2016年廣東高考理數(shù)大二輪專項訓(xùn)練活用“審題路線圖”-破解高考不再難(含答案)

1、2016廣東高考理數(shù)大二輪 專項訓(xùn)練活用“審題路線圖”_破解高考不再難審題是解題的開端，深入細(xì)致的審題是成功解題的必要前提著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說，“最糟糕的情況就是學(xué)生沒有弄清問題就進(jìn)行演算和作圖”為此波利亞總結(jié)出一張“怎樣解題表”，將解題的過程分為四個階段其中第一步弄清問題就是我們常說的審題審題就是多角度地觀察，由表及里，由條件到結(jié)論，由數(shù)式到圖形，洞察問題實(shí)質(zhì)，選擇正確的解題方向事實(shí)上，很多考生往往對審題掉以輕心，或不知從何處入手進(jìn)行審題，致使解題失誤而丟分，真是令人痛心不已本講結(jié)合實(shí)例，教你正確的審題方法，給你制訂一條“審題路線圖”，破解高考不再難一審條件挖隱含任何一個數(shù)學(xué)問題都是由條件

2、和結(jié)論兩部分構(gòu)成的條件是解題的主要素材，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路條件有明示的，有隱含的，審視條件更重要的是要充分挖掘每一個條件的內(nèi)涵和隱含的信息，發(fā)揮隱含條件的解題功能例1(2014·重慶)已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0，<)的圖象關(guān)于直線x對稱，且圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為.(1)求和的值；(2)若f()(<<)，求cos()的值審題路線圖條件：f(x)圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)距離為挖掘三角函數(shù)圖象的特征f(x)的周期為T，>0(已知)2條件：f(x)圖象關(guān)于直線x對稱f()取到最值2×k(kZ)<(已知)條件：f()

3、代入f(x)sin()條件<<cos()欲求cos()sin sin()sin cos()解(1)因為f(x)的圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為，所以f(x)的最小正周期為T，從而2.又因為f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，所以2×k，kZ.由<，得k0，所以.(2)由(1)得f()sin(2·)，所以sin().由<<，得0<<，所以cos().所以cos()sin sin()sin()coscos()sin××. (2014·四川)已知函數(shù)f(x)sin(3x)(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若是第二

4、象限角，f()cos()cos 2，求cos sin 的值解(1)因為函數(shù)ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k，2k，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)由已知，有sin()cos()(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos cossin sin)(cos2sin2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )當(dāng)sin cos 0時，由是第二象限角，知2k，kZ.此時，cos sin .當(dāng)sin cos 0時，有(cos sin )2.由是第二象限角，知cos sin <0，此時cos sin .綜上所

5、述，cos sin 或.二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換問題解決的最終目標(biāo)就是求出結(jié)論或說明已給結(jié)論正確或錯誤因而解決問題時的思維過程大多都是圍繞著結(jié)論這個目標(biāo)進(jìn)行定向思考的審視結(jié)論，就是在結(jié)論的啟發(fā)下，探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向例2已知函數(shù)f(x)x2aln x.(1)若a1，求函數(shù)f(x)的極值，并指出是極大值還是極小值；(2)若a1，求函數(shù)f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求證：在區(qū)間1，)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)x3的圖象的下方審題路線圖求f(x)的極值(從結(jié)論出發(fā)向條件轉(zhuǎn)化

6、，注意隱含條件定義域)求f(x)0的解，即f(x)的極值點(diǎn)(轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值)將極值點(diǎn)代入f(x)求對應(yīng)的極大、極小值(轉(zhuǎn)化為研究單調(diào)性)求f(x)在1，e上的單調(diào)性(轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值)比較端點(diǎn)值、極值，確定最大、最小值(構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化)F(x)f(x)g(x)(將圖象的上、下關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系)求證F(x)<0在1，)上恒成立研究函數(shù)F(x)在1，)上的單調(diào)性(1)解由于函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，當(dāng)a1時，f(x)x，令f(x)0得x1或x1(舍去)，當(dāng)x(0,1)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x1處取得極小值為.(2)解當(dāng)a1時，易

7、知函數(shù)f(x)在1，e上為增函數(shù)，所以f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(3)證明設(shè)F(x)f(x)g(x)x2ln xx3，則F(x)x2x2，當(dāng)x>1時，F(xiàn)(x)<0，故f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，又F(1)<0，所以在區(qū)間1，)上，F(xiàn)(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立因此，當(dāng)a1時，在區(qū)間1，)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方 (2014·課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)aln xx2bx(a1)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)<，求a的

8、取值范圍解(1)f(x)(1a)xb.由題設(shè)知f(1)0，解得b1.(2)f(x)的定義域為(0，)，由(1)知，f(x)aln xx2x，f(x)(1a)x1(x)(x1)若a，則1，故當(dāng)x(1，)時，f(x)>0，f(x)在(1，)單調(diào)遞增所以，存在x 01，使得f(x0)<的充要條件為f(1)<，即1<，解得1<a<1.若<a<1，則>1，故當(dāng)x(1，)時，f(x)<0，當(dāng)x(，)時，f(x)>0，f(x)在(1，)單調(diào)遞減，在(，)單調(diào)遞增所以，存在x01，使得f(x0)<的充要條件為f()<.而f()aln

9、 >，所以不合題意若a>1，則f(1)1<.綜上，a的取值范圍是(1，1)(1，)三審圖形抓特點(diǎn)在不少數(shù)學(xué)高考試題中，問題的條件往往是以圖形的形式給出，或?qū)l件隱含在圖形之中，因此在審題時，要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢抓住圖形的特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，是破解考題的關(guān)鍵例3已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分圖象如圖所示，則f()_.審題路線圖f(x)圖象的周期性|TT，>02f(x)圖象過點(diǎn)(，0)Atan(2×)0k，kZ|<f(x)圖象過點(diǎn)(0,1)A1f()tan(

10、×2)答案解析由題中圖象可知，此正切函數(shù)的半周期等于，即最小正周期為，所以2.由題意可知，圖象過定點(diǎn)(，0)，所以0Atan(2×)，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|<，所以.又圖象過定點(diǎn)(0,1)，所以A1.綜上可知，f(x)tan(2x)，故有f()tan(2×)tan. 如圖，在ABC中，AB3，AC5，若O為ABC的外心，則·的值為_答案8解析方法一取邊BC的中點(diǎn)D，由于O為ABC的外心，所以，所以·0，()，所以·()·()·()(|2|2)8.方法二取AB的中點(diǎn)E，AC的中點(diǎn)F，連接OE，OF，

11、則OEAB，OFAC.易知向量在上的投影為|，在上的投影為|，所以··()··|·|·|5×3×8.四審結(jié)構(gòu)定方案數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關(guān)系，認(rèn)真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到突破問題的方案例4在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若6cos C，則的值是_審題路線圖觀察方向一觀察條件：6cos C(數(shù)式中既有邊又有角，應(yīng)統(tǒng)一)6×(將條件轉(zhuǎn)化為簡潔形式)a2b2c2觀察結(jié)

12、論所求：(考慮到在ABC中的正、余弦定理，切化弦是必由之路)·(角化邊、用條件)·×4觀察方向二觀察條件6cos C(關(guān)注數(shù)式的特征)邊a、b具有輪換性觀察所求結(jié)論：角A、B具有輪換性(從數(shù)式的特征考慮)當(dāng)AB即ab時，應(yīng)滿足題意(特殊化思想，可靠嗎？)cos C(完全轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)運(yùn)算)tan2，即tan tan C2tan Atan B4答案4解析由6cos C，得b2a26abcos C.根據(jù)余弦定理，化簡整理得2(a2b2)3c2，將切化弦，得·()··.根據(jù)正、余弦定理得4. (1)(2014·課標(biāo)全國)已知a，b

13、，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)·(sin Asin B)(cb)·sin C，則ABC面積的最大值為_(2)(2014·課標(biāo)全國)函數(shù)f(x)sin(x2)2sin ·cos(x)的最大值為_答案(1)(2)1解析(1)2R，a2，又(2b)·(sin Asin B)(cb)sin C可化為(ab)(ab)(cb)·c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60°.ABC中，4a2b2c22bc·cos 60°b2c2bc2bcbcbc(“”當(dāng)且僅當(dāng)bc時取得)，S

14、ABC·bc·sin A×4×.(2)f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值為1.五審圖表、數(shù)據(jù)找規(guī)律題目中的圖表、數(shù)據(jù)包含著問題的基本信息，往往也暗示著解決問題的目標(biāo)和方向在審題時，要認(rèn)真觀察分析圖表、數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，常?？梢哉业浇鉀Q問題的思路和方法例5下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素數(shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為ai，j(i，jN*)，則(1)a9

15、,9_；(2)表中的數(shù)82共出現(xiàn)_次.23456735791113471013161959131721256111621263171319253137審題路線圖審視圖表數(shù)據(jù)(ai，j)每行成等差數(shù)列a1，jj1(a1,12，d1)a1,910每列成等差數(shù)列a9,9a1,98×9107282一般規(guī)律觀察ai，j(i1)(j1)·iij1數(shù)82在表中位置ai，j82ij182出現(xiàn)的次數(shù)ij182的解答案(1)82(2)5解析(1)a9,9表示第9行第9列，第1行的公差為1，第2行的公差為2，第9行的公差為9，第9行的首項b110，則b9108×982；(2)第1行數(shù)組

16、成的數(shù)列a1，j(j1,2，)是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以a1，j2(j1)·1j1；第i行數(shù)組成的數(shù)列ai，j(j1,2，)是以i1為首項，公差為i的等差數(shù)列，所以ai，j(i1)(j1)iij1，由題意得ai，jij182，即ij81，且i，jN*，所以8181×127×39×91×813×27，故表格中82共出現(xiàn)5次 (1)將石子擺成如圖所示的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，為“梯形數(shù)”根據(jù)圖形的構(gòu)成，數(shù)列第6項a6_；第n項an_.(2)如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本重量的中位

17、數(shù)為()A11 B11.5C12 D12.5答案(1)35(2)C解析(1)由已知的圖形我們可以得出圖形的編號與圖中石子的個數(shù)之間的關(guān)系為n1時，a123×(23)×2；n2時，a2234×(24)×3；由此我們可以推斷：an23(n2)×2(n2)×(n1)，a635.(2)中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于縱軸的直線橫坐標(biāo)設(shè)中位數(shù)為a，則xa將頻率分布直方圖分成兩個面積相等的部分，則有0.30(a10)×0.10.5，所以a12.六審細(xì)節(jié)更完善審題不僅要從宏觀上、整體上去分析、去把握，還要更加注意審視一

18、些細(xì)節(jié)上的問題例如括號內(nèi)的標(biāo)注、數(shù)據(jù)的范圍、圖象的特點(diǎn)等因為標(biāo)注、范圍大多是對數(shù)學(xué)概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制條件審視細(xì)節(jié)能適時地利用相關(guān)量的約束條件，調(diào)整解決問題的方向所以說重視審視細(xì)節(jié)，更能體現(xiàn)審題的深刻性例6各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，Snaan (nN*)(1)求an；(2)令bncnb2n4 (nN*)，求cn的前n項和Tn.審題路線圖Snaan(注意nN*，an>0)a12(下面的變形是有條件的，條件是n2)anSnSn1aanaan1(不變形怎么辦？肯定要進(jìn)行代數(shù)式變形)(anan1)(anan12)0(注意到an>0了嗎？anan1&g

19、t;0)anan12(關(guān)于等差數(shù)列的定義不用重復(fù)了吧！)an2(n1)×22n(注意到bn與an的關(guān)系了嗎？n是分奇偶的)b1a12；b2b12；b3a36；b4b22(cn與bn的關(guān)系很特殊！)c1b6b36c2b8b42(下面變化的條件是n3，這可是細(xì)節(jié)??！)cnb2n4b2n12b2n21a2n212n12.Tnc1c2c3cn62(222)(232)(2n12)2n2n(不要忘了當(dāng)n1，n2時，對Tn的表達(dá)式的驗證)Tn解(1)a1S1aa1aa10，因為a1>0，故a12；當(dāng)n2時，anSnSn1aanaan1，所以(aa)(anan1)0，即(anan1)(anan12)0.因為an>0，所以anan12，即an為等差數(shù)列，所以an2n (nN