空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算分享資料

1、2021/3/2912021/3/292復(fù)習(xí)回顧：平面向量1、定義： 既有大小又有方向的量。幾何表示法:用有向線段表示字母表示法：用小寫字母表示，或者用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。相等向量：長度相等且方向相同的向量ABCD2021/3/2932、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算向量加法的三角形法則ab向量加法的平行四邊形法則ba向量減法的三角形法則aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空間向量的數(shù)乘空間向量的加減法2021/3/2912ababO OABb結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩

2、條有向線段表示。同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。關(guān)結(jié)論仍適用于它們。思考：它們確定的平面是否唯一？思考：它們確定的平面是否唯一？思考：空間任意兩個(gè)向量是否可能異面？思考：空間任意兩個(gè)向量是否可能異面？2021/3/2913平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律

3、abba加法交換律bkakbak )(數(shù)乘分配律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法結(jié)合律成立嗎？2021/3/2914ab bc cOBCab+ +abcOBCbc+( (平面向量平面向量) )向量加法結(jié)合律在空間中仍成立嗎向量加法結(jié)合律在空間中仍成立嗎? ?ab+ +c+()ab+c+()AA( ( a + + b )+ )+ c = = a +( +( b + + c ) )2021/3/2915abcO OA AB BC Cab+abcO OA AB BC Cbc+( (空間向量空間向量) )ab+c+()ab+c+()( ( a + +

4、b )+ )+ c = = a +( +( b + + c ) )向量加法結(jié)合律：向量加法結(jié)合律：空間中空間中2021/3/2916推廣:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量。01433221AAAAAAAAn2021/3/2917平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)

5、合律數(shù)乘分配律小結(jié)abba加法交換律bkakbak )(數(shù)乘分配律)()(cbacba加法結(jié)合律類比思想 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零2021/3/2918數(shù)乘空間向量的運(yùn)算法則數(shù)乘空間向量的運(yùn)算法則例如例如: :a3a3a定義定義: : 我們知道平面向量還有數(shù)乘運(yùn)算我們知道平面向量還有數(shù)乘運(yùn)算. . 類似地類似地, ,同樣可以定義空間向量的數(shù)乘運(yùn)算同樣可以定義空間向量的數(shù)乘運(yùn)算, ,其運(yùn)算律是否也與平面向量完全相同呢其運(yùn)算律是否也與平面向量完全相同呢? ?2021/3/2919 顯然顯然, ,空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律配律及結(jié)合律()() ()

6、a babaaaaa 即： （）其中 、 是實(shí)數(shù)。2021/3/2920acb2021/3/2921例1：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。(如圖)A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 111121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB2021/3/2922A AB BC CD DA AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD Da平行六面體：平行四邊形ABCDABCD平移向量 到A A1

7、 1B B1 1C C1 1D D1 1的軌跡所形成的幾何體.a記做ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 12021/3/2923例1：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。(如圖)A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1G G11121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB;)1 (ACBCAB解：1111)2(ACCCACAAACAAADABM M 始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面

8、體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量2021/3/2924F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF32021/3/2925例2：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求滿足下列各式的x的值。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (2021/3/2926例2：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求滿足下列各式的x的值。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C

9、1 1D D1 1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (2021/3/2927例2：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求滿足下列各式的x的值。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x111 )3(ACxADABAC2021/3/2928例2：已知平行六面體ABCD-

10、AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求滿足下列各式的x的值。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC. 2x2021/3/2929A AB BM MC CG GD D)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB練習(xí)1在空間四邊形在空間四邊形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)M M、G G分別是分別是BCBC、CDCD邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn), ,化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)2021/3/2930A AB BM MC CG GD

11、D)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 練習(xí)1在空間四邊形在空間四邊形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)M M、G G分別是分別是BCBC、CDCD邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn), ,化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)2021/3/2931A AB BC CD DD DC CB BA A) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (練習(xí)2在立方體在立方體ACAC1 1中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.E E2021/3/2932A AB BC CD DD DC CB BA A) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (練習(xí)2E E在立方體在立方體ACAC1 1中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.2021/3/2933A AB BC CD DD DC CB