最新人教版-七年級上--第一章有理數(shù)--知識點總結(jié)及易錯題

1、精品文檔新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)七年級（上）知識要點概括第一章有理數(shù)1. （ 1）正數(shù)： 大于零的數(shù)；（ 2）負數(shù)： 小于零的數(shù) （在正數(shù)前面加上 負號“” 的數(shù)）；注意： 0 既不是 正數(shù)也不是 負數(shù)，它是正負數(shù)的分界點；對于正數(shù)和負數(shù)，不能簡單理解為帶“+”號的數(shù)是 正數(shù) ，帶“”號的數(shù)是 負數(shù)；字母 a 可以表示任意數(shù)， 當(dāng) a 表示正數(shù)時， -a 是負數(shù)；當(dāng) a 表示負數(shù)時， -a 是正數(shù)；當(dāng) a 表示 0 時， -a 仍是 0。正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“ +”省略不寫。 所以省略 “+”的正數(shù)的符號是正號。2.有理數(shù)的概念正整數(shù)、 0、負整數(shù) 統(tǒng)稱為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；

2、正整數(shù)， 0，負整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解 ：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù) 才是有理數(shù)。 是無限不循環(huán)小數(shù) ，不能寫成 分?jǐn)?shù) 形式， 不是 有理數(shù)；有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù) 都可化成分?jǐn)?shù)，都是 有理數(shù)； -a 不一定 是負數(shù)， +a 也不一定 是正數(shù)；3. 有理數(shù)的分類按有理數(shù)的定義分類按性質(zhì)符號來分正整數(shù)正整數(shù)整數(shù)0正有理數(shù)負整數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)有理數(shù)0（ 0 不能忽視）正分?jǐn)?shù)負整數(shù)分?jǐn)?shù)負有理數(shù)負分?jǐn)?shù)負分?jǐn)?shù)總結(jié)：正整數(shù)、0 統(tǒng)稱為非負整數(shù)（也叫自然數(shù)） 負整數(shù)、 0 統(tǒng)稱為非正整數(shù) 正有理數(shù)、 0 統(tǒng)稱為非負有理數(shù) 負有理數(shù)、 0 統(tǒng)稱為非正有理數(shù)0 是整數(shù)不是分?jǐn)?shù)。

3、4. 規(guī)定了 原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意 ：數(shù)軸是一條向兩端無限延伸 的直線；原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；同一數(shù)軸上的單位長度 要統(tǒng)一。（4）數(shù)軸一般取右（或向 上）為正方向，數(shù)軸的原點的選定，正方向的取向，單位長度大精品文檔精品文檔小的確定都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。5. 數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點 來表示，正有理數(shù)可用原點右側(cè) 的點表示， 負有理數(shù)可用原點 左側(cè) 的點表示， 0 用原點表示。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點 表示出來，但數(shù)軸上的點不都 表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點 不

4、是有理數(shù)）6. 數(shù)軸的畫法（1）畫一條直線，在這條直線上任取一個點作為原點 ；（ 2）通常規(guī)定直線上從原點向 右（或左）為正方向，從原點向 左（或右）為負方向；（ 3）選取適當(dāng)?shù)拈L度為 單位長度 ，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示 1， 2， 3，；從原點向左，用類似的方法依次表示-1 ，-2 ，-3 ， .7. 利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大；正數(shù)都 大于 0，負數(shù)都 小于 0，正數(shù) 大于 負數(shù)；兩個負數(shù)比較，距離原點遠的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。8. 數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)最小的自然數(shù)是 0，無最大的自然數(shù)；最小的正整數(shù)是 1，無最大的

5、正整數(shù)；最大的負整數(shù)是 -1 ，無最小的負整數(shù)9. a 可以表示什么數(shù) a>0 表示 a 是正數(shù) ；反之， a 是正數(shù)，則 a>0；a<0 表示 a 是負數(shù) ；反之， a 是負數(shù)，則 a<0； a=0 表示 a 是 0；反之， a 是 0, ，則 a=0；10. 數(shù)軸上點的移動規(guī)律根據(jù)點的移動， 向左移動幾個單位長度則 減去幾 ，向右移動幾個單位長度則加上幾 ，從而得到所需的點的位置。11. 歸納數(shù)軸上的點的意義：一般地， 設(shè) a 是一個正數(shù)， 則數(shù)軸上表示 a 的點在原點的 右邊，與原點的距離是 a 個單位長度；表示 a 的點在原點的 左邊，與原點的距離是 a 個單位

6、長度 .12.只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個是另一個 的相反數(shù)。注意：相反數(shù)是成對出現(xiàn)的；相反數(shù)只有符號 不同，若一個為 正，則另一個為 負；0的相反數(shù)是 它本身 ；相反數(shù)為本身的數(shù)是 0。13.相反數(shù)的性質(zhì)與判定任何數(shù)都有 相反數(shù) ，且只有 一個 ；0的相反數(shù)是 0；互為相反數(shù)的兩數(shù)和為 0，和為 0 的兩數(shù)互為 相反數(shù) ，即 a， b 互為相反數(shù)， 則 a+b=0 14. 相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數(shù)，是互為相反數(shù) ；互為相反數(shù)的兩個數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點（0 除外）在 原點兩旁 ，并且與原點的距離相等 。0 的相反數(shù)對應(yīng) 原點 。精品文檔精品文檔說

7、明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點關(guān)于原點 對稱。15. 相反數(shù)的求法求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負號“ - ” 即可求得（如：5 的相反數(shù)是 -5 ）；求多個數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號括起來再添“ - ”， 然后化簡（如；5a+b 的相反數(shù)是 - （ 5a+b）?；喌?-5a-b ）；求前面帶“ - ”的單個數(shù)，也應(yīng)先用括號括起來再添“- ”，然后化簡 ( 如： -5 的相反數(shù)是 -（-5 ），化簡得5)16. 相反數(shù)的表示方法一般地，數(shù)a 的相反數(shù)是 -a，其中 a 是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)或 0。當(dāng) a>0 時， -a <0（正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù) ）當(dāng) a

8、<0 時， -a >0（負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù) ）當(dāng) a=0 時， -a =0，（ 0 的相反數(shù)是0）17. 多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律: “ +”號的個數(shù)不影響化簡的結(jié)果，可以直接省略；“ - ”號的個數(shù)決定最后化簡結(jié)果；即： “ - ”的個數(shù)是 奇數(shù) 時，結(jié)果為 負，“ - ”的個數(shù)是 偶數(shù) 時，結(jié)果為 正。18. 一般地，數(shù)軸上表示 數(shù) a 的點與原點的距離 叫做 a 的絕對值，記作 |a| ，讀作： a 的絕對值.19. 因為數(shù)的絕對值是表示兩點之間的距離，如： |a-b|表示數(shù)軸上a 點到 b 點的距離 。所以一個數(shù)的絕對值不可能是負數(shù) 。即：任何數(shù)的絕對值都是非負數(shù)

9、（0 的絕對值是0）20. 絕對值的計算規(guī)律：（ 1）互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等（ 2）若 ab ，則 a=b 或 a=-b ；（3）若 ab0, 則 a0, b021. 絕對值的代數(shù)定義1）一個正數(shù)的絕對值是它本身2）一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)3） 0 的絕對值是022. 可用字母表示為：如果 a>0，那么 |a|= a；如果 a<0，那么 |a|= -a ；如果 a=0，那么 |a|=0?？蓺w納為： a 0< > |a|=a （非負數(shù)的絕對值等于本身 ；絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù) 。）a 0< > |a|= -a（非正數(shù)的絕對值等于 其相反數(shù) ；絕

10、對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）23. 絕對值的性質(zhì)任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù) ，也就是說絕對值具有非負性。所以， a 取任何有理數(shù)，都有 |a| 0。0 的絕對值是 0；絕對值是0 的數(shù)是 0. 即： a=0 < > |a|=0；一個數(shù)的絕對值是非負數(shù) ，絕對值最小的數(shù)是0. 即： |a| 0；不小于 原數(shù)。即：即：|a| a；a1aa1a 0 ；任何數(shù)的絕對值都a0 ；a絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為 相反數(shù) 。即：若 |x|=a（ a>0），則 x=± a；互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等 。即： |-a|=|a|或若a+b=0，則 |a|=|b|；注

11、意：精品文檔精品文檔aa ；|a| · |b|=|a · b|,bb絕對值相等的兩數(shù) 相等或互為相反數(shù)。即： |a|=|b|，則 a=b 或 a=-b ；若幾個數(shù)的絕對值的和等于0，則這幾個數(shù)就同時為 0。即 |a|+|b|=0，則 a=0 且 b=0。（非負數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個非負數(shù)的和為0，則有且只有這幾個非負數(shù)同時為 0）24. 有理數(shù)大小的比較利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??；利用絕對值比較兩個負數(shù)的大?。簝蓚€負數(shù)比較大小，絕對值大的 反而小 ；異號兩數(shù)比較大小， 正數(shù)大于負數(shù)。（3）正數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)越大；（4）正數(shù)永遠比0

12、 大，負數(shù)永遠比0 ??；（5）正數(shù)大于一切負數(shù) ；（6）大數(shù) -小數(shù) 0，小數(shù) -大數(shù) 0.25. 已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)一個數(shù) a 的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a 的點到 原點的距離 。一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個，它們互為 相反數(shù) ，絕對值為0 的數(shù)是 0，沒有絕對值為 負數(shù) 的數(shù)。26. 有理數(shù)的加法法則同號兩數(shù)相加，取相同 的符號，并把 絕對值相加 ；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值 較大的 加數(shù)的符號， 并用 較大的絕對值減去較小的絕對值 ；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；一個數(shù)與0 相加，仍得 這個數(shù) 。27. 有理數(shù)加法的運算律加法交換律： a+b=b+a加法結(jié)合

13、律：(a+b)+c=a+(b+c)28. 在運用運算律時，一定要根據(jù)需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加 “相反數(shù)結(jié)合法” ；符號相同的兩個數(shù)先相加 “同號結(jié)合法” ；分母相同的數(shù)先相加 “同分母結(jié)合法” ；幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加 “湊整法” ；整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加 “同形結(jié)合法” 。29. 有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù) 。用字母表示為：a-b= a+(-b)。30. 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運算中， 根據(jù)有理數(shù)減法法則， 可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后， 再按照加法法則進行計算。在和式里， 通常把各個加數(shù)的括號和

14、它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.31. 有理數(shù)加減混合運算中運用結(jié)合律時的一些技巧： . 把符號相同的加數(shù)相結(jié)合（同號結(jié)合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（將減法轉(zhuǎn)換成加法）精品文檔精品文檔=-33+18-15-1+23（省略加號和括號）=(-33-15-1)+(18+23)（把符號相同的加數(shù)相結(jié)合）=-49+41（運用加法法則一進行運算）=-8（運用加法法則二進行運算）. 把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合（湊整法）(+6.6)+(-5.2)

15、-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（將減法轉(zhuǎn)換成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加號和括號）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合）=4-10+3.8（運用加法法則進行運算）=7.8-10（把符號相同的加數(shù)相結(jié)合， 并進行運算）=-2.2（得出結(jié)論）. 把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合（同分母結(jié)合法）- 3- 1+3- 2+1- 7524528原式=(-32113711-)+(-+)+(+-)=-1+0-=-185522488. 既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運算要統(tǒng)

16、一后再結(jié)合（先統(tǒng)一后結(jié)合）(+0.125)-(-33 )+(-31 )-(-102 )-(+1.25)483原式=(+13)+(-31)+(+1021)=13121)+(+3483)+(-1+3-3+10-18484834=(3 3 -1 1 )+(1 -3 1 )+102 =2 1 -3+102 =-3+13 1 =10 1448832366. 把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合（先拆分后結(jié)合）1+106-1217-31122+4515原式 =(-3+10-12+4)+(-1 +7 )+(6 - 1 )=-1+4 +11 =-1+ 8 +15 =-751511221522303030. 分組結(jié)合2-3-4+5+6-7-8+9 +66-67-68+69原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+ +(66-67-68+69)=0. 先拆項后結(jié)合