常微分方程總結資料9

1、（1）概念微分方程：一般，凡表示 未知函數、未知函數的導數 與自變量的之間關系 的方程。微分方程的階：微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數。如：一階：dx2x二階：d 2s dt2O.4三階：3x y2x y24xy 3x四階：4 y4y1Oy 12y 5y sin 2x般n階微分方程的形式：F x,y,y,L,yn O。這里的yn是必須出現（2）微分方程的解設函數y x在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數，如果在區(qū)間I上，Fx, x,xL x"0 則 y x 稱為微分方程 F x, y, y ,L , y n 0的解。注：一個函數有n階連續(xù)導數-該函數的n階導函數也是連續(xù)的。函數連續(xù)T

2、函數的圖像時連在一起的，中間沒有斷幵（即沒有間斷點）。導數-導函數簡稱導數，導數表示原函數在該點的斜率大小。導函數連續(xù)-原函數的斜率時連續(xù)變化的，而并沒有在某點發(fā)生突變。函數連續(xù)定義：設函數y f x在點xo的某一鄰域內有定義，如果 lim f x f x0則稱函數f x在點x0連續(xù)。x xo左連續(xù)：lim f x f xo f X。 左極限存在且等于該點的函數值。X xo右連續(xù)：lim f x f xo f X。 右極限存在且等于該點的函數值。x xo在區(qū)間上每一個點都連續(xù)的函數，叫做函數在該區(qū)間上連續(xù)。如果是閉區(qū) 間，包括端點，是指函數在右端點左連續(xù)，在左端點右連續(xù)。函數在 x0 點連續(xù)l

3、im f x lim f x lim f x f x0x Xox Xox Xo1、f x在點xo有定義2、lim f x極限存在x xo3、lim f x f xox x（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫微分方程的通解。注：任意常數是相互獨立的：它們不能合并使得任意常數的個數減少。補充：設yi x ,y2 x丄yn x是定義在區(qū)間I上的n個函數，若存在n個不全為零 的常數（強調存在性，找到一組常數即可） ki,k2,L ,kn，使得當對 x I時 有恒等式：kiy-i （x） k2y2（x） L kny3 x o成立。則稱這n個函數

4、在區(qū)間I上 線性相關|。若當且僅當ki,k2丄，kn全等于零該等式才恒成立。則這 n個函 數在區(qū)間I上就線性無關。例:函數1,si n2x,cos2x在整個數軸上線性相關。Q 1 sin2 x cos2 x o恒成立。 函數1,x,x2在任何區(qū)間 a,b t線性無關Q要使ki k?x ksX2 o恒成立，則 ki k2 k3 o否則：若k1,k2, k3不同時等于零，則k?x ksx2 o最多只有 兩個x的值能是該式恒成立。對 x不具有普遍性。對兩個函數yi x ,y2 x而言：yL丄 c（常數）t線性相關y2 xyi xx （函數）T線性無關y2 x定解條件（初始條件）：微分方程的通解中含有

5、任意常數，實際情況t提 出確定這些常數的條件。通解t特解一階微分方程定解條件一般為：y x勺y0二階微分方程定解條件一般為：y x冷yo, y x x yo其中xo,yo, y都是給定 的值。微分方程的解t yx的圖形是一條曲線t稱作微分方程的積分曲線分方程的初值問題。記作y f (x, y)y x xoyo幾何意義：求微分方程的通過xo,yo的那條積分曲線二階微分方程的初值問題：y f x, y,yy x xoyo, y x xoyo幾何意義：求微分方程的通過點xo, yo且在該點斜率為yo的那條積分曲求微分方程y f （x, y）滿足初始條件y x滄y0的特解這一問題稱作一階微（4）幾種常

6、見的微分方程1、可分離變量的微分方程一般形式形式：yf （x,y）對稱形式：p x, y dx q x, y dy o （ x, y都可以看做函數，另一個為自變量）dyp x, ydxq x,y “即：（q x, y o）或（p x,y 0）dxq x, ydyp x,y可分離變量：如果一階微分方程能寫成g y dy f x dx的形式。特點：一端只含y的函數和dy，另一端只含x的函數和dx。這樣微分方程稱為可分離變量的微分方程。例：求解dx2xy的通解11 2 2 解：dy 2xdx宀 dy2xdx f In y x2 c宀通解：yex C1 cexyy2、齊次微分方程一階微分方程可以化成巴

7、f dxy的形式。x第13頁y ux,dy duxdx dxdux u dx1du dxx(可分離變量)通解22 dyy x 一dyxy - dx2yxdy dxy dyx dxdxdu11x u1 u1 -dudxdxux例：解方程y2煜xydxIuIn ux u c(ux c2e2 duduu 一x uu 一 x udxdx1丄du1-dx u InuInxcuxIn y c x_yxy ux, y c2ex3、一階線性微分方程若史p x y 0，稱為一階齊次線性微分方程。dx若史p x y q x ( q x 0),稱為一階非齊次線性微分方程。 dx解2 pxy 0的通解如下：可分離變量

8、的一階微分方程dydx1dy p x dx yIn y p x dx c1p x dxyqep x dxce米用積分因子法求（齊次方程通解）dy pxy dx的一個特解如下:指數因子：epxdx乎pxydxp x dx edydxp x dx ep x dxp x dxx ep x dxe y qp x dxdxp x dxqp x dxdxdy p x y q x dxp x dxp x dxp x dxy ceeq x e dx例:求解dydx22一x151 2的通解dydx2yx 1dydx2yx 1dy2y%1In2y1 2InCiIn2y2ln2c1In2yInIn 2c2In2yI

9、n 2c x非齊次特解:dydx2y12In2 dxx 1 y2dxx 12 dxx 1 y2dxe x1通解:2In e52dx11 2dx12dxC14、伯努利方程形如:當n當n1 nydz1 n dx1 npxyya In xxy2的通解作變量代換（積分因子公式法）（答案：yx c a ln x $1）2dynP x y q x ydx0時，3 pxy q x 一階線性微分方程（公式法）dx1時，3 pxy q x yq x p x y可分離變量微分方程dxdx求通解過程:1pxy乎pxydx注：表示導數寫法y5二階線性微分方程dyx 一q x yf xdxd2y dx2pdyx 一 d

10、xq x y0稱為：二階線性齊次微分方程。d2y dx2pdyx 一 dxq x yf x稱為：二階非齊次微分方程。dydxy4ny ，L y 。形如：噪pdx若f x 0時，若f X 0時，推廣：n階線性微分方程yn a! x yn 1 L an 1 x y an x y f x 線性微分方程解的結構：對 Q* p x史q x y 0dx2dx定理1:如果函數y1 x和y2 x都是 寫 p x史q x y 0的兩個解，則dxdxy CiY） x c2y2 x也是該方程的解。其中c1， c2都是任意常數。證明：y C! y1 x c2y2 xc1y1 x +c2y2 xQ y1 x是原方程的解

11、，貝9：Q y1 x p x % x q x % x 0Ciyi x p xCiyi x q xCiyi x 0q xc1y1 xc2y2 x 0、同理 c2y2 xpxc2y2x q xc2y2 x 0解:0,iy c1 cosx q sin x得證：y y1 xc2y2 x 是d4 P X 魚 q x y 0 的解。dxdxc1y1 xc2y2 xp xc1 y1 xc2y2 x可驗證：y1cosx和y2 sinx疋y y 0的兩個解tan x，線y1cosx性無關定理3設y x是二階非齊次線性微分方程尋p x翠q x y f xd2ydx2的一個特解，且Y x是二階齊次線性微分方程尋p

12、xq x y 0的 通解。則yYx y x 是二階非齊次微分方程x的通解dyp x 一 q x y dx定理i:設二階非齊次微分方程pxd；qxyx的右端f x是兩個函數之和即 f xf1(x) f2(x)。 形 如d2ydx2dyp x q x y dxfl(x)f2(x)且yi x與 y2 x 分別是d2ydy孫 pxdx q xyfi(x)和第dxpx 巴 q x y dxf2（X）的特解，y1 x y2 x就是原方程的特解。（解的疊加原理）程x2y 2xy 2y 2x3 的通解。（答案 y ex C2X2 x3）6二階常系數齊次線性微分方程2例：已知y, x x是齊次方程x2y 2xy 2y 0的一個解，求非齊次線性方二階常系數齊次線性微分方程py qy 0 或 dxyp魚qy 0其中p,q均為 dx當p x ,q x均為常數，即y常數。求解：yc2py qy 0pq 0三種情況:1）兩個不等實根：1? 21Xy se2XCe2）兩個相等實