2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修三學(xué)案：2章末復(fù)習(xí)提升

1、章末復(fù)習(xí)提升 、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 二、要點(diǎn)歸納 1.關(guān)于抽樣方法 (1) 用隨機(jī)數(shù)法抽樣時(shí)，對(duì)個(gè)體所編號(hào)碼位數(shù)要相同，當(dāng)問(wèn)題所給位數(shù)不同時(shí)，以位數(shù)較多 的為準(zhǔn)，在位數(shù)較少的數(shù)前面添 0”，湊齊位數(shù). 用系統(tǒng)抽樣法時(shí)，如果總體容量 N能被樣本容量n整除，抽樣間隔為k=N ；如果總體容 量N不能被樣本容量n整除，先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除多余個(gè)體，抽樣間隔為 k= (其中K = N 多余個(gè)體數(shù)). (3)三種抽樣方法的異同點(diǎn) 類(lèi)別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣 抽樣過(guò)程 中每個(gè)個(gè) 體被抽到 的可能性 相同 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)體數(shù) 較少 系統(tǒng) 抽樣 將總體平均分成幾 部分，按

2、事先確定的 規(guī)則分別在各部分 中抽取 在起始部 分抽樣時(shí)， 采用簡(jiǎn)單 隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)體數(shù) 較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，按 各層個(gè)體數(shù)之比抽 取 各層抽樣 時(shí)采用簡(jiǎn) 單隨機(jī)抽 樣或系統(tǒng) 抽樣 總體由差異明顯 的幾部分組成 2關(guān)于用樣本估計(jì)總體 (1) 用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布時(shí)，通常要對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理, 作頻率分布表與頻率分布直方圖時(shí)要注意其方法步驟. (2) 莖葉圖刻畫(huà)數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可 以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，便于記錄和表示. (3) 平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度. 3.變量

3、間的相關(guān)關(guān)系 (1) 除了函數(shù)關(guān)系這種確定性的關(guān)系外，還大量存在因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變 量之間的關(guān)系 相關(guān)關(guān)系，對(duì)于一元線性相關(guān)關(guān)系， 通過(guò)建立回歸方程就可以根據(jù)其部分 觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系的了解， 主要是作出散點(diǎn)圖，寫(xiě)出線性回歸方程. (2) 求線性回歸方程的步驟: 寫(xiě)出線性回歸方程y= bx+ a. 三、題型探究 題型一抽樣方法的運(yùn)用 1. 抽樣方法有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣. 例1 (1)某校選修乒乓球課程的學(xué)生中， 高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名，現(xiàn)用分層抽 樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了 6名，則在高 先

4、把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出 _ _ n n x , y，一 2，計(jì)算回歸系數(shù) a, b.公式為 n _ _ xiyi nx y i = 1 b= n x2 nW2 i = 1 2. 三種抽樣方法比較 年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為 _ . 問(wèn)題：某小區(qū)有 800戶(hù)家庭，其中高收入家庭 200戶(hù)，中等收入家庭 480戶(hù)，低收入 家庭120戶(hù)，為了了解有關(guān)家用轎車(chē)購(gòu)買(mǎi)力的某個(gè)指標(biāo)， 要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本； 從10名學(xué)生中抽取3人參加座談會(huì).方法:(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；(2)系統(tǒng)抽樣；分層抽樣.則 問(wèn)題與方法的配對(duì)是 _ . 答案 (1)8 (2)，(1) 解析(1)分層抽樣的原理是按照各部分

5、所占的比例抽取樣本.設(shè)從高二年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù) 為n, (2) 問(wèn)題中的總體是由差異明顯的幾部分組成的，故可采用分層抽樣方法；問(wèn)題 中總體 的個(gè)數(shù)較少，故可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣. 跟蹤訓(xùn)練1某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取 42人做問(wèn)卷調(diào)查，將 840人 按1,2,，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的 42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為 _ . 答案 12 解析 抽樣間隔為840= 20.設(shè)在1,2 ,，20中抽取號(hào)碼X0(x 1,20).在481,720之間抽 取的號(hào)碼記為 20k+ X0,則 481W 20k+ xw 720, k N N*. 所以 24詁 k+ 36.因?yàn)?20 2

6、0, 1，所以 k= 24,25,26,，35, 所以k的值共有35- 24 + 1 = 12(個(gè))，即所求人數(shù)為12. 題型二用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布 此類(lèi)問(wèn)題通常要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理. 這類(lèi)問(wèn)題采取的圖表主要有：條形圖、直 方圖、莖葉圖、頻率折線圖、扇形圖等它們的主要優(yōu)點(diǎn)是直觀，能夠清楚表示總體的分布 走勢(shì)除莖葉圖外，其他幾種圖表法的缺點(diǎn)是原始數(shù)據(jù)信息有丟失. 例2如圖所示的是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖， 已知圖中從左到右的前 3個(gè) 小組的頻率之比為 1 : 2 : 3，第2小組的頻數(shù)為10，則抽取的學(xué)生人數(shù)為 _ . 30 40 畧得n= 8. 答案 40 解析

7、前3組的頻率之和等于 1 (0.0125 + 0.0375) X 5 = 0.75，第 2小組的頻率是2 跟蹤訓(xùn)練2有1個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下: 12.5.15.5） ，6； 15.5,18.5），16 ； 18.5,21.5），18； 21.5.24.5） ，22； 24.5,27.5），20； 27.5,30.5），10； 30.5.33.5） ，8. （1） 列出樣本的頻率分布表（含累積頻率）； （2） 畫(huà)出頻率分布直方圖； （3） 估計(jì)小于30的數(shù)據(jù)約占多大百分比. 解（1）樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 累積頻率 12.5,15.5) 6 0.06

8、 0.06 15.5,18.5) 16 0.16 0.22 18.5,21.5) 18 0.18 0.40 21.5,24.5) 22 0.22 0.62 24.5,27.5) 20 0.20 0.82 27.5,30.5) 10 0.10 0.92 30.5,33.5 8 0.08 1.00 合計(jì) 100 1.00 頻率分布直方圖如圖. 小于30的數(shù)據(jù)約占90%. 題型三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律， 我們還可以通過(guò)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、 中位數(shù)、平均數(shù)和 標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對(duì)總體相應(yīng)的數(shù)字特征作出估計(jì). 眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那 個(gè)值；中位數(shù)就是把

9、樣本數(shù)據(jù)按照由小到大 （或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇 數(shù)，處于中間位置的數(shù)， 如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)， 中間兩個(gè)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)；平均數(shù)就是所 有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用 7表示；標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計(jì)量，0.75X 0.25,設(shè)樣本容量為 則 n= 40. 其計(jì)算公式是 s=、j n【(XL )+ (X2 - 1 2+ (Xn x ). 例3 (1)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示， 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 和平均數(shù)分別是(單位：分) _ 9 6 4 3 2 1 ) (2)從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取 100人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如表，則這 100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)

10、差為 分?jǐn)?shù) 5 4 3 2 1 人數(shù) 20 10 30 30 10 叭10 一 1 解析(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得 87,89,90,91,92,93,94,96(單位：分)故平均數(shù)x =三 8 1 若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為 0.05,求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲 校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率 (60分及60分以上為及格); 2 設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績(jī)分別為 71, 7 2,估計(jì)匚1 -匚2的值. 答案 (1)91.5 和 91.5 X (87 + 89 + 90 91+ 92 2 =91.5(分) 解(1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為 n.

11、100 + 40 + 90+ 60 + 10 小 J x = - 100 - = 3， 2 1 2 2 2 二 S = n【(X1 X ) + (x2 X ) + (xn x ) 1 =而(20 X 2 + 10X 1 + 30 X 1 + 10X 2 ) 160 8 210 ? S 100 5 5 跟蹤訓(xùn)練3為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從 這兩校中各抽取 30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(jī) (百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖 葉圖如圖. 由題意，知一=0.05，解得n= 600. n 樣本中甲校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的人數(shù)為 5,據(jù)此估計(jì)甲校高三年級(jí)

12、這次聯(lián)考數(shù)學(xué) 5 5 成績(jī)的及格率為1 - 30= 6. (2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為 匚1 ,匸2 . 根據(jù)樣本莖葉圖知，30( Xi X2)= 30 x i 30 x 2 =(7 5) + (55 + 8 14) + (24 12 65) + (26 24 79) + (22 20) + 92 =2 + 49 53 77+ 2+ 92 =15. 因此x 1 x 2= 0.5，所以X1 X2的估計(jì)值為0.5分. 題型四變量間的相關(guān)關(guān)系 1. 分析兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在 相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘法求出線性回歸方程. 把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在

13、直角坐標(biāo)系中作 出，構(gòu)成的圖叫做散點(diǎn)圖.從散點(diǎn)圖上， 我們可以分析出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系. 如果 這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近， 那么就說(shuō)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān) 關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，直線方程叫做線性回歸方程. 2. 線性回歸方程的應(yīng)用 甲 乙 解(1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為 n. 利用線性回歸方程可以對(duì)總體進(jìn)行預(yù)測(cè)， 雖然得到的結(jié)果不是準(zhǔn)確值，但我們是根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī) 律得到的，因而所得結(jié)果的正確率是最大的，所以可以大膽地利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè). 例4某地連續(xù)十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 年份 2006 2008 2010 2012 2014 需

14、求量(萬(wàn)噸) 236 246 257 276 286 (1) 利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程 y= bx+ a; (2) 利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地 2016年的糧食需求量. 解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升， 下面來(lái)求線性回歸方程.為 此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下： 年份2010 4 2 0 2 4 需求量257 21 11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得 x = 0, y = 3.2, 4 X 21 + 2 X 11 + 2X 19+ 4X 29 由上述計(jì)算結(jié)果，知所求線性回歸方程為 A y 257 = b(x 2010) + a= 6.

15、5(x 2010) + 3.2. A 即 y= 6.5(x 2010) + 260.2. (2)利用直線方程，可預(yù)測(cè) 2016年的糧食需求量為 6. 5 X (2016 2010)+ 260.2 = 6.5 X 6+ 260.2 = 299.2(萬(wàn)噸)299(萬(wàn)噸). 跟蹤訓(xùn)練4理論預(yù)測(cè)某城市 2020到2024年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示: 年份202x(年) 0 1 2 3 4 人口數(shù)y(十萬(wàn)) 5 7 8 11 19 (1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； 指出x與y是否線性相關(guān)； (3) 若x與y線性相關(guān)，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)， 用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程 A y= bx+ a

16、; (4) 據(jù)此估計(jì)2025年該城市人口總數(shù). 2 2 2 2 2 (參數(shù)數(shù)據(jù)：0X 5 + 1X 7+ 2X 8 + 3X 11 + 4X 19= 132,0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 30) 解數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖： (2)由散點(diǎn)圖可知，樣本點(diǎn)基本上分布在一條直線附近，故 x與y呈線性相關(guān). (3) 由表知 7 = 5X (0 + 1 + 2 + 3+ 4) = 2, 7 = 5 X (5 + 7+ 8+ 11+ 19)= 10. 4 2+ 2 2+ 22 + 42 260 40 =6.5 a= y b x = 3.2. 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得 x = 0, y = 3.2, 5

17、 5 5 _ _ v xiyi - 5 x y i= 1 二 b = = 3.2, a= y b x = 3.6, 5 _ X2- 5 x 2 i = 1 A 線性回歸方程為y= 3.2x+ 3.6. 當(dāng)x= 5時(shí)，y= 19.6(十萬(wàn))=196萬(wàn). 故2025年該城市人口總數(shù)約為 196萬(wàn). 題型五數(shù)形結(jié)合思想 名稱(chēng) 數(shù) 頻率分布 直方圖 數(shù)據(jù)分組及頻數(shù): 40,50) , 2; 50,60) , 3; 60,70), 10; 70,80), 15; 80,90), 12; 90,100 , 8 結(jié)合 可求眾數(shù)：最高小長(zhǎng) 方形的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的 數(shù)據(jù)； 可求中位數(shù)：中位數(shù) 左邊和右邊的直方圖 面

18、積相等； 可求平均數(shù)：每個(gè)小 長(zhǎng)方形的面積乘以小 長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫 坐標(biāo)乘積的和； 可求落在各個(gè)區(qū)域 總體分布 的 密度曲線 同上 莖葉圖 甲的數(shù)據(jù)： 95,81,75,89,71,65,76, 88,94; 乙的數(shù)據(jù)： 83,86,93,99,88,103,98 ,114,98 內(nèi)的頻率 可精確地反映一個(gè)總 體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值 的百分比，如分?jǐn)?shù)落在 (a, b)內(nèi)的百分比是左 圖中陰影部分的面積 莖是十位和百位數(shù) 字，葉是個(gè)位數(shù)字； 可以幫助分析樣本 數(shù)據(jù)的大致頻率分布； 可用來(lái)求數(shù)據(jù)的一 些數(shù)字特征，如中位 數(shù)、眾數(shù)等 散點(diǎn)圖 n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(Xi, y) .310 1 IIX1 心血胞化|

19、已駄 可以判斷兩個(gè)變量之 間有無(wú)相關(guān)關(guān)系 (1)填寫(xiě)下表: 平均數(shù) 方差 中位數(shù) 命中9環(huán)及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)請(qǐng)從四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試進(jìn)行分析: 從平均數(shù)和方差結(jié)合分析偏離程度； 從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合分析誰(shuí)的成績(jī)好些； 從平均數(shù)和命中 9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看誰(shuí)的成績(jī)好些; 從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢(shì)分析誰(shuí)更有潛力. 1 解 乙的射靶環(huán)數(shù)依次為 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x乙=匚（2 + 4 + 6+ 8 + 7 + 7+ 8+ 9 + 9 7 + 8 + 10) = 7;乙的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位數(shù)是 一廠=7.5;甲 的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位數(shù)為7.于是填充后的表格如下表所