初中幾何輔助線大全-最全(共28頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B， 求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)， ADAC BCBD （已知） CAEDBE 90° （垂直的定義） 在DBE與CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） EDEA

2、ECEB 即：ADBC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）二 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。三、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延長(zhǎng)于E 。求證：BD2CE 分析：要證BD2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時(shí)CE與ABC的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F。 BECF （已知） BEFBEC90° （垂直的定義）在BEF與BEC中， BEFBEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BAC

3、=90° BECF （已知） BACCAF90° 1BDA90°1BFC90° BDABFC在ABD與ACF中 ABDACF （AAS）BDCF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD2CE四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：ABDC，AD 求證：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN，ABNDCN。下面只需證NBCNCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有NBMNCM，所以NBCNCB。問(wèn)題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=D

4、N，BM=CM，在ABN和DCN中 ABNDCN （SAS） ABNDCN NBNC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在NBM與NCM中 NMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。巧求三角形中線段的比值例1. 如圖1，在ABC中，BD：DC1：3，AE：ED2：3，求AF：FC。解：過(guò)點(diǎn)D作DG/AC，交BF于點(diǎn)G 所以DG：FCBD：BC因?yàn)锽D：DC1：3 所以BD：BC1：4 即DG：FC1：4，F(xiàn)C4DG因?yàn)镈G：AFDE：AE 又因?yàn)锳E：ED2：3 所以DG：AF3：2即 所以AF：FC：4DG1：6例2. 如圖2，BC

5、CD，AFFC，求EF：FD解：過(guò)點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GCAF：AC因?yàn)锳FFC 所以AF：AC1：2 即EF：GC1：2， 因?yàn)镃G：DEBC：BD 又因?yàn)锽CCD所以BC：BD1：2 CG：DE1：2 即DE2GC因?yàn)镕DEDEF 所以EF：FD小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！例3. 如圖3，BD：DC1：3，AE：EB2：3，求AF：FD。解：過(guò)點(diǎn)B作BG/AD，交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。 所以DF：BGCD：CB因?yàn)锽D：DC1：3 所以CD：CB3：4 即D

6、F：BG3：4， 因?yàn)锳F：BGAE：EB 又因?yàn)锳E：EB2：3所以AF：BG2：3 即所以AF：DF例4. 如圖4，BD：DC1：3，AFFD，求EF：FC。解：過(guò)點(diǎn)D作DG/CE，交AB于點(diǎn)G所以EF：DGAF：AD因?yàn)锳FFD 所以AF：AD1：2 圖4即EF：DG1：2 因?yàn)镈G：CEBD：BC，又因?yàn)锽D：CD1：3， 所以BD：BC1：4即DG：CE1：4，CE4DG因?yàn)镕CCEEF所以EF：FC1：7練習(xí)：1. 如圖5，BDDC，AE：ED1：5，求AF：FB。2. 如圖6，AD：DB1：3，AE：EC3：1，求BF：FC。 答案：1、1：10； 2. 9：1二 由角平分線想到

7、的輔助線圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+C

8、D。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。例2 已知：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自已證明。例3 已知：如圖1-4，在ABC中，C=

9、2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例1 如圖2-1，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180 分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求

10、證：BC=AB+AD分析：過(guò)D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交

11、）。例1 已知：如圖3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。例2 已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線，可得EAAF，從

12、而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作ABD關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對(duì)稱(chēng)FCM，然后只需證DF=CF即可。三 由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后

13、證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。DAECB例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180°，求證：AE=AD+BE。例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知R

14、tABC中，ACB=90°，AD是CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。1如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA2.如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E。求證：BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。（一）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：BGE

15、=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而B(niǎo)GE=CHE。（二）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD=，故BC=2

16、BD=2。例4如圖5，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（三）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=B

17、E，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（四）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中BE是等

18、腰BCF的底邊CF的中線。（五）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。1 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，BAC=DAE=90°。求證：AMDC。DMCDEDADBDABDCEF5已知：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC 五 全等三角形輔助線（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、

19、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小. 3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用例題：以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2：如圖，

20、ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;ABAC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證：5（三）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD2：（06鄭州市中考題）如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).3.如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該

21、圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。（四）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 2：D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,D

22、M,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為 ；4已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）5.已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).

23、(1)如圖,當(dāng)APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);(2)當(dāng)APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.6.在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、C

24、A的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）梯形中的輔助線1、平移一腰：例1. 如圖所示，在直角梯形ABCD中，A90°，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的長(zhǎng). 解：過(guò)點(diǎn)D作DEBC交AB于點(diǎn)E. 又ABCD，所以四邊形BCDE是平行四邊形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。解：過(guò)點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M，在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM

25、=CDAB=83=5，所以BC的取值范圍是：54<BC<54，即1<BC<9。2、平移兩腰： 例3如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。解：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得EGHEHG=BC=90°則EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)所以3、平移對(duì)角線：例4、已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積解：如圖，作DEAC，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)ABDCEHA

26、DBC 四邊形ACED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE中， BD=3，DE=4，BE=5BDE=90°作DHBC于H，則例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：ACBD。解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=，所以AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在ACE中，從而ACCE，于是ACBD。例6如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積

27、。解：過(guò)點(diǎn)D作DE/AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ACED是平行四邊形，即。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例7如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50°，C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。在BCE中，B=50°，C=80°。所以E=50°，從而B(niǎo)C=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3例8. 如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形ABCD

28、的形狀，并證明你的結(jié)論. 解：四邊形ABCD是等腰梯形. 證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，如圖所示. ACBD，ADBC，ABBA，DABCBA. DABCBA. EAEB. 又ADBC，DECE，EDCECD. 而EEABEBAEEDCECD180°，EDCEAB，DCAB. 又AD不平行于BC，四邊形ABCD是等腰梯形. （三）、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。解：連結(jié)BD，由AD/BC，得ADB=DBE；由BC=CD，得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=

29、DEB=90°，BD=BD，所以RtBADRtBED，得AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線ACBD，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作EF/AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過(guò)點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是DAB=DBA。又EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高ABCDDEDFD例11、在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，ABC=60°，AD=3cm，BC

30、=5cm，求：(1)腰AB的長(zhǎng)；(2)梯形ABCD的面積解：作AEBC于E，DFBC于F，又ADBC，四邊形AEFD是矩形， EF=AD=3cmAB=DC在RtABE中，B=60°，BE=1cmAB=2BE=2cm，（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中點(diǎn)，AOD=90°，求證：ABCD=AD。證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90°，AE=DE所以由、得ABCD=AD。2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角

31、線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1）EF/AD；（2）。證：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證AFDCFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是BDG的中位線從而EF/BG，且因?yàn)锳D/BG，所以EF/AD，EF3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求AEB=2CBE。解：分別延長(zhǎng)AE與BC ，并交于F點(diǎn)BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900

32、又ADBCDAE=F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等) AED=FEC （對(duì)頂角相等）DE=EC （E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBEABDCEF例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，E是CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE，理由如下：延長(zhǎng)AE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)FDE=CE，AED=CEF，DAE=FADEFCEAE=EFABBC， BE=AE例17、已知：梯形ABCD中，AD/B

33、C，E為DC中點(diǎn)，EFAB于F點(diǎn)，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積解：如圖，過(guò)E點(diǎn)作MNAB，分別交AD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)ABCDEFMNDE=EC，ADBCDEMCNE四邊形ABNM是平行四邊形EFAB，S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=15cm2【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）2. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60°，AD2，BC8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22*8. 如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中點(diǎn)，且ADBCCD，則DE與CE有何位置關(guān)系？（2）E是ADC與BCD的角平分線的交點(diǎn)，則DE