大學(xué)物理：熱學(xué)5-4,5,7

1、一、分子的自由度一、分子的自由度5-4 5-4 能量按自由度均分定律能量按自由度均分定律 理想氣體內(nèi)能理想氣體內(nèi)能自由度：自由度：完全確定一個(gè)物體的空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。完全確定一個(gè)物體的空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。分子自由度確定：分子自由度確定：按分子結(jié)構(gòu)按分子結(jié)構(gòu)1.單原子分子：一個(gè)原子構(gòu)成一個(gè)分子一個(gè)原子構(gòu)成一個(gè)分子3個(gè)平動(dòng)自由度氦、氬等氦、氬等2. 剛性啞鈴型雙原子分子 氫、氧、氮等氫、氧、氮等xOyz),(zyx)O(2 1coscoscos222可用其與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角來(lái)確定，但 ),( 1:首先確定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置需3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)； 2:再確定兩原子連線的方位只需2個(gè)方位角來(lái)確定連

2、線的方向5 5自由度自由度= =3 3平動(dòng)自由度平動(dòng)自由度+ +2 2轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度雙原子分子5 5自由度自由度= =3 3平動(dòng)自由度平動(dòng)自由度+ +2 2轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度+ +1 1振動(dòng)自由度振動(dòng)自由度3. 剛性多原子分子水蒸汽、甲烷等水蒸汽、甲烷等xOyz),(zyxO)(H2 1:確定2個(gè)H原子的位置需5個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)；2:再確定O原子還需要1個(gè)角度6 6自由度自由度= 5+1= 5+1= 3 3 平動(dòng)自由度平動(dòng)自由度+ + 2 2 轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度+ + 1 1 轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 n原子數(shù)目3n3n自由度自由度=6=6自由度自由度+ +(3n-6)(3n-6)振動(dòng)自由度振

3、動(dòng)自由度多原子分子二、能量按自由度均分二、能量按自由度均分椐理想氣體溫度公式，分子平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度關(guān)系為kTvmk2321232222vvvvzyx,2222vvvvzyxkTvmvmvmzyx21212121222由于氣體分子運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)則性，各自由度沒(méi)有哪一個(gè)是由于氣體分子運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)則性，各自由度沒(méi)有哪一個(gè)是特殊的，因此，可以認(rèn)為氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是平特殊的，因此，可以認(rèn)為氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是平均分配在每一個(gè)平動(dòng)自由度上的。均分配在每一個(gè)平動(dòng)自由度上的。在溫度為在溫度為T 的的平衡態(tài)平衡態(tài)下，物質(zhì)（下，物質(zhì)（氣體、液體、固體氣體、液體、固體）分子的每）分子的每一個(gè)自由度都具有相等的

4、平均動(dòng)能，其大小等于一個(gè)自由度都具有相等的平均動(dòng)能，其大小等于 。kT21kTikTsrtk2)(21 對(duì)于有對(duì)于有t個(gè)平動(dòng)自由度，個(gè)平動(dòng)自由度，s個(gè)振動(dòng)自由度和個(gè)振動(dòng)自由度和r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的氣體分子，分子的平均總動(dòng)能為上述三種運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之和：的氣體分子，分子的平均總動(dòng)能為上述三種運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之和： 每個(gè)振動(dòng)自由度上均分有每個(gè)振動(dòng)自由度上均分有 的振動(dòng)勢(shì)能的振動(dòng)勢(shì)能kT21kTsrtkTsk)2(2121三、理想氣體的內(nèi)能三、理想氣體的內(nèi)能內(nèi)能：內(nèi)能：熱力學(xué)系統(tǒng)的全部微觀粒子具有能量總和，熱力學(xué)系統(tǒng)的全部微觀粒子具有能量總和，包括包括大量分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能、分子間的勢(shì)能大量分子熱運(yùn)動(dòng)

5、的動(dòng)能和勢(shì)能、分子間的勢(shì)能。用。用 E 表示表示。將將理想氣體理想氣體看成看成剛性分子剛性分子，不計(jì)分子間勢(shì)能，內(nèi)能僅包括，不計(jì)分子間勢(shì)能，內(nèi)能僅包括所有分子的所有分子的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。之和。分子平均動(dòng)能：分子平均動(dòng)能：kTi2( i ：剛性分子的自由度：剛性分子的自由度)RTiMMkTiNMMEmolAmol22理想氣體內(nèi)能理想氣體內(nèi)能公式表明：公式表明：內(nèi)內(nèi)能僅是溫度的能僅是溫度的單值函數(shù)，與單值函數(shù)，與氣體的壓強(qiáng)、氣體的壓強(qiáng)、體積無(wú)關(guān)。體積無(wú)關(guān)。多原子分子：多原子分子：kT266i雙原子分子：雙原子分子：kT255i單原子分子：?jiǎn)卧臃肿樱簁T233i例例5-65-6水

6、蒸汽分解成筒溫度水蒸汽分解成筒溫度T的氫氣和氧氣，即的氫氣和氧氣，即 2225 . 0OHOH 內(nèi)能增加了多少（）內(nèi)能增加了多少（）?解解22222OHOH 2摩爾水蒸汽的內(nèi)能為摩爾水蒸汽的內(nèi)能為2摩爾氫氣的內(nèi)能為摩爾氫氣的內(nèi)能為1摩爾氧氣的內(nèi)能為摩爾氧氣的內(nèi)能為RTRTE626*20RTRTE525*21RTE252RTEEEE5 . 1021內(nèi)能增加內(nèi)能增加%2565 . 10 RTRTEE一、分子速率的實(shí)驗(yàn)測(cè)定一、分子速率的實(shí)驗(yàn)測(cè)定5-5 5-5 麥克斯韋速率分布率麥克斯韋速率分布率小孔小孔A充分小，充分小，測(cè)測(cè) D上的沉積厚度，就可測(cè)氣體速率分布上的沉積厚度，就可測(cè)氣體速率分布盤盤B

7、B和和C C以給定以給定 轉(zhuǎn)動(dòng)vltlv改變改變 或或 l ，可使不同速度的分子通過(guò)小孔。，可使不同速度的分子通過(guò)小孔。OV相對(duì)粒子數(shù)相對(duì)粒子數(shù)粒子速率粒子速率分布實(shí)驗(yàn)分布實(shí)驗(yàn)曲線曲線二、麥克斯韋速率分布率二、麥克斯韋速率分布率麥克斯韋麥克斯韋熱力學(xué)系統(tǒng)的總分子數(shù)為熱力學(xué)系統(tǒng)的總分子數(shù)為N；dN表示速度在表示速度在vv+dv之間的分子數(shù)；之間的分子數(shù)；f(v)為速率的分布函數(shù)。為速率的分布函數(shù)。NdvdNvf)(f(v)的物理意義：的物理意義： 速率在速率在v附近，單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比附近，單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；對(duì)單個(gè)分子來(lái)說(shuō)，率；對(duì)單個(gè)分子來(lái)說(shuō)， f(v)代

8、表分子的速率在該速率附近單位代表分子的速率在該速率附近單位速率間隔內(nèi)的概率。速率間隔內(nèi)的概率。麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線pv)(vfvO麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)2232224)(vekTmvfkTmv熱力學(xué)溫度熱力學(xué)溫度單個(gè)分子的質(zhì)量單個(gè)分子的質(zhì)量玻爾茲曼常量玻爾茲曼常量Tmk麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線1v2v)(vfvO)(vf面積面積NNvvfdd)( 面積面積NNvvfvv21d)(v vdv速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于分子速率位于 區(qū)間內(nèi)的幾率。區(qū)間內(nèi)的幾率。 ),(21vv)

9、,(21vv速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于于 區(qū)間區(qū)間 內(nèi)的幾率。內(nèi)的幾率。),(vvvd),(vvvdvvnfd )()1(VNnvNNvf,dd)(vvnfd)(VNd表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。vvvd說(shuō)明下式的物理意義：為分子數(shù)密度，為速率分布函數(shù)，)(nvfvvNfd)()2(vNNvfdd)(NdvvNfd )(表示分布在速率區(qū)間表示分布在速率區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。vvvd21d)()3(vvvvfnvvfnvvd )(21VNNNVN表示分布在單

10、位體積內(nèi)，速率區(qū)間表示分布在單位體積內(nèi)，速率區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。21vv VNnNNvvfvv,d )(212121d)(d)()4(vvvvvvfvvvfNNNNvvv21dNvdNvv21表示速率在區(qū)間表示速率在區(qū)間 內(nèi)的分子的平均速率。內(nèi)的分子的平均速率。)，(21vv1. 最概然速率mkTpv2molmolAMRTMRTmNRT41.122三、氣體的三種統(tǒng)計(jì)速率三、氣體的三種統(tǒng)計(jì)速率vf(v)vp分子速率在vp附近出現(xiàn)的幾率最大。0d)(dvvf氣體分子速率的算術(shù)平均值氣體分子速率的算術(shù)平均值NNvvN0dvNNvfdd)(mkTv8mkTv82. 平均速率平均速率0d)(v

11、vvf2232224)(vekTmvfkTmvmolmolMRTMRT60. 18氣體分子速率平方的平均值的平方根。氣體分子速率平方的平均值的平方根。molmolMRTMRTmkTv73.1332NNvvN022d02dv)v( fvmkT33. 方均根速率vNN)v( fdd2232224)(vekTmvfkTmv2v)(vfvpvvO2vvvp三種速率均與三種速率均與 成正比成正比,與與 成反比，三者有一個(gè)確成反比，三者有一個(gè)確定的比例關(guān)系。定的比例關(guān)系。molMT4. 三種速率比較2vvvp)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2pvf)(3pvf3T2T1T321TTT溫度越高

12、，速率溫度越高，速率大的分子數(shù)越多大的分子數(shù)越多同一氣體不同溫度下速率分布比較同一氣體不同溫度下速率分布比較molPMRTv41. 1321mmm)(vfvO3m2m1m同一溫度下不同種氣體速率分布比較同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質(zhì)量越小，速率分子質(zhì)量越小，速率大的分子數(shù)越多。大的分子數(shù)越多。molPMRTv41. 1例題例題6-2 試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于 vp- vp/100 和和 vp+vp/100 之間的分子數(shù)占總分子數(shù)之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分?jǐn)?shù)。的百分?jǐn)?shù)。pppvvvv1009910050100100pppppvvvvvdv 要

13、求的是：速率在要求的是：速率在vv+dv范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例：子數(shù)的比例：dvvfNdN)(解解: : 按題意按題意%66. 1250121009924210099232mkTmkTekTmNdN代入上式，即得：代入上式，即得：將將mkTvvdvvvppp2,50,10099例題例題6-3 求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1.0m3氮?dú)庵兴俾侍幍獨(dú)庵兴俾侍幱谟?00501ms-1之間的分子數(shù)目。之間的分子數(shù)目。解：解：設(shè)設(shè)111,500msdvmsv題目要求的是速率在題目要求的是速率在vv+dv內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù)dN，而，而dvvNfdN)(325235107

14、. 215.2731038. 110013. 1mkTPnkgNMmAmol262331065. 410022. 61028dvvekTmnVdvvNfdNkTvm2223224)(22253100 . 5107 . 21085. 1dN5-5 5-5 分子碰撞和平均自由程分子碰撞和平均自由程一、概論一、概論自由程：分子連續(xù)兩次碰撞之間走過(guò)的路程平均自由程 ：自由程的平均值 平均碰撞頻率 ：一個(gè)分子一秒內(nèi)與其它分子 碰撞的平均次數(shù)。Z關(guān)系：Z v 二、與宏觀量的關(guān)系二、與宏觀量的關(guān)系跟蹤一個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)跟蹤一個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)（2）跟蹤分子以平均相對(duì)速率 運(yùn)動(dòng)，其它分子 靜止不動(dòng)。 u簡(jiǎn)化模型（1）分

15、子為直徑為d 的彈性小球，分子間的碰撞 是彈性碰撞； tudV 22d跟蹤分子沿折線軌跡運(yùn)動(dòng)圓柱體體積：:t tu 以折線為軸線，畫2d半徑的柱體只有中心在該柱體內(nèi)的分子與跟蹤分子發(fā)生了碰撞圓柱體內(nèi)分子數(shù)：圓柱體體積：tudV 2tudnnVN 2v2: u可證可證pdkT22 nd221 ndZv22 Zv nkTp 平均自由程與壓強(qiáng)平均自由程與壓強(qiáng)成反比，當(dāng)壓強(qiáng)很成反比，當(dāng)壓強(qiáng)很小小, , 有可能大于容有可能大于容器線度，即分子很器線度，即分子很少與其它分子碰撞，少與其它分子碰撞，不斷與器壁碰撞，不斷與器壁碰撞，其平均自由程即容其平均自由程即容器的線度。器的線度。 說(shuō)明說(shuō)明smsmMRTvmol/1070.1/10214.327331.88833 解解: :按氣體分子算術(shù)平均速率公式按氣體分子算術(shù)平均速率公式 算得算得molMRTv8按公式按公式 p=nkT 可知單位體積中分