大學(xué)物理自測題下(黃皮書)機械波動要點及詳細答案

1、簡諧振動微分方程簡諧振動微分方程2220d xxdt其通解為：其通解為：cos()xAt簡諧振動的運動學(xué)方程簡諧振動的運動學(xué)方程利用初始條件確定利用初始條件確定,A 21 T 22 T 2 T2200()vAx00tanvx 簡諧振動的簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tAoX0cos()xAt機械能機械能222111222pkEEEkxmvkA簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成221212212cos()AAAAA11221122sinsintgcoscosAAAA111(

2、)cos()x tAt222( )cos()xtAt12,cos()xxxxAt合振動合振動 : :1A11x2A22xA 12xxx 12 T uuT 波的周期波的周期 T 、頻率頻率 v 和和波長波長 之間的關(guān)系之間的關(guān)系平面簡諧波的波動式平面簡諧波的波動式cos()xyAtuxot振動圖振動圖xypuOx波動圖波動圖22222yyutx波動方程波動方程波中各質(zhì)點的總機械能為：波中各質(zhì)點的總機械能為：kpEEE 222sin()xAtVu1）在波動的傳播過程中，任意時刻的動能和勢能不僅大小在波動的傳播過程中，任意時刻的動能和勢能不僅大小 相等而且相位相同，同時達到最大，同時等于零。相等而且

3、相位相同，同時達到最大，同時等于零。2）在波傳動過程中，任意質(zhì)元的能量不守恒，所以波動過在波傳動過程中，任意質(zhì)元的能量不守恒，所以波動過 程實質(zhì)上是能量的傳遞過程。程實質(zhì)上是能量的傳遞過程。kpEE 惠更斯原理：惠更斯原理：在波的傳播過程中，波面（波前）上的各點，在波的傳播過程中，波面（波前）上的各點，都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任一時刻，這些子波都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任一時刻，這些子波的包跡就成為新的波面。的包跡就成為新的波面。波的相干條件波的相干條件3.具有恒定的相位差具有恒定的相位差2.振動方向相同振動方向相同1.具有相同的頻率具有相同的頻率2010212()()r

4、r22212122cosAAAAA2 0,1,2,3,.kk (21)0,1,2,3,.kk 21rr0,1,2,3,.k 21,2k 2,2kk 稱為波程差：稱為波程差：2cos2cos( )cosxyAtA xt駐波方程駐波方程相鄰波腹或相鄰波節(jié)間的距離都為：相鄰波腹或相鄰波節(jié)間的距離都為：2x 波節(jié)兩側(cè)的點振動相位相反，波節(jié)之間的點其振動相位相同。波節(jié)兩側(cè)的點振動相位相反，波節(jié)之間的點其振動相位相同。半波損失半波損失當(dāng)波當(dāng)波從波疏媒質(zhì)入射到波密媒質(zhì)從波疏媒質(zhì)入射到波密媒質(zhì)界面上反射時，界面上反射時，有半波損失有半波損失；當(dāng)波當(dāng)波從波密媒質(zhì)入射到波疏媒質(zhì)從波密媒質(zhì)入射到波疏媒質(zhì)界面上反射時

5、，界面上反射時，無半波損失無半波損失。多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)s0vvuu 0v觀察者觀察者向著向著波源運動波源運動 + ，遠離遠離 - ； 波源波源向著向著觀察者運動觀察者運動 - ，遠離遠離 + 。sv0cos()xEEtc0cos ()xHHtc平面電磁波平面電磁波uEHxoyz電磁波的性質(zhì)電磁波的性質(zhì)rrcu EH坡因廷矢量坡因廷矢量電磁波的能流密度電磁波的能流密度( (坡因廷矢量坡因廷矢量) )：Swu221122wEH電磁波的能量密度：電磁波的能量密度：SEHSEHSEH1. 一輕彈簧一輕彈簧,上端固定上端固定,下端掛有質(zhì)量為下端掛有質(zhì)量為m的重物，其自由振動的重物，其自由振動 的周期

6、為的周期為今已知振子離開平衡位置為今已知振子離開平衡位置為x時，其振動速度時，其振動速度 為為v，加速度為，加速度為a，試判下列計算倔強系數(shù)的公式中那個是，試判下列計算倔強系數(shù)的公式中那個是 錯誤的：錯誤的：22maxmax( )/A kmvx( )/B kmg x22( )4/C km T()/D kma x22maxmax11( ) 22Amvkx2() , 2kmCTmk() DFkxma 2. 輕質(zhì)彈簧下掛一個小盤，小盤作簡諧振動，平衡位置為原點，輕質(zhì)彈簧下掛一個小盤，小盤作簡諧振動，平衡位置為原點， 位移向下為正，并采用余弦表示。小盤處于最低位置時刻有位移向下為正，并采用余弦表示。小

7、盤處于最低位置時刻有 一個小物體落到盤上并粘住，如果以新的平衡位置為原點，一個小物體落到盤上并粘住，如果以新的平衡位置為原點， 設(shè)新的平衡位置相對原平衡位置向下移動的距離小于原振幅，設(shè)新的平衡位置相對原平衡位置向下移動的距離小于原振幅， 且以小物體與盤相碰時為計時零點，那么新的位移表示式的且以小物體與盤相碰時為計時零點，那么新的位移表示式的 初相在：初相在： (A) 0/2之間。之間。 (B) /2之間。之間。 (C) 3/2之間。之間。 (D) 3/22之間。之間。解：解：位移向下為正。當(dāng)小盤處在最低位置時刻有一個小物體位移向下為正。當(dāng)小盤處在最低位置時刻有一個小物體 落到盤上，則振子系統(tǒng)向

8、下還是向上運動？落到盤上，則振子系統(tǒng)向下還是向上運動？ 考慮到新的平衡位置相對原平衡位置向下移動的距離小考慮到新的平衡位置相對原平衡位置向下移動的距離小于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。采用旋轉(zhuǎn)矢量法可知初相位在第四象限。采用旋轉(zhuǎn)矢量法可知初相位在第四象限。 3. 勁度系數(shù)分別為勁度系數(shù)分別為k1和和k2的兩個輕彈簧串聯(lián)在的兩個輕彈簧串聯(lián)在 一起，下面掛著質(zhì)量為一起，下面掛著質(zhì)量為m的物體，構(gòu)成一個的物體，構(gòu)成一個 豎掛的彈簧振子，則該系統(tǒng)的振動周期為：豎掛的彈簧振子，則該系統(tǒng)的振動周期為： k1 m k2 解：設(shè)彈簧串聯(lián)后彈簧的勁度系數(shù)為解：設(shè)彈

9、簧串聯(lián)后彈簧的勁度系數(shù)為k， 平衡時伸長了平衡時伸長了x,則則12xxx1 122kxmgk xmgk xmg12111kkk121212()11222m kkmTmkkkk k答案：答案：C31k1、將一個勁度系數(shù)為、將一個勁度系數(shù)為k的彈簧一截為二，則一半長的彈簧的勁度的彈簧一截為二，則一半長的彈簧的勁度 系數(shù)為多少？系數(shù)為多少？122kkk12xxx1 122kxmgk xmgk xmg12111kkk解：設(shè)彈簧截斷后的勁度系數(shù)為解：設(shè)彈簧截斷后的勁度系數(shù)為k1， k1，平衡時分別伸長了，平衡時分別伸長了x1， x2，則，則kNk將勁度系數(shù)為將勁度系數(shù)為k的彈簧平分為的彈簧平分為N段，則

10、一段彈簧的勁度系數(shù)為：段，則一段彈簧的勁度系數(shù)為：3、把一根彈簧在其一半處折疊成一根雙股彈簧，其彈簧的勁度、把一根彈簧在其一半處折疊成一根雙股彈簧，其彈簧的勁度 系數(shù)為多少？系數(shù)為多少？2、將兩根勁度系數(shù)分別為、將兩根勁度系數(shù)分別為k1和和k2的彈簧兩端固定，在兩彈簧中間的彈簧兩端固定，在兩彈簧中間 連接一個質(zhì)量為連接一個質(zhì)量為m的物體，合成后的彈簧的勁度系數(shù)為多少？的物體，合成后的彈簧的勁度系數(shù)為多少？12kkk2 4kkk解：設(shè)彈簧并聯(lián)后的勁度系數(shù)為解：設(shè)彈簧并聯(lián)后的勁度系數(shù)為k，平衡時伸長了，平衡時伸長了x，則，則1 122kxmgk xk xmg12xxx2kk3k1111kkkk3k

11、k122km所以振動系統(tǒng)的頻率為：（）所以振動系統(tǒng)的頻率為：（）解：截成三等份，設(shè)每等份的倔強系數(shù)為解：截成三等份，設(shè)每等份的倔強系數(shù)為 , 則則k兩根并聯(lián)時兩根并聯(lián)時2 6kkk解：解：1 12212mgk xk xxnx答案為（答案為（c)12111kkk21knk1 12212mgk xk xkxxxx111kkk2kk 2222mmTkk2kkk xkxkxmg2222mmTkk彈簧串聯(lián)：彈簧串聯(lián)： 彈簧并聯(lián)：彈簧并聯(lián)： 一彈簧振子作簡諧振動，總能量為一彈簧振子作簡諧振動，總能量為E1, ,如果簡諧振動振幅如果簡諧振動振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增為原來的四倍，則它的總能增加為原來

12、的兩倍，重物的質(zhì)量增為原來的四倍，則它的總能量量E1變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?(A)E1/4 (B)E1/2 (C)2E1 (D)4E1)tsin(Av0 )t(coskA02221 諧振動系統(tǒng)的能量諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為某一時刻，諧振子速度為v，位移為位移為x)tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp 221kAEEEpk 總能量變?yōu)椋ǎ┛偰芰孔優(yōu)椋ǎ?.6.一物體作簡諧振動，振動方程一物體作簡諧振動，振動方程 ，則該物體，則該物體 在在t=0t=0時刻的動能與時刻的動能與t =T/8 ( (T為振動

13、周期為振動周期) )時刻的動能之比為：時刻的動能之比為：221mvEk 221sin (/2)2kAt221sin22kEkA解：動能為解：動能為t=0時刻，時刻，t=T/8時刻，時刻，221sin282kTEkA22221213sinsin28224kAkA(A)1:4 (B)1:2（C)1:1 (D)2:1動能之比為（）動能之比為（）2:1cos(/2)xAt解：解：xtTEEpokpEE EtEkkA2/2彈性力所做的功等于動能的變化量，所以半個彈性力所做的功等于動能的變化量，所以半個周期所做的功為零。周期所做的功為零。tfdbo, , 12.一列機械橫波在一列機械橫波在t時刻的波形曲線

14、如圖所示，則該時刻能時刻的波形曲線如圖所示，則該時刻能量為最大值的媒質(zhì)質(zhì)元的位置是：量為最大值的媒質(zhì)質(zhì)元的位置是： (A) (B) (D) (C) fdbo, geca,do , fb,在波動的傳播過程中，某質(zhì)元任意時刻的動能和勢能不僅大小相等而且相在波動的傳播過程中，某質(zhì)元任意時刻的動能和勢能不僅大小相等而且相位相同，同時達到最大，同時等于零。位相同，同時達到最大，同時等于零。在平衡位置動能和勢能同時達到最在平衡位置動能和勢能同時達到最大值，大值， 在最大位移處動能和勢能同時為零在最大位移處動能和勢能同時為零.212EkA2 /2mTk 2221 42mEAT8. 8. 一長為一長為l 的均

15、勻細棒懸于通過其一端的光滑水平的均勻細棒懸于通過其一端的光滑水平 固定軸上，（如圖所示），作成一復(fù)擺。已知固定軸上，（如圖所示），作成一復(fù)擺。已知 細棒繞通過其一端的軸的轉(zhuǎn)動慣量細棒繞通過其一端的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ， 此擺作微小振動的周期為此擺作微小振動的周期為: : 2/3JmlOl2mglJ轉(zhuǎn)動定理：轉(zhuǎn)動定理：22sin22dlmglJmgdt 2202dmgldtJ周期為周期為:222223JlTmglg. . 一質(zhì)點作簡諧振動，周期為一質(zhì)點作簡諧振動，周期為T當(dāng)它由平衡位置向當(dāng)它由平衡位置向x軸正軸正 方向運動時，從二分之一最大位移處到最大位移處這段方向運動時，從二分之一最大位移處到最大位

16、移處這段 路程所需要的時間為路程所需要的時間為 解：采用旋轉(zhuǎn)矢量法：解：采用旋轉(zhuǎn)矢量法：3(A) T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4解解:與標準方程比較與標準方程比較:0cos ()xyAtu0cosAtxu相鄰波腹或相鄰波節(jié)間的距離都為：相鄰波腹或相鄰波節(jié)間的距離都為：2x 相鄰波腹與波節(jié)間的距離為：相鄰波腹與波節(jié)間的距離為：4x Fkx 400.2k400.2200/kN m2, 2kmTmk22222000.042.0 ()44kTmkg解：由能量守恒定律可知：左右兩側(cè)所解：由能量守恒定律可知：左右兩側(cè)所 處最高位置應(yīng)該相等，即勢能相等。處最高位置應(yīng)該相等，

17、即勢能相等。120.451cos1cosmg lmgl121cos1.51cos0.451.05mglmg l221112222112sin/ 21cos1.51cos1.05112sin/ 2cos()t11221.51.21.05AA注意這相當(dāng)于兩個振動而不是兩列波注意這相當(dāng)于兩個振動而不是兩列波1A頻率相等，所以相位差等于初相差：頻率相等，所以相位差等于初相差：10/22002120100/2/2 1A103 /2222A2A203 /422/2A3 /23 /43 /4oxox2A120.05 2cos11 /12 cos2 /3xxxt0.05 cos11 /120.05 cos/1

18、2tt 同方向、同頻率諧振動的合成同方向、同頻率諧振動的合成221212212cos()AAAAA由圖知：由圖知：2.利用矢量合成法利用矢量合成法1A11x2A22xA xAxyyAcos()xAt1122coscosxAAA1122sinsinyAAA22xyAAA222 0.052 0.05 cos(4 /3)0.05 11221122sinsintgcoscosyxAAAAAA121212121212122sincossinsin22coscos2coscos2211212tgtg11231212or230.05cos()12xt122coscos2 /3xxxAtcosAt 30 xx

19、x12xxx/32221112cos()AAAAA 222010 32 20 10 3cos( /6) 10cm12sinsin/6AA12sin/610 313sin1022AA120/3/6/2 1A2AoxA/6212122uLttt 2/33L2.4m6.0/m s2.46/0.4um sT0.5Lm20.2/62.4m解：波動方程為：解：波動方程為：02cos2yAtxHz0500021014. 35m2202解：波動方程為：解：波動方程為：02cos2yAtx相距為相距為a的兩點的相位差為：的兩點的相位差為：2aEa13101.43220250000smu解：設(shè)波動方程為：解：設(shè)波

20、動方程為：02cos2xyAt02cos2uxyAt20,tx00cos 22uA24cos22uxuyAt波動方程波動方程P處質(zhì)點的振動方程為處質(zhì)點的振動方程為:4cos22uuyAt0y 0v 02sin 220uuA 042u 解解: 設(shè)設(shè)P的振動方程為的振動方程為:0cos()pyAt已知已知:20.22AT00.2cos()2pyt由于由于20ptsy0.2cos()22pyt02 02220pv000.2cos(2)200.2sin(2)022解：入射波在解：入射波在B點的振動方程為：點的振動方程為：cos2 ( / )yAt TL入由于由于B是固定端，則在是固定端，則在B點處有半

21、波損失，因而點處有半波損失，因而反射波在反射波在B點的振動方程為：點的振動方程為：cos2 ( / )yAt TL反則反射波的波動方程為：則反射波的波動方程為：2cos2tLAT222cos2yAtxLT反反射波在反射波在O點的振動方程為：點的振動方程為：22cos2OtLLyAT反解：反射波在解：反射波在x=0處的振動方程為：處的振動方程為：20.15cos100/2yt因為反射點為自由端，則無半波損失，則入射波的波動方程為：因為反射點為自由端，則無半波損失，則入射波的波動方程為：10.15cos 100 (/200)/2ytx則駐波方程為：則駐波方程為：120.3coscos(100)22yyyxtx入射波入射波反射波反射波01cos(2)yAtx入射波入射波反射