數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義選修2-1蘇教版：第3章空間向量與立體幾何3.2.1-3.2.2含答案

1、§3.2空間向量的應(yīng)用直線的方向向量與平面的法向量空間線面關(guān)系的判定(一 ) 平行關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間點(diǎn)、線、面的向量表示.2.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會用待定系數(shù)法求平面的法向量.3.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、 平面與平面的平行問題知識點(diǎn)一直線的方向向量與平面的法向量思考怎樣用向量來表示點(diǎn)、直線、平面在空間中的位置？答案(1)點(diǎn)：在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O 作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P 的位置就可以用向量 OP來表示我們把向量OP稱為點(diǎn) P 的位置向量(2) 直線：直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量對于直線l 上的任一點(diǎn)P，在直線上取 A

2、B a，則存在實(shí)數(shù)t，使得 APtAB .(3) 平面：空間中平面 的位置可以由 內(nèi)兩條相交直線來確定 對于平面 上的任一點(diǎn) P，a， b 是平面 內(nèi)兩個不共線向量，則存在有序?qū)崝?shù)對(x， y)，使得 OP xayb.空間中平面的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示梳理(1)用向量表示直線的位置：直線 l 上一點(diǎn) A條件表示直線 l 方向的向量 a(即直線的方向向量 )t，使在直線 l 上取 AB a，那么對于直線 l 上任意一點(diǎn) P，一定存在實(shí)數(shù)形式得 AP tAB定位置點(diǎn) A 和向量 a 可以確定直線的位置作用可以具體表示出 l 上的任意一點(diǎn)定點(diǎn)(2) 用向量表示平面的位置：通過平面

3、 上的一個定點(diǎn) O 和兩個向量 a 和 b 來確定：條件平面 內(nèi)兩條相交直線的方向向量a， b 和交點(diǎn) O形式對于平面 上任意一點(diǎn) P，存在有序?qū)崝?shù)對( x，y)使得 OP xa yb通過平面上的一個定點(diǎn)A 和法向量來確定：平面的法向量確定平面位置直線 l ，直線過點(diǎn) A，以向量l 的方向向量叫做平面的法向量a 為法向量的平面是完全確定的(3) 直線的方向向量和平面的法向量：能平移到直線上的非零向量a，叫做直線直線的方向向量l 的一個方向向量直線 l ，取直線 l 的方向向量n，n 叫做平面的法向量平面 的法向量知識點(diǎn)二利用空間向量處理平行問題思考(1)設(shè) v1 (a1， b1，c1)，v2

4、(a2，b2，c2 )分別是直線l 1， l2 的方向向量若直線l1l 2，則向量v1， v2 應(yīng)滿足什么關(guān)系(2) 若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？(3) 用向量法處理空間中兩平面平行的關(guān)鍵是什么？答案(1)由直線方向向量的定義知若直線l 1 l2，則直線l 1， l2 的方向向量共線，即l1 l2? v1v2? v1 v2(R )(2) 可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進(jìn)而確定線面是否平行(3) 關(guān)鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平面平行梳理 (1)空間中平行關(guān)系的向量表示：設(shè)直線 l， m 的方向向量分別

5、為 a， b，平面 ， 的法向量分別為 ， v，則線線平行l(wèi) m? a b? a kb(k R)線面平行l(wèi) ? a? a· 0面面平行 ? v? kv(k R)(2) 利用空間向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、 平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二，通過向量的運(yùn)算，研究平行問題；第三，把向量問題再轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的立體幾何問題，從而得出結(jié)論1 若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反()2平面 的法向量是唯一的，即一個平面不可能存在兩個不同的法向量(× )3兩直線的方向向量平行，則兩直線平行(× )4直

6、線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時，直線與平面垂直()類型一求直線的方向向量、平面的法向量例 1如圖，四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA平面 ABCD ，E 為 PD 的中點(diǎn)ABAP 1， AD3，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE 的一個法向量解因?yàn)?PA平面 ABCD ，底面 ABCD 為矩形，所以 AB， AD ， AP 兩兩垂直如圖，以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB， AD， AP的方向?yàn)閤 軸， y 軸， z 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz，則 D(0，3， 0)， E 0，3，1， B(1,0,0) ， C(1，3，0) ，223 1于是 AE

7、 0， 2 ，2， AC (1， 3， 0)設(shè) n (x， y， z)為平面 ACE 的法向量，x3y 0，n·AC 0，則即31 0，y z 0，22n·AEx3y，令 y 1，則 x z 3.所以z3y，所以平面 ACE 的一個法向量為 n ( 3， 1， 3)引申探究若本例條件不變，試求直線PC 的一個方向向量和平面PCD 的一個法向量解 由例 1 解析圖可知，P(0,0,1) ，C(1，3， 0)，3， 1)，所以 PC (1，即為直線 PC 的一個方向向量設(shè)平面 PCD 的法向量為n (x， y， z)因?yàn)?D (0，3， 0)，所以 PD(0，3， 1)x 3y

8、 z 0，n·PC 0，由即3y z 0，n·PD 0，x 0，令 y1，則 z 3.所以z3y，所以平面PCD 的一個法向量為 n (0,1， 3)反思與感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1) 設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為 n (x，y， z) (2) 選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量AB， AC.(3) 列方程組：由n·AB 0，列出方程組n·AC 0，n·AB 0，(4) 解方程組：n·AC0.(5) 賦非零值：取其中一個為非零值(常取 ±1)(6) 得結(jié)論：得到平面的一個法向量跟蹤訓(xùn)練 1 如圖所示，在四棱錐S A

9、BCD 中，底面是直角梯形，ABC 90°，SA底面1，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面 SCD 與平面 SBAABCD ，且 SA AB BC 1，AD 2的一個法向量解如圖，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AD ， AB， AS分別為 x， y， z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz，1則 A(0,0,0)， D 2， 0，0 ，C(1,1,0) ， S(0,0,1) ，1則 DC 2，1，0 ，1DS 2， 0， 1 . 1易知向量 AD 2， 0， 0 是平面 SAB 的一個法向量設(shè) n (x， y， z)為平面 SDC 的法向量，11n·DC 2x y 0，y 2

10、x，則1即1n·DS 2x z 0，z 2x.取 x 2，則 y 1，z1，平面 SDC 的一個法向量為(2， 1,1)類型二證明線線平行問題例 2已知直線l 1 與 l2 的方向向量分別是a (2,3， 1)， b ( 6， 9,3)證明： l1 l 2.證明a (2,3， 1)， b ( 6， 9,3)，1a 3b，ab，即 l1l 2.反思與感悟兩直線的方向向量共線時，兩直線平行；否則兩直線相交或異面跟蹤訓(xùn)練 2已知在四面體 ABCD 中， G， H 分別是 ABC 和 ACD 的重心，則 GH 與 BD的位置關(guān)系是 _答案平行 22解析設(shè) E， F 分別為 BC 和 CD 的

11、中點(diǎn)，則 GH GA AH 3(EAAF ) 3EF，所以 GHEF ，所以 GH BD.類型三利用空間向量證明線面、面面平行問題例 3已知正方體ABCD-A 1B1C1D1 的棱長為 2，E， F 分別是 BB1， DD1 的中點(diǎn)，求證：(1) FC1平面 ADE；(2) 平面 ADE 平面 B1C1F .證明(1)以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC ， DD 1的方向?yàn)閤 軸， y 軸， z 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz，則有 D(0,0,0) ，A(2，0,0)，C(0,2,0) ，C1(0,2,2) ，E(2，2,1)，F(xiàn)(0,0,1) ， B1(2,2,2) ，所以

12、 FC1 (0,2,1) ，DA (2,0,0)， AE (0,2,1)設(shè) n1 (x1， y1，z1)是平面 ADE 的法向量，則 n1 DA， n1 AE，x1 0，n1·DA 2x1 0，即 2y1 z1 0，得1z1 2y1，n ·AE令 z1 2，則 y1 1，所以 n1 (0， 1,2)因?yàn)?FC 1 ·1 2 2 0，所以 FC 1 n1.n又因?yàn)?FC1?平面 ADE ，所以 FC 1平面 ADE.因?yàn)? 1(2)1 1 (2,0,0) ，設(shè) n2 (x2，y2 ，z2 是平面F的一個法向量 由 2 FC 1，n2 C11，C B)B CnBx2

13、0，n2·FC1 2y2 z2 0，得得z2 2y2.n2·C1B1 2x2 0，令 z2 2，得 y2 1，所以 n2 (0， 1,2)，因?yàn)?n1 n2，所以平面ADE平面 B1C1F.反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐P ABCD 中， PA平面 ABCD ， PB 與底面所成的角為45°，1底面 ABCD 為直角梯形， ABC BAD 90°，PABC AD 1，問在棱 PD 上是否存在2一點(diǎn) E，使 CE平面 PAB？若存在，求出

14、E 點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由解以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以AB，AD ， AP 所在直線為x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz，如圖所示P(0,0,1) ， C(1,1,0) ，D (0,2,0) ，設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)E(0， y， z)，則PE (0， y， z 1)，PD (0,2， 1)，PEPD ，y× (1) 2(z 1) 0，AD (0,2,0) 是平面 PAB 的法向量，又CE ( 1， y 1，z)，CE平面 PAB，CE AD，(1， y 1， z) ·(0,2,0) 0.1y 1，代入得z 2，E 是 PD 的中點(diǎn)，存在點(diǎn) E，當(dāng)點(diǎn)

15、 E 為 PD 中點(diǎn)時， CE平面 PAB.1若點(diǎn) A( 1,0,1) ，B(1,4,7)在直線 l 上，則直線 l 的一個方向向量的坐標(biāo)可以是_(填序號 ) ( 1,0,1) ； (1,4,7) ； (2,4,6) 答案 解析可以作為直線l 的一個方向向量顯然 AB (2,4,6)2已知 a (2,4,5) ，b (3，x，y) 分別是直線 l 1， l 2 的方向向量若l 1 l2，則 x _，y_.答案1562解析由 l1l2 得，245，解得 x 6， y 15.3xy23已知向量n (2， 3,1)是平面 的一個法向量，則下列向量中能作為平面的法向量的是_ (填序號 ) n1 (0，

16、 3,1)； n2 ( 2,0,4)； n3 ( 2， 3,1)； n4 ( 2,3， 1)答案 解析由題可知只有可以作為 的法向量4已知向量 n ( 1,3,1)為平面 的法向量，點(diǎn)M(0,1,1) 為平面內(nèi)一定點(diǎn)P(x， y， z)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則 x， y，z 滿足的關(guān)系式是 _答案x 3y z 4 0解析由題可知 MP ( x，y 1， z 1)又因?yàn)?n·MP 0，故 x 3(y 1) (z 1) 0，化簡，得 x 3y z 4 0.5若直線 l ，且 l 的方向向量為 (2，m,1)，平面 的法向量為1，1， 2，則 m 為 _2答案 8l，平面 的法向量為1解析1，2

17、， 2 ，1(2，m,1) ·1， 2， 2 0，122m2 0，m 8.1 應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法：(1) 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直(2) 證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線(3) 證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任意兩個不共線的向量表示即用平面向量基本定理證明線面平行2證明面面平行的方法：設(shè)平面 的法向量為n1 (a1， b1， c1)，平面 的法向量為n2 (a2，b2， c2)，則 ? n1n2? ( a1， b1，c1) k(a2， b2， c2)(k R)一、填空題1已知 l 1 的方向向量為v 1 (1,2,3) ，l2 的方向向量為

18、v2 (，4,6)，若 l 1 l 2，則 _.答案2解析l1l2 ，v1 v2，則 12， 2.42已知 a ( 1,0,2) ， b (6,2 1,2)，若 a b，則 的值為 _答案12解析1因?yàn)?ab，故 2 1 0，即 .23直線 l 的方向向量s ( 1,1,1)，平面 的一個法向量為n (2， x2 x， x)，若直線 l，則 x 的值為 _答案± 2解析易知 1× 21× (x2 x) 1× ( x) 0，解得 x ± 2.4設(shè)平面的法向量為 (1,2， 2)，平面 的法向量為 (2， 4，k)，若 ，則 k 的值為_答案 4解

19、析因?yàn)?，所以平面與平面 的法向量共線，所以 ( 2， 4， k) (1,2， 2)， 2 ， 2，所以 4 2，解得k 4.k 2，所以 k 的值是 4.5已知平面內(nèi)兩向量a (1,1,1) ，b (0,2， 1) 且 c ma nb (4， 4,1)若 c 為平面 的法向量，則m，n 的值分別為 _答案 1,2解析c ma nb (4， 4,1) (m， m， m) (0,2n， n) (4， 4,1) (m 4， m 2n4，m n1)，c·a 0，m 1，由 c 為平面 的法向量，得得c·b 0，n 2.6已知 A(4,1,3) ，B(2,3,1) ，C(3,7，5

20、) ，點(diǎn) P(x， 1,3)在平面 ABC 內(nèi)，則 x 的值為 _答案11解析點(diǎn) P 在平面 ABC 內(nèi)，存在實(shí)數(shù) k1， k2，使AP k1AB k2 ，AC即( x4， 2,0) k1( 2,2， 2) k2( 1,6， 8)，2k1 6k2 2，k1 4，解得k1 4k20，k2 1.x 4 2k1 k2 81 7，即 x 11.7已知 l ，且 l 的方向向量為m (2， 8,1)，平面 的法向量為n (1，y,2)，則 y _.答案12解析l，l 的方向向量m (2， 8,1)與平面的法向量n (1， y,2)垂直， 2× 1 8× y 2 0，1y2.8若平面

21、的一個法向量為u1 ( 3，y,2) ，平面 的一個法向量為u2 (6， 2，z)，且 ，則 yz_.答案 3 3y 2解析，u1u2， 6 z. 2y 1， z 4.y z 3.9已知平面與平面 平行，若平面與平面 的法向量分別為 (5,25,5) ， v (t,5,1)，則 t 的值為 _答案 1解析平面 與平面 平行，平面 的法向量 與平面 的法向量 v 平行，5255，解得 t 1.t5110已知平面 內(nèi)的三點(diǎn) A(0,0,1) ，B(0,1,0) ，C(1,0,0) ，平面 的一個法向量為n ( 1，1， 1)，且 與 不重合，則 與 的位置關(guān)系是 _答案 解析AB， 1)， (0,

22、1， 1)， AC (1,0n·AB ( 1， 1， 1) (0,1·， 1) 1× 0 ( 1)×1 ( 1)× ( 1) 0，n·AC ( 1， 1， 1) ·(1,0， 1) 1× 10 ( 1) (·1) 0，nAB， n AC.n 也為 的一個法向量又與 不重合， .11若平面 的一個法向量為u1 (m,2， 4)，平面 的一個法向量為u2 (6， 4， n)，且 ，則 m n_.答案5解析m2 4，u1u2. n6 4m 3， n 8.m n 5.二、解答題12如圖，在正方體ABCD A1B1

23、C1D1 中，求證：AC1 是平面 B1D1C 的法向量證明如圖，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA ，DC，DD 1 分別為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長為1，則 D 1(0,0,1) ， A(1,0,0) ， C(0,1,0) ，B1(1,1,1) ， C1(0,1,1) (1,0,1)，所以 AC1( 1,1,1)， D1 B1 (1,1,0)， CB1 所以 AC1 ·D1B1 ( 1,1,1) (1,1,0)· 0， AC1 ·CB1 ( 1,1,1) (1,0,1)· 0，所以 AC1 D 1B1， AC1 CB1，又 B1D 1CB1 B1，且 B1D1， CB1? 平面 B1D1C，所以 AC1平面 B1D1C， AC1 是平面 B1D1 C 的法向量13已知 A 0， 2，19，B 1， 1，5，C 2， 1，5是平面 內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面 的法向888量 a (x， y， z)，求 x y