最新【考前集訓(xùn)】高考數(shù)學(xué)(江蘇專用,文科程序方法策略篇：專題3解題策略第8講名師精編資料匯編

1、第 8 講構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用方法精要 在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程 (組 )、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連結(jié)條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，稱為構(gòu)造法解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問(wèn)題用常規(guī)的思維方式來(lái)尋求解題途徑卻比較困難，甚至無(wú)從著手在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考從而找到一條繞過(guò)障礙的新途徑構(gòu)造法就是這樣的手段之一構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導(dǎo)出結(jié)論，它屬于非常規(guī)思維其本質(zhì)

2、特征是“構(gòu)造”，用構(gòu)造法解題，無(wú)一定之規(guī)，表現(xiàn)出思維的試探性、不規(guī)則性和創(chuàng)造性數(shù)學(xué)證明中的構(gòu)造法一般可分為兩類(lèi)，一類(lèi)為直接性構(gòu)造法，一類(lèi)為間接性構(gòu)造法題型一例 1構(gòu)造向量解決不等式的問(wèn)題xy若直線 1 通過(guò)點(diǎn) M(cos， sin )，則下列正確的有_a b a2 b2 1; a2b2 1；1111 a2 b2 1; a2b2 1.cos sin 破題切入點(diǎn)根據(jù)點(diǎn)在直線上可以得到a1，聯(lián)想向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，b可以構(gòu)造向量答案解析11設(shè)向量 m (cos ， sin )， n ( ， )，cos sin ab由題意知a b 1，由 m·n |m|n|可得 1cos sin 1

3、1a2 2.bab1 1所以 a2 b2 1.題型二構(gòu)造不等式解決證明問(wèn)題例 2已知 a， b， c>0 ，證明：a2b2c2a bcb c2.caab破題切入點(diǎn)直接用一個(gè)式子或兩個(gè)式子都不好直接構(gòu)造輪換不等式觀察其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，必須想辦法去掉不等式左端各項(xiàng)的分母，為此可以做變換：在不等式兩端都加上a b c，即我2們證明不等式a2b2 c2 a b c a b c，這時(shí)把 a bc拆成 ab b cc a，bcc a a b22444就可以構(gòu)造輪換不等式了證明證明2即證abc即證a2 bc222a bca b c，2b cc aab22ab cb c2 a b c，c aa bb cb2c

4、 ac2 a b4 c a 4 a b 4 ab c.2b c2c a2a ba c又因?yàn)? a， b b， c，bcc a4a b4所以所證三式相加，不等式成立題型三構(gòu)造函數(shù)最值、比較大小的問(wèn)題例3已知 f(x) 34x 2xln 2 ，數(shù)列 an 滿足1*)<an<0,21an 1 f(an)( nN2(1)求 f(x)在 1， 0上的最大值和最小值；2(2)判斷 an 與 an 1(n N *) 的大小，并說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)直接按照導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法解決(2) 根據(jù)給出的條件 21 an1 21 anf(an) 21 an，可以構(gòu)造函數(shù) g(x) f(x) 2x1，通過(guò)

5、研究這個(gè)函數(shù)解決問(wèn)題解 (1)f (x)(1 4x)ln 4 ，當(dāng) 12<x<0 時(shí)， 0<1 4x<12， f (x)>0 ， f( x) 34x 2xln 2 在 12， 0上是增函數(shù)， f( x)maxf(0) 2； f(x)min f( 12) 52 ln 2.(2) 由 21 an121 an f(an) 21 an，記 g(x) f( x) 2x 1 得 g (x) f (x) 2x1ln 2 (1 2x 4x)ln 4 ，當(dāng) 12<x<0 時(shí)， 22<2x<1， 12<4x<1.xx21故 124 <122&

6、lt;0，1所以 g(x)<0 ，得 g(x)在 ( 2， 0)上是減函數(shù)，所以 g(x)>g(0) f(0) 2 0， f(an) 21 an>0，即 21an1 21 an>0，得 an 1>an.題型四構(gòu)造數(shù)列解決數(shù)列求和的問(wèn)題例 4已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且滿足 a11， an 2Sn·Sn1 (n 2)2(1) 求出通項(xiàng)公式 an.(2) 求證： S21 S22 S2n 1 1 . 2 4n破題切入點(diǎn)(1)首先根據(jù)已知條件求出Sn 的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出通項(xiàng)an.(2) 利用放縮法和拆項(xiàng)法證明(1) 解 因?yàn)?an 2Sn

7、3;Sn1(n 2)，所以 Sn Sn1 2Sn n1，·S1 2(n 2)，兩邊同除 Snn1，得 1 ·SSnSn1111所以數(shù)列 Sn是以 S1 a1 2 為首項(xiàng)，以 d 2 為公差的等差數(shù)列11所以 (n1) ·d2 2(n 1) 2n，1所以 Sn2n.又因?yàn)?an 2Sn·Sn 1(n 2)，所以當(dāng)n 2 時(shí)，an 2Sn·Sn 1111，2··2n2 n 12n 2n21所以 an2 n 1，12 n 2 .2n2n(2) 證明21111121，因?yàn)?Sn2< ()， S14n 4n n 14 n 1 n

8、4所以當(dāng) n 2 時(shí)，222111S1 S2 Sn 4 4× 2× 2 4n·n111111<(1 )4( )442n 1 n1 1 2 4n，2111當(dāng) n 1 時(shí)， S1 42 4× 1.22211綜上 S1 S2 Sn24n.總結(jié)提高用構(gòu)造法解題時(shí)，被構(gòu)造的對(duì)象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對(duì)應(yīng)、數(shù)學(xué)模型、反例等，從上面的例子可以看出這些想法的實(shí)現(xiàn)是非常靈活的，沒(méi)有固定的程序和模式，不可生搬硬套但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律，在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即以什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問(wèn)題的

9、特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造1在空間四邊形ABCD 中， AB·CD AC·DB AD ·BC的值為 _答案0解析如圖，選取不共面的向量AB， AC， AD 為基底，則原式 AB·(AD AC) AC·(AB AD ) AD ·(AC AB) AB·AD AB·AC AC·AB AC·AD AD·AC AD ·AB 0.2已知數(shù)列 an 中， a1 1， an 2an1 1，則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為_(kāi)答案an2n 1解析因?yàn)?an 2an1 1，所以 an1 2(a

10、n 1 1)，所以數(shù)列 an 1 是以 a11 2 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列，所以 an 12× 2n 1 2n，所以 an 2n 1.3函數(shù) f(x)x2 4x 13x2 10x 26的值域是 _答案5， )解析f(x) x 2 2 0 32x 5 2 0 1 2其幾何意義是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn) M(2,3)和 N(5， 1)的距離之和 (如圖 )，為求其值域只要求其最值即可，易知當(dāng)M，N，P三點(diǎn)共線 ( 即 P 在線段 MN 上 )時(shí)， f(x)取得最小值， f( x)min MN 25 2 312 5，無(wú)最大值，故得函數(shù)的值域?yàn)?5， )4.如圖，已知球O 的球

11、面上有四點(diǎn)A， B， C， D， DA平面ABC，AB BC， DA AB BC2，則球O 的體積為_(kāi)答案6解析如圖，以DA ，AB，BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O 的半徑為R，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O 的直徑， 所以 |CD|222222 2R，所以R62，故4R3球O的體積V36.1 1，b ln1 1，c ln11，則 a，b， c 的大小關(guān)系為5已知 a ln2 0132 0132 0142 0142 0152 015_答案a>b>c1 1 x 解析 令 f(x) ln x x，則 f (x) x 1 x . 當(dāng) 0<x<1 時(shí)， f (x)>0 ，即函數(shù) f(x)在 (0,1)上是增函數(shù)111 1>2 013>2 014>2 015>0， a>b>c.6若 a>b>c>0，則 log 2 a 1，log 2 b 1 ，log 2c 1 的大小關(guān)系是 _abc答案log 2 a 1 log2b 1<log 2 c 1a<bc解析構(gòu)造函數(shù) f(x) log2(x 1)，問(wèn)題就是函數(shù)f( x)圖象上的三個(gè)點(diǎn) (a