最全的遞推數(shù)列求通項公式方法24頁

1、高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析 各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，變式:（2004，全國I，個理22本小題滿分14分）已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項公式.解：，即， 將以上k個式子相加，得將代入

2、，得，。經(jīng)檢驗也適合，類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例:已知， ，求。解： 。變式:（2004，全國I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項 解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時，即，又，將以上n個式子相乘，得類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:（2006，重

3、慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_（key:）變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列bn滿足證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）證明：（I）解：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 即（II）證法一：，得即，得即是等差數(shù)列 證法二：同證法一，得令得設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時，等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時，那么這就是說，當(dāng)時，等式也成立 根據(jù)（1）和（2），可知對任何都成立 是等差數(shù)列 （III）證明：變式:遞推式：。解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般

4、地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以變式:（2006，全國I,理22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項的和，（）求首項與通項；（）設(shè)，證明：解：（I）當(dāng)時，；當(dāng)時，即，利用（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）的方法，解之得：()將代入得 Sn= ×(4n2n)×2n+1 + = ×(2n+11)(2n+12) = ×(2n+11)(2n1) Tn= = × = ×( )所以, = ) = ×( )

5、< 類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項公式。由，得，且。則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：數(shù)列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉(zhuǎn)

6、化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。變式:（2006，福建,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 （I）證明：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 （II）解：由（I）得（III）證明：，得即，得即是等差數(shù)列 類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進行求解。例：已知數(shù)列前n項和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4（

7、其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分) 已知正項數(shù)列an，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項an 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 ， anan1=5 (n2) 當(dāng)a1=3時，a3=13，a15=73 a

8、1， a3，a15不成等比數(shù)列a13;當(dāng)a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 變式: (2005,江西,文,22本小題滿分14分）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項公式.解：，兩邊同乘以，可得令 又，。類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）

9、已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3 ()令()求數(shù)列()設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出 若不存在,則說明理由 解：（I）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數(shù)列 （II）由（I）知，將以上各式相加得： （III）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當(dāng)且僅當(dāng)，即時，數(shù)列為等差數(shù)列 解法二：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 由（I）、（II）知，又當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列 類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列中，求數(shù)列解：由兩邊取對數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。變式:（

10、2005，江西,理,21本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項公式an.解：用數(shù)學(xué)歸納法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時， ，命題正確.2°假設(shè)n=k時有 則 而又時命題正確.由1°、2°知，對一切nN時有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時，； 2°假設(shè)n=k時有成立， 令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時 成立，所以對一切 （2）解法一：所以,又bn=1，所以解法二：由（I）知，兩邊取以2為底的對數(shù)，令,則或變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分

11、14分）已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；（2） 設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項；記bn=，求bn數(shù)列的前項和Sn，并證明Sn+=1 解：（）由已知，兩邊取對數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列 （）由（）知 （*）=由（*）式得（）， ，又，又， 類型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）已知數(shù)列an滿足：a1，且an（1） 求

12、數(shù)列an的通項公式；（2） 證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1·a2·an<2·n！解：（1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個等比數(shù)列，其首項為1，公比，從而1，據(jù)此得an（n³1）1°（2）證：據(jù)1°得，a1·a2·an為證a1·a2·an<2·n！只要證nÎN*時有>2°顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明，對每個nÎN*，有³1（）3°用數(shù)學(xué)歸納法證明3°式：（i） n1時，3°式顯然成立，（ii）

13、 設(shè)nk時，3°式成立，即³1（）則當(dāng)nk1時，³1（）·（）1（）（）³1（）即當(dāng)nk1時，3°式也成立 故對一切nÎN*，3°式都成立 利用3°得，³1（）11>故2°式成立，從而結(jié)論成立 類型10 解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式. 解: 數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩

14、個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即例：已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)對于都有(2) 令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在，當(dāng)4，時，.(3)令則對于(4)、顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當(dāng)時，則有令則得且2.當(dāng)（其中且N2）時，數(shù)列從第項開始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且2上取值時，無窮數(shù)列都不存在.變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列記（）求b1、b2、b3、b4的值；（

15、）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和解法一：由已知,得,其特征方程為解之得,或, 解法二：（I）（II）因，故猜想因，（否則將代入遞推公式會導(dǎo)致矛盾）故的等比數(shù)列., 解法三：（）由整理得（）由所以解法四：（）同解法一（） 從而類型11 或解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。例：（I）在數(shù)列中，求 （II）在數(shù)列中，求類型12 歸納猜想法解法：數(shù)學(xué)歸納法變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項公式 提示:1 為方程的根,代入方程可得將n=1和n=2代入上式

16、可得 2 求出等,可猜想并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，本題主要考察 一般數(shù)列的通項公式與求和公式間的關(guān)系3 方程的根的意義(根代入方程成立)4數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項公式(也可以把分開為,可得解：()當(dāng)n1時，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1 當(dāng)n2時，x2a2xa20有一根為S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1 ()由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0 當(dāng)n2時，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2 由可得S3 由此猜想Sn，n1，2，3， 8分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論 (i)n1時已知結(jié)論成立 (ii)假設(shè)nk時結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時，由得Sk1，即Sk1，故nk1時結(jié)論也成立 綜上，由(i)、(ii)可知Sn對所有正整數(shù)n都成