大學物理質(zhì)點角動量

1、教材閱讀指導教材閱讀指導：P79-2326行，行，P87_94:不要求不要求其余要其余要本章重點本章重點：角動量的定義角動量的定義;守恒條件及應用守恒條件及應用本章難點本章難點：矢量運算矢量運算第五章：角第五章：角動量動量守恒守恒一一. 質(zhì)點對定點的角動量質(zhì)點對定點的角動量二二. 力矩力矩 角動量定理角動量定理三三. 角動量守恒定律角動量守恒定律五五. 角動量守恒定律應用角動量守恒定律應用四四. 質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定律點積的微商點積的微商點積點積abba abba btatbabat dddd)(dd2aaa 0aa 叉積的微商叉積的微商btatb

2、abat dddd)(dd叉積叉積數(shù)學準備：矢量運算知識復習：數(shù)學準備：矢量運算知識復習：kjiikjjik對定點對定點O：LsinmvrL 方向：矢量叉積方向：矢量叉積大?。捍笮。簡挝唬簡挝唬?或或smKg/.2sJ.12 TMLL右手四指從第一個矢量沿右手四指從第一個矢量沿 小于小于180度的方向轉到第度的方向轉到第 二個矢量時，拇指的方向。二個矢量時，拇指的方向。相對于相對于不同點不同點,角動量是角動量是不同不同的的.一一. 質(zhì)點對定點的角動量質(zhì)點對定點的角動量OXYZrvLvrmprLvmr O 與與 同方向同方向L mSunrrvv例例2.行星在繞太陽公轉時的橢圓行星在繞太陽公轉時的

3、橢圓軌道上對軌道上對太陽太陽的角動量：的角動量：方向：方向：例例1.質(zhì)點圓周運動質(zhì)點圓周運動,對對圓心圓心O點點的角動量的角動量mrvLOrvmvrLLLvrmprLsinmvrL 例例3.質(zhì)點直線運動對某定點質(zhì)點直線運動對某定點的角動量：的角動量：大?。捍笮。悍较颍悍较颍?思考思考: 什么情況下什么情況下L=0？Omrdv等于零嗎等于零嗎？sinmvrL mvddtBdABdtAdBAdtd )(* 微分公式微分公式)(vmrdtddtLd考慮：考慮：dtpdrvmrdtd)(vFFr 考慮角動量變化的原因考慮角動量變化的原因rFFrM zxyO二二.角動量定理角動量定理1.力矩：力矩：Fr

4、M 力力 對對O點的力矩點的力矩FdtLdM 2.角動量角動量定理定理：注意注意:(1)用于慣性系用于慣性系(2) 相對于相對于同一點同一點ML,rFa ao大?。捍笮。篗對對O點的力矩點的力矩M關于力矩：關于力矩：方向：方向：右手螺旋法則右手螺旋法則a asinrFM 單位單位:N.m22 TMLLFr,取取 所在平面為所在平面為xoy平面平面對比中學的力矩對比中學的力矩力臂力臂=r sina ajgtvFrM xo例例4. x軸沿水平向右軸沿水平向右, y軸豎直向下軸豎直向下,在在t =0時刻將時刻將質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點由的質(zhì)點由a處靜止釋放處靜止釋放,讓它自由下落讓它自由下落.求求在任意

5、時刻在任意時刻t ,質(zhì)點所受的質(zhì)點所受的對原點對原點O的力矩的力矩和和對原對原點點O的角動量的角動量. 解：解：任意時刻任意時刻tjmgj yi a )(yajmgra avkamg )( vmrLjmgtj yi a )(kamgt 例例5.一質(zhì)點的角動量為一質(zhì)點的角動量為求質(zhì)點在求質(zhì)點在t = 1 s時所受力矩時所受力矩 . kttjtitL)812() 12(6232 kttji t)1636(2122 dtLdM 解：解： kji20212 t=1s 時時，當當0 M常常矢矢量量 L對于某一定點，如果質(zhì)點所受的對于某一定點，如果質(zhì)點所受的合外力矩合外力矩為零，則質(zhì)點對為零，則質(zhì)點對同一

6、定點同一定點的的角動量矢量角動量矢量保保持不變。持不變。說明：說明：1.適用對象：適用對象：三三. 角動量守恒定律角動量守恒定律單個質(zhì)點；質(zhì)點系單個質(zhì)點；質(zhì)點系2.條件：條件：0 M0,0 MF0,0 MrF的的延延長長線線力力在在有心力場有心力場dtLdM 對單個質(zhì)點：對單個質(zhì)點：例例6.質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在繩的一端的小球系在繩的一端,另一端通過另一端通過圓孔向下圓孔向下,水平面光滑。開始小球作圓周運動水平面光滑。開始小球作圓周運動(r1,v1)。然后向下拉繩然后向下拉繩,使小球做半徑為使小球做半徑為r2的圓周的圓周運動。求：運動。求：v2=？ v1r1r2FOv2解解:作用在小球的力始

7、終作用在小球的力始終通過通過O點（有心力）點（有心力）對對O點力矩點力矩=0質(zhì)點質(zhì)點角動量守恒：角動量守恒：2211rmvrmv)v(vv112)(21rr例例7.證明證明開普勒第二定律開普勒第二定律(Keplers laws )：行星對行星對太陽的太陽的徑矢徑矢,在在相等相等的時間內(nèi)掃過的時間內(nèi)掃過相等相等的面積。的面積。CdtdS 證明什么？證明什么？tSdtdSt 三三角角形形0lima a sinrrS21a asinlim210trrdtdSt a asin21dtrdr mLvrmL2 sin r21vma aLvrra asin21rr 行星對太陽的行星對太陽的徑矢徑矢掃過的面積

8、：掃過的面積：tSdtdSt 三三角角形形0lim 三三角角形形S討論：討論：行星行星受力受力方向方向與與矢徑矢徑在一條直線上在一條直線上(中心力中心力), 總總是與是與矢徑矢徑反平行的。反平行的。故對故對力心力心,質(zhì)點所受的質(zhì)點所受的力矩力矩為零為零,角動量守恒！角動量守恒！1.行星受力嗎行星受力嗎?常常量量 LmLvr力心力心F2.行星的行星的動量動量時刻在變嗎時刻在變嗎? 其其角動量角動量在變嗎在變嗎?CmLdtdS 20FrM解：解：1v1r2r2v2211rmvrmvf太陽對水星的引力指向日心太陽對水星的引力指向日心0 FrM對日心對日心,衛(wèi)星的衛(wèi)星的角動量守恒角動量守恒Fr例例8.

9、水星繞太陽運行軌道的水星繞太陽運行軌道的近日點近日點和和遠日點遠日點到太到太陽的距離分別為陽的距離分別為kmr711059. 4 kmr721098. 6 求水星越過近日點和遠日點時的求水星越過近日點和遠日點時的速率速率。太陽水星系統(tǒng)太陽水星系統(tǒng),只有萬有引力作用只有萬有引力作用,機械能守恒機械能守恒222121rGMmmv21rGMmvm21問題問題:能由水星在軌道上任意一點到日心的能由水星在軌道上任意一點到日心的 距離求出這點的速率嗎距離求出這點的速率嗎? iiLL1. 質(zhì)點系對定點的角動量質(zhì)點系對定點的角動量 jFi jipiFijfjifOirjr Niiipr12. 質(zhì)點系的角動量定

10、理質(zhì)點系的角動量定理 )(外iijijiiFfrdtLd 外)iiijijiiiFrfrdtLdLdtddtLdiiii()(合外力矩合外力矩 M外外合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩 =0外外MFrdtLdiii 四四. 質(zhì)點系的質(zhì)點系的角動量定理角動量定理和和角動量守恒定律角動量守恒定律0 iiifr易易證證：222frM 221121frfrMM 21ff 0)(2212222121 frfrrfrfrMM o2r1rr2f1f111frM 時時，當當外外0 M常常矢矢量量 L對于某一定點，如果質(zhì)點系所受的對于某一定點，如果質(zhì)點系所受的外力矩外力矩的矢量和的矢量和為零，則質(zhì)點系對為零，則質(zhì)點系對同一定點同

11、一定點的的角角動量矢量動量矢量保持不變。保持不變。注意：注意： 對質(zhì)點系：對質(zhì)點系：是是不不同同的的條條件件與與0, 0 MF1F2FMOm3. 角動量守恒定律角動量守恒定律 例例9.半徑為半徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水平地固定在高處水平地固定在高處,其上穿過一條輕繩其上穿過一條輕繩,質(zhì)量相同質(zhì)量相同的兩個孩子的兩個孩子,在在同一高同一高度從靜止開始度從靜止開始同時向上爬同時向上爬.任何時刻任何時刻,相對繩子相對繩子,甲甲的的速率是速率是乙乙的的2倍倍.試問誰先到達滑輪處？忽略摩擦試問誰先到達滑輪處？忽略摩擦. 解：以解：以二小孩二小孩為系統(tǒng)：為系統(tǒng)：外力：重力外力：重力內(nèi)力：二

12、質(zhì)點與繩子間的張力內(nèi)力：二質(zhì)點與繩子間的張力A. 甲甲 C. 同時到達同時到達B. 乙乙 D. 誰先到達不能確定誰先到達不能確定0外 imgrimgrM質(zhì)點系對質(zhì)點系對O角動量守恒角動量守恒例例9.半徑為半徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水平地固定在高處，水平地固定在高處，其上穿過一條輕繩，其上穿過一條輕繩，質(zhì)量相同質(zhì)量相同的兩個孩子。在的兩個孩子。在同同一高度從靜止開始一高度從靜止開始同時向上爬，任何時刻，同時向上爬，任何時刻，相對相對繩子繩子，甲的速率是乙的，甲的速率是乙的2倍，試問誰先到達滑輪處？倍，試問誰先到達滑輪處？忽略摩擦。忽略摩擦。 解：以解：以二小孩二小孩為系統(tǒng)：為系統(tǒng)

13、：質(zhì)點系對質(zhì)點系對O角動量守恒角動量守恒0 ivrmivrm乙乙對對地地乙乙甲甲對對地地甲甲乙乙對對地地甲甲對對地地vv C. 同時到達同時到達為什么星系是扁狀，盤型結構？1.孤立系孤立系五五.角動量守恒的幾種可能情況：角動量守恒的幾種可能情況：(自閱教材自閱教材88頁頁 5-2-4)v1r1r2FOv22.有心力場有心力場,對對力心力心角動量守恒角動量守恒.3.用分量式用分量式 雖然雖然 , 但對某軸外力矩為零但對某軸外力矩為零,則總則總角動量不守恒角動量不守恒,但對這軸的角動量是守恒的但對這軸的角動量是守恒的.0 iM xixLM;0常量常量 與剛體一同討論與剛體一同討論1v1r2r2vf

14、vrmprL1.質(zhì)點質(zhì)點角動量角動量：質(zhì)點的：質(zhì)點的位矢位矢與與動量動量的叉積的叉積3.質(zhì)點質(zhì)點(系系)角動量定理：角動量定理：FrM 4. 質(zhì)點質(zhì)點(系系)角動量守恒定律角動量守恒定律：2.對定點的對定點的力矩力矩：位矢：位矢與與力力的叉積的叉積時，時，當當外外0 M常矢量常矢量 L本章總結本章總結：外外MFrdtLdiii 0 M0,0 MF0,0 MrF的的延延長長線線力力在在單個質(zhì)點：單個質(zhì)點：對質(zhì)點系：對質(zhì)點系：是是不不同同的的條條件件與與0, 0 MF作業(yè)作業(yè): 5.1; 5.6; 5.7; 5.11(用給出量用給出量表示表示); 5.15下次上習題課，請帶下次上習題課，請帶書。書

15、。習題課一（習題課一（111頁）中，下列題不要頁）中，下列題不要: P54，5； P710； P98，9；2；P105，P12頁開始；頁開始；例例10. 兩個滑冰運動員的質(zhì)量各為兩個滑冰運動員的質(zhì)量各為70 kg,以以6.5 m/s的速率沿相反方向滑行的速率沿相反方向滑行,滑行路線間的垂直距離滑行路線間的垂直距離為為10 m當彼此交錯時各抓住當彼此交錯時各抓住10 m繩索的一端，繩索的一端，然后相對旋轉求然后相對旋轉求.(1)在抓住繩索在抓住繩索前后前后各自對繩各自對繩中心的角動量是多少？中心的角動量是多少？(2)他們各自收攏繩索他們各自收攏繩索,到到繩長為繩長為5 m時時,各自的速率是多少？

16、繩子的張力是各自的速率是多少？繩子的張力是多少？多少？(3)在收攏繩索過程中各自做的功為多少？在收攏繩索過程中各自做的功為多少？總動能如何變化？總動能如何變化？解解.(1)每人對繩中心的角動量每人對繩中心的角動量 習題5.15圖0v0vO0r0rmmO2r2r2v2v00 0Lmrv2170 6 5 52275.kg ms(2)牽手過程中無外力矩作用，質(zhì)點系對繩牽手過程中無外力矩作用，質(zhì)點系對繩中心的角動量守恒中心的角動量守恒 習題5.15圖0v0vO0r0rmmO2r2r2v2v22112mr v = 2mr v-11212rv =v =13m sr2224732TmNrv22k211A=E =m(v -v )2(3)在收攏繩索過在收攏繩索過 程中各自做功程中各自做功 22