(00)1(0010021lCllkCkkRRzfizzzfizzzf12 ,) 1(RRCCkl d)()(21)(d)()(21)(110001)1(0)1(011kCkklCllRRzfizzzfizz第45頁(yè)/共72頁(yè)46從而其中C 是環(huán)區(qū)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。kkkzzazf)()(0CkCkkzfzfaRd)()(i21d)()(i2110101第46頁(yè)/共72頁(yè)471、正冪部分、正冪部分稱為 Laurent 級(jí)數(shù)的正則部分，在 圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂；2、負(fù)冪部分、負(fù)冪部分

24、稱為 Laurent 級(jí)數(shù)的主部，在 圓外絕對(duì)且一致收斂；00)(kkkzza10)(kkkzzaLaurent 級(jí)數(shù) 展開(kāi)也是唯一的。因此可用各種方法求一個(gè)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)。10|Rzz20|Rzz第47頁(yè)/共72頁(yè)48 關(guān)于關(guān)于 Laurent 級(jí)數(shù)展開(kāi)的注意點(diǎn)級(jí)數(shù)展開(kāi)的注意點(diǎn)：1、盡管上式中含有(z-z0) 的負(fù)冪次項(xiàng)，而這些項(xiàng)在z=z0 點(diǎn)是奇異的，但z0點(diǎn)可以是也可以不是函數(shù) f(z) 的奇點(diǎn)； 2、盡管求展開(kāi)系數(shù)ak 的公式與 Taylor 展 開(kāi)系數(shù)的積分公式形式一樣，但 不論z0 是否 f(z)的奇點(diǎn)。若z0 為f(z)的奇點(diǎn)，則f(k)(z0) 根本不存在；若z0 不是f(z)

25、的奇點(diǎn)，則f(k)(z0) 存在，但f(k)(z0) 還是不等于f(k)(z0)/k! !)(0)(kzfakk第48頁(yè)/共72頁(yè)49因?yàn)?成立的條件是在以C為邊界的區(qū)域上f(z)解析，而現(xiàn)在區(qū)域上有f(z)的奇點(diǎn)（若無(wú)奇點(diǎn)就無(wú)需考慮Laurent 展開(kāi)了展開(kāi)了）3、如果只有環(huán)心 z0 是f(z)的奇點(diǎn)，則內(nèi)圓半徑可以無(wú)限小， z 可以無(wú)限接近z0 ,這時(shí)稱（）為f(z)在他的孤立奇點(diǎn)z0 鄰域上的Laurent 展開(kāi)式。展開(kāi)式?？捎靡匝芯亢瘮?shù)在其孤立奇點(diǎn)附近可用以研究函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)附近的性質(zhì)。的性質(zhì)。Ckkzfikzfd)()(2!)(100)(第49頁(yè)/共72頁(yè)50 例1、在 的鄰域?qū)

26、inz/z展開(kāi))|(| ! 7! 5! 3! 1sin753zzzzzz00z0)( 1sinlim 0)( sin)(0zzzzzzzfz)|(0 ! 7! 5! 3! 11sin642zzzzzz重新定義第50頁(yè)/共72頁(yè)51例2、在 的環(huán)域上將 展開(kāi)解：)|(| ! 7! 5! 3! 11)(642zzzzzf|1z11)(2zzf 111 11111111)(642022222zzzzzzzzzfkkZ=0 并非f(z)奇點(diǎn) 第51頁(yè)/共72頁(yè)52 例3、在 的鄰域?qū)?展開(kāi)解：其中于是10z11)(2zzf11211121) 1)(1(1)(zzzzzf 2)|1(| .21) 1(4

27、12/ ) 1(11412) 1(12111210zzzzzkkk 2)|1|(0 ) 1(2) 1(1121)(02zzzzfkkkk第52頁(yè)/共72頁(yè)53 例4、在 的鄰域?qū)?展開(kāi)解：00z1/ze)(zf)|(| ! 2! 11e02zkzkzzzkkkz 1 1! 311! 211! 111e32/1zzzzz 0 )!(1e0/1zzkkkz第53頁(yè)/共72頁(yè)54例5：在 求函數(shù) 的 Laurent 展開(kāi)。解：利用指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)公式因此： )1(2e)(zzxzf 121!1e ;21!1e0102121nnzxllxzzxnxzl00zzxxzzf12121ee)(第54頁(yè)/共72

28、頁(yè)55 121)!(121!1 121!121)!(1 121!121!1ee10000012121hlhllmnnnmlnnlzxxzzxhlxzlzxnxznmzxnxzl第55頁(yè)/共72頁(yè)56 2)!( !) 1( 2!)!() 1(102002hhllhhlmmnnmnzxhllzxnnm , ,nlmh)|(0 ,)( 2|)!|( !) 1() 1( 2!)!() 1(102|002 zzxJzxmnnzxnnmmmmmmnnmnmmmnnmn第56頁(yè)/共72頁(yè)573.6 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類在不同類型的奇點(diǎn)附近，函數(shù)具有不同的性質(zhì) 一、孤立奇點(diǎn)的定義孤立奇點(diǎn)的定義: 若函

29、數(shù) f(z) 在某點(diǎn) z0 不可導(dǎo)。而在 z0 的任意小鄰域內(nèi)除z0 外處處可導(dǎo)，便稱 z0 為 f(z) 的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)。若在 z0 點(diǎn)的無(wú)論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到除 z0 以外的不可導(dǎo)的點(diǎn)，便稱 z0 為 f(z) 的非孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)。例一、z=0 是 函數(shù) 的孤立奇點(diǎn)，因?yàn)樵谝詚=0 為圓心， R1 的圓內(nèi)，除z=0 外，無(wú)其他不可導(dǎo)點(diǎn)。)1 (1)(zzzf第57頁(yè)/共72頁(yè)58例二、z=0 是函數(shù) sin(1/z)-1 的非孤立奇點(diǎn)，因?yàn)樵摵瘮?shù)的 奇點(diǎn)為 zn=1/n, n=0,1, 2. ,只要 n 足夠大， 1/n 可以任意接近于 z=0, 即在 z=0 的無(wú)論多么小

30、的鄰域內(nèi)，總可以找到函數(shù)的其它奇點(diǎn)。1)/1Resin(),(zyxu函數(shù)的實(shí)部第58頁(yè)/共72頁(yè)59二、孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類:設(shè)z0 是單值函數(shù) f(z) 的孤立奇點(diǎn)，則在以 z0 為圓心的一個(gè)環(huán)狀鄰域 0|z-z0| 內(nèi), 可以展開(kāi)成 Laurent 級(jí)數(shù)：正冪部分：解析部分，負(fù)冪部分：主要部分1、若展式不含負(fù)冪項(xiàng)：z0為f(z)的可去奇點(diǎn)2、若展式含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)： z0 為f(z)的極點(diǎn)3、若展式含無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)： z0 為f(z)的本性奇點(diǎn)三、函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域的性質(zhì)三、函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域的性質(zhì)1、可去奇點(diǎn),)()()(202010zzazzaazfkkkbzazf)()(第59

31、頁(yè)/共72頁(yè)60 有 定義 則 為T(mén)aylor 展開(kāi)2、極點(diǎn)0)(lim0azfzz)( )( )()(000zzazzzfzg,)()()(202010zzazzaazg, )( )()( )()()(02020101010mkkkmmmmzzazzazzaazzazzazf第60頁(yè)/共72頁(yè)61有 m：極點(diǎn)的階，一階極點(diǎn)稱單極點(diǎn)3、本性奇點(diǎn)有 與 的方式有關(guān)，或稱無(wú)極限。,)(lim0zfzz, )()(0kkkzzazf)(lim0zfzz0zz 與不存在極限的區(qū)別第61頁(yè)/共72頁(yè)62例：z=0是函數(shù) e1/z 的本性奇點(diǎn)，在|z| 的環(huán)域內(nèi)，它的 Laurent 級(jí)數(shù)為.1! 2111e21zzz當(dāng) (1) z 沿正實(shí)軸0 時(shí)，1/z , 故 e1/z ； (2) z 沿負(fù)實(shí)軸0 時(shí)，1/z , 故 e1/z ； (3) z 沿虛軸，按i/(2n) 0 時(shí)，e1/z 1；第62頁(yè)/共72頁(yè)63因此：