導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用隨堂練習(xí)(含答案)

1、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化1.(文)正三棱柱體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為()A.B. C.D2答案C解析設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，則體積Va2h，h，表面積Sa23aha2，由Sa0，得a，故選C.(理)在內(nèi)接于半徑為R的半圓的矩形中，周長最大的矩形的邊長為()A.和RB.R和RC.R和R D以上都不對答案B解析設(shè)矩形垂直于半圓直徑的邊長為x，則另一邊長為2，則l2x4(0xR)，l2，令l0，解得xR.當(dāng)0xR時，l0；當(dāng)RxR時，l0.所以當(dāng)xR時，l取最大值，即周長最大的矩形的邊長為R，R.2已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx

2、381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A13萬件 B11萬件C9萬件 D7萬件答案C解析yx381x234，yx281(x>0)令y0得x9，令y<0得x>9，令y>0得0<x<9，函數(shù)在(0,9)上單調(diào)遞增，在(9，)上單調(diào)遞減，當(dāng)x9時，函數(shù)取得最大值故選C.點(diǎn)評利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時，令y0得到x的值，此x的值不一定是極大(小)值時，還要判定x值左右兩邊的導(dǎo)數(shù)的符號才能確定3(文)做一個圓柱形鍋爐，容積為V，兩個底面的材料每單位面積的價格為a元，側(cè)面的材料每單位面積的價格為b元，當(dāng)造價最低時，鍋爐的底面直徑與高的比為()A. B. C

3、. D.答案C解析如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為R，高為h，則VR2h.設(shè)造價為y，則y2R2a2Rhb2aR22Rb·2aR2，y4aR.令y0并將VR2h代入解得，.(理)圓柱的表面積為S，當(dāng)圓柱體積最大時，圓柱的底面半徑為()A. B.C. D3·答案C解析設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，S2r22rh，h，又Vr2h，則V，令V0，得S6r2，h2r，r.4某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與產(chǎn)量x的關(guān)系是R則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A100 B150C200 D300答案D解析由題意，總成本為C200001

4、00x.所以總利潤為PRCP令P0，得x300，易知當(dāng)x300時，總利潤最大5(文)內(nèi)接于半徑為R的球并且體積最大的圓錐的高為()AR B2RC.R D.R答案C解析設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2，令V0得hR.(理)要制做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為()A.cm B.cmC.cm D.cm答案D解析設(shè)圓錐的高為x，則底面半徑為，其體積為Vx(400x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x.當(dāng)0x時，V0；當(dāng)x20時，V0，所以當(dāng)x時，V取最大值6(2012

5、3;保定模擬)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(1)1，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)>，則滿足2f(x)<x1的x的集合為()Ax|1<x<1 Bx|x<1Cx|x<1或x>1 Dx|x>1答案B解析令g(x)2f(x)x1，f (x)>，g(x)2f (x)1>0，g(x)為單調(diào)增函數(shù)，f(1)1，g(1)2f(1)110，當(dāng)x<1時，g(x)<0，即2f(x)<x1，故選B.7(文)用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，該長方體的最大體積是_答案3m3解析設(shè)長方體的寬為x，則長為

6、2x，高為3x(0<x<2)，故體積為V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0<x<2，x1.該長方體的長、寬、高各為2m、1m、1.5m時，體積最大，最大體積Vmax3m3.(理)用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么容器的容積最大時，容器的高為_答案1.2m解析設(shè)容器的短邊長為xm，則另一邊長為(x0.5)m，高為3.22x.由3.22x>0和x>0，得0<x<1.6，設(shè)容器的容積為ym3，則有yx(x0.5)(3.22x)(0<x<1.6)，整理

7、得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合題意，舍去)，高3.221.2，容積V1×1.5×1.21.8.8(文)(2011·北京模擬)若函數(shù)f(x)lnxax22x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1，)分析函數(shù)f(x)存在單調(diào)減區(qū)間，就是不等式f (x)<0有實(shí)數(shù)解，考慮到函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，所以本題就是求f (x)<0在(0，)上有實(shí)數(shù)解時a的取值范圍解析解法1：f (x)ax2，由題意知f (x)<0有實(shí)數(shù)解，x>0，ax22x

8、1>0有實(shí)數(shù)解當(dāng)a0時，顯然滿足；當(dāng)a<0時，只要44a>0，1<a<0，綜上知a>1.解法2：f (x)ax2，由題意可知f (x)<0在(0，)內(nèi)有實(shí)數(shù)解即1ax22x<0在(0，)內(nèi)有實(shí)數(shù)解即a>在(0，)內(nèi)有實(shí)數(shù)解x(0，)時，(1)211，a>1.(理)(20112012·黃岡市期末)對于三次函數(shù)yax3bx2cxd(a0)，給出定義：設(shè)f (x)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)，f (x)是f (x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f(x)0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0)為函數(shù)yf(x)的“拐點(diǎn)”某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)

9、都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心若f(x)x3x23x，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：(1)函數(shù)f(x)x3x23x的對稱中心為_；(2)計算f()f()f()f()f()_.答案(1)(，1)(2)2013解析(1)f (x)x2x3，f(x)2x1，由2x10得x，f()×()3×()23×1，由拐點(diǎn)的定義知f(x)的拐點(diǎn)即對稱中心為(，1)(2)f()f(1)f()f()2(k1，2，1007)，f()f()f()f()f()f()f()f()f()f()2×100612013.9有一個容積V一定的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，

10、已知單位面積鋁合金的價格是鐵的3倍，問如何設(shè)計使總造價最??？分析桶的總造價要根據(jù)鐵與鋁合金的用量來定，由于二者單位面積的價格不同，在保持鐵桶容積不變的前提下，使總造價最小問題轉(zhuǎn)化為V一定求總造價y的最小值，選取恰當(dāng)變量(圓柱高h(yuǎn)或底半徑r)來表示y即變?yōu)楹瘮?shù)極值問題解析設(shè)圓柱體高為h，底面半徑為r，又設(shè)單位面積鐵的造價為m，桶總造價為y，則y3mr2m(r22rh)由于Vr2h，得h，所以y4mr2(r>0)所以，y8mr.令y0，得r，此時，h4.該函數(shù)在(0，)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，且只有一個使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，問題中總造價的最小值顯然存在，當(dāng)r時，y有最小值，即hr4時，總造價最小10(文

11、)已知球的直徑為d，求當(dāng)其內(nèi)接正四棱柱體積最大時，正四棱柱的高為多少？解析如右圖所示，設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，高為h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球內(nèi)接正四棱柱的體積為Vx2·h(d2hh3)，0<h<d.V(d23h2)0，hd.在(0，d)上，函數(shù)變化情況如下表：hdV0V極大值由上表知體積最大時，球內(nèi)接正四棱柱的高為d.(理)如右圖所示，扇形AOB中，半徑OA1，AOB，在OA的延長線上有一動點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD與相切于點(diǎn)E，且與過點(diǎn)B所作的OB的垂線交于點(diǎn)D，問當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時，直角梯形OCDB的面積最小分析要求直角梯形OCDB的面積的最小值，需先求出

12、梯形面積，可設(shè)OCx，進(jìn)而用x表示BD，然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值解析如上圖所示，過D作DFOA于F，可知OECDFC，所以O(shè)CCD，設(shè)OCx(x1)，在RtCDF中，CD2CF2DF2，即x2(xBD)21，所以BDx，所以梯形的面積為S(BDOC)·OB(2x)，S(2)令S0，解得x1，x2(舍去)當(dāng)x時，S0；當(dāng)1x時，S0.所以當(dāng)x時，S取最小值即當(dāng)OC時，直角梯形OCDB的面積最小.能力拓展提升11.已知非零向量a、b滿足：|a|2|b|，若函數(shù)f(x)x3|a|x2a·bx在R上有極值，設(shè)向量a、b的夾角為，則cos的取值范圍為()A. B.C. D.答案D解

13、析函數(shù)f(x)在R上有極值，f (x)x2|a|xa·b0有兩不等實(shí)根，|a|24|a|·|b|cos4|b|28|b|2cos>0，cos<，選D.點(diǎn)評若f(x)為三次函數(shù)，f(x)在R上有極值，則f (x)0應(yīng)有二不等實(shí)根，當(dāng)f(x)有兩相等實(shí)根時，不能保證f(x)有極值，這一點(diǎn)要特別注意，如f(x)x3，f (x)x20有實(shí)根x0，但f(x)在R上單調(diào)增，無極值即導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)有極值的必要不充分條件12如圖，過函數(shù)yxsinxcosx圖象上點(diǎn)(x，y)的切線的斜率為k，若kg(x)，則函數(shù)kg(x)的圖象大致為()答案A解析ysinxxcosxsinxxc

14、osx，kg(x)xcosx，易知其圖象為A.13函數(shù)f(x)2x3x2x1的圖象與x軸交點(diǎn)個數(shù)為_個答案1解析f (x)6x2x1(3x1)(2x1)，當(dāng)x<時，f (x)>0，當(dāng)<x<時，f (x)<0，當(dāng)x>時，f (x)>0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，當(dāng)x時，f(x)取到極大值，當(dāng)x時，f(x)取到極小值，故f(x)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)14將邊長為1m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s，則s的最小值是_答案解析設(shè)DEx，則梯形的周長為：3x，梯形的面積為：(x1)

15、·(1x)(1x2)，s·，x(0,1)，設(shè)h(x)，h(x).令h(x)0，得：x或x3(舍)，h(x)最小值h8，s最小值×8.15(文)甲乙兩地相距400km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100km/h，已知該汽車每小時的運(yùn)輸成本P(元)關(guān)于速度v(km/h)的函數(shù)關(guān)系是Pv4v315v.(1)求全程運(yùn)輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；(2)為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求此時運(yùn)輸成本的最小值解析(1)汽車從甲地到乙地需用h，故全程運(yùn)輸成本為Q6000(0<v100)(2)Q5v，令Q0得，v80，當(dāng)v80km/h時，全程

16、運(yùn)輸成本取得最小值，最小值為元(理)(2011·江蘇)請你設(shè)計一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AEFBx(cm)(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值解析設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)，由已知得ax，h(30x)，0<x

17、<30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21800，所以當(dāng)x15時，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍)或x20.當(dāng)x(0,20)時，V>0；當(dāng)x(20,30)時，V<0.所以當(dāng)x20時，V取得極大值，也是最大值此時.即包裝盒的高與底面邊長的比值為.16(文)用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為2m2的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器的高為hm，蓋子邊長為am.(1)求a關(guān)于h的函數(shù)解析式；(2)設(shè)容器的容積為Vm3，則當(dāng)h為何值時，V最大？求出V的最大值(容器的厚度忽略不計)解析(1)如右圖，作PO平面ABCD，O為垂

18、足，作OEBC于E，連結(jié)PE，則PEBC，正四棱錐的全面積為24××a×a2.所以a(h>0)(2)Va2h·(h>0)，V·.所以當(dāng)0<h<1時，V>0.所以V(h)在(0,1上為增函數(shù)當(dāng)h>1時，V<0，所以V(h)在1，)上為減函數(shù)故h1為函數(shù)V(h)的唯一極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，Vmax.答：當(dāng)高h(yuǎn)1m時，容積取最大值m3.(理)如圖，有一矩形鋼板ABCD缺損了一角(如圖所示)，邊緣線OM上每一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離都等于它到邊AB的距離工人師傅要將缺損的一角切割下來使剩余部分成一個五邊形，若AB1m，A

19、D0.5m，問如何畫切割線EF可使剩余部分五邊形ABCEF的面積最大？解析由題知，邊緣線OM是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)，直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的一部分以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則D(0，)，M(，)所以邊緣線OM所在拋物線的方程為yx2(0x)要使如圖的五邊形ABCEF面積最大，則必有EF所在直線與拋物線相切，設(shè)切點(diǎn)為P(t，t2)則直線EF的方程為y2t(xt)t2，即y2txt2，由此可求得點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為E(，)，F(xiàn)(0，t2)所以SDEFS(t)··(t2)·，t(0，所以S(t)·，顯然函數(shù)S(t)在(0，上是減函數(shù)，在(，上是增

20、函數(shù)所以當(dāng)t時，SDEF取得最小值，相應(yīng)地，五邊形ABCEF的面積最大此時點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為E(，)，F(xiàn)(0，)此時沿直線EF劃線可使五邊形ABCEF的面積最大1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A無極大值點(diǎn)、有四個極小值點(diǎn)B有三個極大值點(diǎn)、兩個極小值點(diǎn)C有兩個極大值點(diǎn)、兩個極小值點(diǎn)D有四個極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)答案C解析設(shè)f (x)與x軸的4個交點(diǎn)，從左至右依次為x1、x2、x3、x4，當(dāng)x<x1時，f (x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x1<x<x2時，f (x)<0，f(x)為減函數(shù)，則xx1為極大值點(diǎn)，同理，xx3為

21、極大值點(diǎn)，xx2，xx4為極小值點(diǎn)2函數(shù)f(x)excosx的圖象在點(diǎn)(0，f(0)處的切線的傾斜角的余弦值為()A B.C. D1答案C解析f (x)excosxexsinx，f (0)1.設(shè)f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處切線的傾斜角為，則tan1，(0，)，cos.3設(shè)函數(shù)f(x)x3x2tan，其中，則導(dǎo)數(shù)f (1)的取值范圍為()A2,2 B，C，2 D，2答案D解析f (x)sin·x2cos·x，f (1)sincos2sin.，.sin，f (1)，2，故選D.4某工廠要圍建一個面積為128m2的矩形堆料場，一邊可以用原有的墻壁，其他三邊要砌新的墻壁，要使砌墻所

22、用的材料最省，堆料場的長、寬應(yīng)分別為_答案16m8m解析設(shè)場地寬為xm，則長為m，因此新墻總長度為y2x(x0)，y2，令y0，x>0，x8.因?yàn)楫?dāng)0x8時，y0；當(dāng)x8時，y0，所以當(dāng)x8時，y取最小值，此時寬為8m，長為16m.即當(dāng)堆料場的長為16m，寬為8m時，可使砌墻所用材料最省5(2011·陜西文)設(shè)f(x)lnx，g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g()的大小關(guān)系；(3)求a的取值范圍，使得g(a)g(x)<對任意x>0成立解析f(x)lnx，f (x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，當(dāng)x(

23、0,1)時，g(x)<0，(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x(1，)時，g(x)>0.(1，)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間，因此當(dāng)x1時g(x)取極小值，且x1是唯一極值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)所以g(x)最小值為g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，則h(x)，當(dāng)x1時，h(1)0，即g(x)g()，當(dāng)x(0,1)(1，)時h(x)<0，h(1)0，所以h(x)在(0，)單調(diào)遞減，當(dāng)x(0,1)時，h(x)>h(1)0，即g(x)>g()，當(dāng)x(1，)時，h(x)<h(1)0，即g(x)<g()，綜上知，當(dāng)x(0,1)時，g(x

24、)>g()；當(dāng)x1時，g(x)g()；當(dāng)x(1，)時，g(x)<g()(3)由(1)可知g(x)最小值為1，所以g(a)g(x)<對任意x>0成立等價于g(a)1<，即lna<1，解得0<a<e.所以a的取值范圍是(0，e)6學(xué)習(xí)曲線是1936年美國康乃爾大學(xué)T.P.Wright博士在飛機(jī)制造過程中，通過對大量有關(guān)資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現(xiàn)并提出來的已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的學(xué)習(xí)曲線為：f(t)·100%(其中f(t)為該任務(wù)的程度，t為學(xué)習(xí)時間)，且這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)滿足f(2)60%.(1)求f(t)的表達(dá)式，計算f(0)

25、并說明f(0)的含義；(2)已知2x>xln2對任意x>0恒成立，現(xiàn)定義為該類學(xué)習(xí)任務(wù)在t時刻的學(xué)習(xí)效率指數(shù)，研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)時間t(1,2)時，學(xué)習(xí)效率最佳，當(dāng)學(xué)習(xí)效率最佳時，求學(xué)習(xí)效率指數(shù)相應(yīng)的取值范圍解析(1)f(t)·100%(t為學(xué)習(xí)時間)，且f(2)60%，則·100%60%，解得a4.f(t)·100%·100%(t0)，f(0)·100%37.5%，f(0)表示某項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)在開始學(xué)習(xí)時已掌握的程度為37.5%.(2)令學(xué)習(xí)效率指數(shù)y，則y(t>0)，現(xiàn)研究函數(shù)g(t)t的單調(diào)性，由于g(t)1(t>0)，又已知2x>xln2對任意x>0恒成立，即2ttln2>0，則g(t)>0恒成立，g(t)在(0，)上為增函數(shù)，且g(t)為正數(shù)y(t>0)在(0，)上為減函數(shù)，而y|t1，y|t2，即y(，)，故所求學(xué)習(xí)效率指數(shù)的取值范圍是(，)7(2012·延邊州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x2axlnx，aR.(1)當(dāng)a1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(