第七章 定解問題

1、電子教案 第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程從物理問題中導(dǎo)出的數(shù)學(xué)偏微分方程，有時也包括積分方程、微分積分方程 。本課程介紹物理學(xué)中常見的三類偏微分方程及有關(guān)定解問題和這些問題幾種常用解法。這三類偏微分方程是：波動方程 輸運方程穩(wěn)定的場方程第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題教學(xué)目的：掌握根據(jù)物理規(guī)律和物理現(xiàn)象導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程，寫出定解條件的方法。教學(xué)內(nèi)容：1.導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程，包括 1)波動方程(均勻弦橫向振動和均質(zhì)桿縱向振動)；2)輸運方程(擴散、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象)；3)穩(wěn)定場分布方程。(2課時)2定解條件，1)初始條件；2)邊界條件(第一、二、三類)。(1.5課時)3. 達朗貝爾公式(簡介)

2、。(0.5課時)重點：導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程, 第一、二類邊界條件。難點：邊界條件，方程中各偏導(dǎo)數(shù)的物理涵義。定解問題： 1)數(shù)學(xué)物理方程物理規(guī)律用偏微分方程表示出來泛定方程 2)邊界條件區(qū)域邊界所處的物理狀況 3)初始條件初始時刻的物理狀態(tài) 邊界條件初始條件定解條件§71數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出u(x,t)一、 波動方程1 勻弦的微小橫振動弦的靜態(tài)特點：質(zhì)量分布均勻，線密度為，自重可不計，完全柔軟，平衡時沿x軸繃緊。弦的運動特點：受外界擾動后，弦上質(zhì)點在與x軸垂直的方向產(chǎn)生微小位移；相鄰小元段弦之間有彈性力作用，彈性拉力的方向始終沿弦的切線方向，由于元段弦之間相鄰的彈性力作用，任一小段弦有橫向

3、運動時必然帶動相鄰元段弦運動。平衡位置在x處的質(zhì)元在t時刻的位移記為u(x,t)。用牛頓定律討論區(qū)間x,x+dx上小元段弦的運動(先假設(shè)除元段弦之間的張力外，不受其它外力作用)x x+d x1 T1U(x,t)T22考慮微小振動，很小，其中，如果弦在振動過程中還受到外加橫向力作用，設(shè)單位長度弦上所受的橫向外力為F(x,t)，則其中 2 均勻桿的縱振動桿的質(zhì)量分布均勻，密度為，并假設(shè)桿上各段的橫截面積S相同，桿的長度方向于x方向一致，桿上任一質(zhì)點可沿桿長方向移動(縱向位移)，設(shè)t時刻平衡位置在x處的質(zhì)點的位移為u(x, t)。由于桿上的質(zhì)點相互連接在一起，當桿上任一小段有縱向位移時它會帶動相鄰質(zhì)

4、點移動，并使鄰近小段桿壓縮或伸長，同時，這鄰段桿自己也被鄰段桿壓縮或伸長，這樣 ，任一小段的縱向位移必然會傳播到整根桿，這就是波動。把細桿分為許多極小的小段，拿區(qū)間(x, x + dx)上的小段B為代表加以研究。在小段桿的每個端面上受到的壓力（或拉力）記為T，應(yīng)力為P（單位橫截面積上受到的力）。假設(shè)不受其它外力作用。在振動過程 中，小段B的兩端受的力和位移分別為A B C A B C u u+dux x+dx xT(x + dx) T(x)根據(jù)牛頓運動定律在力學(xué)中，應(yīng)力P遵循胡克定律，在測量金屬細絲的楊氏模量實驗中，把胡克定律簡單地表述為，是金屬絲的長度，是伸長量，在現(xiàn)在研究的問題中，因此，胡

5、克定律應(yīng)表示為即其中。這是一維細桿的波動方程，推廣到三維情況如果除內(nèi)力外，桿還受外力作用，稱為受迫縱振動。設(shè)桿的單位長度上每單位橫截面積上（也就是單位體積）所受的縱向外力為F(x, t)這里，相應(yīng)的三維情況二、輸運方程在這里，我們研究熱傳導(dǎo)問題和物質(zhì)的擴散問題，兩者歸結(jié)為輸運問題。當空間溫度不均勻時，就會發(fā)生熱傳導(dǎo)；物質(zhì)的濃度分布不均勻時，就會發(fā)生擴散運動。實質(zhì)上兩者都是擴散問題，只不過前者是能量的擴散，后者是物質(zhì)（質(zhì)量或分子數(shù)）擴散，兩者遵循相似的物理規(guī)律。熱傳導(dǎo)（或物質(zhì)的擴散）就是熱量（或物質(zhì)）的流動，流動的強度分別用熱流強度和擴散流強度表示，兩者都記為，表示單位時間里垂直流過單位橫截面積

6、的熱量（或物質(zhì)的量）。用表示空間的溫度（或物質(zhì)的濃度）分布。1熱傳導(dǎo)方程在熱傳導(dǎo)問題中，熱量的流動遵循傅里葉熱傳導(dǎo)定律：叫作熱傳導(dǎo)系數(shù)，是溫度梯度，“”表示熱量從高溫向低溫流動。考慮小體積，單位時間內(nèi)凈流入的熱量為，是包圍小體積的閉曲面。假設(shè)小體積內(nèi)沒有熱源或熱匯（吸收熱量，轉(zhuǎn)化為其他形式的能量或用于物質(zhì)的狀態(tài)變化，不改變溫度），熱量流入小體積內(nèi)，必然導(dǎo)致溫度的變化，單位時間內(nèi)溫度的變化為，當為常數(shù)，物質(zhì)分布均勻（密度為常數(shù)）時，根據(jù)能量守恒定律，熱平衡方程為 如果在物體內(nèi)部存在熱源，熱源強度(單位時間內(nèi)在單位體積中產(chǎn)生的熱量)為，單位時間內(nèi)內(nèi)凈增加的熱量為如果熱量僅沿x方向傳導(dǎo)，如熱傳導(dǎo)發(fā)生

7、在橫截面積為S、側(cè)面絕熱、沿x軸方向放置的均質(zhì)細桿中，一維熱傳導(dǎo)方程為有熱源時2擴散方程在擴散問題中，物質(zhì)的流動所遵循的規(guī)律為：為擴散流強度，D叫作熱擴散系數(shù)，是濃度梯度，“”表示物質(zhì)從高濃度向低濃度方向流動。同樣考慮小體積，單位時間內(nèi)凈流入內(nèi)的物質(zhì)的量為，假設(shè)小體積內(nèi)沒有源或匯（其他物質(zhì)轉(zhuǎn)化為這種物質(zhì)稱之為源，這種物質(zhì)轉(zhuǎn)化為其他物質(zhì)稱之為匯），質(zhì)量流入小體積內(nèi)，必然導(dǎo)致這種物質(zhì)的濃度度發(fā)生變化，單位時間內(nèi)濃度的變化為，根據(jù)質(zhì)量守恒定律：（假設(shè)D為常數(shù)） 如果在物體內(nèi)部存在源，源的強度(單位時間內(nèi)在單位體積中產(chǎn)生物質(zhì)的量)為，單位時間內(nèi)內(nèi)凈增加的量為如果僅在x方向有擴散，則一維擴散方程為有源時

8、三、穩(wěn)定的場方程1穩(wěn)定的溫度(濃度)分布場穩(wěn)定不隨時間變化，即穩(wěn)定的溫度場 泊松方程無熱源時 拉普拉斯方程2靜電場是電荷密度，是真空中的介電常數(shù)(電容率)，=0時§72定解條件數(shù)學(xué)物理方程是同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律，反映的是該類現(xiàn)象的普遍性的一面，但是就物理現(xiàn)象而言，各個具體問題還有其特特殊性的一面，也就是說僅僅只有數(shù)學(xué)物理方程，還不能確定各個具體問題中的物理量。其實，在質(zhì)點力學(xué)中我們對這個問題已經(jīng)有了深刻的理解，質(zhì)點運動遵循牛頓定律，但是僅有還不能確定位移和速度，要確定某時刻這兩個具體的物理需要知道早一些時刻或初始時刻的狀態(tài)，即它的“歷史”。在高等數(shù)學(xué)中，要求解常微分方程確定的解，必須

9、給定初始條件。數(shù)學(xué)物理方程是偏微分方程，物理量的值與空間變量和時間變量有關(guān)，要確定這些物理量，就要研究對象所處的特定“環(huán)境”“和歷史”，即邊界條件和初始條件.一、 初始條件對于隨著時間而發(fā)展變化的問題，必須慮到研究對象的特定“歷史”，就是說，追溯到早先某個所謂“初始”時刻的狀態(tài)，即初始條件。對于輸運過程(擴散、熱傳導(dǎo))，初始狀態(tài)指的是所研究的物理量的初始分布(初始濃度分布、初始溫度分布)，因此，初始條件是t=0時，u的值，即其中是巳知函數(shù)。但對于振動過程(弦、桿、膜的振動，較高頻率交變電流沿輸線傳播聲振動和聲波，電磁波)，只給出初始“位移”還不夠的，還需要給出初始“速度”從數(shù)學(xué)的角度看，就時間

10、t這個自變數(shù)而言，輸運過程的泛定方程中只出現(xiàn)一階導(dǎo)數(shù)ut，是一階微分方程，所以只需要知道t=0時u的值，即一個初始條件(7.2.1)；振動過程的泛定方程則出現(xiàn)t二階的導(dǎo)數(shù)utt ，是二階微分方程，所以需要兩個初始條件.注意：初條件應(yīng)當給出整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別地點的初始狀態(tài)。例 一根長為l而兩端固定弦，用手把它的中點朝橫向拔開距離h(圖78)，然后放手任其振動。u h0 l/2 l x所謂初始時刻，就是放手的那個瞬間，初始條件就是放手那個瞬間的弦的位移和速度，初始速度顯然為零，即至于初始位移如寫成那就錯了，因為這只是弦的中點的初始位移，其他各點的位移并不是h?？紤]到弦的初始形狀是

11、由兩段直線銜接而成，初始位移應(yīng)是的分段函數(shù)最后，談一談“沒有初始條件的問題”，沒有外源，只是由于初始時刻的不均勻分布引起的輸運叫作自由輸運，在自由輸運過程中，不均勻的分布逐漸均勻化，隨著分布的逐漸均勻化，輸運過程也步衰減，因此，一定時間以后，自由輸運就衰減到可認為巳消失，沒有外加力，只是由于初始偏離或初始速度引起的振動叫作自由振動，上節(jié)推導(dǎo)自由振動方程時沒有計及阻尼作用(該節(jié)習(xí)題3要求計及阻尼作用)，而實際一阻尼是不可避免的，自由振動不可避免逐漸衰減，因此，一定時間以后自由振動就衰減到可以認為巳消失，這樣，在周期性外源引起的輸運問題或周期性外力作用下的振動問題中，經(jīng)很多周期之后，初始條件引起的

12、自由輸運或性外源或外力所引起，處理這類問題時，我們完全可以忽略初始條件的影響，這類問題也就叫作沒有初始條件的影響。二、 邊界條件邊界條件邊界上的物理狀況。常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值，在與時間有關(guān)的問題中一般是時間的函數(shù)，它對邊界上的物理量在任一時間上的數(shù)值作了規(guī)定。在長為的弦的橫向振動或細桿縱向振動中，就是和端的位移值， 如果弦的兩端固定，則， 在熱傳導(dǎo)問題中就是邊界上溫度值。如桿兩端溫度值分別為定值N1、N2，則， 第二類邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值，在與時間有關(guān)的問題中一般也是時間的函數(shù)， 這也就是對

13、邊界上的物理量在任一時間對空間變量偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值作了規(guī)定。在一維有界空間問題中， 在第二類邊界條件問題中要注意導(dǎo)數(shù)的物理涵義。在細桿的縱向振動問題中，相對伸長與力T聯(lián)系在一起，在輸運問題中或，分量形式 ，偏導(dǎo)數(shù)、與熱流、聯(lián)系在一起，“-”號表示熱流動的方向沿減小的方向，即熱流從高溫流向低溫。例：作縱振動的桿若一端(取)固定，另一端(取)自由，則有，。u 0 l xu 0 l x如桿的端點受力作用，寫邊界條件時要小心注意力的方向和的符號。判例如桿的兩端和同時端受拉力F0作用，兩端都有（如圖），則，。如果改為桿的兩端同時端受壓力F0作用，兩端都有，結(jié)果應(yīng)是、。在一維熱導(dǎo)問題中，若某端()絕熱，。若的

14、一端有熱流流入，熱流方向與x的正方向相同，。若的一端有熱流流入，熱流方向與x的正方向相反，。如果改為(或)的一端有熱流流出，則又怎么樣？特別提醒：（1）關(guān)鍵詞：“自由”、“固定”、“絕熱”；（2）邊界條件所考慮的是在運動時間范圍內(nèi)的邊界狀態(tài)。例如：在本節(jié)習(xí)題1、2（P128）和§81節(jié)習(xí)題5（P160）都講到受力，但這三個“”所起的作用是不相同的，習(xí)題1和習(xí)題5中的“”是在運動過程前受到力，運動開始后“”消失，與邊界條件無關(guān)。在習(xí)題1中，“”與邊界毫無關(guān)系，是在運動前作用在點，與該點兩邊弦中的張力組成平衡力，決定時弦上各點的位移；在習(xí)題5中，“”是作用在邊界上，如果寫成則是錯誤的，因為本題要求的是“放手后的振動”，在振動過程中已經(jīng)不存在了，邊界條件只能是，這里的決定初始時刻桿的狀態(tài)，即，。在習(xí)題2中，“”始終作用在邊界上，第三類邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值。銜接條件作業(yè)P161，1，2，3。§ 74達朗貝爾公式無界區(qū)域一維振動方程，無邊界條件，只有