10-平行四邊形判定及綜合-教師版

1、教師日期學(xué)生課程編號(hào)10課型復(fù)習(xí)課課題四邊形的判定及綜合教學(xué)目標(biāo)1 .利用平行四邊形的判定定理進(jìn)行相關(guān)的證明；2 .利用平行四邊形的性質(zhì)，解決平行四邊形的存在性問題教學(xué)重點(diǎn)1 .平行四邊形的判定定理；2 .平行四邊形的存在性問題；3 .動(dòng)點(diǎn)問題，判定邊角關(guān)系 .教學(xué)安排版塊時(shí)長(zhǎng)1平行四邊形的判定50min2綜合40min3隨堂檢測(cè)20min4課后作業(yè)10min平行四邊形的判定及綜合內(nèi)容分析本節(jié)主要根據(jù)平行四邊形的判定定理進(jìn)行證明四邊形是平行四邊形， 以及利 用平行四邊形的性質(zhì)得出邊和角之間的關(guān)系，以證明題為主，讓同學(xué)們更好的運(yùn) 用判定定理.知識(shí)結(jié)構(gòu)平行四邊形判定定理如果一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別

2、相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形.簡(jiǎn)述為：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形.簡(jiǎn)述為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形.簡(jiǎn)述為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.如果一個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形.簡(jiǎn)述為：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形例題解析【例1】判斷題：（1）夾在兩平行線間的平行線段長(zhǎng)度相等（）（2）對(duì)角線互相平分的四邊形的對(duì)邊一定相等（）（3） 一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形（）（4） 一組對(duì)

3、角相等，另一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形（）【難度】【答案】（1）正確； （2）正確；（3）錯(cuò)誤； （4）錯(cuò)誤.【解析】（1）夾在兩平行線間的平行線段組成平行四邊形，故長(zhǎng)度相等，正確；（2）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)邊一定相等，正確；（3） 一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形不一定是平行四邊形，錯(cuò)誤；（4） 一組對(duì)角相等，另一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形不一定是平行四邊形，錯(cuò)誤.【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法的運(yùn)用.【例2】 如圖，在平行四邊形 ABCD中，EF是對(duì)角線BD的三等分點(diǎn).求證：四邊形AECF是平行四邊形（請(qǐng)用兩種方法證明）【難度】【答案】略.【解析】（方法

4、一）Q四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC, AD/BC,/ ADF = / EBCQE、F 三等分 BD, BE=EF=FD易證 AFD與 BEC全等， ABE與 CDF全等AE=CF, AF=CE, 四邊形AECF是平行四邊形；（方法二）連接 AC,與BD交于點(diǎn)O,Q 平行四邊形 ABCD, AO = OC, BO = DOQE、F 三等分 BD, BE=EF=FDOB-BE=OD-DF , OE=OF, BO=DO, 四邊形AECF是平行四邊形.【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.【難度】【答案】略【解析】設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O,連接EM、NF四邊形ABCD是平行

5、四邊形，. OA OC . AF=CE, . OE OF . MF/NE,MFE NEF .NOE MOF , VNOE VMOF ,/. NE MF . MF / NE,四邊形 MFNE是平行四邊形， EF和MN互相平分.【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定定理和性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.【例4】 已知四邊形 ABCD,現(xiàn)有條件：AB/ DC;AB=DC;AD/ BC;AD = BC; / A=/ C;/ B = Z D.從中取兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形 ABCD是平行四 邊形的有哪幾種情形？青具體寫出這些組合.【難度】【答案】；.【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法的運(yùn)用.【例5】 已知：AC是Y

6、 ABCD的一條對(duì)角線，BMXAC, DNLAC,垂足分別是 M、N. 求證：四邊形BMDN是平行四邊形.【難度】 【答案】略.【解析】Q平行四邊形ABCD , AB/CD, AB=CD ,Z BAC =/DCA. Q BMXAC, DNXAC,AABMACND,BM = DN , BM/DN ,四邊形BMDN是平行四邊形.【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法與三角形全等的判定的運(yùn)用.求證：AB/ DE, / C=Z AEB.【例6】 已知：如圖，四邊形 ABCD中，AD/BC, AD = 1 BC, 2【答案】略.【解析】Q點(diǎn)E是BC中點(diǎn),BE=CEQBC=2AD, AD=BE=EC, 又

7、QADBC, 四邊形ABED與四邊形AECD均為平行四邊形AB/DE , AE/CD,/C=/AEB【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例7】 如圖，在YABCD中，/DAB=60°,點(diǎn)E、F分別在 CD、AB的延長(zhǎng)線上，且AE=AD,CF=CB. （1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的/ DAB=60 上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由.【難度】【答案】略.【解析】（1） Q平行四邊形ABCD,AB/CD , AB=CD, AD = BC, / ADC = /ABCQ AE=AD=BC=CF ,AADEA CB

8、FED=BF, EC=AF, 四邊形EAFC是平行四邊形；（2）成立，證明同上.【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法的運(yùn)用.BE=DF ,點(diǎn)G、H分別在BA和【例8】 已知在YABCD中，E, F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn),DC的延長(zhǎng)線上，且 AG=CH,聯(lián)結(jié)GE, EH , HF , FG ,求證：四邊形 GEHF是平行四 邊形.若G、H分別在線段BA, DC上，其余條件不變，則（1）結(jié)論否成立？（說明理由）.【難度】【答案】略.【解析】（1）Q平行四邊形ABCD,AB=CD, AB/CD, /ABD = /BDCQ AG=CH , BE=DF, BG=DH , ABGEA DFH GE=FH ,

9、 /BEG=/DFH,/GED=/HFE,GE/FH , 四邊形GEHF是平行四邊形；（2）成立，證明同（1）【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的運(yùn)用.Q平行四邊形ABCD,AB=CD, AD=BC, / B=/D,Q AE±BC> CFXAD, ABEA CDF , BE=FDQ DN = BM ,ABEMA FDN,ME=FN同理可證 MF = EN,四邊形MENF是平行四邊形，EF與MN互相平分.【總結(jié)】本題考查三角形全等的判定方法與平行四邊形性質(zhì)與判定定理的綜合運(yùn)用.【例10 如圖，過YABCD的頂點(diǎn)A的直線| （形外），分別過B、C、D作直線|的垂線,E、F、G

10、 為垂足.求證： CF = BE+DG.【難度】【答案】略.【解析】過點(diǎn)D作DH，CF于點(diǎn)H.四邊形 ABCD是平行四邊形，.1.AB= CD.BE l, DHXCF, AEB DHC 900.EBC BCF 1800,ABC BCD 1800,ABE DCH ，VABE VDCH ， BE = CH. DG l , CF l , DH CF ,DG FH . CF FH CH, CF=BE + DG .【例9】 如圖所示，平行四邊形 ABCD中，AEBC、CFXAD , DN = BM .求證：EF與MN互相平分.【難度】【答案】略.【解析】聯(lián)結(jié) ME, EN, FN, MFBD于點(diǎn)M、N,

11、求證：四邊形 AMCN是平【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)的運(yùn)用.E、F分別在 BC、AD上,【例11如圖，YABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且 BE=1bC, DF=1AD, AE、CF 分另校 33行四邊形.【難度】【答案】略.【解析】Q平行四邊形ABCD,BC=AD, OA=OC, OB=OD, ABC ADC ,BE=DF,/.AABEA CDF,/ BAE= / DCF ,/.A ABMA DNC,BM = DN , OM=ON,四邊形AMCN是平行四邊形.【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的運(yùn)用.BFLAC于F, CGXBD于G, DH，AC于H.求證：四邊形 EFGH是平

12、行四邊形.【難度】【答案】略.【解析】Q平行四邊形ABCDAB=CD, OA=OC, OB = OD, / DAC = Z BCAQDH±AC, BFXAC,AADHA CBFAH = CF, OH=OF,同理可證 OE=OG四邊形EHGF是平行四邊形 【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的綜合運(yùn)用.【例13 如圖，以4ABC的三邊分別作等邊 DAC、AABE, BCF ,求證：四邊形ADFE是平行四邊形.【難度】【答案】略.【解析】Q等邊 DAC , ABE, BCF ,/EBF=/ABC, BE=AB, BF=BC,ABEFA ABC,EF=AC=AD, BE=DF=AE,

13、四邊形EFDA是平行四邊形.【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法與等邊三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例14】已知：RtABC中，/ACB=90° , CDXAB于D, AE平分/ CAB交CD于F,過 F 作 FH / AB,交 BC于 H.求證：CE=BH .【難度】【答案】略.【解析】做FG/BH,可得平行四邊形 FHBG , BH=FG . Q/ACB=90° , CD LAB,Z B=Z ACF = Z FGA,QEA 平分/ CAB, AACFA AGF, FG=CF .Q Z CAE+ ZAEC=90° , / EAB+/ AFD =90 ° ,/

14、AFD= / CEF= / CFE ,CE=CF, CE=FG, CE=BH.【總結(jié)】本題考查角平分線性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例15如圖，祥BC中，/ C = 90°,點(diǎn)M在BC上，且BM=AC,點(diǎn)N在AC上,且AN = MC, AM與BN相交于點(diǎn) P.求證：/ BPM =45°.【難度】【答案】略.【解析】過點(diǎn) M作MD / AN,使得MD=AN,聯(lián)結(jié)DN、BD, 則四邊形AMDN是平行四邊形，MD=AN=CM.Q BMD C 90°, BM =AC, BMDA ACM ,BD=AM=DN, BDN 90°,BND 45° , AM

15、 /DN ,/ BPM = BND = 45°【總結(jié)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與等腰直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例16如圖，那BC為等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點(diǎn)，且 CD=BF,以AD 為邊作等邊AADE.(1)求證：ZACDACBF ; ACDA BCF;(2)當(dāng)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形 CDEF為平行四邊形，且/ DEF = 30°,證明你的結(jié)論.【難度】【答案】略.【解析】(1) Q AABC是等邊三角形，AC=BC, Z B=ZACB=60° , 又QCD=BF,(2)當(dāng)D是BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形 CDEF是平行四邊形，且/ DEF=30QD

16、是 BC 中點(diǎn)，AB=AC,ADXBC, / CAD=30Q AACDA BCF ,Z DCF=Z CAD=30° , AD = CF = ED.q/ADE=60。, Z EDB=30° ,/EDB = /FCB, DE/CF.四邊形EFCD是平行四邊形，/ DEF=/DCF=30°【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法與等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用.FG = CE,分別連接 DB、DG,求/ BDG的模塊二：綜合題例題解析延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,若/ ABC=120° , FG/CE,【難度】【答案】60°【解析】分別聯(lián)結(jié) GB, GE, GCQ AF 平分 /

17、 BAD,/ BAF= / DAFQ四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BC/DAF = /CEF, /BAF=/AFD,/CEF = /AFD, CE=CF.Q AB/CD , / ABC=120。，/ ECF = ZABC=120° .QFG/CE且FG=CE,四邊形CEGF是平行四邊形，CE=CF, EG = EC.Q Z GCF = Z GCE=1 Z ECF=60° ,4ECG 是等邊三角形，2EG=CG, / GEC= /EGC=60° ,/GEC = /GCF,/ BEG= / DCG由 AD/BC 及 AF 平分/ BAD 可得/ BAE = ZAE

18、B,AB=BE在平行四邊形 ABCD 中，AB=CD, BE=CD,. BEGA DCG ,BG=DG, Z BGD=Z EGC=60° ,/BDG=60° .【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查平行四邊形性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例18】 在YABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn)O,過O點(diǎn)任意作兩條直線交 Y ABCD 的AB、CD邊于E、F,交BC、DA邊于G、H,那么四邊形 EGFH是什么圖形？ffi明你 的結(jié)論.【難度】【答案】略.【解析】Q平行四邊形ABCD, OA=OC, OB=OD.AOH OCG , BEOA DOF ,OH=OG, OE=OF ,四邊

19、形EGFH是平行四邊形.【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【例19 如圖，YABCD中，DELAB于E, BC=2AB, M是BC的中點(diǎn).試求/EMC與ZBEM的數(shù)量關(guān)系.【難度】【答案】/ EMC=3/BEM.【解析】延長(zhǎng)EM與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) N,連接DM .則易得 BEMANCM,所以 EM=MN .又 AB/CD, DE± AB,貝U/ EDN =90° , . / BEM=/N,ME = MN=DM ./ EMD=2/ N=2 / BEM由 MC=CD,得/ MDC = /CMD = /N, ./ EMC=3Z BEM.【總

20、結(jié)】本題主要考查平行四邊形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例20】 平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn) A (2, 1) , B (3, 1) , C (4, 3),求平面內(nèi)第四點(diǎn)D,使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.【難度】【答案】(1, -1)或(3, 3)或(5, 3).【解析】當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由 AC=BD, BC=AD,得：D (1, -1);當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，D (3, 3);當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，D (5, 3).【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)，注意分類討論，利用平移的性質(zhì)去求坐標(biāo).【例21】 已知平面內(nèi)有兩點(diǎn) A ( 1 , 0)、B (3, 0) , P點(diǎn)在y軸上，M點(diǎn)在直

21、線y x 1上，若以A、B、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求 M點(diǎn)的坐標(biāo).【難度】【答案】(2, 1)或(-4, -5)或(4, 3).【解析】當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，M (2, 1);當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，M (-4, -5);當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，M (4, 3).【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)，注意分類討論，利用平移的性質(zhì)去求坐標(biāo).【例22】 在RtABC中，/ 0=90° , AC=6, BC=6 J3 ,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊 AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn) Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單 位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD / BC,交AB于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)PQ,點(diǎn)P、Q

22、分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).(1) 直接用含t的代數(shù)式分別表示：BQ=, PD=(2)是否存在t的值，使四邊形PDBQ是平行四邊形？若存在，求出t的值，若不存在,試說明理由.【難度】【答案】(1) BQ=6褥 2t , PD = V3t;(2) t=12V3 18.【解析】(1)由題意，可得：AC=6, BC= 673 , AB=12, / B=30CQ=2t,所以 BQ=6點(diǎn) 2t , AP=t, PD=t ;(2)二平行四邊形 PDBQ, /.BQ = PD,即 6袤 2t Mt ,解得：t 1273 18,Q tv

23、 3*2, 當(dāng)t 1273 18時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形.【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.【例23 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形 ABCO是平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)C在x軸的正半軸上, 邊交y軸于點(diǎn)H .且OA=OC,直線AC交y軸于點(diǎn)M , AB(1)求直線AC的解析式;(2)聯(lián)結(jié)BM ,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè) PMB的面積為S(S 0)，點(diǎn)ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn) C求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式(要求寫出自變量【難度】【答案】(1) y 1x 5 ;2215 3 t(0 t 2.

24、5)(2) S 42525t (2.5 t 5)24P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒, t的取值范圍).【解析】由動(dòng)點(diǎn)引起的三(1) Q A (3, -4),OA=5=OC, C (5, 0)設(shè)直線AC的解析式為：y= kx+b,代入A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得解析式為：y 1x勺； 22（2）平行四邊形 ABCO中，AB=OC=5,B （2, 4）, BC=5=OC.易知點(diǎn)M坐標(biāo)為（0, 2.5）.當(dāng)點(diǎn)P在AB上，即0< tv 2.5時(shí)，AP=2t,貝U BP 5 2t ,. . HM=4-OM=1.5,1 ”. 13153S= - X BP XHM = (5 2t)7；2 2242當(dāng) P 在 BC 上，即

25、 2.5vtw5 時(shí)，BP=2t-5,平行四邊形 ABCO中，AB=BC, .四邊形 ABCO是菱形,BCM OCM , VBCM VOCM ,5oBM OM - ,MBC MOC 90，2一 115525s=_ x BPX BM = - 一 5) -t 22224,3 -t(0 t 2.5)綜上S 2.5t 絲(2.5 t 5)24【總結(jié)】本題主要考查兩點(diǎn)之間距離的確定以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用, 角形的面積，需要分類討論.(3)當(dāng)S 6禽時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) P沿S,Q從O到A的時(shí)間是6愿秒，P的運(yùn)動(dòng)速度為:6 1263近(單位長(zhǎng)度/秒)當(dāng)P在OB上，即0 t 2

26、向時(shí)，OQt , OP= 3t,.3 .【例24】 直線y -Wx 6與坐標(biāo)軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā),3同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止.點(diǎn) Q沿線段OA運(yùn)動(dòng), 路線O 一 B-A運(yùn)動(dòng).(1)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒， APQ的面積為【答案】見解析.【解析】(1)由題可得：A (6萬，0), B (0, 6);(2) . A (6用,0), B (0, 6),AB=12 , OB=6, OB+AB=18.當(dāng)點(diǎn)P在AB上，即2五t 6點(diǎn)時(shí),OQ=t,AP=18- 3t1 AQ 6 73 t , S= - OP AQ1貝U S - AQ ? PH22(6

27、 31)(9 U/ft2 *綜上：St2-2由 t2 9t49t(0 t 2 3)(3)當(dāng)P在OB上時(shí),3 2一t 9t26.5 ,得：t 343 ，在，Q ( 373 而，0);'質(zhì)C當(dāng)p在ab上時(shí)，由y3t249t 27 36M ,得：t 673-2, Q ( 673-276 , 0),綜上Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(373日5, 0)或(673-276, 0) .P點(diǎn)不同位置進(jìn)行分類討論.【總結(jié)】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，注意對(duì)【例25】(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像交于第一象限的點(diǎn)A、P(2, 0),平面內(nèi)存在Q,使得四邊形 AOPQ是平行四邊形

28、，求 Q點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】把(a, b), (a+1, b+k)代入 y=2x-1,得 2a-1 = b, 2 (a+1)則 2a+2-1=2a-1 + k,解得:k=2,故此反比例函數(shù)的解析式是:-1 = b+k,1一； x(2)兩函數(shù)的交點(diǎn)為 yy1x ,解得：A (1, 1),2x 1一乙一 一，r 一一、"k已知：反比例函數(shù) y 上和一次函數(shù)y 2x 1,其中一次函數(shù)的圖形經(jīng)過點(diǎn)2x.平行四邊形 AOPQ,.1.AQ/OP, AQ=OP, 故 Q(3, 1).以及平行四邊形的性質(zhì)， 本題中四【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,邊形AOPQ是有順序的，因此滿足條件

29、的Q點(diǎn)只有1個(gè)，解題時(shí)注意認(rèn)真審題.AB =BC, AB 6, B MAN 60 .【例26 已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) MAN ,邊AM與射線BC相交于點(diǎn)E (點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合)，邊AN與射線CD相交于點(diǎn)F .(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證： BE CF ;(2)設(shè) BEADF的面積為y .當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的定義域;(3)聯(lián)結(jié)BD ,如果以A、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求線段BE的長(zhǎng).【答案】(1)略；(2) y(3) BE=12.3.3x29m (0<x< 6);【解析】（1）聯(lián)結(jié)AC,易證 BA=B

30、C, / BAC=/DAC=60° , / ACB=/ACD=60° ABC是等邊三角形，AB=AC又Q / BAE+/MAC=60° , / CAF + /MAC=60° ,/BAE=/CAF ABEAACF,BE=CF;(2)過點(diǎn)A作AHXCD,垂足為H,在 RtAADH 中，/ DAH =30° , DH =3, AH=3, CF = BE=x, DF =6-x1 1LQ S adf -DF ? AH , y=- (6 x) 3&即 y£3x 9G3 (0vxv6)；2(3)當(dāng)F點(diǎn)在CD的延長(zhǎng)線時(shí)，連 BD,易得/ AD

31、B=30。.當(dāng)四邊形BDFA是平行四邊形時(shí)，AF/BD,Z FAD=ZADB=30° ,Z DAE =30 ° , / BAE=90° ,在 RtAABE 中，/ B=60° , / BEA=30 ° , AB=6,易得 BE=12,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn) E與點(diǎn)B重合，不合題意，舍.【總結(jié)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例27 如圖1, P為RtA ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)（不在直線AC上），/ ACB=90 ° ,M為AB邊中點(diǎn).操作：以 PA、PC為鄰邊作平行四邊形 PADC,連接PM并延長(zhǎng)

32、到點(diǎn) E,使 ME=PM ,聯(lián)結(jié) DE.（1）請(qǐng)你利用圖2,選擇RtABC內(nèi)的任意一點(diǎn) P按上述方法操作；（2）經(jīng)歷（1）之后，觀察兩圖形，猜想線段DE和線段AC之間有怎樣的位置關(guān)系 ？請(qǐng)選擇其中的一個(gè)圖形證明你的猜想；【答案】(1)略；(2) DEL AC;(3) DE/BC, DE=BC.【解析】(1)根據(jù)要求畫圖即可.(2)聯(lián)結(jié)BE,QPM=ME, AM=MB, /PMA = /EMB, /.A PMAA EMBRA=BE, /MPA=/MEB,RA/ZBE.Q四邊形PADC是平行四邊形，PAZ/DC , RA=DC ,BE/CD , BE=DC,四邊形DEBC是平行四邊形，DE/BC,

33、 DE=BCQ/ACB=90° ,BCXAC,即 DE LAC(3) DE/BC, DE=BC.【總結(jié)】本題考察平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等來解決有關(guān)的證明隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】 若AD是那BC的中線，延長(zhǎng)AD到E使DE=AD,聯(lián)結(jié)BE、CE,那么四邊形 ABEC是 四邊形.平行四邊形AE與BC互相平分，所以四邊形 ABEC是平行四邊形本題考查平行四邊形的判定方法，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【習(xí)題2】如圖，直線l與雙曲線交于A、C兩點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°(0°< W45),與雙曲線交于 D兩點(diǎn)，則四邊形

34、ABCD的形狀一定是 ,理由是.【難度】【答案】平行四邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【解析】Q反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，OA=OC, OB=OD,四邊形ABCD是平行四邊形.【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)及平行四邊形的判定方法。了解和熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此類題目的關(guān)鍵所在，注意反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.【習(xí)題3】四邊形的四條邊長(zhǎng)分別是a, b, c, d,其中a, c為對(duì)邊，且滿足2222a b c d 2ab 2cd ,則這個(gè)四邊形一一定是（）A.兩組角分別相等的四邊形B.平行四邊形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形D.對(duì)角線相等的四邊形【難度】【答案】C【斛析】由 a

35、 b c d 2ab 2cd 可得（a-b） 2+ （c-d） 2=0,即 a=b 且 c=d,所以四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.【總結(jié)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題時(shí)首先利用因式分解把等式變形，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.【習(xí)題4】已知四邊形ABCD的對(duì)角線相交于 O,給出下列5個(gè)條件AB/CD,AD/BC,AB=CD,/ BAD=ZDCB,從這四個(gè)條件中任選 2個(gè)一組，能推出四邊形 ABCD為平行四邊形的有（）A. 6組B. 5組C. 4組D, 3組【難度】【答案】C【解析】根據(jù)平行四邊形判定方法，能推出四邊形為平行四邊形的有四組，分別是，.【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法的運(yùn)用.

36、AE=CF , M、N 分別是 DE、【習(xí)題5】如圖，在YABCD中，E、F分別是AB、CD上點(diǎn), BF的中點(diǎn)，求證：四邊形 ENFM是平行四邊形.【難度】【答案】見解析.【解析】Q平行四邊形 ABCD , AB CD, AB=CD.QAE=CF, BE=DF ,四邊形EBFD是平行四邊形，DE=BF, DE/BF,又QM、N分別是 DE、BF的中點(diǎn)， ME = FN,四邊形MENF是平行四邊形.【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及判定方法的綜合運(yùn)用.【習(xí)題6】 已知：如圖，在 GABC中，BD平分/ ABC, ED/BC, EF/AC,求證：EB=FC.【難度】【答案】見解析.【解析】QBD平分

37、/ABC,ZABD = ZCBD,又QEDBC,Z ABD=Z DBC=Z EDB, EB = ED.又QDEBC, EF/CD, 四邊形EFCD是平行四邊形,CF=ED=BE.【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及判定方法的綜合運(yùn)用.【習(xí)題7】如圖，四邊形EFGH是平行四邊形 ABCD的內(nèi)接平行四邊形， 即頂點(diǎn)E、F、G、H分別在平行四邊形 ABCD的四邊上.求證：這兩個(gè)平行四邊形的對(duì)角線交于同一點(diǎn).【難度】【答案】見解析.【解析】連接AC, HF交于點(diǎn)OAEHACGF , AH = CF. AHOA CFO, M 是 AC 與 HF 的中點(diǎn)平行四邊形ABCD與平行四邊形EFGH同理BD, EG也

38、過點(diǎn)M,所以這兩個(gè)平行四邊形的對(duì)角線交于同一點(diǎn).【總結(jié)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，注意認(rèn)真審題.BD 上的兩點(diǎn)，AEXBC, CFXAD.【習(xí)題8】如圖，在Y ABCD中，E、F是對(duì)角線求證：四邊形 AECF是平行四邊形.【難度】【答案】見解析.【解析】Q平行四邊形ABCDAB/CD, AD/BC, AB=CD, /BAD = /BCD, /ABD=/CDB AEXAD, CF± BC,ZBAE = Z DCF ,/.A ABEA CDFAE=CF, Z AEB=Z DFC ,/AEF=/CFE, AE/CF .四邊形AECF是平行四邊形【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及判定方法

39、的綜合運(yùn)用.【習(xí)題9】已知平行四邊形ABCD和平行四邊形DCEF ,求證： ADE BCF .【難度】【答案】見解析.【解析】Q平行四邊形ABCD,平行四邊形 DCEF,AB=DC = EF, AB/DC/EF, DE = CF, AD=BC四邊形AEFB是平行四邊形AE=BF,ADEBCF, ./ ADE=Z BCF.【習(xí)題10 如圖，在平行四邊形ABCD 中，BC AB ,A、B的平分線交于點(diǎn)E ,BC AB .【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)的運(yùn)用.D、 C的平分線交于點(diǎn) F,聯(lián)結(jié)EF.求證：EF【難度】【答案】見解析.【解析】延長(zhǎng) AE交BC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)HQ 平行四邊形 A

40、BCD,/BAD=/BCD, AD/BC.Q AE 平分 / BAD, CF 平分/ BCD,Z AEB= /CFD=90° , Z BAG = Z DAG =Z AGB = Z BCH = Z DCH = Z DHCAB=BG, CD = DH, CG=AH ,即四邊形 AGCH是平行四邊形易知 E、F 分別是 AG、CH 的中點(diǎn)， AH=EF=CG=BC-BG,即 EF=BC-AB.【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的綜合運(yùn)用.【習(xí)題11 如圖，在四邊ABCD中，形AD/BC且AD BC , BC 6cm ,點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，

41、點(diǎn)Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，幾秒時(shí)，四邊形 ABQP是平行四邊形？【難度】【答案】2秒.【解析】設(shè)t秒后，四邊形 ABQP為平行四邊形，則 AP=t, QC=2t, BQ=6-2tQ AD/BC, AP=BQ時(shí)，四邊形 ABQP就是平行四邊形，即：t =6-2t, t =2 當(dāng) t=2 時(shí)，AP=BQ=2<BC<AD,符合題意， 綜上，當(dāng)t=2時(shí)，四邊形 ABQP是平行四邊形.【總結(jié)】本題主要考查平四邊形與動(dòng)點(diǎn)的簡(jiǎn)單結(jié)合，主要利用性質(zhì)解題即可.【習(xí)題12 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(3, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為A(0, 4).(1)求直線AB的解析式;(2)點(diǎn)C是

42、線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) D在第二象限，且四邊形 BCOD為平行四邊形，且 BC=BD,求點(diǎn)D坐標(biāo)；P的坐標(biāo).(3)在(2)的條件下，點(diǎn) E在x軸上，點(diǎn)P在直線AB上，且以B、D、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫出所有滿足條件的點(diǎn)【難度】43【答案】(1) y-x 4 ; ( 2) D ( , 2);329. 3-3(3) (-, 2)或(一，2)或(，6).222【解析】(1)設(shè)AB的解析式為y=kx+b,代入點(diǎn) A (3, 0), B (0, 4),得直線AB的解析式為：y3x 4;3(2) Q平行四邊形 BCOD中，BC=BD,OB垂直平分CD,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是2,代入AB

43、的解析式得C ( 當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，P(1, 2);當(dāng)BP為對(duì)角線時(shí)，P(-|, 2);綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(？2)或(3, 2)或(3 6)2 '22 '【總結(jié)】本題考查的綜合性很強(qiáng)，第一問待定系數(shù)求函數(shù)解析式是?？純?nèi)容，較簡(jiǎn)單，最后-問需要分類討論，可以以對(duì)角線和邊為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論. , 2), 2D ( 3,2);2(3)當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，P( 3,6);2【習(xí)題13如圖所示，在平行四邊形 ABCD中，BC=2AB, DEXAB, M是BC邊的中點(diǎn),/BEM=50°，則/ B的大小是多少？【難度】【答案】100° .【解析】取AD的中點(diǎn)N,連接MN

44、、MD、NE.1QDELAB 于點(diǎn) E, NE=ND=-AD2又Q四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn) M為BC中點(diǎn),AB/CD/MN ,/BEM=/EMN, /NMD = /MDC, EDXMN ,MN 是 DE 的中垂線， / BEM = Z NMD =50 ° .Q BC=2AB,點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)， MC=CD ,/ CDM =/ CMD ,ZCMD = ZDMN=50° , . . / B=Z CMD + Z NMD =100 ° .【總結(jié)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用. 課后作業(yè)【作業(yè)1】 下面給出了四邊形 ABCD中/ A、/

45、B、/ C、/ D的度數(shù)之比，其中能判定四 邊形是平行四邊形的是（）A. 1: 2: 3: 4B, 2: 2: 3: 3C. 2: 3: 2: 3D, 2:3:3:2.【難度】【答案】C【解析】平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ).【總結(jié)】本題考查平行四邊形對(duì)角相等的性質(zhì).【作業(yè)2】 下列給出的條件中，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A. 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等B. 一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)C. 一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ)D. 一組對(duì)角相等，另一組對(duì)角互補(bǔ)【難度】【答案】C【解析】A中可能是梯形；B中不可證平行四邊形；C可證兩組對(duì)邊分別平行，正確；D不是平行四邊形.E、F,延長(zhǎng) BA、DC

46、 至U G、H,【作業(yè)3】 下面有四個(gè)命題：一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平 行四邊形；一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是 平行四邊形；其中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1個(gè)B.2個(gè)C. 3個(gè)D.4個(gè)【難度】【答案】A【解析】（1）錯(cuò)誤； （2）錯(cuò)誤；（3）錯(cuò)誤； （4）正確.【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵要學(xué)會(huì)舉反例.【作業(yè)4】 如圖，在YABCD中，/ B、/ D的平分線分別交對(duì)

47、邊于點(diǎn) E、F,交四邊形的對(duì)角線 AC于點(diǎn)G、H ,求證：AH=CG.【難度】【答案】見解析.【解析】Q平行四邊形ABCD,ZADC = Z ABC, AD=BC, /DAC=/BCA.又QDF、BE分另1J平分/ ADC與/ABC,ZADF = Z FDC = Z ABE=ZEBC, ADH BCG , AH =CG .【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用.【作業(yè)5】 如圖，YABCD的兩邊AB、DC的中點(diǎn)分別是使 AG=CH .求證：EH / GF .【難度】【答案】見解析.【角軍析】Q平行四邊形 ABCD , AB=CD, AB/CD .QE、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AE=CF.Q

48、 AG=CH , GE=FH , 四邊形GEHF是平行四邊形，EH/GF .【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的綜合運(yùn)用.【作業(yè)6】 如圖，YABCD中，E、G分別為AD、BC的三等分點(diǎn)，DH = BF,/ EHF = Z GFH求證：/ FEH = Z HGF .【難度】【答案】見解析.【解析】Q平行四邊形ABCD,AD=BC, AD/BC,/EDH = /GBF.QE、G分別是 AD、BC的三等分點(diǎn)，DE=BG,又qdh=bf, aedha bfg,/dhe=/bfg,EH/FG, 四邊形EHGF是平行四邊形，/ FEH =/ HGF .【總結(jié)】本題考查三角形全等與平行四邊形的性質(zhì)與

49、判定的綜合運(yùn)用.【作業(yè)7】 E為 ABC中AC邊上一點(diǎn)，ED/AB交BC于點(diǎn)D,F為AB邊上一點(diǎn)，AF DE ,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG FD ,聯(lián)結(jié)AG,求證：DE、AG互相平分.【難度】【答案】見解析.【解析】聯(lián)結(jié)AD , EGQ DE/AF , DE=AF, 四邊形AEDF是平行四邊形，AE=DF, AE/DF, 又QDF=DG, AE=DG四邊形ADGE是平行四邊形，DE、AG互相平分.【總結(jié)】本題考查三角形全等與平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用.【作業(yè)8】 如圖，E、F分別是YABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，且 AG=CH.求證：EF與HG互相平分.【難度】【答案】見解析.【解析】QAB

50、CD是平行四邊形，AD = BC, ZA=ZC.又QE、F分別是 AD、BC中點(diǎn)， AE=CF,.AEGACHF ,同理可得： DEH0BFG,EH=GF, EG=HF, 四邊形HEGF是平行四邊形,EF與HG互相平分.【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定方法的綜合運(yùn)用.60 , A的角平分線與B的角【作業(yè)9】 已知，平行四邊形 ABCD中，AB 8, C 平分線相交于點(diǎn) E , EF AB .求EF的長(zhǎng).【難度】【答案】EF 2 3 .【解析】Q四邊形ABCD是平行四邊形ZDAB + Z ABC=180°Q A的角平分線與 B的角平分線相交于點(diǎn) E, ZEAB+Z EBA=180° +2=90° , AEB是直角三角形.Q ZC=60° ,/ABC=120° , Z ABE=60° ,/EAB=30° .在直角 EAB 中，EB=1aB=4, AE 4J3 ,2所以 EF 1AE 273 .2【總結(jié)】本題考查直角三角形與平行四邊形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.F分別在AC、AB兩邊上,【作業(yè)10】已知， ABC中，AD是 ABC的角平分線，點(diǎn) E、 且