高中數(shù)學集合總結(jié)+題型分類+完美解析

1、集合【知識清單】1性質(zhì)：確定性、互易性、無序性 2元素和集合的關(guān)系：屬于“、不屬于“ 3集合和集合的關(guān)系：子集包含于“、真子集真包含于“4集合子集個數(shù)=2n ；真子集個數(shù)=2n 1.5交集：ABx|x A 且 xB并集：ABx|x A 或 xB補集：Cu Ax|x U 且 xA6空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集題型一、集合概念解決此類型題要注意以下兩點： 要時刻不忘運用集合的性質(zhì)，用的最多的就是互易性; 元素與集合的對應(yīng)，如數(shù)對應(yīng)數(shù)集，點對應(yīng)點集【No.1定義&性質(zhì)】1以下命題中正確的個數(shù)是方程、T2 y 20的解集為2, 2集合y | yx21, x R與 y| y x1

2、,x R的公共兀素所組成的集合是0,1集合x | x10與集合x | x a, aR沒有公共元素A.OB.1C.2D.3分析：中的式子是方程但不是一個函數(shù)，所以我們要求的解集不是 x的值所構(gòu)成的集合，而是x和y的值的集合，也就是一個點II!II!答案：A詳解：在中方程y 20等價于x 2 0，即x 2。因此解集應(yīng)為y 2 0y 22, 2，錯誤；在中,由于集合y I y x1, x R的兀素是y，所以當xR 時，y x2 11 . 同理，yI y x 1,x R中yR，錯誤；在中，集合 x|x 10即x 1,而x|x a,a R，畫出數(shù)軸便可知這兩個集合可能II有公共的元素，錯誤應(yīng)選A.2以下

3、命題中,(1 )如果集合 A是集合B的真子集，那么集合 B中至少有一個元素;(2)如果集合 A是集合B的子集，那么集合(3)如果集合 A是集合B的子集，那么集合(4)如果集合 A是集合B的子集，那么集合A的元素少于集合B的元素；A的元素不多于集合 B的元素;A和B不可能相等.錯誤的命題的個數(shù)是()分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合 M是集合N的子集，那-ii么M中的元素個數(shù)要小于或等于N中元素的個數(shù)；如果集合M是集合N的真子iiII集，那么M中的元素個數(shù)要小于N中元素的個數(shù)iIII:IIjii:IIji答案：CiiIIIi詳解：(1 )如果集合A是集合B的真子集，那么集合 B中至

4、少有一個元素，故(1)正確；(2) 如果集合 A是集合B的子集，那么集合 A的元素少于或等于集合的 B元素，故(2)不正確；(3) 如果集合 A是集合B的子集，那么集合 A的元素不多于集合 B的元素，故(3)正確；(4) 如果集合 A是集合B的子集，那么集合 A和B可能相等，故(4)不正確應(yīng)選 C .3設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集，P中含有0，2，5三個元素，Q中含有1，2，6三個元素,A.9B.8C.7D.6分析：因為a P , b Q，所以P Q中的元素a b是P中的元素和Q中元素兩I1IIII兩相加而得出的，最后得出的集合還要考慮集合的互易性I|II;iii!II答案：Biiiiii詳解：當

5、a0時，b依次取1,2,6，得a b的值分別為1,2,6；當a 2時，b依次取1,2,6，得a b的值分別3,4,8 ；當a 5時，b依次取1,2,6，得a b的值分別6,7,11；|IIil由集合的互異性得P Q中的元素為1,2,3,4,6,7,8,11，共8個，應(yīng)選B.ii4設(shè)數(shù)集M同時滿足條件1 aM中不含元素 1,0,1，假設(shè)a M，那么一aM .1 a那么以下結(jié)論正確的選項是A .集合M中至多有2個元素;B .集合M中至多有3個元素;C.集合M中有且僅有4個元素;D .集合M中有無窮多個元素!1 a分析：a M時，'a M .那么我們可以根據(jù)條件多求出幾個 M集合的元1 aI

6、I素，找出規(guī)律并且判斷元素之間是否有可能相等，從而判斷集合中元素的個數(shù).答案：C詳解軍：由題意，假設(shè)1a111那么1 aM，那么1a1M，aa1 M，1 a11aa11a11aaM，1 a2假設(shè)a，那么a1，無解，同理可證明這四個元素中,1 a彳a 11 那么 a 11 “ | a 12a2任意兩個元素不相等，故集合M中有且僅有4個元素.【No2.表達方式】5以下集合表示空集的是A. x R|x 55B. x R| x 55C. x R|x20D. x R | x2 x 10分析：此題考查空集的概念，空集是指沒有任何元素的集合I:Ii答案：DiI詳解：X2 x 10，II|14 113 0方程

7、無實數(shù)解，應(yīng)選 D.6.用描述法表示以下集合：(1)024,6,8 ；3,9,27,81,；1 3 5 7.2,4,6,8,'4被5除余2的所有整數(shù)的全體構(gòu)成的集合.分析：描述法就是將文字或數(shù)字用式子表示出來.但是要注意題中給出的元素的II-ii范圍-IIIIiiI；i>iII詳解：1 X N | 0 x 10,且x是偶數(shù)；i|iIII x| x 3n,n N ；I 2n 1(3) x|x ,n N2nIIi(4) x | x 5n 2,n Z題型二、不含參數(shù)中的參數(shù)是指方程的非最高次項系數(shù)解決此類型題應(yīng)注意： 區(qū)分，的區(qū)別; 會用公式求子集、真子集、非空真子集的個數(shù); A B

8、A ABABABAA B從A 和B 兩方面討論【No.1判斷元素/集合與集合之間的關(guān)系】1給出以下各種關(guān)系00 :00 :：a a :0 :0:0 ； 0其中正確的選項是A.B.C.D.分析：此題需要大家分清 ，三個符號的意義和區(qū)別：-“屬于，用ii于表示元素和集合的關(guān)系；，-“包含于和真包含于，用于表示集合和集合之間的關(guān)系:iii: :IIIIJ；iIj答案：A2假設(shè)U為全集，下面三個命題中真命題的個數(shù)是1 假設(shè) AB，那么 Cu aCuBU2 假設(shè) ABU ,那么 cu ACuB3 假設(shè) AB，那么A BA. 0個B.1個 C. 2個D.3個分析：此題應(yīng)先簡化后面的式子，然后再和前面的條件

9、比照i答案：D詳解：1 CuACuBCu A BCuu ；2 Cu ACuBCu A BCuU;3證明：TA AB，即A，而A， A同理B， A B；【No.2子集、真子集】3從集合Ua, b, c, d的子集中選出4個不同的子集，須同時滿足以下兩個條件： ，U都要選出； 對選出的任意兩個子集 A和B，必有A B或B A .那么共有種不同的選法分析：由可以知道選出的子集中一定有和U，我們要求得只剩兩個集合。IIii根據(jù)以A B為例可以從討論A中有1個或2個元素有幾種選法來確定Bii；的選法注意A中不可能有3種元素，因為這樣B中會出現(xiàn)U和A中的元素，與iiiiiii題意和性質(zhì)不符答案：36iIi

10、詳解：由題意知，集合必有子集和U，只需考慮另外兩個集合I如果A中含有一個元素，有 4種選法，相應(yīng)的， B集合中有6中選法，共24種; 如果A中含有兩個元素，有 6種選法，相應(yīng)的， B集合中有2中選法，共12種; 即總共有36種選擇。24集合A x|x 2x 30，那么滿足B A的集合B有 A . 1個B . 2個C . 3個D . 4個分析：此題求的是A集合的子集個數(shù)iiIIii答案：DI詳解：根據(jù)題意，X2 2x 30，那么x 1或3 ,i那么集合A 1,3，其中有2個元素，那么其子集有224個，滿足B A的集合B有4個，應(yīng)選D .5假設(shè)集合A B , A C,且B C 0,2,4 .那么滿

11、足條件的集合 A的個數(shù)為 A . 3個B . 4個C. 7個D. 8個分析：集合A B , A C,說明A同時是兩個集合的子集.I1I:Ii；答案：D詳解：根據(jù)題意，集合 A B , A C，且B C 0,2,4 .即A為0,2,4的子集，ii而0,2,4中有3個元素，共有238個子集；I:即滿足條件的A的個數(shù)為8;應(yīng)選D .【No.3集合間的運算】y 26 設(shè)全集 U x, y |x, y R ,集合 M x, y |1 , N x, y|yx4,x 2那么CUMCUN等于.分析：首先要注意此題要求的是點集，M集合的含義是不含有2, 2的直線上的點IIIIii集，CuM表示的就是2, 2 ；

12、 CuN表示y x 4.iiiiii答案：2, 2ii詳解：M : y x 4 x 2，IIM代表直線y x 4上，但是；iIIII挖掉點2, 2，CUM代表直線y x 4外，但是包含點2, 2 ；iiiis:iiN代表直線y x 4外，CU N代表直線y x 4上，IIiiiiII CuMCuN2, 2 .2 27. Mx | xpx 6 0 , N x | x6x q 0，那么 M N 2 ,那么 p q( )A.21B.8C.6D.7分析：從M N 2入手得，2既是M的元素又是N的元素，那么代入便可以 -ii求出p和q的值.I!答案：Ai：iI!詳解：由得，2 M ,2 NiI所以2是方

13、程x2 px 6 0和x2 6x q 0的根，故將2代入得，p 5 ; q 0,q 16.iiII所以p q 21.28.方程x2bx c0有兩個不相等的實根Xi,X2.設(shè)CXi,X2, A 1,3,5,7,9 ,B 1,4,7,10，假設(shè) AC ,C B C,試求 b , c 的值。分析：對A C ,C B C的含義的理解是此題的關(guān)鍵，C B C C B ;詳解：由C B C又因為A CC B，那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2個。因此，b x1 x214， c x-|X240.，貝U A中的1，3，5，7，9都不在C中，從而只能是 C 4,10題型三、集合含參或B .0進行討論.解

14、決此類型題應(yīng)注意： 遇到子集需從和不是 兩方面討論，如A B A 會解各種類型的不等式 如果方程中的最高次項系數(shù)含有參數(shù)，要記得對參數(shù)是否為詳解:因為Cu A1，所以11a，解得a 2 .2 時，a24，滿足Cu A1 .所以實數(shù)a的值為2.a2 aa22代入CsA1成立同理a 1代入無解,故舍去綜上a【No.1集合vs.集合】1.設(shè)U2,4,1 a，A 2,a2a 2，假設(shè) CuAA.1B.2C.3D.4分析：因為Cu A1 ,所以U中必含元素答案:1，A中必不含元素1.1 ,那么a的值為()2.集合 A x | log 2 x 11，集合 B x | x2 ax b 0, a,b R(1

15、)假設(shè)A B，求a,b的值;2假設(shè)b 3，且A B A，求a的取值范圍.分析：1 中A B得出A和B中不等式的解相同，那我們算出集合 A的解集，ii-ii再由韋達定理求出a,b即可；ii；!2由A B A可得B A .題目中只要看到類似B A這種子集問題，必然IIII要先討論B是否為，因為 是任何集合的子集，所以也是一種情況必須要IIIJIi|ilII討論.IIi；iiIIIIIIIIIii!iiI詳解：1 由log 2 x 11得0 x 12，所以集合A x|1 x 3 .由A B知，x2axb0的解集為x|1x 3，所以方程x2 ax b 0的兩根分別為1和3.由韋達定理可知,a13，解得

16、a4，b 3，即為所求.b13(3 )由 A BA 知,BA.當B時，有2 a120，解得；2 3a 2 3厶a12 02a時，設(shè)函數(shù)f x x ax 3,其圖象的對稱軸為 x，2f 14a 0當Bf 3123a 0a132解得23 a 4綜上可知，實數(shù) a的取值范圍是2 3,4【No.2集合vs.不等式】3設(shè)集合 A x|x a 1, x R，B= x| x b 2, x R.假設(shè) A B，那么實數(shù) a，b 必滿足 分析：做這種題首先要先會解絕對值不等式，然后再比擬端點即可.答案：Diii詳解：A x| 1 a x 1 aiB x|x 2 b 或 x2 bi因為A B，且A那么有1 a 2

17、b 或 1 a 2 b即b a 3或b a3| 即 |b 3，選 D.4集合 Ax|2x5 , B x | m 1 x 2m 1 ,(1) 假設(shè)B A，求實數(shù)m的取值范圍；(2) 當x Z時，求A的非空真子集個數(shù)；當x R時，沒有元素x使x A與x B同時成立,求實數(shù)m的取值范圍分析：此問題解決要注意：(1) B A中的分類討論；(2)集合的非空真子集的個11III數(shù)=2n 1 ;(3)當x R時，沒有元素x使x A與x B同時成立能得出A與B沒有I1ii交集，當中還要考慮B是否為I!1|I|:!I1III>詳解：當m 1 2m 1即m 2時,B 滿足B A.當m 1 2m 1即m 2時

18、,要使B A成立，! : ii需 m 1 2m 1,可得2 m 3.綜上所得實數(shù) m的取值范圍m 3.i m 15當 x Z 時,A 2, 1,0,1,234,5i所以,A的非空真子集個數(shù)為128 2254.:1(3) T xR,且 A x| 2x 5,B x | m 1 x2m 1 ,又沒有兀素:x使x A與i1x B同時成立11-i1那么假設(shè)B1即 m 1 2m1,得m 2時滿足條件；i :i111i假設(shè)B,那么要滿足條件有：m1 2m 1,或 m12m 112m 1解之，得m4.:111m152m1 2i11綜上有m2 或 m 4 .1i!【No.3集合vs.方程】5.集合P x|x2

19、x 6 0,Q x|ax 1 0滿足Q P，求 a所取的一切值分析：這類題目給的條件中方程的最高次項系數(shù)含有字母 ，一般需分類討論.要從 !ia 0和a 0兩個方面進行解題.I詳解:因Px|x2 x6 02, 3 ,1當a0時,Qx | ax 10,QiP成立.1又當a 0 時,Q x | ax1 0111i要QP成立，那么有2或3,i-iiaaa11ii:a1或a1i:ii23 .綜上所述,a10或a-或a11i；I23.I26. 集合 A x | ax 3x 40,x R .(1) 假設(shè)A中有兩個元素，求實數(shù) a的取值范圍；(2) 假設(shè)A中至多有一個元素，求實數(shù) a的取值范圍.分析：A中元

20、素的個數(shù)代表方程ax2 3x 4 0的根的個數(shù)，不過首先要討論a是否為0.詳解:(1) A中有兩個元素,二方程ax3x 40有兩個不等的實數(shù)根,0，即16a916a；1!19，且a160.1當:a 0 時，A4 .3 ；i當a-10時，假設(shè)關(guān)于x的方程ax 3x 40有兩個相等的實數(shù)根，9 16a ，即!19a1 !16假設(shè)關(guān)于x的方程無實數(shù)根，那么 9 16a0 ,9即 a -；16一9故所求的a的取值范圍是a 9或a 0.162 2 27. 集合 A x| 2x 3x10 ， B x|mx m 2 x 10，假設(shè) A B A，求實數(shù)m的取值范圍.分析：與第7題類似，第7題是先討論a是否為0

21、 ,而此題的答案中先討論的是IB是否為，在這種類型題中，兩種方法兼可.i詳解：A x|2x23x 101冷/ AB A， BA，當B假設(shè)m0，不成立；假設(shè)m0，那么0，m2一或m32;當B1或-2假設(shè)m0，x1，2成立；假設(shè)m0，那么0，m2 或m32，經(jīng)檢驗,m 2成立；當B11, 一 ，11Im 2112那么m2 ，無解，不成立11111Ii12 m12綜上:m2一或m2 或 m 0 .11113題型四、韋恩圖像解決此類型題應(yīng)注意：會用韋恩圖表示集合關(guān)系與運算6人,1某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組已 知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26,1

22、5,13，同時參加數(shù)學和物理小組的有同時參加物理和化學小組的有4人，那么同時參加數(shù)學和化學小組的有多少人？分析：解此類題型最簡便的方法就是用韋恩圖像法-i!I|Ii解析：設(shè)單獨加數(shù)學的同學為 x人，參加數(shù)學化學的為 y人，單獨參加化學的為 z人.xyz26x12依題意 y4z13，解得y8xyz21z1冋時參加數(shù)學化匕學!的冋學有8人,2設(shè)全集U是實數(shù)集R，函數(shù)y圖所示陰影局部所表示的集合是(1)的定義域為M， Nx | log 2 x 11 ，那么如A. x| 2 x 1B. x| 2 x 2C. x|1 x 2D. x|x 2分析：此題要注意y的定義域：2x2 x4 02x 4 040答案

23、：C詳解:由題意易得Mx|x2或x2 , N x|1 x 3 ，而陰影局部表示CUMN x |1 x 2，選 C.x x 23設(shè)全集U=R, A x |21 , B x|y In1 x ，那么右圖中陰影局部表示的集合A. x|x 1B. x|1 x 2C. x|0 x 1D. x | x 1分析：由圖可知所求為CuB A，還要注意解A, B集合時應(yīng)遵循指對運算的規(guī)那么.III!iiiiI'i!iqI-1iiII-答案：BiiII詳解：2xx 2 1 20，因為y 2x是增函數(shù)，ii所以xx 20，IIiiiii:故 0x2，A 0,2，B,1 .IIii陰影局部表示的集合為 CUB A

24、 x|1 x 2 .題型五、創(chuàng)新題型解決此類型題應(yīng)注意：要充分理解題目中給出的新定義1對于集合 M、N ,定義：M N x|x M且x N , M N M N N MC.y| yx23x, x R , B x| y log2 x ，那么 A B=()0,0,分析：創(chuàng)新題型一般都是根據(jù)題中所給的出的式子算出結(jié)果。那么由題意得,A BABB A，A Bx | xA且 x B，B Ax | x B且 x A .A1集合所求的是y x2 3x的值域，B集合所求的是ylog 2x的定義域.1iiii答案：C iS1ii；1詳解：此題考查集合的運算:i1；12239 口9i由yx 3xx得Ay | yi2

25、44iii由ylog 2x得x 0，那么B x|x 0；iai由MNx|x M且xN得ABx| x 00,；iii99ii-B Ax|xi44i ! i由MNMNNM得AB0, ,9I i i 14:1故正確答案為Ci ；i2定義集合A與B的運算“ *為:A B x|x A或x B,但x A B .設(shè)X是偶數(shù)集，丫 1,2,3,4,5 ,那么 X Y Y=()A. XB. YC. X YD. X Y分析：X Y Y整體算上去比擬復(fù)雜，所以要分開先計算X Y.I!iII*答案：AIiI詳解：首先求出X Y 2,4，X,Y的并集再去掉交集即得IIX Y 1,3,5,6,8,10,.同理可得 X Y

26、 Y 2,4,6,8,10, X3. 定義一個集合 A的所有子集組成的集合叫做集合 A的幕集，記為P A，用nA表示有限 集A的元素個數(shù)，給出以下命題： 對于任意集合 A，都有A P A ； 存在集合 A，使得n P A 3 ； 用表示空集，假設(shè)A B ，那么P A P B ； 假設(shè)A B，那么P A P B ； 假設(shè)nA nB 1，那么nPA 2 P B其中正確的命題個數(shù)為()A . 4B. 3C. 2D. 1分析：幕集P A為子集所組成的集合，n A表示有限集A的元素個數(shù)，那IIii么需要根據(jù)集合的概念和運算對命題進行分析.iIII-IIII答案：BIii詳解：-II對于命題，A A，因此

27、A P A，命題正確；IIII<>IIiii*I1對于命題，假設(shè)集合 A的元素個數(shù)為 m，那么集合A的子集共2m個，假設(shè)n P A 3，貝VIiII|2m 3，解得m log23 N，命題錯誤；|iIii!*IIII對于命題，假設(shè)A B ，由于 A,B,因此 P A , P B，所以iii:iiP A P B，那么P A P B，命題錯誤；:I1II1j對于命題，假設(shè) A B，對集合A的任意子集E A，即對任意E P A，貝U E B ,:jIIIIII那么E P B，因此P A P B，命題正確；IIIj;:I I對于命題，設(shè)nB n ,那么nA n1，那么集合A的子集個數(shù)為2n

28、 1，即!*ii|I|n P A2n12 2n，集合B的子集個數(shù)為2n，即n P B 2n，因此|n PA2P B ，命題正確，i:-II故正確的命題個數(shù)為 3，選B.PS :課后練習一、選擇題1.以下命題中正確的選項是A. 數(shù)0不能構(gòu)成集合B. 數(shù)0構(gòu)成的集合是0C. 數(shù)0構(gòu)成的集合是D. 數(shù)0構(gòu)成的集合的元素是 02.a,a,b,b,a2,b2 構(gòu)成集合M，那么M中元素的個數(shù)最多是A.6B.5C.4D.33. 以下表示方法正確的選項是()2A. 3y | y n1,n N2 2B. 0 (x,y)|xy0,x N,y NC. 3 x|x2 90, x ND. 2 x|x . n,n N4集

29、合At|t -,其中 p q q5,且 p,q*N的所有真子集的個數(shù)為A.3B.7C.15D.315方程2x px150與x25x q0的解集分別為 A與B,且A B 3，p q ()A.14B.11C.7D.226假設(shè) 1,2,3, a 3,a1,2,3,a，那么a的取值集合為A. 0, 1B. 0,1,2c. 1,2D. 0, 1,2, .27設(shè)全集UR, Ax|2x x 21，Bx|yln 1 x ，那么圖中陰影局部表示的集合為那么( )A . x | x 1B. x|1 x 2C. x|0 x 1D. x | x 18設(shè)全集U R , A x|xx2 0 , B x|yl nix 0，

30、那么圖中陰影局部表示的集合為A .x|0 x 1B. x|1 x 2C. x|x 1D. x | x 19.給定集合 A,B，定義一種新運算：A* B x| x A或xB,但x A B ,又A 0,1,2 ,B 1,2,3，那么 A* B等于A. 0B. 3C. 0,3D. 0,1,2,310設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合 P QQ x| x 21，那么P Q等于A .x|0 x 1B. x | 0 x 1C. x |1 x 2x | x P且x Q，如果 P x | log 2 x 1 ,11.定義AB1xz|z xy,xyA,y B ，設(shè)集合 A 0,2 , B 1,2 , C 1那么集合A

31、B( )C的所有兀素之和為A.3B.9C.18D.27、填空題i.下歹y命題正確的選項是 .(1) 空集沒有子集.(2) 空集是任何一個集合的真子集.(3) 任一集合必有兩個或兩個以上子集假設(shè)B A,那么凡不屬于集合A的元素，那么必不屬于B.2用適當?shù)姆椒ū硎疽韵录?，并指出是有限集還是無限集? 由所有非負奇數(shù)組成的集合； 平面直角坐標系內(nèi)所有第三象限的點組成的集合； 所有周長等于10cm的三角形組成的集合； 方程x2 x 10的實數(shù)根組成的集合.3用列舉法表示集合A n N| N,n 5為30名,4. 50名學生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學生有 參加乙項的學生有

32、25名，那么僅參加了一項活動的學生人數(shù)為 .5集合 A x 12x 10 , B x| x 12，那么 A B =三、解答題1. 集合 A x R| x2 3x 4 0 , B x R| x 1 x2 3x 4 0 ,要使2. 設(shè)集合 A x|72x17 , B x|m1x3m(1 )當 m 3時，求 A B與 A CrB ；(2)假設(shè)A B B，求實數(shù)m的取值范圍.2 2，求a的值.1 x的解集C滿足C A3. 假設(shè)關(guān)于x的不等式tx 6x t 0的解集 ，a 1,3 x4. 不等式：r 1的解集為A .x 1(1)求解集A ;(2 )假設(shè)a R，解關(guān)于x的不等式：ax2 1 a 1 x ；(3)求實數(shù)a的取值范圍，使關(guān)于x的不等式：ax21 a課后練習答案、選擇題1.答案： D中沒有任何元素提示：數(shù) 0 只能構(gòu)成一個只含有元素 0的集合，這個集合不是 ，因為2.答案： C提示：當a,b, a2,b2不等式M中含有的元素個數(shù)最多.3.答案 ： D提示 ：判斷元素是否在集合內(nèi) .4.答案 ： C 提示：集合的真子集個數(shù)為 2n 1.5. 答案：A提示 ： x 3為兩方程的公共根 .6. 答案 ： D提示：計算出a的值后要帶回1,2,3,a 3, a2 1,2,3, a驗證.7. 答案：B提示：因為圖中