數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義選修2-1蘇教版：第3章空間向量與立體幾何3.2.1-3.2.2含答案

1、§3.2空間向量的應(yīng)用直線的方向向量與平面的法向量空間線面關(guān)系的判定(一 ) 平行關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間點、線、面的向量表示.2.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會用待定系數(shù)法求平面的法向量.3.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、 平面與平面的平行問題知識點一直線的方向向量與平面的法向量思考怎樣用向量來表示點、直線、平面在空間中的位置？答案(1)點：在空間中，我們?nèi)∫欢cO 作為基點，那么空間中任意一點P 的位置就可以用向量 OP來表示我們把向量OP稱為點 P 的位置向量(2) 直線：直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量對于直線l 上的任一點P，在直線上取 A

2、B a，則存在實數(shù)t，使得 APtAB .(3) 平面：空間中平面 的位置可以由 內(nèi)兩條相交直線來確定 對于平面 上的任一點 P，a， b 是平面 內(nèi)兩個不共線向量，則存在有序?qū)崝?shù)對(x， y)，使得 OP xayb.空間中平面的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示梳理(1)用向量表示直線的位置：直線 l 上一點 A條件表示直線 l 方向的向量 a(即直線的方向向量 )t，使在直線 l 上取 AB a，那么對于直線 l 上任意一點 P，一定存在實數(shù)形式得 AP tAB定位置點 A 和向量 a 可以確定直線的位置作用可以具體表示出 l 上的任意一點定點(2) 用向量表示平面的位置：通過平面

3、 上的一個定點 O 和兩個向量 a 和 b 來確定：條件平面 內(nèi)兩條相交直線的方向向量a， b 和交點 O形式對于平面 上任意一點 P，存在有序?qū)崝?shù)對( x，y)使得 OP xa yb通過平面上的一個定點A 和法向量來確定：平面的法向量確定平面位置直線 l ，直線過點 A，以向量l 的方向向量叫做平面的法向量a 為法向量的平面是完全確定的(3) 直線的方向向量和平面的法向量：能平移到直線上的非零向量a，叫做直線直線的方向向量l 的一個方向向量直線 l ，取直線 l 的方向向量n，n 叫做平面的法向量平面 的法向量知識點二利用空間向量處理平行問題思考(1)設(shè) v1 (a1， b1，c1)，v2

4、(a2，b2，c2 )分別是直線l 1， l2 的方向向量若直線l1l 2，則向量v1， v2 應(yīng)滿足什么關(guān)系(2) 若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？(3) 用向量法處理空間中兩平面平行的關(guān)鍵是什么？答案(1)由直線方向向量的定義知若直線l 1 l2，則直線l 1， l2 的方向向量共線，即l1 l2? v1v2? v1 v2(R )(2) 可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進而確定線面是否平行(3) 關(guān)鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平面平行梳理 (1)空間中平行關(guān)系的向量表示：設(shè)直線 l， m 的方向向量分別

5、為 a， b，平面 ， 的法向量分別為 ， v，則線線平行l(wèi) m? a b? a kb(k R)線面平行l(wèi) ? a? a· 0面面平行 ? v? kv(k R)(2) 利用空間向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、 平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二，通過向量的運算，研究平行問題；第三，把向量問題再轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的立體幾何問題，從而得出結(jié)論1 若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反()2平面 的法向量是唯一的，即一個平面不可能存在兩個不同的法向量(× )3兩直線的方向向量平行，則兩直線平行(× )4直

6、線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時，直線與平面垂直()類型一求直線的方向向量、平面的法向量例 1如圖，四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA平面 ABCD ，E 為 PD 的中點ABAP 1， AD3，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE 的一個法向量解因為 PA平面 ABCD ，底面 ABCD 為矩形，所以 AB， AD ， AP 兩兩垂直如圖，以A 為坐標(biāo)原點，AB， AD， AP的方向為x 軸， y 軸， z 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz，則 D(0，3， 0)， E 0，3，1， B(1,0,0) ， C(1，3，0) ，223 1于是 AE

7、 0， 2 ，2， AC (1， 3， 0)設(shè) n (x， y， z)為平面 ACE 的法向量，x3y 0，n·AC 0，則即31 0，y z 0，22n·AEx3y，令 y 1，則 x z 3.所以z3y，所以平面 ACE 的一個法向量為 n ( 3， 1， 3)引申探究若本例條件不變，試求直線PC 的一個方向向量和平面PCD 的一個法向量解 由例 1 解析圖可知，P(0,0,1) ，C(1，3， 0)，3， 1)，所以 PC (1，即為直線 PC 的一個方向向量設(shè)平面 PCD 的法向量為n (x， y， z)因為 D (0，3， 0)，所以 PD(0，3， 1)x 3y

8、 z 0，n·PC 0，由即3y z 0，n·PD 0，x 0，令 y1，則 z 3.所以z3y，所以平面PCD 的一個法向量為 n (0,1， 3)反思與感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1) 設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為 n (x，y， z) (2) 選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量AB， AC.(3) 列方程組：由n·AB 0，列出方程組n·AC 0，n·AB 0，(4) 解方程組：n·AC0.(5) 賦非零值：取其中一個為非零值(常取 ±1)(6) 得結(jié)論：得到平面的一個法向量跟蹤訓(xùn)練 1 如圖所示，在四棱錐S A

9、BCD 中，底面是直角梯形，ABC 90°，SA底面1，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面 SCD 與平面 SBAABCD ，且 SA AB BC 1，AD 2的一個法向量解如圖，以 A 為坐標(biāo)原點，以 AD ， AB， AS分別為 x， y， z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz，1則 A(0,0,0)， D 2， 0，0 ，C(1,1,0) ， S(0,0,1) ，1則 DC 2，1，0 ，1DS 2， 0， 1 . 1易知向量 AD 2， 0， 0 是平面 SAB 的一個法向量設(shè) n (x， y， z)為平面 SDC 的法向量，11n·DC 2x y 0，y 2

10、x，則1即1n·DS 2x z 0，z 2x.取 x 2，則 y 1，z1，平面 SDC 的一個法向量為(2， 1,1)類型二證明線線平行問題例 2已知直線l 1 與 l2 的方向向量分別是a (2,3， 1)， b ( 6， 9,3)證明： l1 l 2.證明a (2,3， 1)， b ( 6， 9,3)，1a 3b，ab，即 l1l 2.反思與感悟兩直線的方向向量共線時，兩直線平行；否則兩直線相交或異面跟蹤訓(xùn)練 2已知在四面體 ABCD 中， G， H 分別是 ABC 和 ACD 的重心，則 GH 與 BD的位置關(guān)系是 _答案平行 22解析設(shè) E， F 分別為 BC 和 CD 的

11、中點，則 GH GA AH 3(EAAF ) 3EF，所以 GHEF ，所以 GH BD.類型三利用空間向量證明線面、面面平行問題例 3已知正方體ABCD-A 1B1C1D1 的棱長為 2，E， F 分別是 BB1， DD1 的中點，求證：(1) FC1平面 ADE；(2) 平面 ADE 平面 B1C1F .證明(1)以 D 為坐標(biāo)原點，以DA，DC ， DD 1的方向為x 軸， y 軸， z 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz，則有 D(0,0,0) ，A(2，0,0)，C(0,2,0) ，C1(0,2,2) ，E(2，2,1)，F(xiàn)(0,0,1) ， B1(2,2,2) ，所以

12、 FC1 (0,2,1) ，DA (2,0,0)， AE (0,2,1)設(shè) n1 (x1， y1，z1)是平面 ADE 的法向量，則 n1 DA， n1 AE，x1 0，n1·DA 2x1 0，即 2y1 z1 0，得1z1 2y1，n ·AE令 z1 2，則 y1 1，所以 n1 (0， 1,2)因為 FC 1 ·1 2 2 0，所以 FC 1 n1.n又因為 FC1?平面 ADE ，所以 FC 1平面 ADE.因為1 1(2)1 1 (2,0,0) ，設(shè) n2 (x2，y2 ，z2 是平面F的一個法向量 由 2 FC 1，n2 C11，C B)B CnBx2

13、0，n2·FC1 2y2 z2 0，得得z2 2y2.n2·C1B1 2x2 0，令 z2 2，得 y2 1，所以 n2 (0， 1,2)，因為 n1 n2，所以平面ADE平面 B1C1F.反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐P ABCD 中， PA平面 ABCD ， PB 與底面所成的角為45°，1底面 ABCD 為直角梯形， ABC BAD 90°，PABC AD 1，問在棱 PD 上是否存在2一點 E，使 CE平面 PAB？若存在，求出

14、E 點的位置；若不存在，請說明理由解以 A 為坐標(biāo)原點分別以AB，AD ， AP 所在直線為x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz，如圖所示P(0,0,1) ， C(1,1,0) ，D (0,2,0) ，設(shè)存在滿足題意的點E(0， y， z)，則PE (0， y， z 1)，PD (0,2， 1)，PEPD ，y× (1) 2(z 1) 0，AD (0,2,0) 是平面 PAB 的法向量，又CE ( 1， y 1，z)，CE平面 PAB，CE AD，(1， y 1， z) ·(0,2,0) 0.1y 1，代入得z 2，E 是 PD 的中點，存在點 E，當(dāng)點

15、 E 為 PD 中點時， CE平面 PAB.1若點 A( 1,0,1) ，B(1,4,7)在直線 l 上，則直線 l 的一個方向向量的坐標(biāo)可以是_(填序號 ) ( 1,0,1) ； (1,4,7) ； (2,4,6) 答案 解析可以作為直線l 的一個方向向量顯然 AB (2,4,6)2已知 a (2,4,5) ，b (3，x，y) 分別是直線 l 1， l 2 的方向向量若l 1 l2，則 x _，y_.答案1562解析由 l1l2 得，245，解得 x 6， y 15.3xy23已知向量n (2， 3,1)是平面 的一個法向量，則下列向量中能作為平面的法向量的是_ (填序號 ) n1 (0，

16、 3,1)； n2 ( 2,0,4)； n3 ( 2， 3,1)； n4 ( 2,3， 1)答案 解析由題可知只有可以作為 的法向量4已知向量 n ( 1,3,1)為平面 的法向量，點M(0,1,1) 為平面內(nèi)一定點P(x， y， z)為平面內(nèi)任一點，則 x， y，z 滿足的關(guān)系式是 _答案x 3y z 4 0解析由題可知 MP ( x，y 1， z 1)又因為 n·MP 0，故 x 3(y 1) (z 1) 0，化簡，得 x 3y z 4 0.5若直線 l ，且 l 的方向向量為 (2，m,1)，平面 的法向量為1，1， 2，則 m 為 _2答案 8l，平面 的法向量為1解析1，2

17、， 2 ，1(2，m,1) ·1， 2， 2 0，122m2 0，m 8.1 應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法：(1) 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直(2) 證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線(3) 證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任意兩個不共線的向量表示即用平面向量基本定理證明線面平行2證明面面平行的方法：設(shè)平面 的法向量為n1 (a1， b1， c1)，平面 的法向量為n2 (a2，b2， c2)，則 ? n1n2? ( a1， b1，c1) k(a2， b2， c2)(k R)一、填空題1已知 l 1 的方向向量為v 1 (1,2,3) ，l2 的方向向量為

18、v2 (，4,6)，若 l 1 l 2，則 _.答案2解析l1l2 ，v1 v2，則 12， 2.42已知 a ( 1,0,2) ， b (6,2 1,2)，若 a b，則 的值為 _答案12解析1因為 ab，故 2 1 0，即 .23直線 l 的方向向量s ( 1,1,1)，平面 的一個法向量為n (2， x2 x， x)，若直線 l，則 x 的值為 _答案± 2解析易知 1× 21× (x2 x) 1× ( x) 0，解得 x ± 2.4設(shè)平面的法向量為 (1,2， 2)，平面 的法向量為 (2， 4，k)，若 ，則 k 的值為_答案 4解

19、析因為 ，所以平面與平面 的法向量共線，所以 ( 2， 4， k) (1,2， 2)， 2 ， 2，所以 4 2，解得k 4.k 2，所以 k 的值是 4.5已知平面內(nèi)兩向量a (1,1,1) ，b (0,2， 1) 且 c ma nb (4， 4,1)若 c 為平面 的法向量，則m，n 的值分別為 _答案 1,2解析c ma nb (4， 4,1) (m， m， m) (0,2n， n) (4， 4,1) (m 4， m 2n4，m n1)，c·a 0，m 1，由 c 為平面 的法向量，得得c·b 0，n 2.6已知 A(4,1,3) ，B(2,3,1) ，C(3,7，5

20、) ，點 P(x， 1,3)在平面 ABC 內(nèi)，則 x 的值為 _答案11解析點 P 在平面 ABC 內(nèi)，存在實數(shù) k1， k2，使AP k1AB k2 ，AC即( x4， 2,0) k1( 2,2， 2) k2( 1,6， 8)，2k1 6k2 2，k1 4，解得k1 4k20，k2 1.x 4 2k1 k2 81 7，即 x 11.7已知 l ，且 l 的方向向量為m (2， 8,1)，平面 的法向量為n (1，y,2)，則 y _.答案12解析l，l 的方向向量m (2， 8,1)與平面的法向量n (1， y,2)垂直， 2× 1 8× y 2 0，1y2.8若平面

21、的一個法向量為u1 ( 3，y,2) ，平面 的一個法向量為u2 (6， 2，z)，且 ，則 yz_.答案 3 3y 2解析，u1u2， 6 z. 2y 1， z 4.y z 3.9已知平面與平面 平行，若平面與平面 的法向量分別為 (5,25,5) ， v (t,5,1)，則 t 的值為 _答案 1解析平面 與平面 平行，平面 的法向量 與平面 的法向量 v 平行，5255，解得 t 1.t5110已知平面 內(nèi)的三點 A(0,0,1) ，B(0,1,0) ，C(1,0,0) ，平面 的一個法向量為n ( 1，1， 1)，且 與 不重合，則 與 的位置關(guān)系是 _答案 解析AB， 1)， (0,

22、1， 1)， AC (1,0n·AB ( 1， 1， 1) (0,1·， 1) 1× 0 ( 1)×1 ( 1)× ( 1) 0，n·AC ( 1， 1， 1) ·(1,0， 1) 1× 10 ( 1) (·1) 0，nAB， n AC.n 也為 的一個法向量又與 不重合， .11若平面 的一個法向量為u1 (m,2， 4)，平面 的一個法向量為u2 (6， 4， n)，且 ，則 m n_.答案5解析m2 4，u1u2. n6 4m 3， n 8.m n 5.二、解答題12如圖，在正方體ABCD A1B1

23、C1D1 中，求證：AC1 是平面 B1D1C 的法向量證明如圖，以 D 為坐標(biāo)原點， DA ，DC，DD 1 分別為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長為1，則 D 1(0,0,1) ， A(1,0,0) ， C(0,1,0) ，B1(1,1,1) ， C1(0,1,1) (1,0,1)，所以 AC1( 1,1,1)， D1 B1 (1,1,0)， CB1 所以 AC1 ·D1B1 ( 1,1,1) (1,1,0)· 0， AC1 ·CB1 ( 1,1,1) (1,0,1)· 0，所以 AC1 D 1B1， AC1 CB1，又 B1D 1CB1 B1，且 B1D1， CB1? 平面 B1D1C，所以 AC1平面 B1D1C， AC1 是平面 B1D1 C 的法向量13已知 A 0， 2，19，B 1， 1，5，C 2， 1，5是平面 內(nèi)的三點，設(shè)平面 的法向888量 a (x， y， z)，求 x y