橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+焦點(diǎn)三角形面積公式

1、橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用性質(zhì)1（選填題課直接用，大題需論證）:由任意三角形的面積公式得:2 2F1PF21r1r2sin b2同理可證，在橢圓典型例題例1 若P是橢圓 Fi PF2的面積.例2已知1 cos22yx2.2ab22xy_1006422y12592 sinb22sin cos2 22cos2 2（a > b > 0）中，公式仍然成立.1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2是其焦點(diǎn)，且F1PF260，求1上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、PR pf2|PF1| iPf2i11，則日玨的面積為（A. 3B.2.3C.3D.32 2例3（04湖北）已知橢圓16七1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、

2、f2，點(diǎn) P在橢圓上.若 P、F1、F2 是個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為（A. 95B.9.77C.D.答案:2例1 若P是橢圓1002y641上的一點(diǎn),F2是其焦點(diǎn)，且 F1PF260，求 Fi PF2的面積.2解法一：在橢圓1002L 1 中,64a 10,b8,c6,而 60 .記 |PFi | ri，| PF2 | R.點(diǎn)P在橢圓上,由橢圓的第一定義得:ri a 2a20.在厶F1PF2中，由余弦定理得：2小D2訂2 cos(2c)2.配方，得：仏 r2 )2 3r1 r2144.400 3r1r2144.從而 r1r225632 2解法二：在橢圓秸右1 中, b2 6

3、4，而60 .解法一復(fù)雜繁冗，運(yùn)算量大，解法二簡捷明了，兩個(gè)解法的優(yōu)劣立現(xiàn)!2 2例2已知P是橢圓丄1上的點(diǎn)，259Fi、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若Ph PF2|PF1| |PF2|1丄，則 F1PF2的面積為（2A. 3 3B.2、3C.D.解：設(shè) F1PF2,則 cosPF1 PF2I PF； | | PF2 |260 .故選答案A.2例3 （04湖北）已知橢圓162y 1的左、右焦點(diǎn)分別是F；、F2，點(diǎn)P在橢圓上.9若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為（B.9.77C.D.解:若F1或F2是直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為半通徑的長；若P是直角頂點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到

4、x軸的距離為h，則S侔 b tan 刁 9tan45F1PF212(2c)h . 7h,專故答案選D.金指點(diǎn)睛21(略).橢圓492-1上一點(diǎn)P與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的連線互相垂直，則厶F1PF2的24面積為（A. 20)B. 22C.28D. 241的左右焦點(diǎn)為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)厶F1PF2的面積為1時(shí),PF1 PF2的值為（）A. 0B. 1C. 3D.623.橢圓 y2 1的左右焦點(diǎn)為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)厶F1PF2的面積最大時(shí),4PF1 PF2的值為（A. 02B. 2C. 4D.4.已知橢圓2 x2 ay2 1( a > 1)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為

5、橢圓上一點(diǎn)，且 F1PF260 ,則 | PFi |PF2 |的值為(A. 15.已知橢圓的中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,Fi、F2為焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，直線PFi與PF2傾斜角的差為90， F1PF2的面積是2°,離心率為詩，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6.已知橢圓的中心在原點(diǎn),Fi、F2為左右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)，且 PF1 PF2.IPF1 I IPF2I F1PF2的面積是.3 ,準(zhǔn)線方程為x乎，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案1.解:F1PF290 ,b224 ,b2 tan 224 tan 4524 .故答案選D.2.解：設(shè) F1PF2tan 1 ,22 45,90 , PF1 PF20.故答

6、案選A.3.解：a 2,b1,cF1PF2,b2 ta n 2tan ,2當(dāng)厶F1PF2的面積最大時(shí),為最大，這時(shí)點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn),120 ,PF1 PF2 IPF1 I I PF2 I cos故答案選D.2a cos1202.4. 解:F1PF260 , b2b tan tan302F1PF211 PF1 | | PF2 |sinI PF1 I4IPF2 I,-3IPF14IPF2I于，從而IPF1 I IPF2 I故答案選C.5.解:F1PF2，則90 .F1PF22 2 2b tan b tan 45 b 20,2a2 b2a9，即1202 a解得：a245所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 x

7、452y2021或452 x206.解：設(shè) FfF2COSPF1 PF2|羽| |正|120 .S F1PF2b2 ta n 22b tan 603b22,2即cbcc21c-.3 時(shí),b2 c22，這時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為b2U，這時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為32x43但是,此時(shí)點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),為最大,60 ,不合題意.故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 1.性質(zhì)二：有關(guān)角的問題22已知橢圓方程為聳占1(aa bb 0),左右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,設(shè)焦點(diǎn)三角形PF1F2 ,若F1PF2最大，則點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)2 2問題1橢圓 紅1的焦點(diǎn)為F、F2,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，當(dāng) FfF2為直角時(shí)，94點(diǎn)P的橫

8、坐標(biāo)是。2 2問題2：橢圓丫1的焦點(diǎn)為Fi、F2,點(diǎn)p為其上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí),94點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是。變式uuun uuuir1.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足 MF1 MF2 0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離 心率的取值范圍是()(09江西)1 7242A. (O,1)B (0, C - (0,) D ,1)2 222 2問題1橢圓 止1的焦點(diǎn)為F、F2,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，當(dāng) F1PF2為直角時(shí)，94點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是。方法1:設(shè)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，由此可得的橫坐標(biāo)為方法2:利用性質(zhì)一 S f1pf2 b2tan 1 2 2方法3:【分析】令|F1P|=m |PF2|=6-m，Rt AF1PF2中，由勾股定理可得 m+(6-m)2=202 2問題2:橢圓 L 1的焦點(diǎn)為Fl、F2,點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí),94點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是。問題分解：方法1:設(shè)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，由此可得的橫坐標(biāo)為，所以 點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是方法2:利用性質(zhì)一 S F1pF2 b2 tan 2問題2.而此題為鈍角，究竟鈍角和直角有何聯(lián)系？ 解題的關(guān)鍵在于點(diǎn)