傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)

1、早節(jié)教學目的日期第五章傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng) 1,3,4節(jié) 無失真?zhèn)鬏敽屠硐氲屯V波器教學重點無失真?zhèn)鬏敽屠硐氲屯V波器教學難點"無失真?zhèn)鬏敽屠硐氲屯V波器 教學方法"講授教學內(nèi)容第五章傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)5.1引言為進一步研究系統(tǒng)濾波特性，弓I出傅里葉變換形式的系統(tǒng)函數(shù)。若：Fr(t) R( );Fh(t) H( );Fe(t) E()引用傅里葉變換時域卷積定理可得出：R( ) H( )E( )(5-1)這里，H()也稱為系統(tǒng)函數(shù)，但以傅里葉變換形式給出。也可表示為j的函數(shù)，只是函數(shù)變量表示形式不同，對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)(不包括臨界穩(wěn)定)，將H(s)中的變量s以j取代，

2、即可寫出H(j )。5.3無失真?zhèn)鬏斝盘柾ㄟ^系統(tǒng)后，一般情況下系統(tǒng)的響應(yīng)波形會與激勵波形不同，即信號在傳輸過程中將產(chǎn)生失真。線性系統(tǒng)引起的信號失真來源于兩方面因素，一是系統(tǒng)對信號中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，使響應(yīng)各頻率分量的相對幅度產(chǎn)生變換引起幅度失真；二是系統(tǒng)對各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化引起相位失真。即取決于系統(tǒng)電路如圖5-1(a)線性系統(tǒng)幅度失真和相位失真都不產(chǎn)生新的頻率分量，這與非線性系統(tǒng)有本質(zhì)差別。 信號通過線性系統(tǒng)發(fā)生波形的改變和頻譜的改變，直接取決于系統(tǒng)本身的傳輸特性,的沖激響應(yīng)或其系統(tǒng)函數(shù)。下面以階越信號通過 RC

3、低通濾波器為例，討論信號波形通過系統(tǒng)產(chǎn)生失真的問題。 所示。由(5-1)可知:Uc(j )階越信號傅氏變換：Fu(t)H( )H(s)|s j則有：H(j )u(j )(j )11 j RCUc(j )(j(j )1 j RC圖5-1 RC電路的濾波11 j RC1j (1 j RC)(j )1RCUc (t) u(t) e RCu(t)1(1 e RC)u(t)取傅氏逆變換:相應(yīng)的波形如圖5-1(b)。波形失真的原因是由于電路的幅頻特性和相頻特性不滿足無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件。信號的無失真?zhèn)鬏敚褐疙憫?yīng)信號與激勵信號相比，只是大小(幅度)與出現(xiàn)的時間(時間的延遲) 不同，而無波形上的變化。即，無失真?zhèn)?/p>

4、輸?shù)臈l件：r(t) Ke(t t。)(5-2)下面討論為滿足上式，對系統(tǒng)函數(shù)的要求。設(shè)響應(yīng)與激勵信號的傅氏變換分別為R(j),E(j)，有傅氏變換的延時定理上式可以得出而由上節(jié)有：R(j )KE(j)e jt0所以：R(j )H(j)E(j )j toH(j )Ke上式就是系統(tǒng)實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敱仨毦邆涞臈l件。該系統(tǒng)函數(shù)的幅值和相角分別為:|H(j )| K(j ) to(5-3)(5-4)上式表明，為實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，在全部頻帶內(nèi)，系統(tǒng)函數(shù)的幅頻特性應(yīng)為一常數(shù)，而相頻特性應(yīng)為通過原點的直線。如圖5-2所示。物理概念上的解釋：由于系統(tǒng)函數(shù)的幅度為常數(shù)，因此響應(yīng)中各頻率分量幅度的相對大小將與激勵信號的

5、情況一樣，因而沒有幅度失真。要保證沒有相位失真， 必須使響應(yīng)中各頻率 分量與激勵中各對應(yīng)分量滯后相同的時間，這一要求反映到相位特性是一條通過原點的直線。由于系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)函數(shù) H(j )的傅氏變換。對式(5-3)取傅氏逆變換，得：|H(j )|()toh(t) K (tto)上式表明，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)也是沖激信號，它是輸入沖激信號的K倍，并延時了 t0時間。5.4理想低通濾波器(一)理想低通濾波器的頻域特性和沖激響應(yīng)實際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)其幅頻特性不可能在無限大的頻寬中保持常數(shù)，在工程中 無失真?zhèn)鬏數(shù)暮x是傳輸帶寬與信號有效帶寬相匹配，即在有限頻寬中保持常數(shù)， 這就是理想低通

6、濾波器。所謂理想就是將濾波網(wǎng)絡(luò)的某些特性理想化而定義。理想 濾波器可按不同的實際需要從不同角度給予定義，最常用到的是具有矩形幅度特性 和線性相移特性的理想低通濾波器。這種低通濾波器將低于某一頻率c的所有信號|H(j )|(a)予以傳送，而無任何失真，將頻率高于這一值的信號完全衰減，如圖5-3。c稱為截止頻率。相移特性滿足無失真?zhèn)鬏斠螅峭ㄟ^原點的直線。其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表示式 為：H(j)|H(j )|ej ( 其中，1cc|H(j )| o其他；()t(b)圖5-3理想低 通濾波器特性低通濾波器的沖激響應(yīng)：對上式進行傅氏逆變換，可求得網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng):h(t) F1H(j )H(j )ej tdcS

7、in c(tto)c(t t°)c Sace i，oej *dcc(t to)波形如圖5-4所示，是一個峰值位于 t0時刻的抽樣函數(shù)。從上式可以看出，響應(yīng)先于激勵而出現(xiàn)， 實際當然不可 能出現(xiàn)。“未卜先知”情況是由于采用了實際上不可能實現(xiàn) 的理想化傳輸特性所致。(二)理想低通的階躍響應(yīng) 已知理想低通濾波器的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)：H(j )又已知階越信號的傅氏變換:Fu(t)(j因此:R(j ) H(j )E(j )(j對上式求逆變換:1r(t) F R(j)(j(j1 ej (t Qj(t t。)c其他ejt0ejt0ej)ej (t to)dtd(tt。)d上式第一項由沖激函數(shù)篩選特性可進行化

8、簡，第二項可利用歐拉公式進行轉(zhuǎn)化，得到:c c0S (t t0)d 12泅(t to)d該式第一項積分為奇函數(shù)，積分為零。后一項積分為偶函數(shù)，有:r(t) 1 1 0cS (t 叫x (tt0) 12乂 to) sin x , dx0x正弦積分:Si(y):沁 dx0 xo增長，以后圍繞 起伏，并衰2其波形見書P277?？煽吹皆摵瘮?shù)為奇函數(shù)，隨自變量增大，函數(shù)值從sin x減趨向于，各極值點與抽樣函數(shù)零點對應(yīng)。因此階躍響應(yīng)可寫作：P277圖5-11(b)。2x1 1r（t） Si c（t t。）2定義輸出由最小值到最大值所需時間為上升時間tr ,由圖可知：tr（帶這里，B c是將角頻率折合成頻

9、率后的濾波器帶寬。由圖可以看出，上升時間與系統(tǒng)的截止頻率2寬）成反比。一般講，階躍響應(yīng)的上升時間與帶寬不能同時減小，對不同的濾波器二者之積為不同的具有下限的常數(shù)值，這將由著名的“測不準理論”所決定。備 注一比亠早節(jié)第五章傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)7-8節(jié)日期教學目的理解調(diào)制與解調(diào)基本原理，掌握調(diào)幅信號作用于帶通濾波器的情況 教學重點"調(diào)制與解調(diào)基本原理教學難點調(diào)幅信號作用于帶通濾波器教學方法講授教學內(nèi)容5.7調(diào)制與解調(diào)無線電通信系統(tǒng)是通過空間輻射方式傳送信號的,由電磁波理論可知,天線尺寸為被輻射信號波長的十分之一或更大些，信號才能有效地被輻射。對于語音信號來說，相應(yīng) 的天線尺寸要在幾十

10、公里以上，實際上不可能制造這樣的天線。調(diào)制過程 將信號頻譜搬移到任何所需的較高頻率范圍，這就容易以電磁波形式輻射 出去。另一方面，如果不進行調(diào)制而是把被傳送的信號直接輻射出去，那么 各電臺所發(fā)出的信號頻率就會相同，它們混在一起，收信者將無法選擇所 要接受的信號。調(diào)制作用的實質(zhì)是把各種信號的頻譜搬移，使它們互不重 疊的占據(jù)不同的頻率范圍。調(diào)制就是用一個信號去控制另一個信號某一參數(shù)的過程。例如正弦信 號f(t) Asin( t)有三個參數(shù)：振幅 A，頻率 ，相位 。若被控參數(shù)是A，稱為調(diào)幅(AM)；被控參數(shù)是，稱為調(diào)頻(FM)；被控參數(shù)是，稱為調(diào)相(PM或 M )。在通信系統(tǒng)中，為實現(xiàn)信號的傳輸，

11、往往需要進行調(diào)制和解調(diào)。5.7.1調(diào)制原理調(diào)制原理及相應(yīng)的波形頻譜如圖5-5所示。設(shè)定：載波信號為cos( ot)，調(diào)制信號g(t)的傅立葉變換為 G()， 已調(diào)信號表示為 f(t)。因此，可以得到：f (t) g(t)cos( ot)1Ff(t) F( )G( )* ( o)( o)2g(t)cos( ot)cos( ot) (a)1G()m 0(b)1G()(o)(o)tmoJ2G()1/ 0 0 0 m(d)圖5-5調(diào)制原理0 (0)1G( o) G(o)2可見，信號的頻譜被搬移到了載頻0附近。5.7.2解調(diào)原理由已調(diào)信號f(t)恢復原始信號g(t)的過程稱為解調(diào)。圖5-6給出實現(xiàn)解調(diào)的

12、一種原理方框圖。這里COs( ot)是接受端的本地載波信號，它與發(fā)送端的載波同頻同相。由圖可知：go(t) g(t)COs( ot) COs( ot)1g(t)1 cos(2 ot)211g(t)g(t)cos(2 ot)22因此：11Go( ) G( )G(2 o) G( 2 o)24再利用一個低通濾波器(帶寬大于m，小于2 0m ),濾除在頻率為2 0附近的分量，即可取出 g(t)，完成解調(diào)。g(t)15.8帶通濾波系統(tǒng)的應(yīng)用為完成調(diào)幅信號的傳輸，往往要遇到調(diào)幅信號作用于帶通 濾波器而求其響應(yīng)的問題， 下面舉例說明這種情況下響應(yīng)信號 的特點。例5-1已知帶通濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)為H(s)V2(s

13、)Vi(s)2s(s 1)21002激勵信號為v1 (t) (1 cost)cos(100t)，求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)v2(t)。 解：激勵信號vjt)表示式可展開成11V1 (t)cos(100t)-cos(101t)- cos(99t)22顯然，可以分別求此三個余弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，然后疊加。為此，由H(s)寫出頻響特性：000J(0)(i0)0001 ” fG()C1 /1 I1 m0m1/2 fIfG()/2*m0m(b)圖5-6解調(diào)原理(a)1 t F()2H(j )2j2 2(j 1)1002j2 2(j ) 2j 1001002( 100)( 100) j考慮研究的頻率范圍僅在100附近，因此

14、:1002 ，于是H(j利用此式分別求系統(tǒng)對三個余弦激勵信號的響應(yīng),于是寫出響應(yīng):1 j(100)H(j100)112j 45H (j101)e j1 j2H(j99)1-2j45e1 j21逅V2(t)cos(100t)-cos(101t45 ) cos(99t 45 )為此寫出:見圖P291，由于頻響特性 H(j )的影響使信號頻譜產(chǎn)生的變化，可以看到，此帶通系統(tǒng)幅頻特性在同帶內(nèi)不是常數(shù)，因而，相應(yīng)信號的兩個邊頻分量相對于載頻分量有所削弱，而且產(chǎn)生了45的相移。備 注1、系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件；2、理想低通濾波器的沖激響應(yīng)及階躍響應(yīng)；3、調(diào)制與解調(diào)的基本原理。僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu ko