補充構造異面直線所成角的幾種方法

1、閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。一.異面直線所成角的求法1、正確理解概念(1)在異面直線所成角的定義中，空間中的點O是任意選取的，異面直線 a和b所成角的大小，與點O的位置無關。(2)異面直線所成角的取值范圍是(0 ,902、熟練掌握求法(1)求異面直線所成角的思路是： 通過平移把空間兩異面直線轉化為同一平面內的相交直線，進而利用平面幾何知識求解，整個求解過程可概括為：一作二證三計算。(2)求異面直線所成角的步驟：選擇適當的點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊點。求相交直線所成的角，通常是在相應的三角形中進行計算。因為異面直線所成的角的范圍是0。<

2、<90° ,所以在三角形中求的角為鈍角時，應取它的補角 作為異面直線所成的角。3、“補形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉化為易于研究的幾何體來處理，利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。例 1 如圖，長方體 ABCDAiBiCiDi 中，AAi=AB=2,AD=1,點 E、F、G 分別是DDi、AB、CCi 的中點，則異面直線 BiE與GF所成角的余弦是 有勇氣承擔命運這才是英雄好漢。16例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一點，如圖 SA = SB = SC,且 ASB= BSC= CSA = _ , M、N分別是AB和SC的中點.求異面

3、直線SM與BN所成的角的余弦值.例3長方體 ABCD球AiBiCiDi中，若 AB=BC=3 , AAi=4 ,求異面直線 BiD與BCi所成角的大小A.D.aJA例4如圖，PA 平面ABC ,ACB 90 且 PA ACBCa ,則異面直線PB與AC所成角的正切值等于練習:1.在棱長為1的正方體 ABCD AiBiCiDi中,M和N分別為Ai Bi和BBi的中點，那么直線 AM與CN（A）23所成角的余弦值是（第i題）Fi分別是AiBi、AiCi的中點2 .如圖，AiBiCi ABC是直三棱柱（三側面為矩形），/BCA=90。，點Di、若BC=CA=CC i,貝U BDi與AFi所成角的余弦

4、值是（）（得3 .正方體ABCD AiBiCiDi中，直線 BCi與AC（D）異面但不垂直（A）相交且垂直（B）相交但不垂直（C）異面且垂直4 .設a、b、c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：如果 a_Lb、b_Lc,貝U a/c；如果a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；如果a、b是異面直線，c、b是異面直線，則a、c也是異面直線;如果a和b共面，b和c共面，則a和c也共面在上述四個命題中，真命題的個數是 （）(A)4(B)3(C)2(D)1(E)05 .如果直線l和n是異面直線，那么和直線 1、n都垂直的直線（A）不一定存在（B）總共只有一條（C）總共可能有一條，也可能有兩條（D）有

5、無窮多條6 .如圖，四面體SABC的各棱長都相等，如果 E、F分別為SC、AB的中點，那么異面直線 EF與SA所成的角等于(A)90 °(B)60 °(C)45 °(D)307 .右圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，BM與ED平行； CN與BE是異面直線;CN與BM成60角；DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是(A)(B) (C)(D)8 .如圖，四面體 ABCD 中，ACLBD,且AC = 4, BD=3, M、N分別是AB、CD的中點，則求 MN和BD所成角的正切值為9 .異面直線a、b成60 ° ,過空間一點P的直線c與a、b成角

6、都為60° ,則這樣的直線c有 條10 .異面直線a、b成60° ,直線c，a,則直線b與c所成的角的范圍為（）(A) 30 ° ,90 (B) 60 ° ,90 (C) 30 0 ,60 (D) 60 ° , 120 M 、 N分別是BC和AiCi的中點 求MN 與11 .如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個側面都是正方形,ABi所成角的余弦值。=8, AB12 .如圖，四面體 ABCD中，E為AD中點，若 AC=CD=DA 成角的余弦值。二.共面、共線、共點問題共點問題：證明線共點，就是要證明這些直線都過其中兩條直線的交點.解決此類問題的一般

7、方法是：先證其中 兩條直線交于一點，再證該點也在其他直線上.共線問題：證明點共線，常常采用以下兩種方法：轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，然后根據公理 證得這些點都在這兩個平面的交線上；證明多點共線問題時，通常是過其中兩點作一直線，然后證明其 他的點都在這條直線上.共面問題：證明空間的點、線共面問題，通常采用以下兩種方法：根據已知條件先確定一個平面，再證明其他 點或直線也在這個平面內；分別過某些點或直線作兩個平面，證明這兩個平面重合.1 .如圖所示，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E為AB中點，F為AiA的中點.求證：（i） E、C、Di、F四點共面；（2） CE、DiF、DA三線

8、共點。3.已知平面平面I,點A、B，點C 且C l, AB l R 設過 A、b、C2 如圖，AB II CD , ABB, CD.線。練習：1 .共點的四條直線最多能確定 個平面。2 .空間四點中，若任意三點不共線，那么經過三點的平面有 個點的平面為 ，則 是（）A.直線AC B.直線BC C.直線CR D.以上全錯4.已知ABC三邊AB、BC、CA分別交平面于P、Q、R,求證：P、Q、R共線由 AB /.'DC D D1C15.如果ABC和AiBiCi不在同一平面內，且 AAi、BBi、CCi兩兩相交，求證：三直線 AA 1、BBi、CCi 交于一點。三.平行問題1、線線”的證明：

9、(1)平行四邊形法：如圖，在正方體ABCD A1B1cl D1中,得四邊形ABC1D1為平行四邊形，于是BC1/AD1；(2)中位線法：如圖，四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，點Q是PC的中點，則由OQ是 PAC的中位線，得到OQ/PA; 線面”平行法：如圖，若B1c1/平面ABCD,過B1cl的平面交平面ABCD于MN,則B1cl / MN ; 面面”法：如圖，若平面AB1C1D1 平面ABCD,平面 與平面AB1clD1、平面ABCD分別交于EF、MN,則有 EF/ MN;(5) “平行線分線段成比例定理的推論”：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例。如

10、圖，在正方體 ABCD A1B1clD1中，E, F分別為面對角DiE AF線 D1B1, AiB 上的動點，且 DiE= AiF,則一-,EB1FBD1E AEAE AF又,故,所以 EF/GB。EBiEGEGFB2、線面”的證明：(i)線線”法：如圖,Q為PC的中點，則OQ AP所以OQ 平面PAD;(2)面面”法：如圖若AiBiCiDi/平面ABCD,直線MN在平面AiBiCiDi，貝U MN / 平面 ABCD ;3、面面”的證明：線面”法：如圖布平面AB1clD1上找到兩條相交直線MN、MC1均平行于平面ABCD,則有平面 AB1clD1 平面ABCD ;Ai例題分析：1. a/ ,

11、b/ ，則a與b的位置關系()A.平行B .異面 C .相交 D .以上情況均有可能2. a , b是兩條不相交的直線，則過直線b且平行于a的平面()3、已知正方體 ABCD-A'B'C'D'中，E, F分別是 A'B' , B'C'的中點。求證：EF/面AD'CA.有且只有一個B .至少有一個 C .至多有一個D .以上答案都不對ABAB4、如圖，已知矩形 ABCD所在平面外一點 P, E、F分別是AB, PC的中點 求證：EF/平面PAD;5.如圖，四棱錐 P- ABCD的底面是正方形，點 E、F分別為棱AB、PD的中

12、點。 求證：AF/平面PCE;6、如圖，在正方體 ABCD ABC1D1中，E是AA1的中點，求證：A1C/平面BDE。7.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P ABCD中，點E是PD的中點.求證：PB/平面AEC.8.已知正四棱錐 P ABCD, M、N分別是PA、BD上的點，且PM : MA=BN : ND=5 : 8,求證：直線 MNT平面PBC9、正方體 ABCD-A BC1D1,Q分別是正方形 AA1D1D和AiBiCiDi的中心。求證 PQ/平面DD1C1C;110.已知正三棱柱 ABCAiBiCi, D為AC中點。求證：直線 ABi/平面CiDB;11.如圖：已知AiBiCi-AB

13、C是正三棱柱,D是AC中點.證明:AB 1 /平面DBCi；D12 .如圖，在斜三棱柱 ABC AB1c1中，e、f分別是棱B1c1、A1A的中點，證明A1E /平面B1FC13 .如圖，在四才錐P ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E是PC的三等分點，F是PB的中點,求證：AF/面BDE;14、如圖PA，平面ABCD ,四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB , PD的中點。求證：AF/平面PCE;15 .如圖，平面EFGH分別平行于CD,AB , E,F ,G, H分別在BD,BC,AC,AD上，且CD a , AB的面積最大.b, CDAB .(1)求證：EFGH是矩形；(2)求當點E在什么位置時，EFGH16 .如圖，在四棱錐 S ABCD中，SA AB 2 , SB SD 2J2 ,底面ABCD是菱形，且 ABC 60 , E為CD的中點.側棱SB上是否存在點F, 使得C