函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性精品講義.

1、第三講 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性一、知識(shí)點(diǎn)歸納函數(shù)的單調(diào)性（ 1）定義：設(shè)函數(shù)y=f ( x) 的定義域?yàn)镮 ，如果對(duì)于定義域I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，2，當(dāng)x1< 2 時(shí)，都有f(1)<f(x2) （(x1)>f(x2) ），那么就說(shuō)f(x) 在區(qū)間D上xxxf是 增 函 數(shù) （ 減 函 數(shù) ）， 區(qū) 間D 為 函 數(shù)y=f ( x) 的 增 區(qū) 間 （ 減 區(qū) 間 ） 概 括 起 來(lái) ， 即x1x2x1x2增函數(shù)f ( x2)或f ( x2 )f (x1)f (x1)“同增異減 ”x1x2x1x2減函數(shù)f (x2 )或f ( x2 )f (x1)f ( x1)

2、（2）函數(shù)單調(diào)性的證明的一般步驟：設(shè)x1 ， x2 是區(qū)間 D上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 x1 x2作差 f ( x1)f (x2 ) ，并通過因式分解、配方、通分、有力化等方法使其轉(zhuǎn)化為易于判斷正負(fù)的式子；確定f (x1) f( x2 ) 的符號(hào)；給出結(jié)論證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意三點(diǎn)：x1 和 x2 的任意性，即從區(qū)間D中任取 x1 和 x2 ，證明單調(diào)性時(shí)不可隨意用量額特殊值代替；有序性，即通常規(guī)定x1x2 ；同區(qū)間性，即 x1 和 x2必須屬于同一個(gè)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)yf g x 是定義區(qū)間 M上的函數(shù)，若外函數(shù)f(x) 與內(nèi)函數(shù) g(x) 的單調(diào)性相反，則 yf g x在區(qū)間 M上是減函數(shù)

3、；若外函數(shù)f(x) 與內(nèi)函數(shù) g(x) 的單調(diào)性相同，則 yf g x 在區(qū)間M上是增函數(shù)。概括起來(lái)，即“同增異減II 號(hào)”（4）簡(jiǎn)單性質(zhì)： f (x) 與f ( x) 單調(diào)性相同； f ( x) 與 f ( x) 及1單調(diào)性相反f (x)在公共定義域內(nèi)：增函數(shù) f ( x)增函數(shù) g ( x) 是增函數(shù)；減函數(shù)f ( x)減函數(shù) g( x) 是減函數(shù)；增函數(shù) f ( x)減函數(shù) g ( x) 是增函數(shù)；減函數(shù)f ( x)增函數(shù) g( x) 是減函數(shù)。（ 5）必須掌握特殊函數(shù)單調(diào)性 一次函數(shù) y kx b ： 二次函數(shù) yax 2 bx c ： 反比例函數(shù) yk：x 雙鉤函數(shù) y xk：x注：

4、函數(shù)的多個(gè)單調(diào)區(qū)間通常不能用并集聯(lián)接；單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)只要在定義域內(nèi)就要加上增函數(shù)在圖像上反映出來(lái)就是“向上”，減函數(shù)從圖像上反映出來(lái)就是“向下”函數(shù)的最值（1）定義：f ( x) 的最大值：f (x) 最大的函數(shù)值；f (x) 的最小值：f (x) 最小的函數(shù)值（ 2）求最值方法與求值域方法類似函數(shù)的奇偶性1定義 :設(shè) y=f(x)，定義域?yàn)锳 且 A 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)于任意x A，都有 f ( x)f (x) ，稱 y=f(x) 為偶函數(shù)。設(shè) y=f(x)，定義域?yàn)?A 且 A 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 如果對(duì)于任意x A，都有 f ( x)f ( x) ，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱稱 y=f(x)為奇函

5、數(shù)。概括起來(lái)，即f ( x)為偶函數(shù)f (x)，f ( x)為奇函數(shù)f (x)f ( x)f (x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f ( x)f ( x)2函數(shù)奇偶性的判斷的步驟：求 f ( x) 定義域，若 f ( x) 定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f (x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若f (x) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則判斷f ( x) 與 f (x) 的關(guān)系判斷 f ( x) 與 f (x) 的關(guān)系，若f (x)f (x) ，則 f ( x) 為偶函數(shù)；若f (x)f ( x) ，則 f (x) 為奇函數(shù)；若f (x)f ( x) 且 f (x)f ( x) ，則 f (x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若

6、 f (x)f ( x) 且 f (x)f (x) ，則函數(shù)f ( x) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3. 性質(zhì)：（ 1）若 f ( x) 為奇函數(shù)，則：f ( x)f (x) ； f ( x) 圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；0 在 f ( x) 定義域內(nèi)時(shí)有f (0)0 ； f (x) 在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同幾種特殊的奇函數(shù)yx ， yx3 ， y1 ， y sin xx（2）若 f ( x) 為偶函數(shù)，則：f (x)f (x) ； f ( x) 圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱f ( x) 在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；幾種特殊的偶函數(shù)：yx ， yx2 ， ycos x注：若二次函數(shù)yax2bxc 為偶

7、函數(shù)，則 b0 ；在同一定義域內(nèi)，奇偶 =奇 ，奇奇 =奇 ， 偶偶=偶；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個(gè)解析式f ( x)0二、典例例題解析：題型一單調(diào)性的定義例 1 定義在 R 上的函數(shù) f ( x) 對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b 總有 f (a)f (b)0 ，試判斷 f (x)ab單調(diào)性。例 2若 f ( x) 在區(qū)間 ( a,b) 上是增函數(shù)，在區(qū)間 (b,c) 上也是增函數(shù)，則函數(shù)f ( x) 在區(qū)間(a, b)(b, c) 上（）A. 必是增函數(shù)B. 必是減函數(shù)C. 是增函數(shù)或減函數(shù)D.無(wú)法確定單調(diào)性變式訓(xùn)練下列說(shuō)法中正確的有 個(gè)若 x1 , x2I ，當(dāng) x1x2 時(shí)，f (

8、x1) f (x2 ) ，則 yf ( x) 在 I 上是增函數(shù)函數(shù) yx2 在 R 上是增函數(shù)； 函數(shù) y1 在定義域上是增函數(shù)； y1 的單調(diào)區(qū)間是 (,0)(0,)xx題型二單調(diào)性的證明例1 證明函數(shù) yx1 在區(qū)間 (0,1) 上為減函數(shù)x例2 證明函數(shù)f ( x)x21x 在其定義域內(nèi)是減函數(shù)例3已知函數(shù) yf ( x) 在 (0,) 上為增函數(shù)，且f (x) 0( x 0) ，試判斷 F (x)1在f (x)(0,) 上的單調(diào)性，并給出證明過程題型三利用單調(diào)性求函數(shù)值域和最值例1求下列函數(shù)的最值f ( x)1 2x x ； f (x)3 x3 x ； f ( x)x 1x 1f ( x)x 21 f (x)1 x , x1, )x2x變式 如果函數(shù)f ( x)-x2 -2x3 ，求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間和值域例2 已知 f (x)x22(1a) x2 在 (,4 ，上是減函數(shù)，求a 的取值范圍變式 1已知 f (x) x2 2(1 a) x 2 的減區(qū)間是 ( ,4 ，求 a的值變式 2 函數(shù) f(x)= x 2 + 3x +2 在區(qū)間 (-5,5) 上的最大值、最小值分別為（）A 、 42,12111B、 42， -C、 12， -D 、無(wú)最大值，最小值 -444.變式 3 函數(shù) y 2x2 (a 1)x