大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)之機械振動

1、 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云一、簡諧振動的定義（判據(jù)）一、簡諧振動的定義（判據(jù)） 1 1、彈性回復(fù)力、彈性回復(fù)力2 2、動力學(xué)方程、動力學(xué)方程kxF 0222 xdtxd 3 3、運動學(xué)方程、運動學(xué)方程)cos( tAx)sin( tA)2cos( tA其速度、加速度也有簡諧振動的特征其速度、加速度也有簡諧振動的特征)cos(2 tAa)cos( tAT2 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云二、簡諧振動的三個特征量二、簡諧振動的三個特征量 1 1、振幅、振幅 2 2、角頻率、角頻率 3 3、初相位、初相位m mk k 彈彈l lg g 單單I Im mg gl lc c 復(fù)復(fù)22020 x

2、 xA A00tanx x 同一振動中位相差同一振動中位相差 t t與時間差的關(guān)系：與時間差的關(guān)系：或由旋轉(zhuǎn)矢量法確定或由旋轉(zhuǎn)矢量法確定 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云注意彈簧的串、并聯(lián)注意彈簧的串、并聯(lián)及彈簧自身質(zhì)量的影響及彈簧自身質(zhì)量的影響三、簡諧振動的三種表示方法三、簡諧振動的三種表示方法 1 1、 解析表達法解析表達法 2 2、 振動曲線法振動曲線法 3 3、 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法)cos( t tA Ax xtx 圖圖AAxT2Tto 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云三、簡諧振動的三種表示方法三、簡諧振動的三種表示方法 1 1、 解析表達法解析表達法 2 2、 振動曲線法振動曲線法 3

3、 3、 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法)cos( t tA Ax xtx 圖圖AAxT2Tto 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云注意：熟練掌握旋轉(zhuǎn)矢量法！注意：熟練掌握旋轉(zhuǎn)矢量法！Atx0=0 txx t0 0)cos( tAxa a、確定初相位、確定初相位b b、確定相位差或時間差、確定相位差或時間差同一振動：同一振動： t同頻率不同振動：同頻率不同振動：12c c、解決振動合成問題、解決振動合成問題四、簡諧振動的能量四、簡諧振動的能量 2222121AmkAEEEKP 221kxEP 221 mEk 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云1、 由能量求振幅由能量求振幅k kE

4、EA A02 2、 由能量求角頻率由能量求角頻率常數(shù)常數(shù) ),(x xE E兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)022 k kx xt tx xm mddm mk k 2 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云五、五、 簡諧振動的合成簡諧振動的合成;,)(max211221A AA AA AA Ak k 則則若若 .,)(min2112122A AA AA AA Ak k 則則若若1 1、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成)cos(111 tAx)cos(222 tAx)cos(21tAxxx cos2212221AAAAA 22112211coscossinsin AAAAtg 理 學(xué) 院

5、物 理 系 張晚云2 2、同方向同頻率、同方向同頻率N個等振幅、初相位依次相差定值個等振幅、初相位依次相差定值 的簡諧振動的合成的簡諧振動的合成tAtx cos)(01 )cos()(02 tAtx)2cos()(03 tAtxNxxxx 21)cos( tA 2sin2sin0 NAA )1(cos)(0 NtAtxN 21 N 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云、同方向不同頻率的簡諧振動的合成、同方向不同頻率的簡諧振動的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx 2- 1 2+ 121xxx )2cos()2cos(22112 ttA隨隨緩變緩變形成形成“拍拍”)2cos(212

6、t tA AA A 合合合合振振動動的的振振幅幅：122 拍拍T12 拍拍 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云4 4、相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成、相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成)cos(11 tAx)cos(22 tAy 221222212sincos2 AAxyAyAx12 特別地特別地當(dāng)振幅相當(dāng)振幅相等時，橢等時，橢圓軌道就圓軌道就成為圓。成為圓。 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云六、阻尼振動六、阻尼振動 0 teAtxtcos000220TT 七、受迫振動七、受迫振動1 1、穩(wěn)態(tài)解、穩(wěn)態(tài)解 x=Acos( t+ )驅(qū)動力頻率驅(qū)動力頻率2 2、共振、共振01 1）速度共振：）速度共振：若

7、若 g的情形下：的情形下：(1) 小珠相對圓環(huán)的平衡位置小珠相對圓環(huán)的平衡位置( (以小珠與圓以小珠與圓心的連線同豎直直徑之間的夾角心的連線同豎直直徑之間的夾角q q0表示表示);); (2) 小珠在小珠在平衡位置附近作小振動的角頻率。平衡位置附近作小振動的角頻率。理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云0q q解：解：(1)(1)在平衡位置時在平衡位置時mgNmg=Ncosq0Nsinq0=mRsinq02g=cosq0R21cosg=q0R2(2)(2)當(dāng)小球偏離平衡位置時當(dāng)小球偏離平衡位置時小球除了受正壓力小球除了受正壓力N，重力作用，重力作用mg 外，外，qNmgFI還受到一慣性力還受到一慣性力

8、:切向切向: q qq qmamgFI sincos22dtdmRq q q qq qq q sincossin2Rg 22dtdq qq q q qq q 02)sin( q qRmFI )sin()cos()sin()(000222q q q qq q q qq q q q q q Rgdtd很小很小q q q q q qq qq q q q)(cossin)sin(000 q q q qq qq q q q)(sincos)cos(000 22)(dtdq q q q q qq q cos)cos21 (0022Rg 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云 22)(dtdq q q q q qq

9、 q cos)cos21 (0022Rg 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云g=cosq0R20)(2224222 q q q q RgRdtdR24g2R22=理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云 例例5. 一不可伸長的細繩穿過光滑桌面的小孔，一端一不可伸長的細繩穿過光滑桌面的小孔，一端系一質(zhì)量為系一質(zhì)量為m的小球，另一端系一質(zhì)量為的小球，另一端系一質(zhì)量為M的重物。的重物。小球在桌面上以作勻速率圓周運動，此時重物靜止小球在桌面上以作勻速率圓周運動，此時重物靜止不動。試證明：當(dāng)重物受到豎直向下或向上的微擾后，不動。試證明：當(dāng)重物受到豎直向下或向上的微擾后，它將在豎直方向作簡諧振動，并求其振動周期。它將在

10、豎直方向作簡諧振動，并求其振動周期。0例例6.如圖如圖,一彈簧振子由勁度系數(shù)為一彈簧振子由勁度系數(shù)為k 的彈簧和質(zhì)量為的彈簧和質(zhì)量為M的物塊組成，將彈簧一端與頂板相連。開始時物塊靜止，的物塊組成，將彈簧一端與頂板相連。開始時物塊靜止，一顆質(zhì)量為一顆質(zhì)量為m、速度為速度為v01的子彈由下而上射入物塊，并的子彈由下而上射入物塊，并留在物塊中。試求：留在物塊中。試求： (1)(1)振子以后的振動振幅與周期；振子以后的振動振幅與周期； (2)(2)物塊從初始位置到最高點所需的時間。物塊從初始位置到最高點所需的時間。 M01 ox0 x自然自然位置位置x 解：解：建立如圖所示坐標，建立如圖所示坐標，在在

11、平衡平衡位置位置)()(0 xxkgMm xkMg kmgx 0(1) 由動量守恒由動量守恒得：得：001)( Mmm 010)( Mmm 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云M01 ox0 x自然自然位置位置x kmgx 0010)( Mmm Mmk 22020 xA2201)(1gMmkkmg 00tanx (2) 最高點的相位：最高點的相位：Mmkg 01 2t)(tan011Mmkg 2 t)(tan011MmkgkMmt 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云三、阻尼三、阻尼振動與受迫振動問題舉例振動與受迫振動問題舉例A 1. 固有頻率為固有頻率為的彈簧振子，在忽略阻

12、尼的情況下，的彈簧振子，在忽略阻尼的情況下，受到頻率為的余弦策動力作用，作受迫振動并達到受到頻率為的余弦策動力作用，作受迫振動并達到穩(wěn)定狀態(tài)，振幅為穩(wěn)定狀態(tài)，振幅為A。若振子在經(jīng)過平衡位置時撤去策。若振子在經(jīng)過平衡位置時撤去策動力，此后作振幅動力，此后作振幅A的的自由振動，則自由振動，則A與與A的關(guān)系為的關(guān)系為。0 02 提示：撤去策動力前、后振子在平衡位置的速率不變。提示：撤去策動力前、后振子在平衡位置的速率不變。振子受穩(wěn)態(tài)受迫振動時，振子受穩(wěn)態(tài)受迫振動時，在平衡位置處的速率為：在平衡位置處的速率為：A 振子自由振動時，振子自由振動時，在平衡位置處的速率為：在平衡位置處的速率為： AA2 理

13、 學(xué) 院 物 理 系 張晚云2. . 一擺在空中振動，某時刻振幅為一擺在空中振動，某時刻振幅為A0= 0.03m，經(jīng)過，經(jīng)過t1=10s后，振幅變?yōu)楹?，振幅變?yōu)?A1=0.01m，問，問: :由振幅為由振幅為A0時起時起經(jīng)多長時間，其振幅減為經(jīng)多長時間，其振幅減為A2=0.003m ？ =20.9(s)=0.110Ae0=At0=lnAlnAt1=ln100.030.01110=lntAA1120=lntAA2=10.11ln0.030.003解：解：理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云五、補充練習(xí)題五、補充練習(xí)題 1. 設(shè)想沿地球直徑鑿一隧道，并設(shè)地球為密度設(shè)想沿地球直徑鑿一隧道，并設(shè)地球為密度

14、=5.5l03kg/m3的均勻球體。試證的均勻球體。試證: : (1)當(dāng)無阻力時，一物體落入此隧道后將作簡諧振動；當(dāng)無阻力時，一物體落入此隧道后將作簡諧振動； (2)物體由地球表面落至地心的時間為物體由地球表面落至地心的時間為( (提示提示: :物體在地球內(nèi)部所受引力的計算，與電荷在均勻物體在地球內(nèi)部所受引力的計算，與電荷在均勻帶電球體內(nèi)受力的計算類似帶電球體內(nèi)受力的計算類似) ) Gt341 式中式中G是引力常量。是引力常量。2.一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為半徑為r 的均勻?qū)嵭男∏蛟诎霃綖榈木鶆驅(qū)嵭男∏蛟诎霃綖镽的球形碗底作純滾動。求微小振動的周期。的球形碗底作純滾動。求微小振動的周期。理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云R Rr r3.質(zhì)量為質(zhì)量為 可在光滑水平直導(dǎo)軌上滑動可在光滑水平直導(dǎo)軌上滑動，滑塊經(jīng)長為滑塊經(jīng)長為l的剛性輕桿與一質(zhì)量為的重錘相連。重錘與滑塊可的剛性輕桿與一質(zhì)量為的重錘相連。重錘與滑塊可繞滑塊無摩擦地自由轉(zhuǎn)動。在繞滑塊無摩擦地自由轉(zhuǎn)動。在t=0時刻，細桿與鉛垂時刻，細桿與鉛垂線夾角由靜止釋放。試求：重錘的運動軌跡及小角線夾角由靜止釋放。試求：重錘的運動軌跡及小角度下滑塊的運動方程度下滑塊的運動方程。