四川高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、競(jìng)賽試卷全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽（四川初賽）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6 個(gè)小題，每小題5 分，共 30 分）1、函數(shù) fx對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 滿足： f x 31，若 f (0)2，則 f (2013)f x【】A 、11C、 2D 、 20182B、22、設(shè)等差數(shù)列an 與等比數(shù)列 bn滿足： 0a1b1a5 b5 ，則下述四個(gè)結(jié)論： a3 b3； a3 b3 ； a6b6 ； a6b6 中正確的個(gè)數(shù)是【】A、0 個(gè)lB、1 個(gè)C、2 個(gè)PBD、3 個(gè)B3的平面角為， PA，A、為垂足， PA= 5，、已知二面角PB= 4 ，設(shè) A 、 B 到二面角的棱 l 的距離分別為 x 、 y ，當(dāng)變化時(shí)，

2、點(diǎn) ( x, y) 的軌跡為下列圖形中的【】A 、B、C、D、4、從 0,10 上任取一個(gè)數(shù)x ，從0,6上任取一個(gè)數(shù)y ，則使得 | x 5 | y 3|4 的概率是【】A 、 1B、 1C、 1D 、 353245、當(dāng)平面上的點(diǎn)(x, y) 的坐標(biāo) x 、 y 都為有理數(shù)時(shí)，該點(diǎn)稱為有理點(diǎn)，設(shè)r 是給定的正實(shí)數(shù)，則圓 ( x1)2( y2) 2r 2 上的有理點(diǎn)【】A 、最多有一個(gè)B 、最多有兩個(gè)C、最多有四個(gè)D、可以有無窮多個(gè)6、 ABC 中，C90 ，B 30, AC = 2，M 是 AB 的中點(diǎn)，將 ACM 沿 CM 翻折，使 A、 B 兩點(diǎn)間的距離為22 ，則三棱錐ABCM 的體積

3、等于【】22C、6D、22A 、B 、3333二、填空題（本大題共6 個(gè)小題，每小題5 分，共 30 分）7、已知函數(shù) f (x)3x，記f (1)f ( 2)f (4)f (1024)m ，1xf ( 1)f ( 1 )f ( 1)f ( 1 )n ，則 m n2481024、已知 i 是虛數(shù)單位，z1i i2i3i4i2013，把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記為z，則8z z =y 2、實(shí)數(shù) x, y 滿足x21，則 x2y 2的最大值是916x110、關(guān)于曲線C：4y2的下列命題： 曲線 C 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 曲線 C 關(guān)于直線 y = x對(duì)稱； 曲線 C 所圍成的面積小于； 曲線 C 所圍成的面積大

4、于，其中的真命題是（寫出所有真命題的編號(hào)）競(jìng)賽試卷11、設(shè) n 是小于 100 的正整數(shù)， 且滿足 121)1 n 為整數(shù)， 則符合條件的所有正整數(shù)n 的( n35和為12、已知函數(shù) f ( x)a(0,1) ，有 f ( x)f (1x)1恒成立，則實(shí)數(shù)a 的取x ，對(duì)任意 xx值范圍是三、解答題（本大題共4 個(gè)小題，每小題20分，共 80 分）13 、設(shè)實(shí)數(shù)0，已知函數(shù) f ( x) sin 2x3 sinxsin(x) 的最小正周期是2 上的最大值與最小值求 f ( x) 在 8, 2414、已知函數(shù)f ( x)x323x ， 數(shù) 列 xn 滿 足 ： x2 ，xn 1*)， 記3x11

5、f ( xn ) ( n Nx1) (n N*) bn log 3 ( n 11xn 1( I ) 求證：數(shù)列 bn 成等比數(shù)列，并求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式；（ II ）記 cnnbn(nN * ) ，求數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和公式 Tn 215、已知點(diǎn)B(0,1) ， P、Q 為橢圓 x+ y2 = 1上異于點(diǎn) B 的任意兩點(diǎn)，且BPBQ 4（ I ）若點(diǎn) B 在線段 PQ 上的射影為點(diǎn) M，求 M 的軌跡方程；（ II ）求線段 PQ 的中垂線 l 在 x 軸上的截距的取值范圍16、若實(shí)數(shù)x0滿 足f ( x0 )x0， 則 稱xx0為f ( x)的不動(dòng)點(diǎn)已知函數(shù)f ( x)x3ax2bx

6、3 ，其中a, b為常數(shù)（）若a0 ，求函數(shù)f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間；（ II）若a0 時(shí)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0 ，使得xx0 既是f ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)，又是f ( x) 的極值點(diǎn)求實(shí)數(shù) b 的值；（ III ）求證：不存在實(shí)數(shù)組(a,b)，使得f (x) 互異的兩個(gè)極值點(diǎn)皆為不動(dòng)點(diǎn)競(jìng)賽試卷2018 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（四川）初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1、評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn). 選擇題和填空題只設(shè)5 分和 0 分兩檔；其它各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再增加其它中間檔次.2、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)閱時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適

7、當(dāng)劃分檔次評(píng)分，5 分一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次.一、選擇題（本大題共6 個(gè)小題，每小題 5 分，共30 分）1、 A2、 B3、 C4、 C5、B6、 D二、填空題（本大題共6 個(gè)小題，每小題 5 分，共30 分）7、 428、 29、 910、11、 63512、 a | a1或a144三、解答題（本大題共4 個(gè)小題，每小題 20分，共 80分）13、已知函數(shù) f (x) sin2x3 sinx sin( x()0) 的最小正周期是22 求 f (x) 在 , 上的最大值與最小值84解： f ( x)1 cos2 x3 sin 2 x3 sin 2x1 cos2x1222221sin

8、(2x)，（ 5 分）62由條件知 T2，則2221于是 f ( x)sin(4 x)（10分），625當(dāng)x時(shí)，4x36，846故 1sin(4 x)1，即 1sin(4 x)13（15分）26622所以， f ( x) 在 x6時(shí)取最大值3 ，在 x時(shí)取最小值是 1（20 分）2414、已知函數(shù)f ( x)x33x ，數(shù)列 xn 滿足： x1 2 ， xn 1f ( xn ) (n N* ) .，3x21記 bnlog 3( xn 11) (nN*)xn 11( I ) 求證：數(shù)列 bn 成等比數(shù)列，并求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式；競(jìng)賽試卷（ II ）記 cnnbn(n N * ) ，求數(shù)列 cn

9、 的前 n 項(xiàng)和公式 Tn xn33xn13x1 f ( x ) 1 3x21x33x23x 1x 1解：（ 1） n1nnnnn1n（5 分）xn 11 f ( xn ) 1 xn33xn1xn33xn23xnxn13xn21x13log 3 (x1，即 bn 1 3bn ，所以數(shù)列bn于是 log 3 ( n1)n)成等比數(shù)列xn11xn1又 b1log 3 (21)1 ，于是 bn3n1 ，21所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為 bn3n 1 （10分）（ II ）由（ I）知， b3n 1，故 cnn 3n1 ，nTn1 30231332n 3n 1 ，3Tn1 312 323 33n 3n ，

10、于是2Tn 1 3 323n 1n 3n3n 1n 3n ，（15 分）2n 3n3n 1 (2 n 1) 3n1即Tn244，所以，數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和公式 Tn(2 n 1) 3n1 (nN*).（20 分）415、已知點(diǎn)B(0,1)， P、 Q 為橢圓 x2+ y2 = 1上異于點(diǎn) B 的任意兩點(diǎn)，且BP BQ，4（ I）若點(diǎn) B 在線段 PQ 上的射影為 M，求 M 的軌跡方程；（ II ）求線段 PQ 的中垂線 l 在 x 軸上的截距的取值范圍解：（ I ）設(shè) P(x1, y1 ) 、Q( x2 , y2 ) ， PQ 的方程為 y = kx +m ，與橢圓方程聯(lián)立消去y 得：

11、 (1+ 4k2 )x2 + 8kmx + 4m2 -4= 0，所以x1+ x2 =- 8km， x1 x2 =4m2 - 4 ，（5 分）4k2 + 14k2 + 1由 BPBQ 得 y1 - 1 ?y2 - 1- 1 ，即 x1x2 + y1 y2 - ( y1 + y2 ) + 1 = 0 ，x1x2從而可得 (k2+ 1)(4m2 - 4)+ k( m- 1)? - 8km(m - 1)2 = 04k 2 + 14k 2 + 1競(jìng)賽試卷化簡(jiǎn)得 5m2 -2m-3 = 0 ，解得 m =1 （舍去）或 m = - 3 5設(shè) M ( x, y) ，因?yàn)?BM x，PQ ，所以 k = -1

12、y -代入 PQ 方程得 y = -x2-3 ，y -15整理得 x2( y1) 2(4)2，由題意知軌跡不經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)551 )2(4)2所以，動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程為：x2( y( y1) （10 分）55（ II）PQ 方程為y =kx -3 ，所以 x1 + x2=12k， y1 +y2 =- 3525(4k 2 + 1)25(4k 2 + 1)所以 PQ 中垂線方程為3112k，（15 分）y +5(4k 2 + 1)= -k ( x-5(4k 2+ 1)其在 x 軸上的截距為 b =9k9b95(4 k2，所以 ,20（20 分）+ 1)2016、若實(shí)數(shù) x0滿足 f ( x0

13、 )x0 ，則稱 xx0 為 f (x) 的不動(dòng)點(diǎn)已知函數(shù) f ( x)x3ax2bx3 ，其中 a, b 為常數(shù)（ I）若 a0 ，求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間；（ II ）若 a0時(shí)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0 ，使得 xx0 既是 f ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)，又是 f ( x) 的極值點(diǎn)求實(shí)數(shù) b 的值；（ III ）求證：不存在實(shí)數(shù)組(a,b) ，使得f (x) 互異的兩個(gè)極值點(diǎn)皆為不動(dòng)點(diǎn)解：（ I）若 a0 ， f ( x) x3bx 3 ，故 f(x)3x2b 當(dāng) b0 時(shí)，顯然f ( x) 在 R 上單增；當(dāng) b0 時(shí)，由 f(x)0 知 xb或 xb33所以，當(dāng) b0 時(shí)， f (x

14、) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(,) ；當(dāng) b0 時(shí)， f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(,b) ， (b3, ) （5分）33x2b 0（ II ）由條件知0，x03bx0 3x0于是 2x03x030 ，即 (x01)(2x022x03)0 ，解得 x01競(jìng)賽試卷從而 b3 （10 分）（ III ）假設(shè)存在一組實(shí)數(shù)(a,b) 滿足條件由條件知f ( x)3x22axb ，因?yàn)?f ( x) 的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，則4a212b0 ，即 a23b 設(shè) f (x) 的兩個(gè)不同極值點(diǎn)為 x1 , x2，其中 x1x2 ，則 x1, x2 是方程 3x22ax b 0 的兩實(shí)根，所以 x1x22a ,x1x2b 33又由 x1 , x2 是 f ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)，則x1 , x2 是方程 x3ax2(b1)x3 0 的兩根，設(shè)其另一個(gè)根為 x3 故 x3ax2(b 1)x3 ( xx )( xx)( xx)123即 x3ax2(b 1)x 3 x3(x1x2 x3 )x2( x1x2x2 x3 x3 x1 )x x1 x2x3x1 x2x3a故有x1 x2x2 x3x3 x1b 1x1 x2 x33于是 x3a927 3，從而 abb又 b 1 x1x2(x1x2 )x3b(2a)( a ) ，即 2a22b1 0 ，33393故