《函數(shù)的基本性質(zhì)》知識(shí)總結(jié)大全

1、函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)總結(jié)大全沛縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)組張馳1. 單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢(shì)，是研究函數(shù)圖象在定義域內(nèi)的局部變化性質(zhì)。函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)yf ( x) 的定義域?yàn)?A，區(qū)間 IA 如果對(duì)于區(qū)間I 內(nèi)的 _兩個(gè)值 x1 ， x2 ，當(dāng) x1 < x2 時(shí)，都有 f ( x1 ) _ f (x2 ) ，那么 yf ( x) 在區(qū)間 I 上是單調(diào)增函數(shù)， I 稱為 yf x的單調(diào) _區(qū)間 . 如果對(duì)于區(qū)間I 內(nèi)的 _ 兩個(gè)值 x1 ， x2 ，當(dāng)x1 < x2 時(shí)，都有 f ( x1 ) _ f ( x2 ) ，那么 yf

2、 ( x) 在區(qū)間 I上是單調(diào)減函數(shù)， I 稱為y f ( x) 的單調(diào) _區(qū)間 . 如果函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 I 上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 I 上具有 _.點(diǎn)評(píng)單調(diào)性的等價(jià)定義 ： f ( x) 在區(qū)間 M 上是增函數(shù)x1, x2M , 當(dāng) x1x2 時(shí)，有 f (x1 )f ( x2 )0( x1x2 ) f ( x1 )f (x2 )0f ( x1 )f (x2 )0y；x1x20x f ( x) 在區(qū)間 M 上是減函數(shù)x1, x2M , 當(dāng) x1x2 時(shí)，有 f (x1 )f ( x2 )0( x1x2 ) f (x1 )f (x2 )0f (

3、x1 )f (x2 )0y；x1x20x函數(shù)單調(diào)性的判定方法定義法；圖像法；復(fù)合函數(shù)法；導(dǎo)數(shù)法；特值法（用于小題），結(jié)論法等 .注意 ：定義法 （取值作差變形定號(hào)結(jié)論）：設(shè) x1， x2a， b 且 x1x2 ，那么 (x1 x2 ) f ( x1 )f ( x2 )f ( x1 )f ( x2 )0f (x) 在區(qū)間 a, b 上是增函0x1x2數(shù)； (x1x2 ) f ( x1 )f ( x2 )0f ( x1 ) f (x2 )0f (x) 在區(qū)間 a, b 上是減函x1x2數(shù)。導(dǎo)數(shù)法（選修） ：在 f ( x) 區(qū)間 (a， b) 內(nèi)處處可導(dǎo)，若總有f ' (x)0（ f &#

4、39; ( x)0 ），則f ( x) 在區(qū)間 (a， b) 內(nèi)為增（減）函數(shù)；反之，f ( x) 在區(qū)間 (a， b) 內(nèi)為增（減）函數(shù)，且處處可導(dǎo)，則 f ' ( x)0（ f ' (x)0 ）。請(qǐng)注意兩者之間的區(qū)別，可以“數(shù)形結(jié)合法”研究。點(diǎn)評(píng)判定函數(shù)的單調(diào)性一般要將式子f ( x1 ) f ( x2 ) 進(jìn)行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利于判斷符號(hào)；證明函數(shù)的單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。提醒 求單調(diào)區(qū)間時(shí)，不忘定義域；多個(gè)單調(diào)性相同的區(qū)間不一定能用符號(hào)“ U ”連接；單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示， 不能用集合或不等式表示。 判定函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí)， 可舉反

5、例。與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的一些結(jié)論若 f (x) 與 g(x) 同增（減），則 f ( x) g ( x) 為增（減）函數(shù)， f ( g (x) 為增函數(shù)；若 f (x) 增， g(x) 為減，則 f ( x) g ( x) 為增函數(shù)， g(x) f (x) 為減函數(shù)， f ( g( x)為減函數(shù)；若函數(shù) y f ( x) 在某一范圍內(nèi)恒為正值或恒為負(fù)值，則y f (x) 與 y1在相同f ( x)的單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反；函數(shù) yf ( x) 與函數(shù) yf (x)k (k0) 具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；函數(shù) yf ( x) 與函數(shù) ykf (x)(k0) 具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，函數(shù)yf

6、( x)與函數(shù) ykf ( x)(k0) 具有相同單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反。2. 奇偶性函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，還是關(guān)于y 軸成軸對(duì)稱，是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；函數(shù)奇偶性的定義一般地，設(shè)函數(shù) yf ( x) 的定義域?yàn)?A如果對(duì)于 _的 x A ，都有 f ( x)_，那么函數(shù) yf ( x) 是偶函數(shù) .一般地，設(shè)函數(shù)yf (x) 的定義域?yàn)?A如果對(duì)于 _的x A，都有 f ( x)_，那么函數(shù) yf ( x) 是奇函數(shù) . 如果函數(shù) yf ( x) 是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么函數(shù) yf ( x) 具有 _.注意 具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因

7、此，確定函數(shù)奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。圖象特征函數(shù) yf (x) 為奇（偶）函數(shù)函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y 軸）成中心（軸）對(duì)稱圖形。注意 定義域含 0 的偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)；定義域含0 的奇函數(shù)圖象一定過原點(diǎn)；利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡(jiǎn)化問題。點(diǎn)評(píng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件 . f ( x) 是奇函數(shù)f (x)f ( x)f (x)f ( x)f (x)1 .0f ( x) f ( x) 是偶函數(shù)f (x)f ( x)f (x)f ( x)f (x)1 .0奇函數(shù) f ( x) 在原點(diǎn)有定義，則f

8、 (0)0 .f ( x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：（）奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；（）奇函數(shù)有相反的最值（極值），偶函數(shù)有相同的最值（極值）。 f ( x) 是偶函數(shù)f (| x |)f (x) .奇偶性的判定方法若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先考慮其定義域并等價(jià)變形化簡(jiǎn)后，再判斷其奇偶性 .如判斷函數(shù)f ( x)1 x22 |的奇偶性。判定函數(shù)奇偶性方法如下：定義（等價(jià)定義）| x2法；圖像法；結(jié)論法等 .點(diǎn)評(píng) 定義法判定函數(shù)的奇偶性先求定義域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱，再求f ( x) ，接著考察 f (x) 與 f(x) 的關(guān)系，最后得結(jié)論 . 判斷函數(shù)不具有奇偶

9、性時(shí)，可用反例。與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的一些結(jié)論若 f ( x) 與 g( x) 同奇（偶），則 f ( x) ± g( x) 為奇（偶）函數(shù)，f ( x) g ( x) 和 f ( x) 為偶函數(shù)， f ( g( x) 為奇（偶）函數(shù)；g( x)若 f ( x) 與 g( x) 一奇一偶，則f ( x)g ( x) 和 f ( x) 為奇函數(shù)，f ( g( x) 為偶函數(shù)；g ( x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和的形式。函數(shù)按奇偶性分類奇函數(shù)非偶函數(shù)，偶函數(shù)非奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)。點(diǎn)評(píng)既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(gè)。如f ( x)0 定義域關(guān)

10、于原點(diǎn)對(duì)稱即可。如函數(shù)f ( x)1x2x21 。3. 周期性函數(shù)的周期性是研究一些函數(shù)圖象在定義域內(nèi)具有某種一定的周期變化規(guī)律；函數(shù)周期性的定義一般地，對(duì)于函數(shù)f (x) ，如果存在一個(gè) _的常數(shù) T ，使得定義域內(nèi)的 _x 值，都滿足 f ( x T )_ ，那么函數(shù)f ( x) 稱為周期函數(shù)， _常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果一個(gè)周期函數(shù)f (x) 的所有的周期中存在一個(gè) _的 _數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做函數(shù)f (x) 的最小周期正周期。 如沒有特別說明， 遇到的周期都指最小正周期。點(diǎn)評(píng)非零常數(shù) T 是周期函數(shù)本身固有的性質(zhì)， 與自變量 x 的取值無關(guān)； 若非零常數(shù) T 是函數(shù) f ( x

11、) 的周期，則非零常數(shù)T 的非零整數(shù)倍（nT，n Z ，且 n 0) 也是函數(shù)f ( x) 的周期；若函數(shù)f ( x) 的周期為T ，則函數(shù) yAf ( x) （其中 A ， 為常數(shù)，且 A0 ，0 ）的周期為T；定義中的等式f (xT )f ( x) 是恒等式；函數(shù) f (x) 的周期是 T|f ( xT )f ( x) 。三角函數(shù)的周期 ysin x : T2； ycos x : T 2； y tan x : T； yAsin( x), yA cos( x) : T2； ytanx : T；| |函數(shù)周期的判定定義法（試值）圖像法公式法（利用（2）中結(jié)論）結(jié)論法。與周期有關(guān)的一些結(jié)論 f

12、( x a)f ( x a) 或 f ( x2a)f (x)( a0)f ( x) 的周期為 2a ； f ( x) 是偶函數(shù) , 其圖像又關(guān)于直線xa 對(duì)稱f ( x) 的周期為 2 | a | ； f ( x) 奇函數(shù) , 其圖像又關(guān)于直線 xa 對(duì)稱f ( x) 的周期為 4 | a | ； f ( x) 關(guān)于點(diǎn) (a,0) , (b,0)(ab) 對(duì)稱f ( x) 的周期為 2| ab | ； f ( x) 的圖象關(guān)于直線xa ,x b(ab) 對(duì)稱函數(shù) f ( x) 的周期為 2| ab | ； f ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a,0)中心對(duì)稱，直線xb 軸對(duì)稱f ( x) 周期為 4

13、 ab ； f ( x) 對(duì) xR 時(shí), f (x a)f ( x) 或 f (xa)1f (x) 的周期為 2 | a | ；f ( x)函數(shù) f (x) 滿足 f ( xa)1f (x) ，且 a 為非零常數(shù)f ( x) 的周期為 4| a |；1f (x)函數(shù) f (x) 滿足 f x2af xafx （ a 為非零常數(shù)）f ( x) 的周期 6 | a | 。點(diǎn)評(píng) 注意對(duì)稱性與周期性的關(guān)系。4. 對(duì)稱性函數(shù)的對(duì)稱性是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（即函數(shù)圖象關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形或關(guān)于某一條直線成軸對(duì)稱圖形）；函數(shù)對(duì)稱性的定義如果函數(shù)yf (x) 的圖象關(guān)于直線xa 成 _對(duì)稱或點(diǎn) (a，

14、b) 成 _對(duì)稱，那么y f ( x) 具有對(duì)稱性。注意利用函數(shù)的對(duì)稱性可以把研究整個(gè)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡(jiǎn)化問題。函數(shù)圖象對(duì)稱性的證明證明函數(shù) y f ( x) 圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；與對(duì)稱性性有關(guān)的一些結(jié)論函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于直線x a 成軸對(duì)稱f (ax)f (ax) 。特別地，當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)yf ( x) 為偶函數(shù)。函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a， b) 成中心對(duì)稱f (ax)f (ax) 2b。特別地，當(dāng) a0 且 b0 時(shí)，函數(shù) yf (x) 為奇函數(shù)。點(diǎn)評(píng)函數(shù)奇偶性是函數(shù)對(duì)稱性的特殊情況。若 y f

15、 ( x) 對(duì) xR 時(shí) ,f (ax) f (bx) 恒成立 , 則 yf ( x) 圖像關(guān)于直線a b對(duì)稱；x2函數(shù) ybkk 0的圖象關(guān)于點(diǎn)a， b 中心對(duì)稱。xa5. 有界性函數(shù)的有界性是研究函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的上下界情況，重點(diǎn)是通過研究函數(shù)的最大（小）值（值域）來研究有界性問題。函數(shù)最大（?。┲档亩x一般地，設(shè)函數(shù) yf ( x) 的定義域?yàn)锳如果存在x0 A，使得對(duì)于的A，_ x都有 f (x) _ f ( x0 ) ，那么稱 f (x0 ) 為 yf (x) 的最大值，記為 _ ；如果存在x0A ，使得對(duì)于 _的 x A，都有 f ( x) _ f (x0 ) ，那么稱

16、f ( x0 ) 為 yf ( x) 的最小值，記為 _.注意 函數(shù)最大（小）值應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值；函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，最大（小）值不同于極大（?。┲怠Ｖ涤蚺c最值注意函數(shù)的最值與函數(shù)的值域的區(qū)別和聯(lián)系，理解值域和最值是考察函數(shù)的有界性問題。與函數(shù)最值有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論若函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 a， b 上為單調(diào)增函數(shù)，則yminf (a) ， ymaxf (b) ；若函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 a， b 上為單調(diào)減函數(shù)，則yminf (b) ， ymaxf (a) ；若函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 a， c 上為單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間 c， b 上為單調(diào)減函數(shù)，則ymax

17、f (c) ；若函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 a， c 上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間 c， b 上為單調(diào)增函數(shù)，則yminf (c) 。恒成立問題的處理方法恒成立問題的處理方法： 分離參數(shù)法 ( 最值法 ) ； 轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題。如：方程 kf ( x) 有解k D (D 為 f ( x) 的值域 ) ；不等式 af ( x) 恒成立a f (x) 最大值 , 不等式 a f( x) 恒成立a f (x)最小值 。6. 極值函數(shù)的極值是研究函數(shù)在其定義域內(nèi)的某一局部上的性質(zhì)。這與函數(shù)的最值所研究的問題角度有所不同。極值的定義設(shè)函數(shù) yf ( x) 在 xx0 及其附近有定義， 如果 f

18、( x0 ) 的值比 x0 附近的所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大（?。?，則稱 f ( x0 ) 是函數(shù) y f (x) 的一個(gè)極大（?。┲?。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的取值，極值是指函數(shù)值。極值的求法圖像法；導(dǎo)數(shù)法。7. 零點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)7.1 函數(shù)的零點(diǎn)y f (x) 的值為 _的實(shí)數(shù) x 稱為函數(shù) yf ( x) 的零定義 一般地，我們把使函數(shù)點(diǎn).點(diǎn)評(píng)函數(shù) yf ( x) 的零點(diǎn)就是方程f ( x)0 的實(shí)數(shù)根。從圖象上看，函數(shù)yf ( x) 的零點(diǎn)，就是它的圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。利用函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這三者之間的聯(lián)系，可以解決很多函數(shù)與方程的問題。這就是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容函數(shù)與方程的思想運(yùn)用。函數(shù)零點(diǎn)的存在性一般地，若函數(shù)yf (x) 在區(qū)間 a， b 上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，且f (a)f (b) _ ，則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c( a， b) ，使得f (c)0 ，此時(shí)實(shí)數(shù) c 為函數(shù)yf ( x) 的零點(diǎn) .點(diǎn)評(píng)若函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 a， b 上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調(diào)曲線，且f (a) f (b)0，則有惟一的實(shí)數(shù)c( a， b) ，使得f (c)0 。7.2 不動(dòng)點(diǎn)方程 f ( x)x 的根叫做函數(shù)yf ( x)