實(shí)驗(yàn)一_基于AR模型的股票價(jià)格預(yù)測(cè)

1、基于AR模型的股票價(jià)格預(yù)測(cè)1. 問(wèn)題描述AR模型是一種線性預(yù)測(cè)，即已知N個(gè)數(shù)據(jù)，可由模型推出第N點(diǎn)前面或后面的數(shù)據(jù)（設(shè)推出P點(diǎn)），所以其本質(zhì)類似于插值，其目的都是為了增加有效數(shù)據(jù)。本次實(shí)驗(yàn)使用從雅虎上下載的美國(guó)某股票七年共2000個(gè)收盤價(jià)格數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析建模，取其前1000個(gè)價(jià)格數(shù)據(jù)構(gòu)建預(yù)測(cè)方程，預(yù)測(cè)剩下的股票收盤價(jià)格。2. 原理簡(jiǎn)述2.1 基本原理自回歸模型（Autoregressive Model，AR Model）是用自身做回歸變量的過(guò)程，即利用前期若干時(shí)刻的隨機(jī)變量的線性組合來(lái)描述以后某時(shí)刻隨機(jī)變量的線性回歸模型，它是時(shí)間序列中的一種常見(jiàn)形式?？紤]一組隨機(jī)自變量觀測(cè)值與因變量觀測(cè)值

2、之間的關(guān)系，設(shè)自變量觀測(cè)值為x(n),因變量觀測(cè)值為Y=y(n),y(n-1),y(n-N),則依據(jù)AR Model，滿足如下關(guān)系式： (2.1)其中，a=a0,a1,aN為各項(xiàng)因變量觀測(cè)值系數(shù)。通常情況下，我們令a0=1?？紤]到式（2.1）的迭代性，我們可以將其轉(zhuǎn)化為一組自變量觀測(cè)值和一個(gè)因變量觀測(cè)值的形式如下： (2.2)其中，A=是各項(xiàng)自變量觀測(cè)值的系數(shù)。另外，我們假定自變量觀測(cè)值的自相關(guān)函數(shù)為： (2.3)其中，是自變量觀測(cè)值的方差，是狄拉克函數(shù)。將所得的y(n)代入可得： (2.4)同樣，將任意的一個(gè)y(n-K)代入可得：。接下來(lái)，我們將所得各式寫成向量的形式如下： (2.5) (2

3、.6) (2.7)將因變量觀測(cè)值的自相關(guān)函數(shù)寫成矩陣形式可得如下： (2.8)該矩陣由Yule-Walker方程描述為：。對(duì)于該系統(tǒng)預(yù)測(cè)的關(guān)鍵在于對(duì)系統(tǒng)系數(shù)向量a的求解。將AR Model方程寫成如下形式： (2.9)將因變量觀測(cè)值y(n)的L個(gè)觀測(cè)值寫成矩陣形式如下： (2.10)將上式寫成Yule-Walker方程形式為：。其中，x是自變量觀測(cè)值矩陣，a是系數(shù)矩陣，Y是Toeplitz矩陣，y是因變量觀測(cè)值矩陣。使用最小二乘法（Least Square，LS）尋找一個(gè)最優(yōu)解為：。對(duì)該式進(jìn)行求解可得：。將所求系數(shù)代入即可得到擬合方程，根據(jù)擬合方程可以得到問(wèn)題的估計(jì)值。2.2 實(shí)現(xiàn)步驟具體實(shí)現(xiàn)

4、步驟如下：（1）利用自變量觀測(cè)值x，因變量觀測(cè)值y和系數(shù)矩陣a構(gòu)建系統(tǒng)模型；（2）依據(jù)LS求解系統(tǒng)系數(shù)矩陣；（3）將a代入構(gòu)造預(yù)測(cè)方程；（4）將已知值代入到預(yù)測(cè)方程中對(duì)未知值進(jìn)行預(yù)測(cè)。2.3 實(shí)現(xiàn)框圖圖1 預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)框圖3. 仿真結(jié)果及分析仿真分為三組進(jìn)行，分別是固定系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)圖樣；迭代更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)圖樣；加窗更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)圖樣。3.1 固定系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)仿真采用1000個(gè)股票收盤價(jià)格構(gòu)建預(yù)測(cè)方程，來(lái)預(yù)測(cè)接下來(lái)300個(gè)股票收盤價(jià)格，具體仿真如下圖所示：(a) (b) (c) (d)圖2 固定系數(shù)矩陣時(shí)不同階數(shù)下股票價(jià)格預(yù)測(cè)圖圖2所示為利用前1000個(gè)數(shù)據(jù)求得系

5、數(shù)矩陣a之后對(duì)接下來(lái)300個(gè)股票價(jià)格的預(yù)測(cè)圖，藍(lán)色為股票價(jià)格實(shí)際值，紅色為股票價(jià)格預(yù)測(cè)值。圖中（a）、（b）、（c）、（d）分別代表階數(shù)為10、50、100、200時(shí)的不同情況。從圖中可以看出，在階數(shù)為10時(shí)，股票價(jià)格預(yù)測(cè)效果較差；當(dāng)階數(shù)為50和100時(shí)，預(yù)測(cè)效果有較大提升；而在階數(shù)為200時(shí)，出現(xiàn)過(guò)度擬合的情況，預(yù)測(cè)效果開始下降。四種不同階數(shù)的預(yù)測(cè)均方誤差如表I所示：表I 不同階數(shù)下股票價(jià)格預(yù)測(cè)均方誤差階數(shù)1050100200均方誤差（）5.73281.65523.87456.0020從表I中可以看出，階數(shù)位于10100之間時(shí)，具有最優(yōu)預(yù)測(cè)。3.2 迭代更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)本節(jié)中，我們利

6、用原始數(shù)據(jù)求解系統(tǒng)系數(shù)矩陣a，利用該系數(shù)矩陣a構(gòu)建預(yù)測(cè)方程，通過(guò)預(yù)測(cè)方程求解接下來(lái)的一個(gè)值，再將該值代入，更新系數(shù)矩陣a，實(shí)現(xiàn)一種交叉迭代的預(yù)測(cè)求解。仿真采用1000個(gè)股票收盤價(jià)格構(gòu)建預(yù)測(cè)方程，來(lái)預(yù)測(cè)接下來(lái)1000個(gè)股票收盤價(jià)格，具體仿真如下圖所示： （a） （b） （c） （d）圖3迭代更新系數(shù)矩陣時(shí)不同階數(shù)下股票價(jià)格預(yù)測(cè)圖圖3中（a）、（b）、（c）、（d）分別為階數(shù)取10、50、100和200時(shí)的股票價(jià)格預(yù)測(cè)圖，從圖中可以看出，由于對(duì)系數(shù)矩陣a進(jìn)行不斷的迭代更新，因此求得的預(yù)測(cè)值近似為線性預(yù)測(cè)，即只能預(yù)測(cè)股票的升降趨勢(shì)。觀察之前1000個(gè)數(shù)據(jù)可知，股票價(jià)格以下降趨勢(shì)為主，因此在這里的預(yù)測(cè)

7、函數(shù)為一近似單調(diào)遞減的線性函數(shù)。3.3 加窗更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)考慮到3.2中系數(shù)矩陣a是在每次得到新的預(yù)測(cè)值就進(jìn)行更新，在本節(jié)中，我們利用前1000個(gè)股價(jià)預(yù)測(cè)接下來(lái)長(zhǎng)度為m的股價(jià)，m即為我們加窗的長(zhǎng)度。在這里我們?nèi)為一系列的值，分別為50、100、200、300和400。通過(guò)預(yù)測(cè)的估計(jì)，更新系統(tǒng)矩陣a，進(jìn)而預(yù)測(cè)接下來(lái)的股價(jià)。仿真時(shí)階數(shù)分別取為100和300，顯示如下圖所示： （a） （b）圖4 加窗長(zhǎng)度為50時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖 （a） （b）圖5 加窗長(zhǎng)度為100時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖 （a） （b）圖6加窗長(zhǎng)度為200時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖 （a） （b）圖7加窗長(zhǎng)度為30

8、0時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖 （a） （b）圖8加窗長(zhǎng)度為400時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖觀察以上各圖可知，加窗長(zhǎng)度為100、200和300時(shí)，預(yù)測(cè)值和實(shí)際值具有較大偏差。而當(dāng)加窗長(zhǎng)度為50和400時(shí)，效果較之前三種有較大提高。其中當(dāng)階數(shù)為100時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果近似于線性，當(dāng)階數(shù)為300時(shí)，兩者均具有較好的預(yù)測(cè)。其中，加窗長(zhǎng)度為50時(shí)，具有最佳預(yù)測(cè)效果。從以上仿真結(jié)果可以看出，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性和加窗長(zhǎng)度和階數(shù)有關(guān)。所以，為了獲得較好的預(yù)測(cè)效果，需要選擇合適的加窗長(zhǎng)度和階數(shù)。4. 結(jié)束語(yǔ) 本次實(shí)驗(yàn)是基于AR模型的股票價(jià)格預(yù)測(cè)，在實(shí)驗(yàn)中我們使用Yule-Walker方程對(duì)系統(tǒng)系數(shù)矩陣a進(jìn)行求解，通過(guò)求解得到的系

9、數(shù)矩陣a構(gòu)造預(yù)測(cè)方程。同時(shí)，在仿真中我們討論了使用不同的方法對(duì)系數(shù)矩陣a進(jìn)行優(yōu)化，分別為固定系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)；迭代更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)；加窗更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在固定系數(shù)矩陣a的情況下，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和階數(shù)的選取有關(guān)；而在更新系數(shù)矩陣a的情況下，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和加窗長(zhǎng)度及階數(shù)均有關(guān)。5. 附錄股票價(jià)格數(shù)據(jù)命名為xx。% 不更新A值clcclearload ('xx.mat');data = xx(:,1)'p = 200;L = 1000;MSE = 0;data1 = data(1:L); y = data(p+1:L)'for i =

10、 1:p Y(:,p-i+1) = data(i:L-p+i-1)'enda = -inv(Y'*Y)*Y'*y; for i = L+1:length(data) data1(i) = data1(i-p:i-1)*(-a);end for i = 1000:1300 MSE = MSE+(data(i)-data1(i)2;endMSE = MSE/300;figure(1)plot(data(1:1500),'b');hold onplot(data1(1:1500),'r');xlabel('數(shù)據(jù)量');ylabe

11、l('股票收盤價(jià)格');legend('實(shí)際值','預(yù)測(cè)值');axis(0 1300 1000 2800);%每次預(yù)測(cè)一個(gè)點(diǎn)，代入更新a值clcclear allload ('xx.mat');data = xx(:,1)'p = 200;L = 1000;data1 = data(1:L);for i = L+1:length(data) y = data1(p+1:L)' for j = 1:p for k = 1:(L-p) Y(k,j) = data1(p-j+1+k-1); end end Y1 = Y

12、' K = inv(Y1*Y); a = -inv(Y1*Y)*Y1*y; data1(i) = data1(i-1:-1:i-p)*(-a);end figure(2)plot(data(1:2000),'b');hold onplot(data1(1:2000),'r');xlabel('數(shù)據(jù)量');ylabel('股票收盤價(jià)格');legend('實(shí)際值','預(yù)測(cè)值');%加窗的預(yù)測(cè)，窗的長(zhǎng)度分別為100、200、300、400、500clcclearload ('xx.mat

13、');data = xx(:,1)'p = 300;L = 1000;L_list = 50 100 200 300 400;select_number = 5;data1 = data(1:L); for i = 0:30 y = data1(L_list(select_number)*i+(p+1):L_list(select_number)*i+L)' for j = 1:p for k = 1:(L-p) Y(k,j) = data1(L_list(1)*i+p-j+1+k-1); end end% a(:,i+1) = -inv(Y'*Y)*Y'*y; a = -inv(Y'*Y)*Y'*y; for m = 1:L_list(select_number) data1(L+L_list(select_number)*i+m) = data1(L+L_list(select_number)*i+m-1:-1:L+L_l