第五章剛體的轉(zhuǎn)動 (2)

1、F x研究對象：整條鏈條研究對象：整條鏈條建立坐標：如圖建立坐標：如圖受力分析：受力分析：F ()Mx gL 運動方程：運動方程：dtdvMxgLM 解：解：（1）鏈條在運動過程中，各部分的速度、）鏈條在運動過程中，各部分的速度、 加速度都相同。加速度都相同。dtdvxLg oXML （課后練習）（課后練習）一條質(zhì)量為一條質(zhì)量為 M 長為長為 L 的均勻鏈條，放在的均勻鏈條，放在一光滑的水平桌面上，鏈子的一端有極小的一段長度被推一光滑的水平桌面上，鏈子的一端有極小的一段長度被推出桌子的邊緣在重力作用下開始下落，試求鏈條剛剛離開出桌子的邊緣在重力作用下開始下落，試求鏈條剛剛離開桌面時的桌面時的速

2、度速度.動畫動畫dtdxdxdvxLg dxdvvxLg vLvdvxdxLg0022212vLLg gLv dtdvxLg 第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動 1. 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體（任意兩質(zhì)點間距離保持發(fā)生變化的物體（任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組）不變的特殊質(zhì)點組） 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡化問題引進的剛體模型是為簡化問題引進的說明：說明：一、基本概念一、基本概念 剛體平動剛體平動 質(zhì)點運動質(zhì)點運動 平動：平動：若剛體中若剛體中所有點的運動軌跡都所有點的運動軌跡都保持完全相同保持完全相同 特點：特點：

3、各點運動各點運動狀態(tài)一樣，如：狀態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同a、v2.剛體的運動形式：剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動平動、轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動：剛體上各質(zhì)點都繞同一軸作圓周運動剛體上各質(zhì)點都繞同一軸作圓周運動非定軸轉(zhuǎn)動非定軸轉(zhuǎn)動 剛體的一般運動剛體的一般運動 質(zhì)心的平動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標角坐標沿沿順順向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動 沿沿逆逆向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動 約定約定tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向z參考平面參考平面)(tx參考軸參考軸3.剛體定軸轉(zhuǎn)動描述剛體定軸轉(zhuǎn)動描述 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動( (一維轉(zhuǎn)動

4、一維轉(zhuǎn)動) )的的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動方向方向可以用可以用角速度角速度的正、負的正、負來表示來表示. .00zz角加速度角加速度角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系trre vtev2ntraratanan2tereratt22ddddar( (1) ) 每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動 平面；平面； ( (2) ) 任一質(zhì)點運動任一質(zhì)點運動 均相同，但均相同，但 不同；不同；,a, v定軸轉(zhuǎn)動的定軸轉(zhuǎn)動的特點特點 ( (3) ) 運動描述僅需一個坐標運動描述僅需一個坐標勻變速轉(zhuǎn)動公式勻變速轉(zhuǎn)動公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點質(zhì)點勻變速直線運動勻變速直線運

5、動at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 當剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的當剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的=常量時，剛體常量時，剛體做做勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動飛輪飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度rad75)6(2)5(2220220srad63050t 例例1 一飛輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因因受制動而均勻減速，經(jīng)受制動而均勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動停止轉(zhuǎn)動 . 試試求求:（1）角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；）角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；解解（1）,srad510. 0 t = 30 s 時，時，設(shè)設(shè).飛

6、輪做勻減速運動飛輪做勻減速運動00時，時， t = 0 s 轉(zhuǎn)過的圈數(shù)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)r5 .372N10srad4)665(t2tsm105. 0)6(2 . 0ra222nsm6 .31)4(2 . 0ra（2）制動開始后）制動開始后 t = 6 s 時飛輪的角速度；時飛輪的角速度； （3）t = 6 s 時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度度和法向加速度 .解解:m2 .0,srad510r已知：已知： . 求：求：2sm5 . 242 . 0rv解解: 例例2 在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機里在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機里, 有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂

7、直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn). 開始起動時開始起動時, 角速度角速度為零為零. 起動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為：起動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為： ,式中式中 . 求求：( (1) ) t = 6s 時電動機時電動機的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速( (2) )起動后起動后, , 電動機在電動機在 t = 6s 時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù).( (3) )角加速度隨時間變化的規(guī)律角加速度隨時間變化的規(guī)律)1 (/tme，s0 . 2r/s540m( (2) )解解: ( (1) ) 將將 t = 6s 代入代入得得r/s 513950m.6060/d)1 (21d21tetNtm(

8、 (3) )22/srad540ddttmeet344 （角加速度（角加速度指數(shù)衰減）指數(shù)衰減）,ooir i iF A 在在A點取質(zhì)量元點取質(zhì)量元im 的運動遵循牛頓第二定律的運動遵循牛頓第二定律( ) iiiFm a im ( ) ()tii iiinma ta n 同時叉乘方程兩邊同時叉乘方程兩邊ir () ()()iiiitiiiniir Fma r ta r n 2()iiiir Fmr 0二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 方程兩邊同時求和方程兩邊同時求和M 合合外外力力矩矩:JMJ 合合外外力力矩矩2()iiiirFmr 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量0M 合合外外第一轉(zhuǎn)動定律：第一

9、轉(zhuǎn)動定律：0 iF 類比有類比有:時時 繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受的合外力矩為零時，將保繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受的合外力矩為零時，將保 持原有的運動狀態(tài)不變。持原有的運動狀態(tài)不變。 0va 恒恒量量由牛頓第一定律：由牛頓第一定律： 0 恒恒量量 剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩的作用下所對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩的作用下所獲得的角加速度的乘積。獲得的角加速度的乘積。dMJJdt 第二轉(zhuǎn)動定律：第二轉(zhuǎn)動定律： Fma 牛頓第二定律：牛頓第二定律：類比有類比有:三、力矩三、力矩 的計算的計算M 集中力集中力

10、 （力集中在一點）（力集中在一點）方法一：方法一：MrF xyzijkMrFxyzFFF 20大?。悍较颍簊inMrF 與與 相同相同rF 元力矩元力矩dMrdF 總力矩總力矩sinMdMrdF 方法二：方法二： 分散力分散力（力分散在一區(qū)域內(nèi)）（力分散在一區(qū)域內(nèi)）r P MrF FM 021 例例 唱機的轉(zhuǎn)盤繞著通過盤心唱機的轉(zhuǎn)盤繞著通過盤心 的固定豎直軸轉(zhuǎn)動，唱片放上去后將受的固定豎直軸轉(zhuǎn)動，唱片放上去后將受 轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動。設(shè)唱轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動。設(shè)唱 片可以看成是半徑為片可以看成是半徑為R的均勻圓盤，質(zhì)的均勻圓盤，質(zhì) 量為量為 ，唱片和轉(zhuǎn)盤之間的滑動摩擦，唱片和

11、轉(zhuǎn)盤之間的滑動摩擦 系數(shù)為系數(shù)為 。問唱片受到的摩擦力矩有。問唱片受到的摩擦力矩有 多大？多大？解：解： 注意注意 摩擦力分布在整個圓盤上，因此摩擦力分布在整個圓盤上，因此MrF mk 2223第一步：第一步：dfdmr的摩擦力為，它受到處取質(zhì)量元在距軸為kdfdm g 方向：dfr rdrdm24第二步：第二步：大小、方向產(chǎn)生的摩擦力矩求dMdfsindMrdf krdm g 方向：方向： 沿軸沿軸rdrdRmdm2rdrdRmrgMk220220ddrrRmgRkRmgk32rdrRmdm222202RkmMgr drR 25dm drdm總長度總質(zhì)量線分布dsdm總面積總質(zhì)量面分布dVd

12、m總體積總質(zhì)量體分布四、轉(zhuǎn)動慣量四、轉(zhuǎn)動慣量J 質(zhì)點質(zhì)點 質(zhì)點系質(zhì)點系 剛體剛體轉(zhuǎn)動慣量與（轉(zhuǎn)動慣量與（a）剛體的質(zhì)量）剛體的質(zhì)量m有關(guān)；有關(guān)； （b）與）與m的分布有關(guān)；的分布有關(guān)； （c）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)常見均勻剛常見均勻剛 體的轉(zhuǎn)動慣量體的轉(zhuǎn)動慣量 見書見書P P962Jmr 21ni iJm r 2Jr dm 剛體剛體慣性描述量慣性描述量幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：Lm細棒細棒231mLJ 細棒細棒2121mLJ 薄圓環(huán)薄圓環(huán)或薄圓筒或薄圓筒2mRJ 圓盤或圓盤或圓柱體圓柱體薄球殼薄球殼221mRJ Rm232mRJ 球體球體252mRJ mLRm

13、RmRm* 平行軸定理平行軸定理 以以 m 表示剛體的質(zhì)量，表示剛體的質(zhì)量，Jc 表示它通過其質(zhì)心表示它通過其質(zhì)心 c 的軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量。若另一軸與此軸平行并且相距為的轉(zhuǎn)動慣量。若另一軸與此軸平行并且相距為d，則此剛則此剛體對于后一軸的轉(zhuǎn)動慣量為：體對于后一軸的轉(zhuǎn)動慣量為：2mdJJc mL2121mLJc Lm*垂直軸定理垂直軸定理例：例：22)2()121(LmmLJ 231mL xyzyxzJJJ c 質(zhì)量為質(zhì)量為m，長為，長為L的細棒繞其一端的的細棒繞其一端的JP2221mRmRJP圓盤對圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJc

14、d=L/2O1O1O2O2竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？ 如圖所示的大圓盤，質(zhì)量為如圖所示的大圓盤，質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R，對于，對于過圓心過圓心o o點且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為點且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 。如如果在大圓盤中挖去圖示的一個小圓盤，其質(zhì)量為果在大圓盤中挖去圖示的一個小圓盤，其質(zhì)量為m，半徑，半徑為為 ，且，且 。已知挖去的小圓盤相對于過。已知挖去的小圓盤相對于過o點且垂直點且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ，則挖去小圓盤后剩余，則挖去小圓盤后剩余部分對于過

15、部分對于過o點且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為多少？點且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為多少？r2rR 答案：21(43)2JMm r232mr212MRoRr 填補法求轉(zhuǎn)動慣量填補法求轉(zhuǎn)動慣量五、五、 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用( )( )( )tttM J用求導(dǎo)的方法用求導(dǎo)的方法積分加初始條件積分加初始條件dMJJdt ( )( )( )Mttt 剛體定軸轉(zhuǎn)動的兩類問題：剛體定軸轉(zhuǎn)動的兩類問題：( (2) ) 為瞬時關(guān)系為瞬時關(guān)系 ( (3) ) 轉(zhuǎn)動中轉(zhuǎn)動中 與平動中與平動中 地位相同地位相同maF JM ( (1) ) , 與與 方向相同方向相同 JM M說明說明解：1） 分析受力 例例1

16、 1 如圖如圖, , 有一半徑為有一半徑為 R R 質(zhì)量為質(zhì)量為 的勻質(zhì)圓盤的勻質(zhì)圓盤, , 可繞通過盤心可繞通過盤心 O O 垂直盤面的水平軸轉(zhuǎn)動垂直盤面的水平軸轉(zhuǎn)動. . 轉(zhuǎn)軸與圓盤之轉(zhuǎn)軸與圓盤之間的摩擦略去不計間的摩擦略去不計. . 圓盤上繞有輕而細的繩索圓盤上繞有輕而細的繩索, , 繩的一繩的一端固定在圓盤上端固定在圓盤上, , 另一端系質(zhì)量為另一端系質(zhì)量為 m 的物體的物體. . 試求物體試求物體下落時的加速度、繩中的張力和圓盤的角加速度下落時的加速度、繩中的張力和圓盤的角加速度. . mRommyRoTmPTm2）選取坐標 注意：轉(zhuǎn)動和平動的坐標取向要一致.) 2(2mmmgay)

17、 2/(mmmgmT) 2(2RmmmgRommyRoTmPTm3）列方程（用文字式）ymaTmg牛頓第二定律（質(zhì)點）JRT轉(zhuǎn)動定律（剛體）2/2RmJ 轉(zhuǎn)動慣量 先文字計算求解，后代入數(shù)據(jù)求值.Ray約束條件TT 例例2 2 有一半徑為有一半徑為R質(zhì)量為質(zhì)量為 m 勻質(zhì)圓盤勻質(zhì)圓盤, , 以角速以角速度度0 0繞通過圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動繞通過圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動. .若有一個與圓盤若有一個與圓盤大小相同的粗糙平面大小相同的粗糙平面( (俗稱剎車片俗稱剎車片) )擠壓此轉(zhuǎn)動圓盤擠壓此轉(zhuǎn)動圓盤, ,故而故而有正壓力有正壓力N N 均勻地作用在盤面上均勻地作用在盤面上, , 從而使其轉(zhuǎn)速逐

18、漸變從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢慢. .設(shè)正壓力設(shè)正壓力N N 和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實驗和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實驗測出測出. .試問經(jīng)過多長時間圓盤才停止轉(zhuǎn)動試問經(jīng)過多長時間圓盤才停止轉(zhuǎn)動? ? 解: 在圓盤上取面積微元, 面積元所受對轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小rlRNrFrfddd20rl drdfFd剎車片面積微元所受摩擦力矩rlRNrFrfddd2圓環(huán)所受摩擦力矩22202d2ddddRrNrlRrNrFrMrf圓盤所受摩擦力矩NRRrNrMMR32d2d022圓盤角加速度MRNJM43NmRt0043停止轉(zhuǎn)動需時0rl drdfFdR 例例3 一長為一長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細桿

19、豎直放置，其勻質(zhì)細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動相接，并可繞其轉(zhuǎn)動. 由于此豎由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動.試計算細桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成試計算細桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時的角加速度和角角時的角加速度和角速度速度.lm 解 細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律得NFJmglsin21ml2loPNF式中231mlJ ddddddddtt得sin23lg由角加速度的定義dsin23dlg代入

20、初始條件積分 得)cos1 (3lgJmglsin21ml2loPNFCgmfFCaNxy* * 例例4 如圖一斜面長如圖一斜面長 l = 1.5m, 與水平面的夾角與水平面的夾角 = 5o. 有兩個物體分別靜止地位于斜面的頂端有兩個物體分別靜止地位于斜面的頂端, 然后由頂端沿然后由頂端沿斜面向下滾動斜面向下滾動, 一個物體是質(zhì)量一個物體是質(zhì)量 m1 = 0.65kg、半徑為、半徑為R1 的實心圓柱體的實心圓柱體, 另一物體是質(zhì)量為另一物體是質(zhì)量為 m2 = 0.13 kg 、半徑、半徑 R2 = R1 = R 的薄壁圓柱筒的薄壁圓柱筒. 它們分別由斜面頂端滾到斜它們分別由斜面頂端滾到斜面底部

21、各經(jīng)歷多長時間面底部各經(jīng)歷多長時間? 解: 物體由斜面頂端滾下, 可視為質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的滾動兩種運動合成.CgmfFCaNxy質(zhì)心運動方程CmaFmgfsin轉(zhuǎn)動定律JRFfRaaC角量、線量關(guān)系2sinRJamgmaJmRmgRa22sin3sin21ga 2sin2ga 112 alt 實心圓拄222 alt 空心圓筒例例. 一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪 視為圓盤），繩的兩端分別視為圓盤），繩的兩端分別 懸有質(zhì)量懸有質(zhì)量 為為 m1 和和 m2 的物體的物體，m1 在沖擊等問題中L常量解: 系統(tǒng)角動量守恒)(212211JJJJ)(212211JJJJ 例1

22、兩個轉(zhuǎn)動慣量分別為 J1 和 J2 的圓盤 A和 B. A 是機器上的飛輪, B 是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓盤. 開始時, 他們分別以角速度1 和2 繞水平軸轉(zhuǎn)動. 然后,兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下.嚙合為一體, 其角速度為 , 求齒輪嚙合后兩圓盤的角速度. 解: 碰撞前 M 落在 A點的速度21M)2( ghv 例2 一雜技演員 M 由距水平蹺板高為 h 處自由下落到蹺板的一端 A, 并把蹺板另一端的演員 N 彈了起來.設(shè)蹺板是勻質(zhì)的, 長度為 l , 質(zhì)量為 , 蹺板可繞中部支撐點 C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動, 演員的質(zhì)量均為 m. 假定演員 M 落在蹺板上, 與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞

23、 .問演員 N 可彈起多高 ?mll/2CABMNh 碰撞后的瞬間, M、N具有相同的線速度 M、N和蹺板系統(tǒng)角動量守恒21M)(2gh v2MNluuu22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv演員 N 達到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh 例3 質(zhì)量很小長度為l 的均勻細桿, 可繞過其中心 O 并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動 . 當細桿靜止于水平位置時, 有一只小蟲以速率 垂直落在距點 O 為 l/4 處, 并背離點O 向細桿的端點 A 爬行. 設(shè)小蟲與細桿的質(zhì)量均為m. 問: 欲使細桿以恒定的角

24、速度轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速率向細桿端點爬行?0v 解: 碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒220)4(1214lmmllmvl 7120vl0712 v角動量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg62例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M的質(zhì)點沿著一條空間曲線運的質(zhì)點沿著一條空間曲線運 動，該曲線在直角坐標系下的定義式為動，該曲線在直角坐標系下的定義式為 其中其中a、b、 皆為常數(shù)，則此質(zhì)點所受皆為常數(shù)，則此質(zhì)點所受 的對原點的力矩的對原點的力矩 ；該質(zhì)點對原；該質(zhì)點對原 點的角動量點的角動量解：解： 質(zhì)

25、點所受的對原點的力矩質(zhì)點所受的對原點的力矩MrF cossinrat ibt j ?M ?L Fma dvmdt 63MrF drvdt sincosat ibt j dvadt 22cossinat ibt j 2r 2()rmr 0 64 質(zhì)點對原點的角動量質(zhì)點對原點的角動量Lrmv ( cossin)(sincos)Lm at ibt jat ibt j m ab k 0ii0jj ijk65 例例 一半徑為一半徑為 R 的光的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi). 一一質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的小球穿在圓環(huán)的小球穿在圓環(huán)上上, 并可在圓環(huán)上滑動并可在圓環(huán)上滑動. 小小球開始時靜止于圓環(huán)

26、上的球開始時靜止于圓環(huán)上的點點 A (該點在通過環(huán)心該點在通過環(huán)心 O 的的水平面上水平面上)，然后從，然后從 A點開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不點開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計求小球滑到點計求小球滑到點 B 時對環(huán)心時對環(huán)心 O 的角動量和角速的角動量和角速度度66 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩為零，重的力矩為零，重力矩垂直紙面向里力矩垂直紙面向里由質(zhì)點的角動量定理由質(zhì)點的角動量定理cosmgRM tLmgRddcostmgRLdcosdNFPNF67考慮到考慮到2,ddmRmRLtvdosd32cgRmLL得得由題設(shè)條件積分上式由題設(shè)條件積分上式0320dcos

27、dgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 68例例（09900990）A和和B是兩個滑冰者，質(zhì)量都是是兩個滑冰者，質(zhì)量都是 m，且，且 都以速度都以速度V沿著互相平行的直線相對滑行，兩沿著互相平行的直線相對滑行，兩 條平行直線間距為條平行直線間距為L。第三個滑冰者。第三個滑冰者C，在與，在與A 、B滑行的直線平行的另一直滑行的直線平行的另一直 線上，以線上，以V的的 速度滑行。速度滑行。C的滑行直線與的滑行直線與B的滑行直線相距的滑行直線相距 為為d，三條滑行直線在同一平面內(nèi)，如圖。當，三條滑行直線在同一平面內(nèi)，如圖。當 A、B、C三人在垂直三條滑行線的同一直線

28、三人在垂直三條滑行線的同一直線 上時，若上時，若C與與B同方向運動如圖（同方向運動如圖（a）所示，）所示，A 和和B相對相對C的總角動量（動量矩）大小為多少？的總角動量（動量矩）大小為多少？ 若若 C與與B 反方向運動如圖（反方向運動如圖（b）所示，）所示，A和和B相相 對對C的總角動量（動量矩）大小為？的總角動量（動量矩）大小為？69A和和B相對相對C的總角動量（動量矩）大小的總角動量（動量矩）大小解：解：方向：方向： 方向：方向：方向：方向：ABCLd( )a( )bVV ABCVV ACACBCBCLrmVrmV ( )a()()ACACrmVm Ld VV ()BCBCrmVmdVV

29、()()()md VVm Ld VV ( )b()()()Lm VV dm VVdL 方向：方向：L70練習（0728）如圖所示，質(zhì)點如圖所示，質(zhì)點P P的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，位，位置矢量為置矢量為 ，速度為，速度為 ，它受到力，它受到力 的作用。這的作用。這 些矢量均在些矢量均在OXY面內(nèi)，且面內(nèi)，且 ， ，則該質(zhì)點對原點，則該質(zhì)點對原點O的角動量的角動量 作用在質(zhì)點上的力對原點的力矩作用在質(zhì)點上的力對原點的力矩kg2rVFmr0 . 3smV/0 . 4NF2?L ?M oxyrVF030030P（課后練習）（課后練習）有一半徑為有一半徑為R的圓形平板平放的圓形平板平放 在水平桌面上，平板與

30、水平桌面的在水平桌面上，平板與水平桌面的 摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為 ，若平板繞通過其中，若平板繞通過其中 心且垂直板面的固定軸以角速度心且垂直板面的固定軸以角速度 開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？ 0 當剛體在力矩當剛體在力矩 作用下從作用下從 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到時，力矩所做的功為：時，力矩所做的功為：21AMd 六、六、剛體轉(zhuǎn)動的功和能剛體轉(zhuǎn)動的功和能1力矩做功力矩做功r F o dsdr d M 合外力合外力 對對 剛體所作的元功：剛體所作的元功：F cosdAF drFds sin)(rdF（ 與與 互余）互余） sinFrM 合合 外外 力力 矩矩而而dAM d 1

31、2 2. 剛體轉(zhuǎn)動動能剛體轉(zhuǎn)動動能考慮剛體上第考慮剛體上第 i 個質(zhì)元，質(zhì)量為個質(zhì)元，質(zhì)量為 的動能的動能im 整個剛體的動能為整個剛體的動能為1m im 221iikivmE kikEE2221iiRm 2212iim R im iivR 速度為速度為J212kEJ 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能212kEmv3.定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理由質(zhì)點系：由質(zhì)點系：類比：類比：kabEmvmv 2221210AM d 合合外外力力矩矩2201122kJJE 合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功，合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功， 等于剛等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。體轉(zhuǎn)動動能的增量。A內(nèi)力矩內(nèi)力矩？

32、baAAF dr 外外力力 力 力內(nèi)內(nèi)4. 剛體的勢能剛體的勢能一個不太大的剛體的重力勢能一個不太大的剛體的重力勢能 = = 它的全部質(zhì)它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能量集中在質(zhì)心時所具有的勢能 剛體重力勢能剛體重力勢能：剛體：剛體質(zhì)心質(zhì)心與重力勢能零點（地面）與重力勢能零點（地面） 的的 高度差高度差chPcEmgh 重重注意注意：功能原理適應(yīng)于純質(zhì)點系統(tǒng)也適應(yīng)于純剛功能原理適應(yīng)于純質(zhì)點系統(tǒng)也適應(yīng)于純剛 體系統(tǒng)，同時也適應(yīng)于（體系統(tǒng)，同時也適應(yīng)于（質(zhì)點質(zhì)點+ +剛體剛體）的混）的混 合系統(tǒng)。但計算動能時合系統(tǒng)。但計算動能時必須注意必須注意212kEJ 剛體動能剛體動能5.剛體定軸轉(zhuǎn)動的功

33、能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理2111nniiAAEE 外外非非 內(nèi)內(nèi)6. 剛體的機械能守恒定律剛體的機械能守恒定律2111nniiEE 常常量量0AA外外非非 內(nèi)內(nèi)若：若：則：則：cmgh常數(shù)常數(shù) 221J若剛體轉(zhuǎn)動過程中只有重力矩作功，則機械能若剛體轉(zhuǎn)動過程中只有重力矩作功，則機械能守恒。守恒。例例4. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 長為長為 L 的均勻細棒的均勻細棒 OA 可繞通過其一端的光滑軸可繞通過其一端的光滑軸 O 在豎直平在豎直平 面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時由下擺，求細棒擺到豎直位置時（1）質(zhì)心）質(zhì)心 C 和端點和端點 A

34、的線速度的線速度（2）質(zhì)心）質(zhì)心 C 的線加速度的線加速度解法一（解法一（1）研究對象：細棒研究對象：細棒受力分析：受力分析：mg （ 不考慮）不考慮）N 力矩力矩sin2LrFmg Cmg OA零勢面零勢面CAr cos2mgL動能定理：動能定理：0AM d 合合外外力力矩矩)(21202 J20cos2Lmgd 2212 JmgL= 02)31(mLmgLJmgL Lg3 ccRv方向：向左方向：向左OA Cmg 零勢面零勢面CA AARvca tcaR 0因豎直位置因豎直位置M=0 =0gLLgRacn23232 （2）sincos22LLrFmgmg gLL3212 gLL3 解法二解

35、法二 用機械能守恒：（剛體只有重力矩作功）用機械能守恒：（剛體只有重力矩作功） mgL221 J)31(2mLJ 3mgLgJL 解法三解法三 用運動方程用運動方程（轉(zhuǎn)動定律）求解：（轉(zhuǎn)動定律）求解：MJ 21sin23LmgmL研究對象：細棒研究對象：細棒受力分析：受力分析：mg （不考慮（不考慮N）運動方程：運動方程：3cos2gL cos23Lgdtd3cos2ddddgLt OA Cgm零勢面零勢面CA 200cos23dLgdLg23212 Lg3 2Lmg LJ 七、定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理七、定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1沖量矩沖量矩2剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量3剛體剛體系系定

36、軸轉(zhuǎn)動的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理21ttMdt Pmv （）21212111 nntiitM dtLLJJ 外外MdtdL 微分形式微分形式積分形式積分形式dLMdt 4剛體系剛體系角動量守恒定律角動量守恒定律 0M 合合外外力力矩矩若若21 LLL ，恒恒矢矢量量21 JJJ ，恒恒量量計算角動量時計算角動量時注意注意： 質(zhì)點質(zhì)點角動量角動量Lrmv 剛體剛體角動量角動量LJ 有剛體時有剛體時切忌切忌用用動量動量守恒，守恒，只能只能用用角動量角動量守恒守恒 注意：剛體注意：剛體系系定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 和角動量守恒定律適應(yīng)于純質(zhì)和角動量守恒定律適應(yīng)于純質(zhì) 點系統(tǒng)也適

37、應(yīng)于純剛體系統(tǒng)同點系統(tǒng)也適應(yīng)于純剛體系統(tǒng)同 時也適應(yīng)于（時也適應(yīng)于（質(zhì)點質(zhì)點+ +剛體剛體）的）的 混合系統(tǒng)?；旌舷到y(tǒng)。例例5（0232）空心圓環(huán)可繞光滑的豎直空心圓環(huán)可繞光滑的豎直 固定軸固定軸AC自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0， 環(huán)的半徑為環(huán)的半徑為R，初始時環(huán)的角速度，初始時環(huán)的角速度 為為 0。質(zhì)量為。質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)的小球靜止在環(huán)內(nèi) 最高處最高處A點，由于某種微小干擾，小點，由于某種微小干擾，小 球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán)球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán) 心心O在同一高度的在同一高度的B點和環(huán)的最低處點和環(huán)的最低處 的的C點時，環(huán)的角速度及小球相對與點時，環(huán)的

38、角速度及小球相對與 環(huán)的速度各為多少？環(huán)的速度各為多少？（設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可（設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可視為質(zhì)點，環(huán)截面半徑視為質(zhì)點，環(huán)截面半徑 ）小球受力：小球受力：環(huán)受力：環(huán)受力：重力、與軸、與小球重力、與軸、與小球之間作用力之間作用力對所有力的力矩分析可知：對所有力的力矩分析可知：兩物體所受力兩物體所受力關(guān)于關(guān)于軸軸 的力矩的力矩均等于均等于零零。oo rR oo AmgBCoRNmgN 所以，所以，在在 軸方向軸方向角動量守恒角動量守恒由于它們在運動過程由于它們在運動過程中，中，在在 軸向軸向所受合所受合外力矩為零，外力矩為零，選小球和環(huán)為系統(tǒng)，選小球和環(huán)為系統(tǒng)

39、，oo oo oo AmgBCoRN對對A、B點有點有:2000()JJmR 選（小球選（小球+環(huán)環(huán)+地球）地球）為系統(tǒng)，為系統(tǒng)， 則系統(tǒng)機械則系統(tǒng)機械能守恒。能守恒。 取過環(huán)心的水取過環(huán)心的水平面為勢能零點。平面為勢能零點。o AmgBCoRmgN22222000111()222BJmgRJmRV 2200202BJRVgRJmR 對于對于A、C點有點有000JJ 222000111(2 )222CJmgRJmV4CVgR 例例6（0786）一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì) 量為量為M，半徑為，半徑為R，放在一粗糙水平，放在一粗糙水平 面上，圓盤可繞通過其中心面上，圓盤可繞通

40、過其中心O的豎直的豎直 固定光滑軸轉(zhuǎn)動。開始時，圓盤靜止，固定光滑軸轉(zhuǎn)動。開始時，圓盤靜止， 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度V0垂直垂直 于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊 上，求（上，求（1）子彈擊中圓盤后，盤所）子彈擊中圓盤后，盤所 獲得的角速度獲得的角速度 （2）經(jīng)過多少時間后，圓盤）經(jīng)過多少時間后，圓盤 停止轉(zhuǎn)動停止轉(zhuǎn)動（忽略子彈重力造（忽略子彈重力造 成的摩擦阻力矩）成的摩擦阻力矩）（1）解：解：子彈擊中圓盤后，圓盤子彈擊中圓盤后，圓盤所獲得的角速度所獲得的角速度R0v m子彈和圓盤在碰撞前子彈和圓盤在碰撞前后后角動量守恒角動量守恒2

41、201()2mv RMRmR 012()mvMm R 23dMmgRJdt 摩摩擦擦（2）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動解一：解一：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律MJ dJdt 00023tmgRdtJd 解二：解二：對（圓盤對（圓盤+ +子彈）應(yīng)用角動量定理子彈）應(yīng)用角動量定理210ttM dtJ 摩摩221()2MRmR 0fMtJ 0mv R 03 2mvtMg 例例7 7（0141）一勻質(zhì)細棒長為一勻質(zhì)細棒長為2L，質(zhì)量，質(zhì)量 為為m。以與棒長方向相垂直。以與棒長方向相垂直 的速度的速度 V0在光滑水平面內(nèi)平動時與前方一在光滑水平面內(nèi)平動時與前方一 固定的

42、光滑支點固定的光滑支點O發(fā)生完全非彈性發(fā)生完全非彈性 碰撞。碰撞點位于棒碰撞。碰撞點位于棒 中心的一方中心的一方L/2處，處， 如圖所示。如圖所示。 求棒在碰撞后的瞬時繞求棒在碰撞后的瞬時繞 O點轉(zhuǎn)動時的角速度點轉(zhuǎn)動時的角速度 BA0VoL2L2LL2L2LoAB0V解：解： 碰撞前后碰撞前后角動量角動量守恒守恒 。 計算碰撞計算碰撞前前瞬時，桿瞬時，桿 對點對點o的角動量大小的角動量大小 棒上所有點棒上所有點角速度不同角速度不同 但有相等的但有相等的平動平動速度。速度。 在棒上任意處取質(zhì)量在棒上任意處取質(zhì)量 元元dmrdrdrdm總長度總質(zhì)量特點：特點：dm 質(zhì)量元質(zhì)量元 相對相對o點的點的

43、角動量角動量大小大小dmsin)(0dmVrdL dmrV0drLmrV203220000LLLV rdrV rdr 前前20012V LmV L L2L2LoAB0Vrdrdm 棒上所有點棒上所有點平動平動速度速度不不 同同，但有相等的，但有相等的角速度角速度。221 3311()()3 4242LJmLmL 后后 計算碰撞計算碰撞后后瞬時，桿對瞬時，桿對 點的角動量大小點的角動量大小 結(jié)論：結(jié)論： LV760特點：特點：L2L2LoAB0V rdrdm課后看書中相關(guān)例題：例課后看書中相關(guān)例題：例5.8、例、例5.9、例例5.10 例例5.11、例、例5.12、例、例5.14剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點一維運動的對比剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點一維運動的對比位移位移x 角位移角位移 速度速度dxdtv 角速度角速度ddt 加速度加速度22dtxddtdva 角加速度角加速度22dddtdt 質(zhì)點一維運動質(zhì)點一維運動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)量質(zhì)量m轉(zhuǎn)動慣