計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

1、計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課程論文 專 業(yè)：工程力學(xué) 姓 名：周 超 學(xué) 號(hào)：131310040034 任課教師：錢 向 東計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課程報(bào)告（工程力學(xué) 周超 131310040034）本學(xué)期我們學(xué)了計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)這門課，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力特性，及其在動(dòng)力荷載作用下動(dòng)力響應(yīng)分析原理和方法的一門技術(shù)學(xué)科。該學(xué)科的根本目的在于為改善工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在動(dòng)力環(huán)境中的安全和可靠性提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)計(jì)算的目的和內(nèi)容結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析要解決的問(wèn)題有：地震作用下建筑結(jié)構(gòu)、橋梁、大壩的振動(dòng)；風(fēng)荷載作用下大型橋梁、高層結(jié)構(gòu)的震動(dòng)；機(jī)器轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的不平衡力引起的大型機(jī)器基礎(chǔ)的振動(dòng)；車輛運(yùn)行中由于路面不平順引

2、起的車輛振動(dòng)及車輛引起的路面振動(dòng)；爆炸荷載作用下防護(hù)工事的沖擊動(dòng)力反應(yīng)等等，量大而面廣。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的內(nèi)容之一是研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。所謂動(dòng)力響應(yīng)是指結(jié)構(gòu)在廣義動(dòng)力荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移和內(nèi)力響應(yīng)，而廣義動(dòng)力荷載包括動(dòng)力激勵(lì)和動(dòng)位移激勵(lì)。動(dòng)力荷載指荷載的大小和方向(有時(shí)包括作用位置)隨時(shí)間而變化的荷載。在動(dòng)力荷載的作用下，結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力隨時(shí)間而不斷變化，并且結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)速度和加速度。2、 結(jié)構(gòu)動(dòng)力問(wèn)題的特點(diǎn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜是相對(duì)的。區(qū)別在于計(jì)算中是否考慮慣性力，由振動(dòng)引起的內(nèi)力和位移稱動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移，它們不僅是位置而且是時(shí)間的函數(shù)。以下敘述三個(gè)不同點(diǎn)：一、由于結(jié)構(gòu)動(dòng)力問(wèn)題中的荷載隨時(shí)間變化，所以而必

3、須建立相應(yīng)于響應(yīng)歷程中的全部時(shí)間的一系列解答。二、如果梁僅承受靜力荷載，則它的內(nèi)力和位移僅僅依賴于給定的外荷載，其平衡關(guān)系是外力和恢復(fù)力之間的平衡。但是，如果結(jié)構(gòu)作用動(dòng)力荷載，則梁所產(chǎn)生的位移和加速度有關(guān)，這些加速度產(chǎn)生與其反向的慣性力，于是梁的恢復(fù)力不僅要平衡外加動(dòng)力荷載，還要平衡加速度引起的慣性力。三、動(dòng)力問(wèn)題中結(jié)構(gòu)響應(yīng)的大小，與荷載的大小和荷載隨時(shí)間的變化過(guò)程有關(guān)，如果荷載的于擾頻率接近結(jié)構(gòu)的固有頻率，盡管荷載的幅值不大，也會(huì)引起結(jié)構(gòu)很大的振動(dòng)響應(yīng)即共振。 3、結(jié)構(gòu)動(dòng)力問(wèn)題的分類一般可以將動(dòng)力荷載分為確定性荷載和非確定性荷載。確定性荷載的變化規(guī)律是完全確定的，無(wú)論是周期的還是非周期的，它

4、們均可以用確定性的函數(shù)來(lái)表達(dá)。常見(jiàn)的確定性荷載有:簡(jiǎn)諧荷載、周期荷載、沖擊荷載和持續(xù)長(zhǎng)時(shí)間的非周期荷載。非確定性荷載又稱為隨機(jī)荷載，它隨時(shí)間的變化規(guī)律是預(yù)先不可以確定的，而是一種隨機(jī)過(guò)程，例如，地震荷載、風(fēng)荷載和作用在船舶與海洋結(jié)構(gòu)物上的波浪力等。隨機(jī)過(guò)程雖然不可以表示為時(shí)間的確定性函數(shù)，但是它們受統(tǒng)計(jì)規(guī)律的制約，需要用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)研究隨機(jī)荷載作用下結(jié)構(gòu)振動(dòng)。綜上所述，可以將結(jié)構(gòu)的動(dòng)力問(wèn)題劃分為:1. 線性確定性振動(dòng)，即結(jié)構(gòu)自身是線性的并且承受線性荷載的作用2. 線性隨機(jī)振動(dòng)，即結(jié)構(gòu)自身為線性的，荷載為隨機(jī)的3. 非線性確定振動(dòng)，即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身性質(zhì)或者荷載為非線性的4.非線性隨機(jī)振動(dòng)，即結(jié)

5、構(gòu)系統(tǒng)自身性質(zhì)為非線性的而荷載為隨機(jī)的，或者為非線性隨機(jī)荷載4.結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力自由度及其離散 動(dòng)力問(wèn)題的特點(diǎn)之一是要考慮結(jié)構(gòu)體系的慣性力，所以在確定計(jì)算簡(jiǎn)圖時(shí)，必須明確系統(tǒng)的質(zhì)量分布及其可能發(fā)生的位移，以便全面合理地確定系統(tǒng)的慣性力。系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，確定任一時(shí)刻全部質(zhì)量位移所需要的獨(dú)立的幾何參變量的數(shù)目，稱為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力自由度。要準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的慣性力，合理地選擇動(dòng)力自由度是十分重要的。一切結(jié)構(gòu)系統(tǒng)都具有分布質(zhì)量，因而都是無(wú)限自由度系統(tǒng)。但是除了某些簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)可以作為無(wú)限自由度處理以外，大多數(shù)的工程結(jié)構(gòu)作為無(wú)限自由度計(jì)算將是極其困難的。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算時(shí)，為了避免過(guò)于繁雜和數(shù)學(xué)上的困難，一般將結(jié)構(gòu)

6、處理為有限自由度系統(tǒng)，這一過(guò)程稱為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的離散。5.建立運(yùn)動(dòng)方程的方法結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的目的是求出動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力，并研究它們隨時(shí)間的響應(yīng)歷程。在大多數(shù)情況下，應(yīng)用包含有限個(gè)自由度的近似分析方法，就足夠精確了。這樣，問(wèn)題就變?yōu)榍蟪鲞@些選定位移分量的時(shí)間歷程。描述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力位移的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，而這些運(yùn)動(dòng)方程的解就提供了所求的位移歷程。建立振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程有多種方法，但不管采用何種方法建立運(yùn)動(dòng)方程，其結(jié)果都是一致的。1）利用達(dá)朗貝爾(d'Alernbert)原理的直接平衡法 任何動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程都可代表牛頓的第二運(yùn)動(dòng)定律，即任何質(zhì)量m的動(dòng)量變化率等于作用

7、在這個(gè)質(zhì)量上的力。這個(gè)關(guān)系在數(shù)學(xué)上可用微分方程來(lái)表達(dá)，即 （1-3）對(duì)于大多數(shù)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可以認(rèn)為質(zhì)量是不隨時(shí)間變化的，這時(shí)方程(1-3)可改寫為: （1-4）2）虛位移原理建立振動(dòng)方程如果結(jié)構(gòu)體系相當(dāng)復(fù)雜，而且包含許多彼此聯(lián)系的質(zhì)量點(diǎn)或有限尺寸的質(zhì)量塊，則直接寫出作用于體系上所有力的平衡方程可能是困難的。但是在某些情況下，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的力可以方便地用位移自由度來(lái)表示，而它們的平衡規(guī)律則可能是不清楚的。此時(shí)，虛位移原理就可用來(lái)代替平衡規(guī)律建立方程。虛位移原理可表述如下:如果一個(gè)平衡體系在一組力的作用下發(fā)生虛位移，即體系約束所允許的任何微小位移，則這些力所作的總功將等于零。按這個(gè)原理，在虛位

8、移土所作的總功為零，是和作用于系統(tǒng)上的力的平衡是等價(jià)的。因此，在建立振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，首先對(duì)于質(zhì)雖施加包括慣性力在內(nèi)的所有的力，然后引人相應(yīng)于每個(gè)自由度的虛位移，并使所作的虛功等于零，這樣即可以得到運(yùn)動(dòng)方程。此種方法的優(yōu)點(diǎn)是:虛功為標(biāo)量，可以按照代數(shù)規(guī)則計(jì)算，從而避免復(fù)雜的矢量計(jì)算。3）哈密頓(Hamilton)原理建立振動(dòng)方程采用哈密頓原理建.立振動(dòng)方程，也可以避免矢量的運(yùn)算。哈密頓原理可以表達(dá)為： 哈密頓原理說(shuō)明:在任何時(shí)間區(qū)間t1到t2內(nèi)，動(dòng)能和位能的變分加上所考慮的非保守力所做的功的變分必須等于零。這個(gè)原理的應(yīng)用直接導(dǎo)出任何給定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。這個(gè)方法和虛功原理方法的區(qū)別在于:在這

9、個(gè)方法中，不明顯使用慣性力和彈性力，而分別被動(dòng)能和位能的變分項(xiàng)所代替。因此，這種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的優(yōu)點(diǎn)是，它只和純粹的標(biāo)量即能量有關(guān)，而在虛功分析中，被用來(lái)計(jì)算功的力和位移卻都是矢量。需要指出的是，根據(jù)哈密頓原理可以導(dǎo)出拉格朗日第二類方程。6、動(dòng)力微分方程求解6.1振型迭加法按照有限單元法的一般規(guī)則, 經(jīng)過(guò)邊界條件的約束處理, 結(jié)構(gòu)在強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)多自由度體系的運(yùn)動(dòng)平衡方程可以表示為: （1） 其中, 是體系的質(zhì)量矩陣, C 是體系的阻尼矩陣, 而K 則是剛度矩陣. R 為外荷載向量. 、和則分別是體系單元節(jié)點(diǎn)的位移、速度和加速度向量. 上述動(dòng)力平衡方程實(shí)質(zhì)上是與加速度有關(guān)的慣性力和與速度有關(guān)的

10、阻尼力及與位移有關(guān)的彈性力在時(shí)刻t與荷載的靜力平衡。振型疊加法是把多自由度體系的結(jié)構(gòu)的整體振動(dòng)分解為與振型次數(shù)相對(duì)應(yīng)的單自由度體系, 求得各個(gè)單自由度體系的動(dòng)力響應(yīng)后, 再進(jìn)行疊加得出結(jié)構(gòu)整體響應(yīng). 振型疊加法原理是利用結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的振型矩陣作為變換矩陣, 將結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程式(1)式變換成一組非耦合的微分方程. 逐個(gè)地求解這些方程后, 將解疊加即可得到動(dòng)力方程的解。將體系單元節(jié)點(diǎn)的位移向量表示為如下的變換形式： （2）式中的變換矩陣是由動(dòng)力方程對(duì)應(yīng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程解出的前m階振型矩陣.即;是與時(shí)間有關(guān)的m階向量, 的各分量稱為廣義位移。將式（2）代入動(dòng)力方程（1）并左乘以，則可得廣義位

11、移為未知數(shù)的方程： （3）式中， （4）現(xiàn)在進(jìn)一步考察式（4） . 考慮到特征向量的正交性, 可得， （5）于是對(duì)應(yīng)于振型的廣義位移的平衡方程( 3) 可改寫為 （6）其中，為特征值 （7）將式( 2) 稍加運(yùn)算可得廣義位移用有限元位移表示的形式 （8）在( 6) 式中, 當(dāng)忽略了阻尼的影響, 平衡方程為互不耦合的, 可以對(duì)每個(gè)方程逐個(gè)地進(jìn)行時(shí)間積分. 出于相同的考慮, 在對(duì)有阻尼的體系進(jìn)行分析時(shí)仍然希望采用相同的計(jì)算過(guò)程去求解互不耦合的平衡方程式. 問(wèn)題是式(6)中的阻尼陣C通常不能象體系的質(zhì)量陣和剛度陣那樣由單元的剛度陣和質(zhì)量陣裝配而成. 但當(dāng)假定阻尼與固有頻率成比例,即假定 （9）式中，

12、是振型阻尼參數(shù); 是Kronecker符號(hào)( 當(dāng)時(shí)，= 1.當(dāng)時(shí), = 0) 。這時(shí)式(6) 可簡(jiǎn)化為如下形式的若干個(gè)方程式 （10）其中的初始條件為下式 ， （11）式（10）表示了一個(gè)具有單位質(zhì)量，剛度為的自由度體系當(dāng)阻尼比為時(shí)的運(yùn)動(dòng)平衡控制方程。這個(gè)平衡方程的求解可通過(guò)計(jì)算Duhamel積分求得。（12）式中 （13）當(dāng)利用式( 9) 來(lái)考慮阻尼的影響時(shí)意味著假設(shè)結(jié)構(gòu)的總阻尼是每個(gè)振型的阻尼之和， 而每個(gè)振型上的阻尼是能夠量測(cè)的，況且在大多數(shù)情況下結(jié)構(gòu)的阻尼比更易于量測(cè)。因而便于用來(lái)近似地反映結(jié)構(gòu)體系的阻尼特性。同時(shí)在計(jì)算上也避免計(jì)算阻尼陣而只需計(jì)算剛度陣和質(zhì)量陣。積分遞推公式對(duì)以上方程

13、式( 10) ，考慮某一模態(tài)的振動(dòng), 并略去下標(biāo)可寫為 （14）在初始條件， （15）下的定解為 （16）式中，將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 6.2 Newmark法直接積分法：（1） （2） （3）將（3）代入（1），（2）得：1、可以直接略去高階項(xiàng)2、用變權(quán)來(lái)調(diào)節(jié) 然后假設(shè)在時(shí)刻近似滿足運(yùn)動(dòng)方程通過(guò)變換將速度和加速度用位移表示，代入運(yùn)動(dòng)方程，只剩n+1時(shí)刻位移一個(gè)未知數(shù)，得參數(shù)不同選取包含著三個(gè)經(jīng)典算法（1）Newmark平均加速度法，（2）Newmark線加速度法，（3）中心差分法 ，Newmark法的一般步驟：1、初始值計(jì)算（1）形成系統(tǒng)矩陣K，M和C（2）定初始值，和（3）選擇時(shí)間步長(zhǎng)，參數(shù)、。并計(jì)算積分常數(shù):， ，（4）形成等效剛度矩陣（5）矩陣進(jìn)行三角分解2、對(duì)每一時(shí)間步（1）計(jì)算時(shí)刻的等效載荷（2）求解時(shí)刻的位移（3）計(jì)算時(shí)刻的加速度和速度Wilson-法的一般步驟：1、初始值計(jì)算（1）形成系統(tǒng)矩陣K，M和C（2）定初始值，。（3）選擇時(shí)間步長(zhǎng)，并計(jì)算積分常數(shù)，。（4）形成等效剛度（5）將等效剛度進(jìn)行三角分解2、對(duì)每