專題09：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之斜邊上的中線-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）

1、專題09：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之斜邊上的中線一、填空題1如圖，在中，B=60°，CD 為AB 邊上的高，E 為AC 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在BC 邊上，EDF=60°，若 BF=3，CF=5，則AC邊的長(zhǎng)為 二、解答題2如圖，在中，點(diǎn)D為斜邊的中點(diǎn)，的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，求的長(zhǎng)3如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且求證：4如圖，在中，O為的中點(diǎn)，D，E分別在上，且求證：5如圖,在矩形ABCD中,BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（1）若AB=2,AD=3,求EF的長(zhǎng)；（2）若G是EF的中點(diǎn),連接BG和DG,求證：DG=BG.6

2、如圖所示，中，于，于，求證：.7如圖所示，中，延長(zhǎng)到，使，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：.8如圖所示，在中，于，于，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：.9如圖所示，中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)求證：10如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，連接BP、DP，過點(diǎn)P作PEPB交CD于點(diǎn)E，連接BE（1）求證：BP=EP；（2）若CE=3，BE=6，求CPE的度數(shù)；（3）探究AP、PC、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明參考答案1【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理得出，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得出，然后根據(jù)三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)得出，從而可得，最后根據(jù)三角形全等的判

3、定定理與性質(zhì)得出，據(jù)此根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得【詳解】如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G在中，在中，取BC的中點(diǎn)H，連接DH、EH是等邊三角形點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)EH是的中位線又，在和中，則在中，即故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解題關(guān)鍵26【解析】【分析】連接，由，得，由點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，得到，且，等量代換得到，在和中由AAS證得， 故，即可得解.【詳解】連接，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，在和中， ，.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判

4、定和性質(zhì).正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.3詳見解析【解析】【分析】首先可判斷ABC是等腰直角三角形，連接CD，根據(jù)全等三角形的判定易得到ADECDF，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立【詳解】證明：如圖，連接，是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，平分，在和中，即【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出證明全等需要的條件，難度一般4證明見解析【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的定義可得，然后根據(jù)角的和差、等量代換可得，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，據(jù)此根據(jù)線段的和差

5、即可得證【詳解】如圖，連接，O為的中點(diǎn)，（等腰三角形的三線合一），又，在和中，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵5（1）EF；（2）見解析【解析】【分析】（1）由AE平分BAD，可得DAF45°，從而F45°，可證ADF，ECF都是等腰直角三角形，求出CF的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)；（2）連結(jié)CG，易證BEGDCG135°，根據(jù)“SAS”可證BEGDCG，從而可得DGBG.【詳解】解：（1）在矩形ABCD中AE平分BAD,DAF45°,F45°，ADF，

6、ECF都是等腰直角三角形，DFAD3, CFDFCD= 1.在RtCEF中,EF. （2）連結(jié)CG,G是EF中點(diǎn),CGEF,ECGCEF45°.BEGDCG135°.EGEFCG.ABBECD,BECD.BEGDCG,DGBG.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，證明ADF，ECF都是等腰直角三角形是解（1）的關(guān)鍵，證明BEGDCG是解（2）的關(guān)鍵.6見解析【解析】【分析】取CE的中點(diǎn)F，連接AF、BF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=EF=BF=CF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180

7、°求出ACE+BEC=45°，然后求出AEC+BCE=135°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出BFC+AFE=90°，然后求出AFB=90°，從而判斷出ABF是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的可得AF=AB，然后證明即可【詳解】證明：如圖，取CE的中點(diǎn)F，連接AF、BF，CBDE，EACD，AF=EF=BF=CF=CE，在CDE中，CDE=135°，ACE+BEC=180°-135°=45°，AEC+BCE=（90°-ACE）+（90°-BEC）=180

8、6;-45°=135°，BFC+AFE=（180°-2BCE）+（180°-2AEC）=360°-2（AEC+BCE）=360°-2×135°=90°，AFB=180°-（BCF+AFE）=180°-90°=90°，ABF是等腰直角三角形，AF=AB，CE=2AF=2×AB=AB，即CE=AB【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出

9、圖形更形象直觀7見解析【解析】【分析】可知EF是ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得EFAB，EF=AB，又由AD=AB，即可得AD=EF，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形AEFD是平行四邊形DE=AF，由在RtABC中，BAC=90°，點(diǎn)E邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得AF=BC所以DE=2BC.【詳解】證明：取的中點(diǎn)F，連EF，AF，點(diǎn)E、F分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，即EF是ABC的中位線，EFAB，EF=AB，即EFAD，AD=AB，EF=AD，四邊形AEFD是平行四邊形；AF=DE.在RtABC中，BAC=90&

10、#176;，點(diǎn)E邊BC的中點(diǎn)，AF=BC，四邊形AFED是平行四邊形，BC=2DE.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).靈活運(yùn)用中點(diǎn)的有關(guān)性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵.8見解析【解析】【分析】連接ME、MD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD=ME=BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；【詳解】證明：連結(jié)，點(diǎn)分別是和斜邊的中點(diǎn)，= ，又是的中點(diǎn)，.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)時(shí)，往往連結(jié)斜邊上的中線.利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得DM=EM是解題的關(guān)鍵9詳見解析【解

11、析】【分析】連結(jié)AD，過點(diǎn)D作交BG于點(diǎn)F，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，ADBC，由等角的余角相等得，根據(jù)ASA可證出 ，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得AE=BF，DE=DF，則EDF為等腰直角三角形，即可得 .【詳解】證明：連結(jié)AD，過點(diǎn)D作交BG于點(diǎn)F，為的中點(diǎn)，ADBC，BAC=90°，（ASA）AE=BF，DE=DF， .【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，本題中求證是解題的關(guān)鍵10（1）證明見解析；（2）EBC=30°；（3）BE2AP2+PC2，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出CBPCDP，得出BPDP，利

12、用四邊形的內(nèi)角和，得出EPDP，從而得出結(jié)論；（2）取BE的中點(diǎn)F，得出CEF是等邊三角形，利用撒尿行內(nèi)角和定理，得出EPC30°；（3）過點(diǎn)P作PC/AC，得出BPCEPC/, 近而得出四邊形ABEC/為平行四邊形，在RtAPC/中，利用勾股定理得出結(jié)論即可.【詳解】（1） 四邊形ABCD是正方形，CBCD，AC平分BCD， 即 BCPDCP，又CP是公共邊 所以CBPCDP BPDP, PBCPDC BPE+BCE180°，BPE+BCE+PBC+PEC360°PBC+PEC180° PED+PEC180°PEDPBCPEDPDCEPDP, BPDP （2）取BE的中點(diǎn)F，連CF，則CECFEF3, CEF是等邊三角形，則BEC60°，BCE90