高中數(shù)學(xué)不等式證明典型例題

1、分析解法因為所以(2)因為所以綜合分析解法因為不等式證明典型例題假設(shè)0 x 1，證明 loga(1x) |loga(1 x) ( a 0 且 a 1).用作差法來證明需分為1當(dāng)a 1時，1 x 1,1 x 1 ,loga(1 x)| |loga(1 x)1時,1,1 x 1loga(1 x)1兩種情況，去掉絕對值符號，然后比擬法證明.log a (1x)ioga(1x2)0 .loga(1x)| |loga(1 x)loga(1 x)log a (1x)log a (1x2)(1 ) (2)知 loga(1 x) loga(1 x).2直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號.2作差比擬法.l

2、oga(1 x)loga(1 x)lg(1 x)lgalg(1 x)lgalgalg(1 x)所以 loga(1 x)證明:a b a bb a a blg(11lg alg(1x) lg(1x)ga2lg(1 x ) 0, a又loga(1x).aa b求證:1, ab 0.(a)a bba b a bb a a b1.abba 0, aabbb4b4 當(dāng)且僅當(dāng)a b時取等號證明：/a2b22ab當(dāng)且僅當(dāng)a2 b2時取等號兩邊同加(a4b4)：2(a4.42b ) (ab2)2 ,4 ab4a2b2 2即：()(1)22例3對于任意實數(shù)a、b ,24求證又： a2 b2 2ab 當(dāng)且僅當(dāng)a

3、b時取等號兩邊同加(a2 b2):2(a2 b2) (a b)2b2a b)2a2 b2由1和2可得a4 b4專4 當(dāng)且僅當(dāng)a b時取等號證明： 1/ a b c 1bc11abcabcaabcabcbc、，ac、,abba、c a(1-)(-1-)(-1) 3(-)(aabbccaba cba/lb aicacb.2.一2，同理：2 ,2。abVa bacbc111322 29.abc例5abc,1求證：11> 0.abbcca111例4a、b、c R , a b c 1,求證9.abc1為了證明111 > 0a bb cca1只需要證明1>1a bb ca c a b c

4、 - ac ab0,b c 0證明一：分析法書寫過程.1a b.1a b證明二：a c1b c1> 0 b c1> 1 成立a c> 0成立綜合法書寫過程/ a b c - a c a b0,b c 0成立> 0成立c a例6假設(shè)a 0,b 0 ,且2c a b，求證：cab a c vc2ab.證明：為要證 c c2 ab a c 、. c2 ab.只需證 Jc2 ab a c J?ab ,即證 a c J?ab,也就是(a c)2 c2 ab，即證 a2 2ac ab，即證 2ac a(a b), / a 0,2 c a b,b 0 ,a b /22二 cab，故

5、c ab 即有 c ab 0 ,2又由2c a b可得2ac a(a b)成立，所求不等式c . c2 ab acc2ab成立.例7假設(shè)a3 b32，求證a b證法一：假設(shè)ab 2，那么 a3b3 (a22b)(a ab b )2(a2 ab b2),而 a3 b32,故(a2 ab b2) 1 .2 1 ab ab22ab .從而abab (a b)2 a2b22ab 2 2ab這與假設(shè)矛盾，故a證法二：假設(shè)ab 2 .2，那么 a 2 b故 2 a3 b3(2b)3 b3，即 28 12b 6b2，即(b1)2這不可能.從而證法三：假設(shè)a2，那么(a b)3a3 b3 3ab(ab)由 a

6、3 b32 ,得 3ab(a b) 6,故 ab(a b) 2.又 a3 b3 (ab)(a2 ab b2)2 , ab(a b) (a b)(a ab b ). a2 ab b2ab，即(a b)20 .這不可能，故a b 2.例8設(shè)x、y為正數(shù)，求證.x2 y23 x3 y3 .分析：用綜合法證明比擬困難，可試用分析法.證明：要證.x2 y2 3 x3 y3，只需證(x2 y2)3 (x3 y3)2,即證 x6 3x4y2 3x2y4 y6 x6 2x3y3 y6,化簡得 3x4y2 3x2y4 2x3y3, x2y2(3x2 2xy 3y2) 0 .4y22 2 24 3 3y 0 ,

7、3x 2xy 3y 0. x2 y2 (3x22xy 3y2)0 .原不等式成立.2 2 1 2 2x y 2，求證 x xy y 3.證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)例91 1 x2可設(shè)r cos x2xy由121 2而一 r2!si n2212r sin，其中1r,2 ,0 22 sincos r2(1Isin 2 )2故-r2 r2(1丄sin2 ) -r2 .222故-x2 xyy23 .yr3，32r2例10設(shè)n是正整數(shù),求證分析:要求一個n項分式121n 11 n 1 n1n 212n丄 的范圍，它的和又求不出來，可以采用“化整為零2n的方法，觀察每一項的范圍,再求

8、整體的范圍.證明:由2n nn (k 1,2,n),2n例11證明:欲證1112nn1;n1112nn2n1112nnnn11n 1n2a b0 ,求證:(a b)2abk1時,2時,n時,28an2n1 I2n丨 (a b)8aab也只須證(a b)24a即要證a b2、a、b)2即要證a b2. aa b2、b .a b2賓8b '(a b)28b(a b)2 4b .即要證丄已、bJ a Vb2/'b即要證上已 b 2ay a bb即要證1、a、.b1,即誇1 a即要證b1 aa b a b 0 ,( *)2故宜旦乞丄8a 2(* )顯然成立，(a b)2ab例12如果x

9、,R，求證：x8z8 x2y3z33x3z2x3y3 證明:/ 4、2/4、2(x ) (y )4、2(z )/ 2 2、2(x y )/ 2 2、2(y z )/ 2 2(z x)22 2 2:22 22 22 22 2x y yzy zz xz xx y(xy2z)2(yz2x)2(zx2y)2222222xy z yzxyz xzx yzx yxy z23 323 32 33x y zyz xz x y 88823 323333xyzx y z y z xz x y例130a 1 , 0 b 1,0c 1,求證：在(1a)b,(1證明：假設(shè)(1a)b,(1 b)c,(1c)a三數(shù)都大于1

10、4即(1a)b141,(1 b)c4(1c)a14 又 0a1,0 b 1 , 0c1 ,b)c,(1 c)a 三數(shù)中,x4y4y4x4z4x41不可能都大于-41 1- J1a)b ，、(1 b)c - ,、(1 ,(1 a)b . (1 b)c - (1 c)a |c)a1 a b 又 (1 a)b, 、(1 b)c2以上三式相加，即得：32 顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證. (1 a) b .(1 b) c . (1 c) a例14a、b、c都是正數(shù)，求證：2-ab證法一：要證2 a babc.ab 33 abc ,23只需證a b 2 ab ab c 3幼abc ,即 2 . a

11、b c 33 abc ,移項，得c 2 , ab33. abc .由a、b、c為正數(shù)，得c 2 ab c . abab 33 abc原不等式成立.證法二：T a、b、c為正數(shù)，c vab Vab 3cab <ab 3abc .即 c 2Jab 3vabc，故 2 Jab c 3尋abc .a b 2 ab a b c 33 abc,2今后3 TF麵說明：題中給出的, . ab , a b c , 3 abc，只因為a、b、c都是正數(shù)，形式同算術(shù)平均23數(shù)與幾何平均數(shù)定理一樣，不加分析就用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來求證，問題就不好解決了.例15a 0,b 0，且a b 1 .求證:(a

12、a，b)證明：令a sec?,b tan2，且01 那么丄(.a acos2cos21 )(-b- a1 (cossin2cosJsin cos)(贏(sec sec2，亠sec(tan1tancossin cossinsin 0，即)(b丄)1成立. b證明：/ x是不等于1的正數(shù),x是不等于1的正數(shù),例16n是正整數(shù)，求證(1n / a nx )(1X) 1x 2 x 0, (1x)n 2n .xn .又1xn2xn0.將式，兩邊分別相乘得nn'n n：n n、門&1 n(1 x )(1 x) 2 x 2 x , (1 X )(1 x) 2 x .例 17 ，x, y ,

13、z R，且 x y z 1，求證 x , y . z 3 .證明：要證 x y , z 3, 只需證xy z 2( xy xz yz) 3,只需證 xy . xz . yz 1 .t x, y, z R , 2(x y z) 2( xy . xz yz), x y 2 xy , x z xz , y z 2 yz , xyxz.yz1成立.、x例18求證112213212 n2 .證明：/11 111“2n nn(n 1)n1 1 221121n113212.y z . 3 .n1 11 11 2 22 3n 1 nn1 (n 2),例19在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a , b ,

14、c，假設(shè)AC 2B，求證a4 c4 2b4 .分析：因為涉及到三角形的邊角關(guān)系，故可用正弦定理或余弦定理進行邊角的轉(zhuǎn)化.1證明： A C B 2B , B cosB -32由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac a2 c2 b2 ac, a4 c4 (a2 c2)2 2a2c2=(a2 c2- 2ac)(a2 c2 . 2ac)b2(.21)ac b2(、21)acb4 2ac b2 a2c2(ac b)2 2b4 2b4元二次不等式:【規(guī)憚方注】門不竿犬a(chǎn)x的解集是魚體實不冬扎4 +虹亠，妁翳變是全憶W戰(zhàn)i或図壷工呻卜伴M記u= 0時仏=們廠0;,n rJ時門*1

15、A<0a 4=0時水巴典童地.還有/立口/屛丄aift d «?也冷/ r:血缶元一次不等式的解法:依據(jù)、步驟、注意的問題，禾U用數(shù)軸表示x2 (3 a2)x 2a 1 0例1、例2.關(guān)于 關(guān)于x的不等式x的不等式在-,0上恒成立，求實數(shù) a的取值范圍.x R都成立，求a的取值范圍.y log2( ax2 ax1)對所有實數(shù)假設(shè)關(guān)于x的不等式 x2 axa 0的解集為，那么實數(shù)a的取值范圍是假設(shè)關(guān)于x的不等式ax a3的解集不是空集，那么實數(shù) a的取值范圍。(-4,0),幾個重要不等式(1)(2)假設(shè)a 假設(shè)a、R,那么 |a| 0,a20b R，那么a2 b2 2ab(或a2

16、(3)如果a,b都是正數(shù)，那么.abb22| ab | 2ab當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號a b 當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號一正、二定、三相等2 '假設(shè)a、b c R,那么a b c 30bC 當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時取等號3(5)假設(shè) ab 0,那么-a2 當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號(6)a 0時,| x| a假設(shè)a、b R,那么 |a|(7)x|b| |aa 或 x a; | x| ax2 a2 a x ab| |a|b|常用不等式(1)a2 b22(2)a、b、eR, a2b2e2(3)0,m0，那么11abab1bmambe ca 當(dāng)且僅當(dāng)糖水的濃度問題根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用；a b c時，取

17、等號；如果正數(shù)a、b滿足ab那么ab的取值范圍是(答: 9,)常用不等式的放縮法:1n(n 1)1 1百 7(n 2),n RPn 1n1利用函數(shù)的單調(diào)性簡單的一元高次不等式的解法：最高次項的系數(shù)為正；2標根法：其步驟是：1分解成假設(shè)干個一次因式的積， 并使每一個因式中 將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意 奇穿過偶彈回；3根據(jù)曲線顯現(xiàn)fx的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如1解不等式x 1x22(答: x|x1 或 x 2)；(2)不等式(x 2)'. x2 2x 30的解集是(答: x| x 3或 x1)；3設(shè)函數(shù)fx、gx的定義域都是 R，

18、且fx 0的解集為x|1 x 2 , gx 0的解集為，那么不等式f xggx 0的解集為(答: (,1)U2,)；侮81、答：7,8分式不等式的解法：先移項使右邊為 0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。 解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。5 x如1解不等式事x2 2x 3x2 4x 3 0和x2 6x 8 0中的一個，那么實數(shù) a的取值范圍是1 (答:(1,1)U(2,3)；2關(guān)于x的不等式ax b0的解集為1,，那么關(guān)于x的不等式 坐 b 0的解集為x 2(答: ( , 1) (2,絕對值不等式的解法：(1)分

19、段討論法最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集):如xR上有解，那么a的取值范圍是(2)(3),3)利用絕對值的定義;x a(a 0)數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x| |x 1|(答:(x a(a 0),1)U(2,)4兩邊平方：如假設(shè)不等式|3x 2| | 2x a |對x R恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍為 。答：43含參不等式的解法：求解通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為根底，分類討論是關(guān)鍵.注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是。注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集；但假設(shè)按未 知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集22如m - 假設(shè)log a 1，那么a的取值范圍是 答：a 1或0 a -；332(2)解不

20、等式空 x(a R)ax 111答：a 0 時，x|x 0 ； a 0 時，x | x 或 x 0 ； a 0 時，x | x 0或 x 0 aa提醒：1解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；2不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為,1，那么不等式丄一2 0的解集為 答：一1,2ax b含絕對值不等式的性質(zhì)：a、b冋號或有0|ab| |a|b|a|b| |a b| ；a、b異號或有0|ab| |a|b|a|b| |a b|.如設(shè)f(x) x2x13 ,實數(shù)a滿足|x a |1，求證:| f (x) f (a)|

21、2(|a| 1)不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？常應(yīng)用函數(shù)方程思想和 “分離變量法轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法1.恒成立問題假設(shè)不等式f x A在區(qū)間D上恒成立,那么等價于在區(qū)間 D上f x Amin假設(shè)不等式f X B在區(qū)間D上恒成立，那么等價于在區(qū)間D上f X Bmax女口 1設(shè)實數(shù)X, y滿足X1 2.能成立問題 y 121，當(dāng)X y c 0時，c的取值范圍是 答:.2 1,；2不等式x 43假設(shè)不等式2x 1a對一切實數(shù)X恒成立，求實數(shù)a的取值范圍答: a 1；2mX 1對滿足m 2的所有 m都成立，那么 x的取值范

22、圍(答:.7131丁，；4假設(shè)不等式(1)na2對于任意正整數(shù)n恒成立，那么實數(shù) a的取值范圍是n(答:丐；5假設(shè)不等式2x 2mx 2m 10 對0 x 1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍.答:假設(shè)在區(qū)間D上存在實數(shù)X使不等式f xA成立，那么等價于在區(qū)間max假設(shè)在區(qū)間D上存在實數(shù)X使不等式f XB成立，那么等價于在區(qū)間D上的fX min不等式x 4 x 3 a在實數(shù)集R上的解集不是空集，求實數(shù) a的取值范圍 答：a 1兩個重要函數(shù)：|x|X1| 31函數(shù)y=x+ -X練習(xí)：1、已假設(shè)x 1，求23x45的最小值.XV -，1求函數(shù)y-4x-2+的最大值x 144x 52、知 x, y

23、R 且 191，那么x y的最小值是假設(shè)x 2y 1,那么2X 4y的最小值是Xy3、知a，b, c，d均為實數(shù)，有以下命題：cdc d<1> 右 ab 0， bc ad 0，那么0 ； <2> 右 ab 0，0，那么 bc ad 0a ba b4.求函數(shù)的最小值.fx(x 1)4x 1(x1)1 15、求證：1 p2 LA 2x(1 x) 2-2x(1 x)(1 x)船)3423n22 327元次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題卄cd® 假設(shè) be ad 0, a b0,那么ab 0其中正確命題是1二元一次不等式表示的平面區(qū)域：直線I: ax+by+c=0把直角坐標平面分成了三個局部：1直線I上的點x,y的坐標滿足 ax+by+c=02 直線I 一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點x,y的坐標都滿足 ax+by+c>03 直線I另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點x,y的坐標滿足 ax+by+c<0所以，只需在直線I的某一側(cè)的平面區(qū)域