2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修三學(xué)案：2章末復(fù)習(xí)提升

1、章末復(fù)習(xí)提升 、本章知識網(wǎng)絡(luò) 二、要點歸納 1.關(guān)于抽樣方法 (1) 用隨機數(shù)法抽樣時，對個體所編號碼位數(shù)要相同，當(dāng)問題所給位數(shù)不同時，以位數(shù)較多 的為準(zhǔn)，在位數(shù)較少的數(shù)前面添 0”，湊齊位數(shù). 用系統(tǒng)抽樣法時，如果總體容量 N能被樣本容量n整除，抽樣間隔為k=N ；如果總體容 量N不能被樣本容量n整除，先用簡單隨機抽樣剔除多余個體，抽樣間隔為 k= (其中K = N 多余個體數(shù)). (3)三種抽樣方法的異同點 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨 機抽樣 抽樣過程 中每個個 體被抽到 的可能性 相同 從總體中逐個抽取 總體中的個體數(shù) 較少 系統(tǒng) 抽樣 將總體平均分成幾 部分，按

2、事先確定的 規(guī)則分別在各部分 中抽取 在起始部 分抽樣時， 采用簡單 隨機抽樣 總體中的個體數(shù) 較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，按 各層個體數(shù)之比抽 取 各層抽樣 時采用簡 單隨機抽 樣或系統(tǒng) 抽樣 總體由差異明顯 的幾部分組成 2關(guān)于用樣本估計總體 (1) 用樣本頻率分布估計總體頻率分布時，通常要對給定的一組數(shù)據(jù)進行列表、作圖處理, 作頻率分布表與頻率分布直方圖時要注意其方法步驟. (2) 莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是所有信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可 以隨時記錄，隨時添加，便于記錄和表示. (3) 平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)的波動程度. 3.變量

3、間的相關(guān)關(guān)系 (1) 除了函數(shù)關(guān)系這種確定性的關(guān)系外，還大量存在因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變 量之間的關(guān)系 相關(guān)關(guān)系，對于一元線性相關(guān)關(guān)系， 通過建立回歸方程就可以根據(jù)其部分 觀測值，獲得對這兩個變量之間的整體關(guān)系的了解， 主要是作出散點圖，寫出線性回歸方程. (2) 求線性回歸方程的步驟: 寫出線性回歸方程y= bx+ a. 三、題型探究 題型一抽樣方法的運用 1. 抽樣方法有：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣. 例1 (1)某校選修乒乓球課程的學(xué)生中， 高一年級有30名，高二年級有40名，現(xiàn)用分層抽 樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學(xué)生中抽取了 6名，則在高 先

4、把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出 _ _ n n x , y，一 2，計算回歸系數(shù) a, b.公式為 n _ _ xiyi nx y i = 1 b= n x2 nW2 i = 1 2. 三種抽樣方法比較 年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為 _ . 問題：某小區(qū)有 800戶家庭，其中高收入家庭 200戶，中等收入家庭 480戶，低收入 家庭120戶，為了了解有關(guān)家用轎車購買力的某個指標(biāo)， 要從中抽取一個容量為100的樣本； 從10名學(xué)生中抽取3人參加座談會.方法:(1)簡單隨機抽樣；(2)系統(tǒng)抽樣；分層抽樣.則 問題與方法的配對是 _ . 答案 (1)8 (2)，(1) 解析(1)分層抽樣的原理是按照各部分

5、所占的比例抽取樣本.設(shè)從高二年級抽取的學(xué)生數(shù) 為n, (2) 問題中的總體是由差異明顯的幾部分組成的，故可采用分層抽樣方法；問題 中總體 的個數(shù)較少，故可采用簡單隨機抽樣. 跟蹤訓(xùn)練1某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取 42人做問卷調(diào)查，將 840人 按1,2,，840隨機編號，則抽取的 42人中，編號落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為 _ . 答案 12 解析 抽樣間隔為840= 20.設(shè)在1,2 ,，20中抽取號碼X0(x 1,20).在481,720之間抽 取的號碼記為 20k+ X0,則 481W 20k+ xw 720, k N N*. 所以 24詁 k+ 36.因為 20 2

6、0, 1，所以 k= 24,25,26,，35, 所以k的值共有35- 24 + 1 = 12(個)，即所求人數(shù)為12. 題型二用樣本的頻率分布估計總體分布 此類問題通常要對樣本數(shù)據(jù)進行列表、作圖處理. 這類問題采取的圖表主要有：條形圖、直 方圖、莖葉圖、頻率折線圖、扇形圖等它們的主要優(yōu)點是直觀，能夠清楚表示總體的分布 走勢除莖葉圖外，其他幾種圖表法的缺點是原始數(shù)據(jù)信息有丟失. 例2如圖所示的是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖， 已知圖中從左到右的前 3個 小組的頻率之比為 1 : 2 : 3，第2小組的頻數(shù)為10，則抽取的學(xué)生人數(shù)為 _ . 30 40 畧得n= 8. 答案 40 解析

7、前3組的頻率之和等于 1 (0.0125 + 0.0375) X 5 = 0.75，第 2小組的頻率是2 跟蹤訓(xùn)練2有1個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下: 12.5.15.5） ，6； 15.5,18.5），16 ； 18.5,21.5），18； 21.5.24.5） ，22； 24.5,27.5），20； 27.5,30.5），10； 30.5.33.5） ，8. （1） 列出樣本的頻率分布表（含累積頻率）； （2） 畫出頻率分布直方圖； （3） 估計小于30的數(shù)據(jù)約占多大百分比. 解（1）樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 累積頻率 12.5,15.5) 6 0.06

8、 0.06 15.5,18.5) 16 0.16 0.22 18.5,21.5) 18 0.18 0.40 21.5,24.5) 22 0.22 0.62 24.5,27.5) 20 0.20 0.82 27.5,30.5) 10 0.10 0.92 30.5,33.5 8 0.08 1.00 合計 100 1.00 頻率分布直方圖如圖. 小于30的數(shù)據(jù)約占90%. 題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律， 我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、 中位數(shù)、平均數(shù)和 標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對總體相應(yīng)的數(shù)字特征作出估計. 眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那 個值；中位數(shù)就是把

9、樣本數(shù)據(jù)按照由小到大 （或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇 數(shù)，處于中間位置的數(shù)， 如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)， 中間兩個的數(shù)據(jù)的平均數(shù)；平均數(shù)就是所 有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用 7表示；標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計量，0.75X 0.25,設(shè)樣本容量為 則 n= 40. 其計算公式是 s=、j n【(XL )+ (X2 - 1 2+ (Xn x ). 例3 (1)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示， 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 和平均數(shù)分別是(單位：分) _ 9 6 4 3 2 1 ) (2)從某項綜合能力測試中抽取 100人的成績，統(tǒng)計如表，則這 100人成績的標(biāo)準(zhǔn)

10、差為 分數(shù) 5 4 3 2 1 人數(shù) 20 10 30 30 10 叭10 一 1 解析(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得 87,89,90,91,92,93,94,96(單位：分)故平均數(shù)x =三 8 1 若甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為 0.05,求甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計甲 校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率 (60分及60分以上為及格); 2 設(shè)甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為 71, 7 2,估計匚1 -匚2的值. 答案 (1)91.5 和 91.5 X (87 + 89 + 90 91+ 92 2 =91.5(分) 解(1)設(shè)甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)為 n.

11、100 + 40 + 90+ 60 + 10 小 J x = - 100 - = 3， 2 1 2 2 2 二 S = n【(X1 X ) + (x2 X ) + (xn x ) 1 =而(20 X 2 + 10X 1 + 30 X 1 + 10X 2 ) 160 8 210 ? S 100 5 5 跟蹤訓(xùn)練3為調(diào)查甲、乙兩校高三年級學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況，用簡單隨機抽樣，從 這兩校中各抽取 30名高三年級學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績 (百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖 葉圖如圖. 由題意，知一=0.05，解得n= 600. n 樣本中甲校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)為 5,據(jù)此估計甲校高三年級

12、這次聯(lián)考數(shù)學(xué) 5 5 成績的及格率為1 - 30= 6. (2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為 匚1 ,匸2 . 根據(jù)樣本莖葉圖知，30( Xi X2)= 30 x i 30 x 2 =(7 5) + (55 + 8 14) + (24 12 65) + (26 24 79) + (22 20) + 92 =2 + 49 53 77+ 2+ 92 =15. 因此x 1 x 2= 0.5，所以X1 X2的估計值為0.5分. 題型四變量間的相關(guān)關(guān)系 1. 分析兩個變量間的相關(guān)關(guān)系時，我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在 相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘法求出線性回歸方程. 把樣本數(shù)據(jù)表示的點在

13、直角坐標(biāo)系中作 出，構(gòu)成的圖叫做散點圖.從散點圖上， 我們可以分析出兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系. 如果 這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近， 那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān) 關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，直線方程叫做線性回歸方程. 2. 線性回歸方程的應(yīng)用 甲 乙 解(1)設(shè)甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)為 n. 利用線性回歸方程可以對總體進行預(yù)測， 雖然得到的結(jié)果不是準(zhǔn)確值，但我們是根據(jù)統(tǒng)計規(guī) 律得到的，因而所得結(jié)果的正確率是最大的，所以可以大膽地利用線性回歸方程進行預(yù)測. 例4某地連續(xù)十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 年份 2006 2008 2010 2012 2014 需

14、求量(萬噸) 236 246 257 276 286 (1) 利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程 y= bx+ a; (2) 利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地 2016年的糧食需求量. 解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升， 下面來求線性回歸方程.為 此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下： 年份2010 4 2 0 2 4 需求量257 21 11 0 19 29 對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得 x = 0, y = 3.2, 4 X 21 + 2 X 11 + 2X 19+ 4X 29 由上述計算結(jié)果，知所求線性回歸方程為 A y 257 = b(x 2010) + a= 6.

15、5(x 2010) + 3.2. A 即 y= 6.5(x 2010) + 260.2. (2)利用直線方程，可預(yù)測 2016年的糧食需求量為 6. 5 X (2016 2010)+ 260.2 = 6.5 X 6+ 260.2 = 299.2(萬噸)299(萬噸). 跟蹤訓(xùn)練4理論預(yù)測某城市 2020到2024年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示: 年份202x(年) 0 1 2 3 4 人口數(shù)y(十萬) 5 7 8 11 19 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； 指出x與y是否線性相關(guān)； (3) 若x與y線性相關(guān)，請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)， 用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程 A y= bx+ a

16、; (4) 據(jù)此估計2025年該城市人口總數(shù). 2 2 2 2 2 (參數(shù)數(shù)據(jù)：0X 5 + 1X 7+ 2X 8 + 3X 11 + 4X 19= 132,0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 30) 解數(shù)據(jù)的散點圖如圖： (2)由散點圖可知，樣本點基本上分布在一條直線附近，故 x與y呈線性相關(guān). (3) 由表知 7 = 5X (0 + 1 + 2 + 3+ 4) = 2, 7 = 5 X (5 + 7+ 8+ 11+ 19)= 10. 4 2+ 2 2+ 22 + 42 260 40 =6.5 a= y b x = 3.2. 對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得 x = 0, y = 3.2, 5

17、 5 5 _ _ v xiyi - 5 x y i= 1 二 b = = 3.2, a= y b x = 3.6, 5 _ X2- 5 x 2 i = 1 A 線性回歸方程為y= 3.2x+ 3.6. 當(dāng)x= 5時，y= 19.6(十萬)=196萬. 故2025年該城市人口總數(shù)約為 196萬. 題型五數(shù)形結(jié)合思想 名稱 數(shù) 頻率分布 直方圖 數(shù)據(jù)分組及頻數(shù): 40,50) , 2; 50,60) , 3; 60,70), 10; 70,80), 15; 80,90), 12; 90,100 , 8 結(jié)合 可求眾數(shù)：最高小長 方形的中點所對應(yīng)的 數(shù)據(jù)； 可求中位數(shù)：中位數(shù) 左邊和右邊的直方圖 面

18、積相等； 可求平均數(shù)：每個小 長方形的面積乘以小 長方形底邊中點的橫 坐標(biāo)乘積的和； 可求落在各個區(qū)域 總體分布 的 密度曲線 同上 莖葉圖 甲的數(shù)據(jù)： 95,81,75,89,71,65,76, 88,94; 乙的數(shù)據(jù)： 83,86,93,99,88,103,98 ,114,98 內(nèi)的頻率 可精確地反映一個總 體在各個區(qū)域內(nèi)取值 的百分比，如分數(shù)落在 (a, b)內(nèi)的百分比是左 圖中陰影部分的面積 莖是十位和百位數(shù) 字，葉是個位數(shù)字； 可以幫助分析樣本 數(shù)據(jù)的大致頻率分布； 可用來求數(shù)據(jù)的一 些數(shù)字特征，如中位 數(shù)、眾數(shù)等 散點圖 n個數(shù)據(jù)點(Xi, y) .310 1 IIX1 心血胞化|

19、已駄 可以判斷兩個變量之 間有無相關(guān)關(guān)系 (1)填寫下表: 平均數(shù) 方差 中位數(shù) 命中9環(huán)及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)請從四個不同的角度對這次測試進行分析: 從平均數(shù)和方差結(jié)合分析偏離程度； 從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合分析誰的成績好些； 從平均數(shù)和命中 9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看誰的成績好些; 從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢分析誰更有潛力. 1 解 乙的射靶環(huán)數(shù)依次為 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x乙=匚（2 + 4 + 6+ 8 + 7 + 7+ 8+ 9 + 9 7 + 8 + 10) = 7;乙的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位數(shù)是 一廠=7.5;甲 的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位數(shù)為7.于是填充后的表格如下表所