微積分的創(chuàng)立

1、.薁螈膄莈蕆螈莆膁袆螇肆蒆螂螆膈艿蚈螅芀蒄薄螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膅芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀艿芆薂聿羈蒂蒈肈肁芅袆?wù)仄M蒀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈蕆螈莆膁袆螇肆蒆螂螆膈艿蚈螅芀蒄薄螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膅芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀艿芆薂聿羈蒂蒈肈肁芅袆?wù)仄M蒀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈蕆螈莆膁袆螇肆蒆螂螆膈艿蚈螅芀蒄薄螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膅芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿

2、蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀艿芆薂聿羈蒂蒈肈肁芅袆?wù)仄M蒀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈蕆螈莆膁袆螇肆蒆螂螆膈艿蚈螅芀蒄薄螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膅芅蚄袂芇 微積分的創(chuàng)立，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”。在18世紀(jì)，微積分進(jìn)一步深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起，刺激和推動(dòng)了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，從而形成了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)史上，18世紀(jì)可以說(shuō)是分析的時(shí)代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過(guò)渡的重要時(shí)期。 無(wú)限小算法的推廣，在英國(guó)和歐洲大陸國(guó)家是循著不同的路線進(jìn)行的。 推廣萊布

3、尼茲學(xué)說(shuō)的任務(wù)，在從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過(guò)渡時(shí)期，主要是由雅各布。伯努利（Jacob Bernoulli，16541705）和約翰。伯努利（John Bernoulli，16671748）擔(dān)當(dāng)。這兩兄弟來(lái)自歷史上最大的數(shù)學(xué)家族瑞士巴塞爾的伯努利家族。這個(gè)原先從荷蘭安特衛(wèi)普遷來(lái)的商人家庭，在17、18世紀(jì)先后產(chǎn)生了十多位著名的數(shù)學(xué)家，雅各布和約翰是其中最有影響的兩位。二人在學(xué)術(shù)上的爭(zhēng)強(qiáng)好勝留下了許多有趣的科學(xué)軼聞，但他們都是萊布尼茲忠實(shí)的學(xué)生與朋友。他們的工作，構(gòu)成了現(xiàn)今所謂初等微積分的大部分內(nèi)容。 約翰。伯努利和歐拉在他們的論著中使用變量代換和部分分式等方法求出了許多困難的積分，這些方法已經(jīng)成

4、為今天微積分教科書(shū)中求函數(shù)積分的常用方法。 當(dāng)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們考慮無(wú)理函數(shù)的積分時(shí)，他們就在自己面前打開(kāi)了一片新天地，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)許多這樣的積分不能用已知的初等函數(shù)來(lái)表示。雅各布。伯努利在求雙紐線（在極坐標(biāo)下方程為）弧長(zhǎng)時(shí)，得到弧長(zhǎng)積分在天文學(xué)中很重要的橢圓弧長(zhǎng)計(jì)算則引導(dǎo)到積分這屬于后來(lái)所說(shuō)的“橢圓積分”的范疇，它們既不能用代數(shù)函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)（如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）表示出來(lái)。橢圓積分的一般形式是（其中是的有理函數(shù)，則是一般的四次多項(xiàng)式）。雖然微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸到了偏微商和重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論的主要是18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家。

5、1720年，尼古拉。伯努利（Nicolaus Bernoulli II 16871759）證明了函數(shù)在一定條件下，對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)其結(jié)果與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)。歐拉在1734年的一篇文章中也證明了同樣的事實(shí)。在此基礎(chǔ)上，歐拉在一系列的論文中發(fā)展了偏導(dǎo)數(shù)理論。微積分的發(fā)展與無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究密不可分。牛頓在他的流數(shù)論中自由運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)，他憑藉二項(xiàng)式定理得到了和等許多函數(shù)的級(jí)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)則提供了將函數(shù)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般方法。在18世紀(jì)，各種初等函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)陸續(xù)得到，并在解析運(yùn)算中被普遍用來(lái)代表函數(shù)而成為微積分的有力工具。萊布尼茲也曾獨(dú)立地得到了和等的級(jí)數(shù)，但他卻對(duì)微積分問(wèn)題的有限或封閉形式的解更感興趣，他的學(xué)生們

6、彌補(bǔ)了這方面的不足。尤其是雅各布。伯努利，他在16891704年間撰寫(xiě)了5篇關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的論文，使他成為當(dāng)時(shí)這一領(lǐng)域的權(quán)威，這些論文的主題也是關(guān)于函數(shù)的級(jí)數(shù)表示及其在求函數(shù)的微分與積分、求曲線下的面積和曲線長(zhǎng)等方面的應(yīng)用。這些構(gòu)成了雅各布。伯努利對(duì)微積分算法的重要貢獻(xiàn)。但就級(jí)數(shù)理論本身而言，其中一個(gè)很有啟發(fā)性的工作是關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)的和是無(wú)窮的證明。他首先指出了故有這意味著可將原級(jí)數(shù)中的項(xiàng)分組并使每一組的和都大于，于是我們總可以得到調(diào)和級(jí)數(shù)的有限多項(xiàng)的和，使它大于任何給定的量。 調(diào)和級(jí)數(shù)的討論引起了對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是利用發(fā)散級(jí)數(shù)而獲得的一些著名的數(shù)值逼近公式。例如，斯特

7、林在1730年得到一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)表示：它相當(dāng)于。利用它可以作的近似計(jì)算。當(dāng)很大時(shí)，稱之為斯特林公式，雖然這一極限情形是由里莫佛得到的。 上述斯特林級(jí)數(shù)系數(shù)中出現(xiàn)的叫做“伯努利數(shù)”；它們是雅各布。伯努利在他的一部概率論著作猜測(cè)術(shù)（Ars Conjectandi，1713）中求整數(shù)正整數(shù)次冪和公式時(shí)得到的。伯努利的公式是： 伯努利數(shù)今天已成為分析中應(yīng)用極廣的數(shù)。 除了調(diào)和級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)引起熱烈辯論的另一類發(fā)散級(jí)數(shù)是，雅各布。伯努利在1696年的論文中作如下推理：當(dāng)時(shí)得到。但另一方面伯努利稱這些互相矛盾的結(jié)果為“有趣的悖論”。1703年，意大利數(shù)學(xué)家格蘭弟（G。Grandi）通過(guò)的級(jí)數(shù)展開(kāi)又重新發(fā)現(xiàn)這一

8、悖論：在級(jí)數(shù)中令，得。格蘭弟稱之為“無(wú)中生有”。 這類發(fā)散級(jí)數(shù)悖論刺激了人們對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性的思考。18世紀(jì)先后出現(xiàn)了一些級(jí)數(shù)收斂判別法則。如萊布尼茲變號(hào)級(jí)數(shù)收斂定理（1713）：級(jí)數(shù)若交替變號(hào)，且趨于，則該級(jí)數(shù)收斂；麥克勞林積分判別法（1742）：級(jí)數(shù)收斂的充要條件是有限（在上有限且同號(hào)）；達(dá)郎貝爾級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂判別法（1754）：級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，若存在數(shù)，使對(duì)所有的，有（為固定的常數(shù)），等等。這些說(shuō)明18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們已開(kāi)始注意到無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題，盡管對(duì)這一問(wèn)題真正嚴(yán)格的處理要等到19世紀(jì)。 18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們一方面努力探索使微積分嚴(yán)格化的途徑；一方面又往往不顧基礎(chǔ)問(wèn)題的困難而大膽前進(jìn)，大大

9、擴(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍，尤其是與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，已成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的鮮明特征之一，這種結(jié)合的緊密程度是數(shù)學(xué)史上任何時(shí)期不能比擬的。當(dāng)時(shí)幾乎所有數(shù)學(xué)家都不同程度地同時(shí)也是力學(xué)家。歐拉的名字同剛體運(yùn)動(dòng)與流體力學(xué)的基本方程相聯(lián)系；拉格朗日最享盛名的著作是分析力學(xué)（Traite de mechanique analitique，1788），它將力學(xué)變成分析的一個(gè)分支，拉普拉斯許多最重要的數(shù)學(xué)成果是包含在他的五大卷天體力學(xué)中，這種廣泛的應(yīng)用成為新思想的源泉而使數(shù)學(xué)本身大大受惠，一系列新數(shù)學(xué)分支在18世紀(jì)成長(zhǎng)起來(lái)。 常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來(lái)的，牛頓和萊布尼茲的著作中都處理過(guò)與常微分方程有關(guān)的問(wèn)

10、題。從17世紀(jì)末開(kāi)始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以及天體力學(xué)等實(shí)際問(wèn)題的研究引出了一系列常微分方程，這些問(wèn)題在當(dāng)時(shí)往往以挑戰(zhàn)的形式被提出而在數(shù)學(xué)家之間引起熱烈的討論。有名的如懸鏈線問(wèn)題：求一根柔軟但不能伸長(zhǎng)的繩子自由懸掛于兩定點(diǎn)而形成的曲線。這問(wèn)題于1690年由雅各布。伯努利提出，第二年萊布尼茲、惠更斯（C。Huygens，16291695）和約翰。伯努利均發(fā)表了自己的解答，其中約翰。伯努利通過(guò)建立懸鏈線方程，解出了曲線。類似的還有與鐘擺運(yùn)動(dòng)有關(guān)的“等時(shí)曲線”方程（1690，雅各布。伯努利），以及與光線路徑問(wèn)題有關(guān)的“正交軌線”方程（1715，萊布尼茲、牛頓）等。 數(shù)學(xué)家們起初是采用特殊的技巧來(lái)對(duì)付特

11、殊的方程，但逐漸開(kāi)始尋找?guī)毡樾缘姆椒?。萊布尼茲在1691年已用分離變量法解出了形如的方程。1696年他又用變量替換將現(xiàn)在所稱的“伯努利方程”（雅各布。伯努利，1695）化成了關(guān)于和的線性方程。伯努利兄弟也推進(jìn)了分離變量法與變量代換法。 芆蒅蚆袂腿莁蚅羄蒞芇蚄肆膇薆蚃螆莃蒂螃袈膆莈螂羈莁芄螁肅膄蚃螀袃羇蕿蝿羅節(jié)蒅螈肇肅莁螇螇芀芇螇衿肅薅袆羂艿蒁裊肄肂莇襖螄芇芃袃羆肀螞袂肈蒞薈袂膀膈蒄袁袀莄莀蕆羂膆芆薆肅莂薄薅螄膅蒀薅袇莀蒆薄聿膃莂薃膁肆蟻薂袁芁薇薁羃肄蒃薀肆芀荿蠆螅肂芅蠆袈羋薃蚈羀肁蕿蚇膂芆蒅蚆袂腿莁蚅羄蒞芇蚄肆膇薆蚃螆莃蒂螃袈膆莈螂羈莁芄螁肅膄蚃螀袃羇蕿蝿羅節(jié)蒅螈肇肅莁螇螇芀芇螇衿肅薅袆羂艿蒁裊肄肂莇襖螄芇芃袃羆肀螞袂肈蒞薈袂膀膈蒄袁袀莄莀蕆羂膆芆薆肅莂薄薅螄膅蒀薅袇莀蒆薄聿膃莂薃膁肆蟻薂袁芁薇薁羃肄蒃薀肆芀荿蠆螅