彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第四版)-習(xí)題解答

1、【2-9】【解答】 圖 2-17：上（ y=0）左 (x=0)l0-1m-10f xs0g y h1f ysgh10代入公式（ 2-15）得在主要邊界上x(chóng)=0 ，x=b 上精確滿足應(yīng)力邊界條件：xx0g( yh1 ), xy x 0 0;xx b在小邊界y0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：在小邊界yh2 上，能精確滿足下列位移邊界條件：右（ x=b）10g yh10g( yh1 ),xyx b0;yy 0gh,xy0y 0uy h20, v yh02這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚 =1 時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：F0, Fghb , M0s

2、N1由于 yh2 為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，則有：b0yyh2b0yyh2b0xyyh2dxgh1bxdx0dx0圖 2-18上下主要邊界y=-h/2 ， y=h/2 上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）lmfx (s)f y (s)yh-10q02yh1- q1002( y ) y -h/ 2q ， ( yx ) y -h /20 ， ( y )y h /20 ， ( yx )y h /2q1在 x =0 的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力h /2(xy )x 0 dxFSh / 2h /2x )x 0 dxFN與面力符號(hào)相反，有(h / 2h /2(x )

3、x 0 ydxMh / 2在 x=l 的小邊界上， 可應(yīng)用位移邊界條件ux l 0, vx l0 這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫(huà)反力，如圖所示，列平衡方程求反力：Fx0,FN FNq1lFNq1l FNFy0,FSFSql 0FSqlFSM A 0, M M ' FSl1 ql 21 q1lh 0Mq1lhM FSlql 22222由于 x=l 為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故h / 2x ) x l dyFNq1l FN(h /2h / 2q1lhql2(x ) x l ydy MMFSlh /222h / 2(x

4、y ) x l dy FSql FSh /2【 2-10】【解答】 由于 h l ， OA 為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫(xiě)出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：(a)上端面 OA 面上面力fx0, f yx qbFNMFS由于 OA 面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號(hào)相反，有b0yy0b0yy0bdxbb xqdxqbf y dx0 b20xdxbb xbx dxqb 2f y xdx0 bq(對(duì) OA 中點(diǎn)取矩 )02120yx y 0 dx0( )應(yīng)用圣維南原理， 負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號(hào)相反，面力主矢y 向?yàn)檎?，主矩為?fù)，則bdxqb0yF Ny 02bxdxqb

5、20yMy 012by 0 dx00xy綜上所述，在小邊界 OA 上，兩個(gè)問(wèn)題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個(gè)問(wèn)題是靜力等效的?！?2-14】【解答】 在單連體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問(wèn)題的解答，必須滿足：（ 1）平衡微分方程（ 2-2）；（ 2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）；（ 3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且f xf y0xyx0yxy0顯然滿足xyyx（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21），有22等式左 =2q2y2xy = b2 0 =右x應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問(wèn)題的解答。【解答】（ 1）推導(dǎo)公式

6、在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為 h 的矩形， 其對(duì)中性軸 （ Z軸）的慣性矩 Ih3，應(yīng)用截面法可求出任意截 面的彎矩方程和剪力方程12M (x)q x3, Fxqx2。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：6l2lM x2qx3 y3Fsx4 y23q x2h24 y2xylh3xy1h2.。I2bh4 lh 3根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計(jì)）。yxy0得：y3q . xy2q xy3Ayx2 lhlh3根據(jù)邊界條件y0qx3q xyxy3qxy h / 2得 A. 故y.2q32.2l2 lhlhl將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：左6q. x2

7、y6q x2 y0 右滿足lh 3lh3第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）2212q. xy12q. xy左y2xy0 右x2lh 3lh 3應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問(wèn)題的解答。【 2-18】【解答】（ 1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形， 任意橫截面上的彎矩方程M (x)Fx ，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為I zh3 /12 ，根據(jù)材料力學(xué)公式M (x)y12 Fxy ；該截面上的剪力為 Fs xF ，剪應(yīng)力為彎應(yīng)力 xh3I zFs( x) S*Fhh/ 2 y6F h2y2xy1h3 /12y byh34bI z22取擠壓應(yīng)力 y0 （ 2）將應(yīng)力分量代入平衡微

8、分方程檢驗(yàn)第一式：12F12Fh2 yh3 y 0 右 第二式：左 =0+0=0= 右左該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。（3）將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程左2 ( xy ) 0右滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界 yh / 2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)lmf xf yyh 上0-1002yh 上01002代入公式（ 2-15），得yy-h /20,xyyh/ 20;yy h / 20,yxyh / 20在次要邊界x=0 上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩h / 2向面力主矢(x )x 0 dy0xh / 2h / 2(x )x 0 ydy0面力主矩h / 2

9、h / 2h/ 26Fh22向面力主矢(xy ) x 0 dy) dyh / 23(yF yh / 2h4滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上， 首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)， 即面力的主矢、FN主矩， FN 0,FSF, MFlMFS其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力主矢與主矩等效：h/ 2(x) x l dyh /212F0FNh / 2h /2h3 lydyh/ 2(x) x l ydyh/ 212F2dyFlM3lyh / 2h / 2hh/ 2()dyh /26Fh2y2dyF Fh / 2xy lh /2 h34S滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問(wèn)題的正確解答?！?3-4】【解答】 相容條件 :不論系數(shù) a 取何值，應(yīng)力函數(shù)ay3 總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式 (2-24) ，得x6ay, y0,xyyx0考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無(wú)面力.左右邊界上；當(dāng) a>0 時(shí)，考察x 分布情況，注意到xy0 ，故