多元統(tǒng)計分析重點

1、多元統(tǒng)計分析重點宿舍版第一講：多元統(tǒng)計方法及應(yīng)用；多元統(tǒng)計方法分類（按變量、模型、因變量等）多元統(tǒng)計分析應(yīng)用選擇題：數(shù)據(jù)或結(jié)構(gòu)性簡化運用的方法有：多元回歸分析，聚類分析，主成分分析，因子分析分類和組合運用的方法有：判別分析，聚類分析，主成分分析 變量之間的相關(guān)關(guān)系運用的方法有：多元回歸，主成分分析，因子分析， 預(yù)測與決策運用的方法有：多元回歸，判別分析，聚類分析因果模型（因變量數(shù)）：多元回歸，判別分析 橫貫數(shù)據(jù)： 相依模型（變量測度）：因子分析，聚類分析多元統(tǒng)計分析方法選擇題：多元統(tǒng)計方法的分類：1）按測量數(shù)據(jù)的來源分為：橫貫數(shù)據(jù)（同一時間不同案例的觀測數(shù)據(jù)），縱觀數(shù)據(jù)（同樣案例在不同時間的多

2、次觀測數(shù)據(jù)）2）按變量的測度等級（數(shù)據(jù)類型）分為：類別（非測量型）變量，數(shù)值型（測量型）變量3） 按分析模型的屬性分為：因果模型，相依模型4）按模型中因變量的數(shù)量分為：單因變量模型，多因變量模型，多層因果模型第二講：計算均值、協(xié)差陣、相關(guān)陣；相互獨立性第三講：主成分定義、應(yīng)用及基本思想，主成分性質(zhì)，主成分分析步驟主成分定義：何謂主成分分析 就是將原來的多個指標(biāo) （變量）線性組合成幾個新的相互無關(guān)的綜合指標(biāo)（主成分），并使新的綜合指標(biāo)盡可能多地反映原來的指標(biāo)信息。主成分分析的應(yīng)用：（1）數(shù)據(jù)的壓縮、結(jié)構(gòu)的簡化；（2）樣品的綜合評價，排序主成分分析概述一一思想：（ 1）把給定的一組變量 X1,X2

3、,XR通過線性變換，轉(zhuǎn)換為一組不相關(guān)的變量 Y1, Y2,丫只（2）在這種變換中，保持變量的總方差 （X1,X2,Xp的方差之和）不變，同時，使 Y1具有最大方差，稱為第一主成分；Y2具有次大方差，稱為第二主成分。依次類推，原來有P個變量，就可以轉(zhuǎn)換出 P個主P個變量的絕大部分成分（3）在實際應(yīng)用中，為了簡化問題，通常找能夠反映原來方差的q （q<p）個主成分。主成分性質(zhì)：1）性質(zhì)1 :主成分的協(xié)方差矩陣是對角陣：（2）性質(zhì)2 :主成分的總方差等于原始變量的總方差（3）性質(zhì)3:主成分Yk與原始變量Xi的相關(guān)系數(shù)為：p “ k 、（YK,XD = _.i tki,并稱之為因子負荷量（或因子

4、載荷量）。主成分分析的具體步驟：將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；建立變量的相關(guān)系數(shù)陣；求的特征根為：L P 0,相應(yīng)的特征向量為,L ,T；:由累積方差貢獻率確定主成分的個數(shù)（m ）,并寫出主成分為 Y （Ti*） X* , i 1,2,L ,m第四講：因子分析定義，因子載荷統(tǒng)計意義，因子分析模型及假設(shè)，因子旋轉(zhuǎn)因子分析定義：因子分析就是通過對多個變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的研究，找出同時影 響或支配所有變量的共性因子的多元統(tǒng)計方法。因子載荷統(tǒng)計意義:a1 因子載荷aij的統(tǒng)計意義對于因子模型Xiai1 F1ai2F2 L Fj Laim Fmi 1,2, L,p我們可以得到， Xi與Fj的協(xié)方差為:mCov( X

5、i, Fj) Cov(a)k Fki, Fj)k 1mi,Fj)Cov(aikFk, Fj) Cov(k 1aij如果對Xi作了標(biāo)準(zhǔn)化處理,Xi的標(biāo)準(zhǔn)差為rCov(Xi,Fj)rXi,Fj.D(Xi) D(Fj)Cov(Xi,Fj)F1，且j的標(biāo)準(zhǔn)差為1，因此aij(7.6)那么，從上面的分析，我們知道對于標(biāo)準(zhǔn)化后的Xi , aj是Xi與Fj的相關(guān)系數(shù)，它一方面表示Xi對Fj的依賴程度，絕對值越大，密切程度越高；另一方面也反映了 變量Xi對公共因子Fj的相對重要性。了解這一點對我們理解抽象的因子含義有非 常重要的作用。h22 變量共同度hi的統(tǒng)計意義設(shè)因子載荷矩陣為 A，稱第i行元素的平方和，

6、即mhi2aji 1,2, L,pj 1(7.7)為變量Xi的共同度。由因子模型，知2 2 2D(XJ aiiD(Fi) Q2D(F2)L amD(Fm) D( i)2 aiia22 L2aimD( i)hi(7.8)這里應(yīng)該注意,(7.8)式說明變量 Xi的方差由兩部分組成：第一部分為共同度hi2Xi的影響程度。第二部分為特殊因子i對變量Xi的方差的貢獻，通常稱為個性方差。它描述了全部公共因子對變量Xi的總方差所作的貢獻，反映了公共因子對變量hi2如果對Xi作了標(biāo)準(zhǔn)化處理，有(7.9)3、公因子Fj的方差貢獻2gj的統(tǒng)計意義設(shè)因子載荷矩陣為 A，稱第j列元素的平方和，即p2 2gj 可 J

7、1,2,L ,mi 1為公共因子Fj對X的貢獻，2即gj表示同一公共因子FFj對各變量所提供的方差貢獻之總和，它是衡量每一個公共因子相對重要性的一個尺度。因子分析模型及假設(shè) 數(shù)學(xué)模型：每一個變量都可以表示成公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和，即：Xi=ai1*F1+a12*F2+ +aim*Fm+ d（i=1,2,p）式中的F1, F2,Fm稱為公共因子,d稱為Xi的特殊因子。該模型可用矩陣表示為：X=AF+d且滿足：（1） m Wp（2）Cov（F, ）=0,即公共因子與特殊因子是不相關(guān)的；（3） DF=D（F）=21,0,001,0,0020,2,0.00,1,0020,0,01=Im,即各

8、個公共因子不相關(guān)且方差為0,0,01； (4) D =D()=即各個特殊因子不相關(guān)，方差不要求相等。因子旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)的目的：初始因子的綜合性太強，難以找出因子的實際意義，因此需要通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，使因子負荷兩極分化，要么接近于0，要么接近于？1，從而降低因子的綜合性，使其實際意義凸現(xiàn)出來，以便于解釋因子。因子旋轉(zhuǎn)的基本方法：一類是正交旋轉(zhuǎn)（保持因子間的正交性，3種，常用最大方差旋轉(zhuǎn)），一類是斜交旋轉(zhuǎn)（因子間不一定正交）公共因子提取個數(shù)：（1）選特征值大于等于 1的因子（主成分）作為初始因子，通過求響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化正交特征向量來計算因子載荷（2）碎石圖：刪去特征值變平緩的那些因子（3）累計方差貢獻率大于

9、 85%第五講：聚類類型，系統(tǒng)聚類、K-均值聚類思想及步驟，系統(tǒng)聚類方法，相似性測度方法聚類類型：根據(jù)分類的對象可將聚類分析分為：系統(tǒng)Q型與R型（即樣品聚類與變量聚類）系統(tǒng)聚類、K-均值聚類思想及步驟：系統(tǒng)聚類的基本思想：距離相近的樣本（或變量）先聚成類，距離相遠的后聚成類，過程一直進行下去，每個樣品（或變量）總能聚到合適的類中。 聚類過程及步驟：假設(shè)總共有n個樣品（或變量），第一步將每個樣品（或變量）獨自聚成一類，共有 n類；第二步根據(jù)所確定的樣品（或變量）“距離”公式，把距離較近的兩個樣品（或變量）聚合為一類，其它的樣品（或變量）仍各自聚為一類， 共聚成n-1類；第三步將“距離”最近的兩個

10、類進一步聚成一類，共聚成n-2類；，以上步驟一直進行下去，最后將所有的樣品（或變量）全聚成一類。最后可以畫譜系圖分析。 快速聚類的基本思想，步驟： （也稱為K-均值法，逐步聚類，迭代聚類），基本思想是將每一個樣品分配給最近中心（均值）的類中，具體的算法步驟如下：（1）將所有的樣品分成 K個初始類；（2）通過歐氏距離將某個樣品劃入離中心最近的類中，并對獲得樣品與失去樣品的類，重新計算重心坐標(biāo)。（3 ）重復(fù)步驟2，直到所有的樣品都不能再分配時為止。系統(tǒng)聚類方法：最短距離法（單連接），最長距離法（完全連接），中間距離法， 類 平均法（組間平均連接法），可變類平均法， 重心法，可變法，離差平方和法相似

11、性測度方法： 不同樣本相似性度量：距離測度里包括：明氏，馬氏，和蘭式不同變量相似度的度量：包括：夾角余弦，相關(guān)系數(shù)。第六講：判別分析及各判別方法思想，判別分析假設(shè)條件，距離判別與貝葉斯判別關(guān)系判別分析定義：一種進行統(tǒng)計判別和分組的技術(shù)手段。它可以就一定數(shù)量案例的一個分組變量和相應(yīng)的其他多元變量的已知信息，確定分組與其他多元變量之間的數(shù)量關(guān)系，建立判別函數(shù)（discriminant Function ）。然后便可以利用這一數(shù)量關(guān)系對其他已知多元變量信息、但未知分組類型所屬的案例進行判別分組。各判別方法思想： 距離判別：求新樣品X到Gi的距離與到G2的距離之差，如果其值為正，X屬于G2；否則X屬于

12、Gi Bayes判別：由于k個總體Gl，G2， ，Gk出現(xiàn)的先驗概率分別為qi，q2， ，qk，則用規(guī)則R來進行判別所造成的總平均損失為kkkg(R) qir(i,R) q： C( j | i)P(j |i,R)i 1' 1 j 1( 4.12)所謂Bayes判別法則，就是要選擇 R1, R2, , Rk，使得(4.12)式表示的總平均損 失g(R)達到極小。 Fisher判別的基本思想和步驟：從K個總體中抽取具有p個指標(biāo)的樣品觀測數(shù)據(jù)，借助方差分析的思想構(gòu)造一個線性判別函數(shù)：U(X)= 1X12X2 -PXP 'X,其中系數(shù)=(1,2，,p)'確定的原則是使得總體之間

13、區(qū)別最大，而使每個總體內(nèi)部的離差最小。有了線性判別函數(shù)后，對于一個新的樣品，將它的p個指標(biāo)值代入線性判別函數(shù)式中求出U(X)值，然后根據(jù)判別一定的規(guī)則，就可以判別新的樣品屬于哪個總體。判別分析假設(shè)條件： 判別分析的假設(shè)之一，是每一個判別變量(解釋變量)不能是 其他判別變量的線性組合。即不存在多重共線性問題。判別分析的假設(shè)之二，是各組變量的協(xié)方差矩陣相等。判別分析最簡單和最常用的 形式是采用線性判別函數(shù)，它們是判別變量的簡單線性組合。在各組協(xié)方差矩陣相 等的假設(shè)條件下，可以使用很簡單的公式來計算判別函數(shù)和進行顯著性檢驗。判別分析的假設(shè)之三，是各判別變量之間具有多元正態(tài)分布，即每個變量對于所有 其

14、他變量的固定值有正態(tài)分布。在這種條件下可以精確計算顯著性檢驗值和分組歸 屬的概率。當(dāng)違背該假設(shè)時，計算的概率將非常不準(zhǔn)確。距離判別與貝葉斯判別關(guān)系: 葉斯判別規(guī)則為：x G,當(dāng)v（x） d，二者唯一差別僅在于閥值點，從某種距離判別中兩個總體的距離判別規(guī)則為:X G,如果W(X) 0X G2,如果W(X) 0x G2,當(dāng) V（x） d意義上講，距離判別是貝葉斯判別的特殊情形。題型及分數(shù)：一、判斷對錯并改正（4題，8分）二、不定項選擇（10題，20分）三、 簡答題（4題，32分）（六選四）主成分基本思想，系統(tǒng)聚類，K-均值聚類基本思想及過程， 判別分析及費希爾基本思想， 比較聚類與回歸、判別，因子

15、分析及因子旋轉(zhuǎn)聚類與回歸、判別： 判別與回歸：聯(lián)系：都是根據(jù)已有數(shù)據(jù)判別未來趨勢。區(qū)別：多元回歸的因變量是數(shù)值型變量，且自變量可是0-1變量；判別分析的因變量是類別型變量，而自變量不是 0-1變量判別與聚類：聚類分析：類別未知，利用樣本確定分組數(shù) 及所屬類別；判別分析：類別數(shù)及意義已知，還能“預(yù)測”新樣本所屬類別；聚類中加 進一個變量需要對類進行更新，重新計算與其他類的距離， 而判別對新樣本進行判別后，不更新所屬的類。四、 計算題（1題，10分）計算樣本均值、協(xié)差陣、相關(guān)陣五、 分析題（2題，30分）（四選二）1）主成分分析的SPSS實例分析（主成分個數(shù)確定，主成分表達式，主成分分析步驟）2）

16、 因子分析的SPSS實例分析（因子分析模型，公因子的解釋命名分析）（二選一）3）聚類分析的SPSS實例分析（分類數(shù)確定， 聚類結(jié)果命名分析，優(yōu)缺點及改進策略 ）分類數(shù)確定 樹狀圖，確定原則是組內(nèi)距離小，組間距離大。 聚合系數(shù)圖：在曲線開始變得平緩的點選擇合適的分類樹 任何類都必須在鄰近各類中是突出的，即各類重心間的距離必須大 各類所包含的元素都不要過分地多 分類數(shù)目應(yīng)符合使用的目的 若采用幾種不同的聚類法，則在各自的聚類圖上應(yīng)發(fā)現(xiàn)相同的類 對聚類過程中聚合系數(shù)分類數(shù)的變化（曲線）進行分析，可以輔助確定 合理的分類數(shù)聚類分析的缺點層次聚類法的結(jié)果容易受奇異值的影響，而快速聚類法受奇異值、相似測度和不適 合的聚類變量的影響較小。層次聚類法可以得到一系列的聚類數(shù)，而快速聚類只能得到指定類數(shù)的聚類數(shù)。 層次聚類法在數(shù)據(jù)比較多時計算量比較大，需要占據(jù)非常大的計算機內(nèi)存空間，而 快速聚類法計