數(shù)列與不等式綜合-專題教師用

1、數(shù)列與不等式交匯題型的分析及解題策略【命題趨向】數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識(shí)綜合一起考查主要考查知識(shí)重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學(xué)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用此類題型主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能.近年來(lái)加強(qiáng)了對(duì)遞推數(shù)列考查的力度，這點(diǎn)應(yīng)當(dāng)引起我們高度的重視.如08年北京文20題（12分）中檔偏上，考查數(shù)列與不等式恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題、08年湖北理21題（12分）為中檔偏

2、上，考查數(shù)列與不等式交匯的探索性問(wèn)題、08年江西理19題（12分）中等難度，考查數(shù)列求和與不等式的交匯、08年全國(guó)卷I理22（12分）壓軸題，難說(shuō)大，考查數(shù)學(xué)歸納法與不等式的交匯，等等預(yù)計(jì)在2009年高考中，比較新穎的數(shù)列與不等式選擇題或填空題一定會(huì)出現(xiàn)數(shù)列解答題的命題熱點(diǎn)是與不等式交匯，呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題 其中，以函數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體，有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是未來(lái)高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)，而命題的冷門則是數(shù)列與不等式綜合的應(yīng)用性解答題【考試要求】1 理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式 寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).2

3、理解等差數(shù)列的概念掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。4 理解不等式的性質(zhì)及其證明.5.掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.6 掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式.7 掌握簡(jiǎn)單不等式的解法及理解不等式丨a-4 I b | w|a+b丨w | a | + | b I8.掌握數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本方法與步驟?！究键c(diǎn)透視】1 以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯2以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列

4、與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明（主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法）和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大3將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想【典例分析】題型一求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問(wèn)題求得數(shù)列與不等式綾結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題主要兩種策略：（1）若函數(shù)f（x）在定義域?yàn)镈,則當(dāng)x D時(shí)，有f（x）恒成立=f（x）min >M； f（x） w恒成立W f（x）max<M； （2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等

5、式， 再通過(guò)解不等式解得1 11【例1】等比數(shù)列an的公比q> 1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使a1 + a?+ an>+二+：恒a1 a2an成立的正整數(shù)n的取值范圍.【分析】利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項(xiàng)a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)公式和及所得的關(guān)系化簡(jiǎn)不等式，進(jìn)而通過(guò)估算求得正整數(shù)n的取值范圍.【解】由題意得：（a1q16）2= a1q23,. a1q9= 1.則須容 > 呼,q把a(bǔ)2= q"代入上式并整理，得q_18(qn-1) > q(1 -扌),由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列1 1 1了是以1為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列，要使不

6、等式成立,qn>q19,v q> 1,. n> 19,故所求正整數(shù)n的取值范圍是n20.【點(diǎn)評(píng)】本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識(shí)都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)，用不等式知識(shí)求 得最后的結(jié)果.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用【例2】（08全國(guó)H）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S.已知a1 = a, an+1 = Sn + 3n, n N* （I ）設(shè)bn= Sn 3n,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（n）若an+1n, n N*，求a的取值范圍.【分析】 第(I)小題利用Sn與an的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第(H)小題將條件an+i >a轉(zhuǎn)化為關(guān)于n與a的關(guān)系，再利

7、用aw f(n恒成立等價(jià)于a< f(nmin求解.【解】(I )依題意，Sn+1 Sn = an+i= S1+ 3n，即 Sn+1 = 2Sn+ 3n,由此得 S+1 3 n+1= 2(Sn 3n).因此，所求通項(xiàng)公式為bn = Sn 3n= (a 3)2 nJ, n N*,(H )由知 Sn = 3n+ (a 3)2 n，n N* ,于是，當(dāng) n2時(shí)，an= Sn Snj = 3n+ (a 3)2 nJ 3nJ (a 3)2 n'= 2x3+ (a 3)2 n，an+1 an= 4x3+ (a 3)2 n_2= 2 n_212(2)2 + a 3,當(dāng) n2時(shí)，an+i，即 卩

8、2 n_2 12 () + a 312 () + a 3>0, a A 9 ,綜上，所求的a的取值范圍是9,+.【點(diǎn)評(píng)】一般地，如果求條件與前 n項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解本題求參數(shù)取值范圍的方法也一種常用的方法，應(yīng)當(dāng)引起重視題型二 求數(shù)列中的最大值問(wèn)題求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值； (2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；利用條件中的不等式關(guān)系確定最值【例3】 【分析】等關(guān)系確定公差【解】(08四川高考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S4> 10

9、 SsW 15則 根據(jù)條件將前4項(xiàng)與前5項(xiàng)和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)d的范圍，由此可確定 a4的最大值.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且 S4> 10 S5W 15a4的最大值為.a1與公差d的不等式，然后利用此不.4X3S4= 4a1 + d > 10，即*5X4 'i &= 5a1 + -d w 15a1 + 3d _ a + 2dw3,5 3da4= a1+ 3d> ? + 3d=?a4= a1 + 3d = + 2d) + dw 3 d5 + 3d1.5 + 3d waw + d，貝U 5+ 3d W6 2d,即卩(d是解答的關(guān)二a4<3+ d W

10、3 1 = 4,故a4的最大值為 4.【點(diǎn)評(píng)】本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系來(lái)求最值的，其中確定數(shù)列的公差鍵，同時(shí)解答中要注意不等式傳遞性的應(yīng)用1【例4】 等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1 = 2002，公比q=夕(I )設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表 達(dá)式；(H )當(dāng)n取何值時(shí)，f(n)有最大值.【分析】第(I )小題首先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列an的通項(xiàng)，再求得f(n)的表達(dá)式；第(H )小題通過(guò)商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過(guò)比較求得最值.11 Mn1)【解】(I )an= 2002 ( J，f(n) = 2002n (刁 2(H )由(I )，得晉于=勞，則|

11、f(n + 1)|2002|f(n)|= > 1， |f(11)| > |f(10)| >> |f(1)|，|f(n + 1)| = 2002,."八、y y|f(n )| _ 一、f(10) v 0,12 1 66.血 2002(2)'f(9)當(dāng)nw 10時(shí),當(dāng)n11時(shí),/ f(11) v 0,丁 v 1,. |f(11)| > |f(12)| > |f(13)| > ，f(9) > 0, f(12) > 0 , f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者.3 1 302002 3.20029 1 36 = 200

12、2 (1)= ” 1,當(dāng) n= 12 時(shí)，f(n)有最大值為 f(12) = 200212(66.【點(diǎn)評(píng)】本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：(1)利用商值比較法 確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較f(12)與f(9)的大小.整個(gè)解答過(guò)程還須注意f(n)中各項(xiàng)的符號(hào)變化情況.題型三求解探索性問(wèn)題數(shù)列與不等式中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立， 以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到否定”的結(jié)論，即不存在若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果【例5 f(n)的最大值為f(1) = -, f(

13、n)的最小值為f(2) = 9,3 9】已知an的前n項(xiàng)和為Sn,且an+ Sn= 4.(1 )求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(II )是否存在正整數(shù)k,Sk+1 2使S_2 >2成立.【分析】第(I )小題通過(guò)代數(shù)變換確定數(shù)列an+i與an的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列為為等比數(shù)列；而第(I)小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進(jìn)行推理，確定此不等式成立的合理性【解】(I )由題意，Sn + an = 4, Si+i + an+i= 4,、 1 由兩式相減，得(Sn+i + an+i) (S+ an)= 0，即 2an+i 為=0, a*+i= ga又2a1 = 3 + a1 = 4,. a1=

14、 2,.數(shù)列an是以首項(xiàng)a1= 2,公比為q=2的等比數(shù)列.1 n 21 -(2)(n )由(I )，得 Sn=1= 4 2.1| 21又由號(hào)+1 c2>2,得 4_>2，整理，得 2v 21上v 1, 即卩 1 v 2 k"v3,Sk 24 2 232- k N* , 2kJ N*，這與2kJ (1 , |)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】本題解答的整個(gè)過(guò)程屬于常規(guī)解法，但在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“ N*”，這是在解答數(shù)列問(wèn)題中易忽視的一個(gè)陷阱.2【例6】(08湖北咼考)已知數(shù)列an和 bn滿足：a1 =人a*+1 = 3/ + n 4, bn= ( 1)

15、n(an 3n + 21)，其中入為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).(I)對(duì)任意實(shí)數(shù)人證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；(I)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(川)設(shè)0v av b,Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù) 人使得對(duì)任意正整數(shù) n ,都有avSn v b?若存在，求 入的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由【分析】第(I )小題利用反證法證明；第(I)小題利用等比數(shù)列的定義證明；第(川)小題屬于存在型問(wèn)題，解答時(shí)就假設(shè)av SnV b成立，由此看是否能推導(dǎo)出存在存在實(shí)數(shù)入.【解】(I)證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)入使an是等比數(shù)列，則有a22= a1a3，即(| 1 3)2=入(4)=4 f 4入+

16、9 = £笊4 7 9= 0，矛盾，所以an不是等比數(shù)列.n+1(I )解：因?yàn)?bn+1 = ( 1) a n+1 3(n + 1) + 212 2 2=(1)n+1(3a n 2n +14) = 3 (-1) n(a n 3n 21)=卻 n,又 b1 = ( + 18)，所以當(dāng)f= 18時(shí),bn= 0(n N*)，此時(shí)bn不是等比數(shù)列；當(dāng)入工18時(shí)，b1= ( + 18)工0由上可知bnQ 嚴(yán)=3(n N*).2故當(dāng)入工18時(shí)，數(shù)列bn是以一(+ 18)為首項(xiàng)，一-為公比的等比數(shù)列.(川)由(1)知，當(dāng)18, bn= 0(n N*) , 5= 0,不滿足題目要求；.232入18

17、,故知 bn= ( + 18) X 3)nU，于是 Sn = 5( + 18) 1 ( 3)n3 2要使 av SnV b 對(duì)任意正整數(shù) n 成立，即 av 5( + 18) 1 ( §)nv b, (n N*).5當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)f(nv 1 ；a3b得 廠 v 5( + 18) v , (n N*)1 ( 了1 ( J25令f(n) = 1 ( 3)n，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1 v f(n)召533于疋，由 式得 9aV 5（甘 18） V 5b, b 18 V XV 3a 18,（必須一bV 3a,即 b > 3a）.當(dāng)aV b _3a時(shí)，由b 18 3a 18,不存在實(shí)數(shù)滿足

18、題目要求；當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù) 入，使得對(duì)任意正整數(shù) n,都有av SnV b,且入的取值范圍是（b 18, 3a 18）.【點(diǎn)評(píng)】存在性問(wèn)題是指命題的結(jié)論不確定的一類探索性問(wèn)題，解答此類題型一般是從存在的方面入手，尋求結(jié)論成立的條件，若能找到這個(gè)條件，則問(wèn)題的回答是肯定的；若找不到這個(gè)條件或找到的條件與題設(shè)矛盾， 則問(wèn)題的回答是否定的其過(guò)程可以概括為假設(shè) 一一推證一一定論.本題解答注意對(duì)參數(shù) 入及項(xiàng)數(shù)n的雙重討論.題型四數(shù)列與不等式的證明問(wèn)題此類不等式的證明常用的方法：（1）比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；（2）分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；（3）放縮法

19、，主要是通過(guò)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的（ 4）數(shù)學(xué)歸納法。（1 ）用基本方法證明數(shù)列不等式：【例7】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn, a3= 7, £= 24. （I ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（n ）設(shè)p、1q都是正整數(shù)，且 P為，證明：Sp+qV 2（S2p + 5q）.n項(xiàng)公式和建立方程組即可解決第 （I ）小題；第（n ）【分析】根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前小題利用差值比較法就可順利解決【解】（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，依題意得,a1 + 2d = 74卄=24，解得、ai= 3 d = 2，數(shù)列a*的通項(xiàng)公式為 an=

20、a1 + （n 1）d = 2n+ 1.（n）證明：T an= 2n+ 1 ,. Sn= “但；-=n2 + 2n.22222Sp+q （S2p + S2q） = 2（p + q） + 2（p + q） （4p + 4p） （4q + 4q） = 2（p q）,1 p 為，2Sp+q （S2p+ £q） V 0 ,. Sp+q V 2（S2p+ Eq）.【點(diǎn)評(píng)】利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例8】.（06湖南文，20 ）在m （m &

21、gt; 2 ）個(gè)不同數(shù)的排列 P1P2Pn中，若 K i V jw m時(shí)P> p （即前面某 數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與p構(gòu)成一個(gè)逆序 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)記排列（n 1）n（n -1）321的逆序數(shù)為（I）求a4、a5,并寫出an an 1anan,如排列21的逆序數(shù)a1 -1，排列321的逆序數(shù)a3 =6。 an的表達(dá)式；令bnan十，證明 2n :bi b2bn ：2n 3, n=1,2,。（I）由已知得a4 =10,a5 =15 , a.二n (n -1)2 1 二乜 包。2因?yàn)? 亠 3 2 n n 2 =2,n",2, an 1 an n 2

22、 nn 2 n所以bi b2又因?yàn)閎n+bn >2n .nn 亠222n丄二=2 -, n=1,2,nn n 亠2所以b1 bbn =2n 加丄）（丄丄）（丄）1324n n +2綜上，2n : bi b2bn ：2n 3,n =1,2,。（2）用放縮發(fā)證明數(shù)列不等式：22： 2n 3?！纠?】.已知曲線C:xy=1,過(guò)C上一點(diǎn)An（xn,yn）作一斜率為kn =1 的直線交曲線C于另一點(diǎn)Xn 2An 1(Xm,yn 1),點(diǎn)列代5 =1,2,3J|)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列Xn,其中為二.(II)求證：23n(-1)X1(-1) X2 (-1) X311( (-1) Xn <1(nN,n

23、 1).11(I)求證：-是等比數(shù)列；Xn 23解：過(guò)C:C于另一點(diǎn)An 1，1y上一點(diǎn)An (Xn , yn)作斜率為心的直線交X(-1)X1 (-1)2X2 川(-1)n4Xn4 - (T)nXnXn -1則kn二yn 1 - ynXn 1Xn 1 - XnXn 1于是有：XnXn 1 %2.記an -1 1'* 1則Xn -231 1an 1 + =Xn1XnXn 1- XnX! 1Xn1c/ 12( 232 3Xn 2因?yàn)閄1 =¥，而a1二Xn1十丄=2云0,為-23=22*4 . 2*<1 1因此數(shù)列 一1是等比數(shù)列。Xn -23(2 )由(1 )可知：an

24、 = (-2)n,則 Xn(-1)臥珂-川2 -當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有:(-1)心人4 (Xn12心3在n為偶數(shù)時(shí)有:1 1(1)X1(1)2X2川(1)nXn ： 2 歹 22在n為奇數(shù)時(shí)，前n 1項(xiàng)為偶數(shù)列，于是有:1-11.n 12 -3【例10】.已知：X|, x2 ( X|:X2 )是方程x1 2 *ynX1口 , Xn.2 =(5 )Xn 1 . n N .Xnyn(i)求yi, y2, ya的值;(2)設(shè)Z yn yn 1，求證:n' zi - 26n ；i 4(3)1 求證：對(duì) F N ”有 | y2n - yn I ：1251-77 w。 .W.26心2解：(1)解方程 X

25、-6x 5 =0 得 Xi =1，X2 =5，宀斜5,X3 =(5 丄)X2 =26 ,x3 y 526<1(一 1)nXn =1 - Xn =1 -(2(2)綜合可知原不等式得證。=25= 135,13526當(dāng) n 一 2 時(shí) yn -5，于是 Z1 二 yy = 26, Zn 二 ynyn 1 = 5yn 1 26 ( n-2)1X4 - (5)X3y2X4y3 -X3由 Xn2=(5;)Xn1 得汁5,n 7 ZiN Z2 V Zn - 26ni 31當(dāng)2時(shí)|y2沖5黑，結(jié)論成立;12512510當(dāng) n -2時(shí)，有 I yn 1 - ynH5 丄-(5)F|/二山 p2|yn-yn

26、jynyn 斗ynyn 42612分1 1 1 1'吋1山一*八嘰礦MS飛勞'1 y2n - yn 丨彳 y2n - y2n J ' y2n ± y2n _2，y2n _2 - 丨 I (，yn 1 - yn 1丨 y2n 一 yn 丨yn 1 一 yn 丨 V 丨 y2n J 一 y2n 匸丨'丨 y2n 一 y2n_1 1”11丄m丄1丄11蔦26心 川 262心 2621 (1 1 )126心1 26n(1 26n) 26 1 -5 _丄 125 2626126心12丄.x +a對(duì)n N有|y2n卜洛125【例11】.設(shè)a a 0,函數(shù)f (x)

27、=(n N )14分1(I) 證明：存在唯一實(shí)數(shù)x (0,)，使f (x0) = x0；a(n)定義數(shù)列xn : x! = 0 , xnf (xn), n N .(i)求證:對(duì)任意正整數(shù)n都有x2n二:Xo: x2n ；(ii)當(dāng) a =2時(shí)，若 0：Xk 空1(k=2,3,4,M),證明：對(duì)任意m乏N都有： xm4k xk ：(1)證明： f (x)二 x：= x3 ax -1 = 0.3令 h(x)二 x ax -1,則 h(0) = -1 ： 0 ,1 1h()3 0,a a h(0) h(l)：0. a/23又h/ (x) =3x +a >0, h(x)=x +ax1 是 R上的

28、增函數(shù).故 h(x) = x3 ax1 在區(qū)間0,- 上有唯一零點(diǎn)，I a丿即存在唯一實(shí)數(shù)0,1使f(x0)=x0.I a丿1 i 1，即 X1 ： X0 : X2 成立; a當(dāng) n =1 時(shí)，洛=0 , x2 二 f (xj = f (0),由知 x0 ：- 1 0,-a在0上是減函數(shù)，且Xk0,a1設(shè)當(dāng) n 二 k(k _ 2)時(shí)，X2k 4 : x° ： X2k ,注意到 f (x)=x故有：f(X22)* f(X。) f(X2k),即 X2k，X0 Kk1 f(X2k) ： f(X。)： f (X2k 1),即X2k 1 : X0: X2k 2.這就是說(shuō)，n = k 1時(shí),結(jié)

29、論也成立.(11 分)_ 1"2X3 冷X2亠21X2 XX? +：溝111 <1 x2 為9 一丨+2)42414丿2111 匯_彳 2 二近 2)(10分1(2)當(dāng) a = 2 時(shí)，由為=0 得：x2 = f (xj = f (0)=，x2 為1當(dāng) k_2時(shí)，:'0：Xk ,2 xk1 -Xk =£ 2 xL 22Xk _xk(斤2)(心2)4kXk丄X.2 <1111X3 -X2 <.-14丿/Xm_ Xk ( Xm 十Xm-k Xm4kXm k J _ Xm k _2Xk XkXk +Xk/Xk _Xk-Xm k 二)(xm k J _ X

30、m k /)川(Xk 1 -Xk) IH 兀1 一兀12分13分4m+m -241,11 ,1 Xk 4 Xk41 k4plXk+ -Xk =【例12】.數(shù)列 an ：是否存在常數(shù)、a14k3 4k14分2_-=1, an 1 =2an -n - 3n（n N ）使得數(shù)列 dn2 3n 是等比數(shù)列，若存在，求出，、丿的值,若不存在，說(shuō)明理由。設(shè)bn1n =b! b2 b'bn，證明：當(dāng)門一2 時(shí),6n(n 1)(2 n 1):Snan i =2an -n222 2 2 n _2時(shí),Sb! b2 bH ' bn ： 1 (2 -2) (2 -2) 川-) 3n 可化為 an 1

31、- .；，(n 1) " ' (n 1) =2(an r，n2n),（2分）（4分）即 an 彳=2an ，n2-2 )n _，- '丸=-1竹 彳扎=1 故岸-2人=3解得丿卩=12 2 2 an1=2an-n3n可化為 a. 1 -(n 1) (n 1)=2佃7n) (5 分)又 a1 -121=0 (6 分)故存在& = _1,卩=1 使得數(shù)列 匕n +kn2 +卩n 是等比數(shù)列 (7分)證明：由得 務(wù) - n2 n =(a12 1) 2nd /. an =2n' n2 - n ,11故bn一市2 (8分)an + n -2n.14422T bn

32、222 (9 分)n 4n 4n -1 2n -12n 12 25=1 -3 2n +13現(xiàn)證Sn竺(n _ 2).(n +1)(2 n +1)1245當(dāng) n =2 時(shí)Sn =b1b2 =1 1 =-,而 竺4 4(n +1)(2 n+1)3x5(故n =2時(shí)不等式成立 1111 /曰2得n2 n(n1)n n1111111bn(1-£)(1-1)(1-J)22334n. 6 ，且由2n 1 6得1 -2n +1當(dāng)n _3時(shí),由bnSn = b1 b2b3=1 一丄n +1 n +1c n二 Snn +1 (n +1)(2 n +1)6n54,4512分)(14 分)【例13】.已知

33、數(shù)列an、bn中，對(duì)任何正整數(shù)n都有:ag +a2bn+a3bn< + 川 +a.並 +and =2n+ -n 2 .(1)若數(shù)列an是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列;若數(shù)列bn是等比數(shù)列，數(shù)列an是否是等差數(shù)列，若是請(qǐng)求出通項(xiàng)公式，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列n 13bn是等比數(shù)列，求證：Vyab 21.本小題滿分13分）解：1）依題意數(shù)列的通項(xiàng)公式是%*故等式即為+ 入 + 3也+十血_十片殲二才黒_旳_ 2,同時(shí)有也十觀2十兔T十十（科一 2）2 + （«-1） = 2" - wI«> 21,兩式木冃

34、減可得毎+2+'*十爲(wèi) +玄二腎一1 2 分可得數(shù)列如的通項(xiàng)公式是氏二嚴(yán)，知數(shù)列©是首項(xiàng)為h公比為2的等比數(shù)列。？分2）設(shè)竽比數(shù)列偽）的首項(xiàng)為務(wù) 公比為I則耳十叫 從而有1珂 H占？"£勺 +&"込 + +占？務(wù)一1二 2*+T -n-2 ,又 bqna1 bqn"a2 bqn*a3 |lba*=2n - n T n 一2 ,故(2n _n _1)q ban =2n 1 _n _2十亍2寧n ¥，要使an 1 - an是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，必需q = 2 ,即當(dāng)?shù)缺葦?shù)列bn的公比q = 2時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式

35、是nan 二b當(dāng)?shù)缺葦?shù)列bn的公比不是2時(shí)，數(shù)列an不是等差數(shù)列.由(2) 知 anbn = n 2nab.丄丄233 24 21III -1ab4 2nJn_567 1 (切48 1621一1211 n1j3412161627248 一16【例14】.在數(shù)列an中，a1=1,也an斗 1( n N*)2n（i）試比較anan -2與an 1的大小;（n）證明：當(dāng) n 一3時(shí)，an 3 2n4 .解：（i）由題設(shè)知，對(duì)任意 n N *，都有an 0n , n2na. 2 n 12n 11an2n2'an2_ / anan an2 an 亠1 一 (an 1a2)an+ 尸(an 12n

36、n 2nn T 2n 1n 1 2n 12* 1-1)an12anan 2 _ an 1二(1)a 二V 2(n 2n)八12(n 2n).分.63（n）證法1：由已知得，ai =1,a2 ,a32-an 1 nan2n當(dāng)n 3時(shí),1 1, an 1an,又 a1, a. 1(n 一 2).a(n_12n -41)and十n 1十n 4 an_1an-1n 4an-12n T> 2an 二 a3(a4 -a3) 5 -a4)III (aan)9-4n 14232 mnr1an 一an4n -44 HI.分.10則-Is2-，1Sn -1 _316 2一 TI 2n -1"23

37、1=+_4 49 , an 14n -12* 二,n 1二1 -尹.n 1小3證法2 :由已知得,ai(1)當(dāng)n =3時(shí),n +1 2“94'.9、3nr = 2，知不等式成立。2nJ4一 _3 -1, a2, a32n 1n A分14k +1假設(shè)當(dāng)n二k(k_3)不等式成立，即ak2k _1kkk 1 k(k 1)ak 1 =( f 1)ak ( k 1)(3 ft) =320222 2c (k+1)+1只需證k(k+1)丄 k22 2 2翁1，則只需證2k k 1(2)，那么要證即證因?yàn)閗 -2Fk 2k2k分10k 01 k 01(k 亠1)亠 12 =Ck +Ck+Ck >

38、;Ck +Ck =k+1 成立，所以 ak卅處-冷爲(wèi)_i 成立這就是說(shuō)，當(dāng)n =k 1時(shí)，不等式仍然成立.根據(jù)(-n +11)和(2),對(duì)任意n = N *，且n H3 ,都有an >3-一百 1分2【例15】.已知函數(shù)y = f (x )的定義域?yàn)镽 且對(duì)于任意x1,x R,存在正實(shí)數(shù)L ,使得f ( X )- f( X)蘭IL為都成立.(1)若f x? = -：21x2 ,求L的取值范圍;(2)當(dāng)0 L : 1時(shí)，數(shù)列 春滿足an1=f an , n =1,2川1.證明:-a2 ;玄丄a?HI ak令A(yù)k 12 k k =1,2,3，川，證明:kS-La a：(1)證明：對(duì)任意X1,

39、X< R,有：f(X1 )- f(X2 ) = J1 +xf _(1 + X；、幾 34n 1設(shè)S =歹尹34n -1得22xi - x21 Xii 2.iXi / Lx22X2X2x2由 f (為)一 f (X2 j 蘭L % x2 ,即憶一卷站+幼蘭l_X2.x2x；當(dāng) X! HX2 時(shí)，得 LX_Ji + xi2 +Ji+x；+ x； > Xi , JxT > X2 ,且為 + x2N Xi +X2 ,XiX2£_r-二要使f (% ) f (x2仁L % x2對(duì)任意Xi, x R都成立，只要L _ 1.當(dāng)xi = x2時(shí),f (x<i )- f (x2

40、 匕 L 為x2 恒成立.L的取值范圍是1, :： 證明： a. i 二 f an , n =i,2,Hl,故當(dāng) n 王 2時(shí)，an-an*= f(an4)-f(an)蘭 Lan an=L f (a ) f (an4 ) < L2 an<anlll < Ln印一a?.6 分n為ak-ak+ =ai- a2+a2- a3 +a3- a4+川：an - an 卅k壬< i L L2 J|l LnJ ai a2 0 : L ： i,i-Lni -Ln送 ak -ak+ 玄k 3-a2 （當(dāng)n=i時(shí),不等式也成立). Ad a2 Jl|akk- Aai ' a?akka

41、ia2川ak ik+iXi印一a?2 a? a33 a a J | k a ak 1q a2 +2 a2 a3 +3 a3 a4 +川 +k| ak 11分n壬Ak Ak 卅=A1 A2+A2 A3 + 川 +1 An_ An 卅k 4< a1-a2匕+川+2 a2 a3n(n +1)丿 11I 111+3 % 一吋麗+両+川十時(shí)山* “可一喇a(chǎn)1 a? . 1、(2 +a _ a31 -)In +1丿1n 1十川斗an -aq _a2aa|+|an am ：1< 11-L（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式：N*，其中C為實(shí)數(shù).（I ）證明：環(huán) 0 ,an >1-(3c)n_l

42、, n N* ;(川)設(shè) Ov c【例16】（08安徽高考）設(shè)數(shù)列an滿足a1 = 0, an+1 = can3+ 1 c, c11對(duì)任意n N*成立的充分必要條件是c 0, 1 ； （n股0v cv3 證明：1 2 2 2 2 v ;,證明：a + a： + + 3n > n + 1 , n N*.3121 3c【分析】第(1)小題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第( 2)小題可利用綜合法結(jié)合不等關(guān)系的迭代；第( 3)小題利用不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)列，然后利用前n項(xiàng)和求和，再進(jìn)行適當(dāng)放縮.【解】(I)必要性：T a1 = 0, a2= 1 c,又 Ta2 0, 1,. 0<1- c &

43、lt;1 即 c 0 , 1.充分性：設(shè)c 0, 1，對(duì)n N*用數(shù)學(xué)歸納法證明an 0 , 1.(1) 當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 0, 1.(2) 假設(shè)當(dāng)n= k時(shí)，ak 0, 1(k >成立，則ak+1 = cak + 1 c< +1 c= 1，且 ak+1 = cak + 1 c > 1 c > 0 ak+1 0, 1,這就是說(shuō) n= k+ 1 時(shí),an 0, 1.由(1 )、(2)知，當(dāng)c 0, 1時(shí)，知an 0, 1對(duì)所胡n N*成立.綜上所述，an 0 , 1對(duì)任意n N*成立的充分必要條件是c 0 , 1.1(n)設(shè)0v cv 3,當(dāng)n = 1時(shí)，a1= 0

44、，結(jié)論成立.3當(dāng) n>2時(shí)，由 an= can J+ 1 1 a“ = c(1 a 4)(1 + an+ Oi J)12 0 v cv 3，由(I )知 an-1 0 , 1，所以 1 + an -1 + °n -1 <3 且 1 an 1>Q - 1 an< 3C( 3n_1), 1 an< 3c( an二)< (3c(1 an-2) << (3()1 a1) = (3c)，an> 1- (3c)2, n N*.12(川)設(shè)0 v cv 3,當(dāng)n= 1時(shí)，a12= 0 > 2 廠云，結(jié)論成立當(dāng) n>2 時(shí)，由(n)知

45、 an>l (3c)n > 0 ,- an2> (- (3c)2) 2= 1 2(3c)n*+ (3c)z)> 1 2(3c)n =a/+ a? + + an?= a2?+ + an2> n 1 23c + (3c+ + (3c)“ =n 1 21 + 3c+ (3c)2 + + (3c)n- 1 = n+ 1 21 (3c) >n + 1 1 3c1 3c.【點(diǎn)評(píng)】本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，此類試題在高考中點(diǎn)占有一席之地，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意本題的第(I )小題實(shí)質(zhì)也是不等式的證明，【例17】(2007湖北理21)(本小題滿分14分

46、)已知m, n為正整數(shù).(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時(shí)，(1+x)m+mx;-.nnm1I 1m ' i' 1 1(H)對(duì)于 n >6 已知 1 I £ 丄，求證 1 丨 < '-I , m=1,1,2 , n;ln +3.丿2 in +3 丿2(川)求出滿足等式 3n+4m+(+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.解：(I)證：當(dāng)x=0或m=1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) x>-1，且 xm 0 時(shí)，m >2,(1+x)m>1+mx.(i)當(dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x，因?yàn)閤

47、豐0,所以x2>0,即左邊 >右邊，不等式成立；(ii)假設(shè)當(dāng)m=k(k>2)時(shí)，不等式成立，即(1+x) k>1+kx,則當(dāng)m=k+1時(shí)，因?yàn)閤>-1,所以1+x>0.又因?yàn)閤m 0,k >2,所以 kx2>0.于是在不等式(1+x) k>1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x) k (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x) k+1>1+(k+1)x,即當(dāng)m = k+1時(shí)，不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.111 f 1(h)證：當(dāng)"山時(shí)，(1-土)<

48、;r(1 一土) 而由(I)，(1-人j亠(川)解：假設(shè)存在正整數(shù) n0 _6使等式3n0 - 43：；川(n0 2)" =(n0 - 3)n0成立,即有(一3) +(4 )"：；“-：；( 一 )n0 = 1.n0 +3n° +3n° +3又由(H)可得(3) +(4 )2 亠 亠( )n0 = (1 一 n°)n° - (1 -_ 'no .n03n0 3n03n0 3n032n0< 1,與式矛盾,1n01、no 1 no 4 , . 1WE T G 廠1故當(dāng)n>6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n

49、=1,2,3,4,5的情形； 當(dāng)n=1時(shí)，3m4，等式不成立； 當(dāng)n=2時(shí)，32+42= 52,等式成立； 當(dāng)n=3時(shí)，33+43+53= 63,等式成立； 當(dāng)n=4時(shí)，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+64m 74,等式不成立; 當(dāng)n=5時(shí)，同n=4的情形可分析出，等式不成立綜上，所求的n只有n=2,3.題型五.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合【例 18】.設(shè)函數(shù) f(x) = x2 + bln(x+1),1(1) 若對(duì)定義域的任意 X,都有f(x)f(1)成立，求實(shí)數(shù)b的值；(2) 若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) b的取值范圍；n111(3) 若b = -

50、1,證明對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式' f (戶1-33 '心k23解：(1 )由 X + 1> 0 得 X> -1 a f(x)的定義域?yàn)?-1, + 8 ),對(duì) x ( - 1, + 8)，都有 f(x) > f(1),A f(1)是函數(shù)f(x)的最小值，故有 f (1) = 0,f / (x) = 2x , 2 = 0,x +12解得b= - 4.f /(x)二 2x_ 2x2 2x b-x +1古,1 1 1兀<1k =1又函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，A f/ (x) > 0 或 /(x)< 0 在(-1, + 8 )上恒成立。若 f/ (x) > 0 , x + 1>0 ,A 2x2 +2x+b> 0 在(-1, + 8)上恒成立,2 1 2 1 1即b>-2x -2x = -2(x) 恒成立，由此得b>2 2 2若 f/ (x) < 0, / x + 1 > 0, a 2x2 +2x+bw 0,即 b< -(2x2+2x)恒