數(shù)學幾何必會定理

1、1. 勾股定理（畢達哥拉斯定理）2. 射影定理（歐幾里得定理）在 Rt ABC 中，ACB=90 °，cd 是斜邊 ab 上的高，則有射影定理如下：CD 2=AD ·DBBC 2 =BD ·BA AC 2=AD ·AB AC ·BC=AB ·CD （等積式，可用面積來證明）3.三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2： 1 的兩部分4. 四邊形兩邊中心的連線和兩條對角線中心的連線交于一點5. 間隔的連接六邊形的邊的中心所做出的兩個三角形的重心是重合的（可忽略）6. 三角形各邊的垂直平分線交于一點另：三角形五心重心定義：三角

2、形的三條 中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2 倍。該點叫做三角形的重心。外心定義：三角形的三邊的垂直平分線 交于一點。該點叫做三角形的外心。垂心定義：三角形的三條高交于一點。該點叫做三角形的垂心。內(nèi)心定義：三角形的三內(nèi)角平分線 交于一點。該點叫做三角形的內(nèi)心。旁心定義：三角形 一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點。 該點叫做三角形的旁心。三角形有三個旁心。三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。三角形的重心三角形的三條中線交于一點三角形三條中線的交點叫做三角形的重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍三角形的內(nèi)心和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的

3、內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形叫做圓的外接三角形三角形的三條內(nèi)角平分線有一個且只有一個交點，這個交點到三角形三邊的距離相等，就是三角形的內(nèi)心三角形有且只有一個內(nèi)切圓內(nèi)切圓的半徑公式：這個s 為三角形周長的一半三角形的外心經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形三角形三邊的垂直平分線有一個且只有一個交點，這個交點到三角形三個頂點的距離相等，就是三角形的外心三角形有且只有一個外接圓設(shè)三角形 ABC 的外心為 O，垂心為 H，從 O 向 BC 邊引垂線， 設(shè)垂足為 L，則 AH=2OL三角形的垂心三角形的三條高線交于一點三角

4、形三條高線的交點叫做三角形的垂心銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角的頂點；鈍角三角形的垂心在三角形外三角形的旁心與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點，這個交點到三角形一邊及其他兩邊延長線的距離相等，就是三角形的旁心三角形有三個旁切圓，三個旁心7. （九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓）三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上8. 歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上9. 庫立奇大上定

5、理： （圓內(nèi)接四邊形的九點圓） 圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上， 我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓。10. 中線定理：（巴布斯定理）設(shè)三角形ABC 的邊 BC 的中點為 P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)11. 斯圖爾特定理： P 將三角形 ABC 的邊 BC 分成 m 和 n 兩段，則有 n×AB2+m ×AC2=BC×（AP2+mn ）12. 波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD 的對角線互相垂直時，連接AB 中點 M 和對角線交點E 的直線垂直于CD13. 阿波羅尼斯定理：到兩定點A、

6、 B 的距離之比為定比m:n （值不為 1 ）的點 P，位于將線段 AB 分成 m:n 的內(nèi)分點 C 和外分點 D 為直徑兩端點的定圓周上14. 托勒密定理：設(shè)四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓，則有 AB ×CD+AD ×BC=AC ×BD15. 以任意三角形ABC 的邊 BC 、CA 、 AB 為底邊，分別向外作底角都是30 度的等腰BDC 、CEA 、AFB ，則DEF 是正三角形16. 愛爾可斯定理定理 1：若ABC 和DEF 都是正三角形，則由線段AD 、BE 、CF 的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形定理 2：若ABC 、DEF 、GHI 都是正三角形，則由三角形

7、ADG 、BEH 、CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形17. 梅涅勞斯定理設(shè)ABC 的三邊 BC 、CA 、 AB 或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為 P、Q、 R 則有 BP/PC ×CQ/QA ×AR/RB=1逆定理：（略）應用定理 1：設(shè)ABC 的A 的外角平分線交邊CA 于 Q、C 的平分線交邊AB 于 R，、B 的平分線交邊CA 于 Q，則 P、Q、R 三點共線應用定理 2：過任意ABC 的三個頂點A、B、 C 作它的外接圓的切線，分別和BC 、CA、AB 的延長線交于點P、Q、R，則 P、Q、 R 三點共線18. 塞瓦定理設(shè)ABC 的三個頂點A

8、、B、 C 的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S 連接面成的三條直線，分別與邊 BC 、CA 、AB 或它們的延長線交于點P、Q、R，則 BP/PC ×CQ/QA×AR/RB=1逆定理 ：（略）應用定理 1：三角形的三條中線交于一點應用定理 2：設(shè)ABC 的內(nèi)切圓和邊BC 、 CA 、AB 分別相切于點R、 S、T，則 AR 、BS 、 CT 交于一點19. 西摩松定理從ABC 的外接圓上任意一點P 向三邊 BC 、 CA 、AB 或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是 D、E、 R，則 D、E、 R 共線（這條直線叫西摩松線）逆定理：（略）20. 史坦納定理設(shè)ABC 的垂心

9、為 H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于ABC 的點 P 的西摩松線通過線段 PH 的中心應用定理： ABC 的外接圓上的一點P 的關(guān)于邊 BC 、 CA 、 AB 的對稱點和 ABC 的垂心 H 同在一條（與西摩松線平行的）直線上。這條直線被叫做點P 關(guān)于ABC 的鏡象線21. 波朗杰、騰下定理設(shè)ABC 的外接圓上的三點為P、Q、R，則 P、 Q、R 關(guān)于ABC 交于一點的充要條件是：弧 AP+ 弧 BQ+ 弧 CR=360 °的倍數(shù)推論 1：設(shè) P、Q、 R 為ABC 的外接圓上的三點，若P、 Q、 R 關(guān)于ABC 的西摩松線交于一點，則A、 B、C 三點關(guān)于 PQR 的的西摩松線交

10、于與前相同的一點推論 2：在推論 1 中，三條西摩松線的交點是A、 B、C、 P、Q、 R 六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點推論 3：考查ABC 的外接圓上的一點P 的關(guān)于ABC 的西摩松線，如設(shè)QR 為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、 Q、 R 的關(guān)于ABC 的西摩松線交于一點推論 4：從ABC 的頂點向邊BC、 CA 、 AB 引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、 F，且設(shè)邊 BC、CA、AB 的中點分別是 L 、M、N，則 D、E、F、L、M、N 六點在同一個圓上，這時 L、M 、 N 點關(guān)于關(guān)于 ABC 的西摩松線交于一點關(guān)于西摩松線的定理

11、 1：ABC 的外接圓的兩個端點 P、 Q 關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上關(guān)于西摩松線的定理 2（安寧定理）：在一個圓周上有 4 點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點22. 卡諾定理通過ABC 的外接圓的一點P，引與ABC 的三邊 BC 、 CA 、AB 分別成同向的等角的直線 PD 、PE、 PF，與三邊的交點分別是D、E、 F，則 D、E、F 三點共線23. 奧倍爾定理通過ABC 的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與ABC 的外接圓的交點分別是L、M 、 N，在ABC 的外接圓取一點P，則 PL 、PM 、PN 與ABC

12、 的三邊 BC 、 CA 、AB 或其延長線的交點分別是D、 E、F，則 D、 E、F 三點共線24. 清宮定理：設(shè) P、Q 為ABC 的外接圓的異于 A、B、C 的兩點， P 點的關(guān)于三邊 BC 、CA、AB 的對稱點分別是U、V、W，這時， QU、QV、QW 和邊 BC、CA 、AB 或其延長線的交點分別是D、E、F，則 D、E、F 三點共線25. 他拿定理：設(shè)P、Q 為關(guān)于ABC 的外接圓的一對反點，點P 的關(guān)于三邊BC 、CA 、AB 的對稱點分別是U、V、 W，這時，如果QU、QV 、QW 與邊 BC 、CA 、AB 或其延長線的交點分別為ED 、E、F，則 D、E、 F 三點共線。

13、（反點：P、Q 分別為圓 O 的半徑 OC 和其延長線的兩點，如果OC 2 =OQ ×OP 則稱 P、 Q 兩點關(guān)于圓O 互為反點）26. 朗古來定理：在同一圓同上有 A1B1C1D14 點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點 P，作 P 點的關(guān)于這4 個三角形的西摩松線，再從P 向這 4 條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上27. 從三角形各邊的中點，向這條邊所的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心28. 一個圓周上有 n 個點，從其中任意 n-1 個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點29. 康托爾定理定理 1：一個圓周上有n

14、 個點，從其中任意n-2 個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點定理 2：一個圓周上有A、B、C、D 四點及 M、 N 兩點，則 M 和 N 點關(guān)于四個三角形BCD 、CDA 、DAB 、ABC 中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做 M 、 N 兩點關(guān)于四邊形ABCD 的康托爾線定理 3：一個圓周上有A、B、C、D 四點及 M、 N、L 三點，則 M、N 兩點的關(guān)于四邊形 ABCD 的康托爾線、 L、N 兩點的關(guān)于四邊形ABCD 的康托爾線、 M、 L 兩點的關(guān)于四邊形 ABCD 的康托爾線交于一點。這個點叫做M 、N、L 三點關(guān)于四邊形ABCD 的康托爾點定理 4：一個圓

15、周上有A、B、C、D、E 五點及 M、N、L 三點，則 M、N、L 三點關(guān)于四邊形 BCDE 、CDEA 、 DEAB 、 EABC 中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做 M、N、L 三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E 的康托爾線30. 費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切31. 莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形32. 牛頓定理定理 1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線定理 2：圓外切四邊形的兩條對

16、角線的中點，及該圓的圓心，三點共線33. 笛沙格定理定理 1：平面上有兩個三角形 ABC 、DEF ，設(shè)它們的對應頂點（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線定理 2：相異平面上有兩個三角形ABC 、DEF ，設(shè)它們的對應頂點（A 和 D、B 和E、C 和 F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線34. 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF 相對的頂點 A 和 D、B 和 E、C 和F，則這三線共點35. 巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形 ABCDEF 相對的邊 AB 和 DE 、BC 和 EF、CD 和

17、FA 的（或延長線的）交點共線36. 蝴蝶定理： P 是圓 O 的弦 AB 的中點，過 P 點引圓 O 的兩弦 CD 、 EF ，連結(jié) DE 交AB于 M，連結(jié)CF交AB于 N，則有MP=NP37. 帕普斯定理： 設(shè)六邊形ABCDEF的頂點交替分布在兩條直線a 和b 上，那么它的三雙對邊所在直線的交點X、Y、 Z在一直線上38. 高斯線定理： 四邊形 ABCD 中，直線 AB 與直線 CD 交于 E，直線 BC 與直線 AD 交于 F，M、N、Q 分別為 AC 、BD 、EF 的中點，則有 M、N、 O 共線39. 莫勒定理三角形三個角的三等分線共有6 條，每相鄰的（不在同一個角的） 兩條三等分線的交點，是一個等邊三角形的頂點逆定理：在三角形ABC 三邊所在直線BC 、CA 、 AB 上各取一點 D、 E、F，若有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，則 AD 、BE 、 CE 平行或共點40. 斯特瓦爾特定理： 在三角形 ABC 中，若 D 是 BC 上一點，且 BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，則 AD2=(b*b*p+c*c*q)/(p+q)-pq41. 泰博定理：取平行四邊形的邊為正方形的邊，作四個正方形（同時在平行四邊形內(nèi)或外皆可）。正方形的中心點所組成的四邊形為正方形；取正