王淑華固體物理答案第三章教學(xué)文案

1、第三章第三章 晶格晶格(jn(jn )振動振動第一頁，共91頁。3.1 原子質(zhì)量為原子質(zhì)量為m，間距為，間距為a的一維單原子鏈，如果原子的振動的一維單原子鏈，如果原子的振動位移為位移為 naqtAtxn cos試求：試求：（1）格波的色散關(guān)系；）格波的色散關(guān)系；（2）每個原子對時間平均的總能量。）每個原子對時間平均的總能量。解：解： 11 nnnnnxxxxxm nnnxxx211 (1) 式中，式中， , 3 , 2 , 1nxn為原子位移；為原子位移； 為恢復(fù)力常數(shù)。為恢復(fù)力常數(shù)。 個原子的運動個原子的運動(yndng)方程可寫成方程可寫成（1）在單原子晶格）在單原子晶格(jn )中，若只

2、計相鄰原子的互作用，第中，若只計相鄰原子的互作用，第n第二頁，共91頁。依題設(shè)，原子的振動位移依題設(shè)，原子的振動位移(wiy)可表示為可表示為 aqntAxaqntAxnaqtAxnnn1cos1coscos11 (2) 將將(2)式代入式代入(1)式，得式，得 aqntAxmn1cos2 naqtaqnt cos21cos因為因為(yn wi) aqnaqtaqnt cos1cos aqnaqtaqnaqtsinsincoscos 第三頁，共91頁。因此因此(ync) 1coscos22 aqnaqtAxmn 2aqsinx41cosaqx22nn故得格波的色散故得格波的色散(ssn)關(guān)系為

3、關(guān)系為 2aqsinm422（2）原子原子(yunz)鏈上總能量可寫鏈上總能量可寫為為 21nnn2nnxx21xm21E 其中求和遍及鏈上的所有原子。其中求和遍及鏈上的所有原子。第四頁，共91頁。 dtxx21xm21T1ET021nnn2nn T0T021nn2ndtxx21T1dtxm21T1 naqtAtxn cos aq1ntAcostx1n 22T02nAm41dtxm21T1 cosaq1A21dtxx21T12T021nn 第五頁，共91頁。 cosaq1A21Am41E222n cosaq1A21Am41NE222 又因為一維單原子又因為一維單原子(yunz)鏈的色散關(guān)鏈的色

4、散關(guān)系為系為 2aqsinm422或者或者(huzh) cosaq1m22 所以所以(suy) cosaq1m212 22Am21 得平均總能量得平均總能量第六頁，共91頁。3.2 證明：在由兩種不同質(zhì)量證明：在由兩種不同質(zhì)量M、m(Mm)的原子所組成的一維的原子所組成的一維復(fù)式格子中，如果波矢復(fù)式格子中，如果波矢q取邊界值取邊界值 (a為相鄰原子間為相鄰原子間距距)，則在聲學(xué)支上，質(zhì)量為，則在聲學(xué)支上，質(zhì)量為m的輕原子全部保持不動；在光學(xué)的輕原子全部保持不動；在光學(xué)支上，質(zhì)量為支上，質(zhì)量為M的重原子保持不動。的重原子保持不動。aq2 證明：如圖所示，設(shè)質(zhì)量為證明：如圖所示，設(shè)質(zhì)量為m的輕原子

5、的輕原子(yunz)位于位于2n-1，2n+2，2n+3，.各點；設(shè)質(zhì)量為各點；設(shè)質(zhì)量為M的重原子的重原子(yunz)位于位于2n-2，2n，2n+2，各點。各點。a am mM M2n-32n-32n-22n-22n-12n-12n2n2n+12n+12n+22n+22n+32n+3第七頁，共91頁。 1222122 nnnnnxxxxxm nnnxxx212122 設(shè)試探解為設(shè)試探解為 aqntinAex1212 aqntinAex22 和和 式中，式中，A為輕原子的振幅；為輕原子的振幅；B為重原子的振幅；為重原子的振幅； 為角頻率；為角頻率； 2 q為波矢。為波矢。 nnnnnxxxxx

6、m212122212 122222 nnnxxx 令令 表示原子間的恢復(fù)力系數(shù)，運動方程寫為表示原子間的恢復(fù)力系數(shù)，運動方程寫為 第八頁，共91頁。將試探將試探(shtn)解代入運動方程有解代入運動方程有 ABeeAmiaqiaq22 BAeeBMiaqiaq22 經(jīng)整理經(jīng)整理(zhngl)變成變成 02cos20cos2222BMAaqBaqAm (1)(1) 要要A、B有不全為零的解，方程有不全為零的解，方程(1)的系數(shù)的系數(shù)(xsh)行列式必須等于零，行列式必須等于零，從中解得從中解得 212224cos2aqmMMmMmmM (2)(2) 第九頁，共91頁。式中的式中的“+”“”分別給

7、出兩種頻率，對應(yīng)光學(xué)支格波和聲學(xué)支分別給出兩種頻率，對應(yīng)光學(xué)支格波和聲學(xué)支格波。上式表明，格波。上式表明， 是是q的周期函數(shù)的周期函數(shù)， 邊界值，即邊界值，即 aqa4141 。當(dāng)。當(dāng)q取取 aq41 時，從時，從(2)式得式得 ,2,22121 Mm 將將 和和 依次代入依次代入(1)式，得到兩種原子的振幅比分別為式，得到兩種原子的振幅比分別為光學(xué)支：光學(xué)支： aqmMaqMBAcos1cos222 聲學(xué)支：聲學(xué)支： MmaqmaqBA 1cos2cos22 第十頁，共91頁。因為因為 , 01 , 01 MmmM而且而且 當(dāng)當(dāng) aq41 時，時，cosaq=cosaq=0 0 由上式得到由

8、上式得到0, BBA即即0,0 AAB即即由此可見，當(dāng)波矢由此可見，當(dāng)波矢q取邊界值時，聲學(xué)支中輕原子取邊界值時，聲學(xué)支中輕原子(yunz)保持不動保持不動(A=0)，光學(xué)支中重原子，光學(xué)支中重原子(yunz)也保持不動也保持不動(B=0)。第十一頁，共91頁。3.3 一維復(fù)式格子，原子質(zhì)量都為一維復(fù)式格子，原子質(zhì)量都為m,晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為a，任一個原，任一個原子與最近鄰原子的間距為子與最近鄰原子的間距為b,若原子與最近鄰原子和次近鄰原子若原子與最近鄰原子和次近鄰原子的恢復(fù)力常數(shù)為的恢復(fù)力常數(shù)為 和和 ，試列出原子的運動方程并求出色散，試列出原子的運動方程并求出色散關(guān)系。關(guān)系。 123n-

9、1nn+1 n+2N-1Na解：解：此題為一維雙原子此題為一維雙原子(yunz)鏈。鏈。設(shè)第設(shè)第2n1nn1nu,u,u,u 2n1,nn,1,n 個原子個原子(yunz)的的位移位移(wiy)分別為分別為。第第1n 與第與第1n 個原子屬個原子屬于同一原子，第于同一原子，第n與第與第2n 個原子屬于同一原子，個原子屬于同一原子，于是于是第十二頁，共91頁。第第n和第和第1n 原子原子(yunz)受的受的力分別為力分別為 1nn1n1n2nuuuuf n1n21n2n11nuuuuf 其運動其運動(yndng)方方程分別為程分別為 1nn1n1n22n2uuuudtudm n1n21n2n12

10、1n2uuuudtudm 設(shè)格波的解分別設(shè)格波的解分別(fnbi)為為 tqna21ita2nqinAeAeu第十三頁，共91頁。 tqna21itqba2nqi1nBeeBu代入運動代入運動(yndng)方程，得方程，得 iqa122BeAABAm ABBAeBm2iqa12 整理整理(zhngl)得得 0BeAmiqa12221 0BmAe221iqa12 由于由于A和和B不可能同時為零，因此其系數(shù)不可能同時為零，因此其系數(shù)(xsh)行列式必定為零，即行列式必定為零，即第十四頁，共91頁。 iqa12221em 0me221iqa12 解上式可得解上式可得 212221212222122q

11、asin16m4m2m2m 21222121212qasin411m由上式可知由上式可知(k zh)，存在兩種獨立的格，存在兩種獨立的格波。波。第十五頁，共91頁。聲學(xué)格波的色散聲學(xué)格波的色散(ssn)關(guān)關(guān)系為系為 21222121212A2qasin411m 21222121212O2qasin411m光學(xué)格波的色散光學(xué)格波的色散(ssn)關(guān)關(guān)系為系為第十六頁，共91頁。3.4 由原子質(zhì)量分別為由原子質(zhì)量分別為 兩種原子相間排列組成的一維復(fù)兩種原子相間排列組成的一維復(fù)式格子，晶格常數(shù)為式格子，晶格常數(shù)為 ，任一個原子與最近鄰原子的間距為，任一個原子與最近鄰原子的間距為 ，恢復(fù)力常數(shù)為，恢復(fù)力

12、常數(shù)為 ，與次近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)，與次近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù) ，試求，試求Mm,ab12（1）格波的色散關(guān)系；）格波的色散關(guān)系；（2）求出光學(xué)波和聲學(xué)波的頻率最大值和最小值。）求出光學(xué)波和聲學(xué)波的頻率最大值和最小值。解：解：（1）只考慮）只考慮(kol)最近鄰原子的相互最近鄰原子的相互作用作用 12n2n212n2n12nxxxxxM 2n12n122n12n212nxxxxxm 第十七頁，共91頁。得得 naqtiqba22nti12nBeeBx naqtiaq22nti2nAeAex 將將 的值代回方程得到色散的值代回方程得到色散(ssn)關(guān)系關(guān)系12n2nx,x 2aqsin16mM

13、 MmMm2mM2221212212（2） （a）當(dāng)上）當(dāng)上(dn shn)式取式取+號時為光學(xué)波號時為光學(xué)波 cosaq18mM MmMm2mM221212212o第十八頁，共91頁。 221212212min o16mM MmMm2mM當(dāng)當(dāng) 時：時：1cosaq 當(dāng)當(dāng) 時：時：1cosaq 21212max oMmMmMm2mM （b）當(dāng)?。┊?dāng)取-號時為聲學(xué)號時為聲學(xué)(shngxu)波波 cosaq18mM MmMm2mM221212212A第十九頁，共91頁。當(dāng)當(dāng) 時：時：1cosaq 221212212max A16mM MmMm2mM當(dāng)當(dāng) 時：時：1cosaq 0min A 第二十頁

14、，共91頁。3.5 證明由證明由N個質(zhì)量為個質(zhì)量為m的相同原子組成的一維單原子晶格，每的相同原子組成的一維單原子晶格，每單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為 2122m2N 證明證明(zhngmng)：一維單原子一維單原子(yunz)鏈只有一支格鏈只有一支格波波2aqsin2aqsinm2m 據(jù)模式密度的一般據(jù)模式密度的一般(ybn)表示表示式式 sq3N13cqds2V（1）第二十一頁，共91頁。因為對一維單原子因為對一維單原子(yunz)鏈波矢空間的波矢鏈波矢空間的波矢密度密度2L，且只有，且只有(zhyu)一支一支格波。格波。所以所以(suy)由（由（1）式得）式得

15、2122mmq2a2aqcos2aq 得得 2122mq2Nq22L 第二十二頁，共91頁。3.6 設(shè)有一維連續(xù)介質(zhì)，介質(zhì)的彈性模量為設(shè)有一維連續(xù)介質(zhì)，介質(zhì)的彈性模量為E，線密度為，線密度為 試建立一維波動方程并求彈性波傳播的相速度。試建立一維波動方程并求彈性波傳播的相速度。，解：設(shè)有一坐標(biāo)為解：設(shè)有一坐標(biāo)為x與與x+dx間的介質(zhì)元間的介質(zhì)元, t 時刻時刻x點處的位移為點處的位移為u=u(x,t), x+dx點處的位移為點處的位移為u+du。于是。于是(ysh)，應(yīng)變?yōu)?，?yīng)變?yōu)閤ue 以以E表示彈性模量，按定義，表示彈性模量，按定義，efE 式中式中f是引起是引起(ynq)形變的力。作用在介

16、質(zhì)元形變的力。作用在介質(zhì)元dx上的凈力為上的凈力為dxxuExudxxuuxE22 第二十三頁，共91頁。設(shè)介質(zhì)的線密度為設(shè)介質(zhì)的線密度為 ，介質(zhì)元的質(zhì)量為，介質(zhì)元的質(zhì)量為 dx ，則有，則有 2222tudxdxxuE 即即2222tuExu (1)(1) 這就是連續(xù)介質(zhì)的波動方程，其解為這就是連續(xù)介質(zhì)的波動方程，其解為 tqxieutxu 0,式中，式中， 為介質(zhì)彈性波的角頻率；為介質(zhì)彈性波的角頻率； 1 q為波矢；為波矢； 是波長。是波長。 將將u(x,t)代入代入(1)式，得到式，得到(d do)第二十四頁，共91頁。 txuEtxuq,22 即即 Eq 2因此，一維介質(zhì)彈性波傳播的相

17、速度為因此，一維介質(zhì)彈性波傳播的相速度為 Eq 第二十五頁，共91頁。3.7 證明一維單原子鏈的運動方程，在長波近似下，可以化成證明一維單原子鏈的運動方程，在長波近似下，可以化成彈性波方程彈性波方程22222xuvtu 解：解：如果只計及近鄰如果只計及近鄰(jn ln)原子間的相互作用，第原子間的相互作用，第n個原子的運動方個原子的運動方程程為為 n1n1n2n22uuudtudm 因為因為(yn wi)niqa-1nniqa1nueuueu 所以第所以第n個原子個原子(yunz)的運動方程化為的運動方程化為第二十六頁，共91頁。 niqa-iqa2n2u2eedtudm 在長波在長波(chn

18、gb)近似近似下，下， 2iqaiqa21iqa1e0,qa 運動運動(yndng)方程方程又化為又化為 n22niqa-iqa2n2uqau2eedtudm （1）在長波近似下，當(dāng)在長波近似下，當(dāng)l為有限為有限(yuxin)整整數(shù)時，數(shù)時，1limeuulimiqlanln 第二十七頁，共91頁。上式說明上式說明(shumng)，在長波近似在長波近似(jn s)下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子原子以相同的振幅、相同的位相做集體以相同的振幅、相同的位相做集體(jt)運動。運動。因此（因此（1）式可統(tǒng)一寫成）式可統(tǒng)一寫成 ln222ln2uqadtudm 第二

19、章中固體彈性理論所說的宏觀的質(zhì)點運動，正是由這些第二章中固體彈性理論所說的宏觀的質(zhì)點運動，正是由這些原子的整體的運動所構(gòu)成。原子的整體的運動所構(gòu)成。 這些原子偏離平衡位置的位移這些原子偏離平衡位置的位移lnu ，即是宏觀上的質(zhì)點位移，即是宏觀上的質(zhì)點位移u。從宏觀上看，原子的位置從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離 aln 可視為連續(xù)坐標(biāo)可視為連續(xù)坐標(biāo)x，即，即第二十八頁，共91頁。 uAeAeutqxitalnqiln 于是于是(ysh) 22ln2xuuq （2）式化為）式化為22222xuvtu 其中其中(qzhng)mav 是用微觀參數(shù)表示是用微觀

20、參數(shù)表示(biosh)的彈性波的的彈性波的波速。波速。第二十九頁，共91頁。3.8 設(shè)有一個由相同原子組成的二維正方點陣，原子質(zhì)量為設(shè)有一個由相同原子組成的二維正方點陣，原子質(zhì)量為M，晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為a，取近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，取近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為 ，設(shè)原子只作垂，設(shè)原子只作垂直表面的橫向振動。試求直表面的橫向振動。試求 2)長波極限下格波的傳播速度。長波極限下格波的傳播速度。 1)橫向晶格振動的色散關(guān)系；橫向晶格振動的色散關(guān)系； mlmluuf,11 解：解：1)設(shè)設(shè) mlu，垂直于晶格平面的位移，如圖所示。當(dāng)只考慮最近鄰原子間的垂直于晶格平面的位移，如圖所示。當(dāng)只考慮最近鄰原

21、子間的互相作用時，由于（互相作用時，由于（l+1，m）原子對它的作用力）原子對它的作用力代表第（代表第（l，m）個原子（第）個原子（第l行、行、m列的原子）列的原子）第三十頁，共91頁。第（第（l1，m）原子對它的作用力）原子對它的作用力 mlmluuf, 1,2 而而1f和和2f方向是相反的。方向是相反的。（l，m1）原子對（）原子對（l，m）原子的）原子的3f和和 4f得第（得第（l，m）個原子所受的力）個原子所受的力，于是，于是 同樣處理（同樣處理（l，m+1）原子和）原子和作用力作用力a aa aml,m1,l m1,l 1ml, 1ml, 第三十一頁，共91頁。把把(1)式代入運動方

22、程式代入運動方程FuMml , (2)(2) 并把試探解并把試探解 yxmaqlaqtimleuu 0, mlmlmlmliiuuuufF,1,141 1,1, mlmlmlmluuuu mlmlmlmlmlmluuuuuu,1,1, 1, 122 第三十二頁，共91頁。據(jù)此得色散關(guān)系據(jù)此得色散關(guān)系 yxaqaqMcoscos222 (3)(3) 2)長波極限下，長波極限下， yxaqaq 、都是小量都是小量 2xxaq211cosaq 2yyaq211cosaq 同時代入，消去同時代入，消去(xio q)公因子后得公因子后得 42 yyxxiaqiaqiaqiaqeeeeM yxaqaqco

23、scos22 第三十三頁，共91頁。 22222qMaqqMayx 所以所以 aqM 格波的傳播速度格波的傳播速度 Maq 可見，在長波極限可見，在長波極限(jxin)下，格波的傳播速度與波矢下，格波的傳播速度與波矢q無關(guān)。無關(guān)。(3)式變?yōu)槭阶優(yōu)?22221121122yxaqaqM 第三十四頁，共91頁。3.9 一維單原子鏈，原子質(zhì)量為一維單原子鏈，原子質(zhì)量為m，原子間距為，原子間距為a。計及所有原。計及所有原子間的長程作用，且最近鄰、子間的長程作用，且最近鄰、次近鄰、次次近鄰次近鄰、次次近鄰原子間原子間恢復(fù)力恢復(fù)力常數(shù)依次為常數(shù)依次為,3211）求格波的色散關(guān)系；）求格波的色散關(guān)系；2）

24、若恢復(fù)力常數(shù)?。┤艋謴?fù)力常數(shù)取 papaqp0sin 式中，式中， oq常?！爆F(xiàn)象現(xiàn)象(xinxing)：當(dāng)：當(dāng) qqq20 ，pnx 解：解：1)設(shè)第設(shè)第n個原子對平衡位置的位移為個原子對平衡位置的位移為 nx，第，第n+p和和n-p個個原子的位移分別記為原子的位移分別記為 pnx 和和 , 3 , 2 , 1 p，則第，則第n+p 為常數(shù)為常數(shù)(chngsh)，p遍取所有的整數(shù)值，試證明遍取所有的整數(shù)值，試證明“科恩科恩(Kohn)反反。第三十五頁，共91頁。和第和第np個原子個原子(yunz)對第對第n個原子個原子(yunz)的作用力可寫成的作用力可寫成 pnnpnpnppxxxxf n

25、pnpnpxxx2 鏈上每個原子與第鏈上每個原子與第n個原子都有相互作用，故第個原子都有相互作用，故第n個原子的運動個原子的運動(yndng)方程應(yīng)為方程應(yīng)為 002ppnpnpnppnxxxfxm 設(shè)試探解為設(shè)試探解為 naqtinAex 代入運動代入運動(yndng)方程可得方程可得第三十六頁，共91頁。 022pipaqipaqpeem 02cos2pppaq 故格波的色散故格波的色散(ssn)關(guān)系為關(guān)系為 02cos12pppaqm 0221sin4pppaqm (1) 2)2)若若 papaqp0sin 代入代入(1)(1)式得式得 020221sinsin4ppaqpapaqm 第

26、三十七頁，共91頁。 00221cos21sinsin4ppaqpaqpaqmq 當(dāng)當(dāng) 0qq 時，由上式得到時，由上式得到 0022sin20pqpaqmq (2) (2) 因為因為 0sin02 paq，(2)式的求和對無窮原子系列進(jìn)行，故式的求和對無窮原子系列進(jìn)行，故必有必有 02qq 2 或或 對對q的關(guān)系曲線在的關(guān)系曲線在 0qq 處有一條垂直的切線，即處有一條垂直的切線，即曲線在曲線在0q點處扭折，這就是點處扭折，這就是“科恩反?？贫鞣闯！爆F(xiàn)象?，F(xiàn)象。 第三十八頁，共91頁。3.10 設(shè)晶格中每個振子的零點振動能為設(shè)晶格中每個振子的零點振動能為h21，試用德拜模型，試用德拜模型求晶

27、體的零點振動能。求晶體的零點振動能。解：解： d9Nd23D d h21E000 429Nhd29Nh4D3D033D0 DBDNk89Nh89 BDBDDkhk由由所以所以(suy)第三十九頁，共91頁。3.11 已知一個頻率為已知一個頻率為i 的簡諧振動在溫度的簡諧振動在溫度T下的平均能量為下的平均能量為121 TkiiiBie 試用愛因斯坦模型求出由試用愛因斯坦模型求出由N個原子組成的單原子晶體晶格振個原子組成的單原子晶體晶格振動的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。動的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。解：由解：由N個原子組成的單原子晶體共有個原子組成的單原子晶體

28、共有3N個自由度，獨立晶格個自由度，獨立晶格振動方式振動方式(fngsh)數(shù)也等于數(shù)也等于3N，晶體振動的總能量便等于晶體振動的總，晶體振動的總能量便等于晶體振動的總能量便等于這能量便等于這3N個諧振動的能量之和，即個諧振動的能量之和，即 NiTkiiNiiBieE3131121 第四十頁，共91頁。依照愛因斯坦模型，依照愛因斯坦模型， N321，于是上式變?yōu)?，于是上式變?yōu)?1213TkBeNE 1213TkBBBBeTkTkTNk 123xBexxTNk (1)(1) ； 式中式中 TTkxEB BEk 是愛因斯坦是愛因斯坦特征溫度。特征溫度。第四十一頁，共91頁。在高溫極限下，在高溫極限下

29、，x1， xxee 1，從，從(1)式得式得 xBxexTNkE23TEBEBEeNkkN 323第四十二頁，共91頁。3.12 試用試用(shyng)德拜模型求德拜模型求 解解上題。上題。解：按照德拜模型，頻率在解：按照德拜模型，頻率在 d 之間的獨立振動方式之間的獨立振動方式數(shù)等于數(shù)等于 dNdgD239 (1)(1) 式中式中 D 是德拜截止頻率。因為單原子晶體晶格振動的總能量是德拜截止頻率。因為單原子晶體晶格振動的總能量 NiTkiiBieE31121 當(dāng)當(dāng)N很大時，格波的頻率分布是準(zhǔn)連續(xù)很大時，格波的頻率分布是準(zhǔn)連續(xù)(linx)的，故上式可的，故上式可用下列用下列積分計算：積分計算：

30、 dgeEDBTk 0121第四十三頁，共91頁。 deNDBTkD 03331219， 令令 TkxB TDD （D 是德拜特征溫度）將是德拜特征溫度）將上式化簡為上式化簡為 TxDBDdxexxTTNkE 0333129 TxDBDBDdxexTTNkkN0331989(2) (2) 對于高溫極限，對于高溫極限，x1，(2)式中的積分上限式中的積分上限 TD，而且，而且 1111nnxxxxeeee第四十五頁，共91頁。此時此時(c sh)(2)式中的積分變式中的積分變?yōu)闉?103031nTnxxDdxexdxex1590616144141034 nnTyndyeynD因此因此(ync)，

31、從，從(2)式求得式求得1598943 DBDBTTNkkNE345389 DBDBTTNkkN 上式表示，在德拜模型中，低溫時晶格振動上式表示，在德拜模型中，低溫時晶格振動(zhndng)能與溫度的能與溫度的4次方次方成正比。成正比。第四十六頁，共91頁。3.13 求頻率在求頻率在 到到 d 間隔內(nèi)的聲子數(shù)，并寫出固體振動間隔內(nèi)的聲子數(shù)，并寫出固體振動能的表達(dá)式。能的表達(dá)式。解：按照解：按照(nzho)德拜理論，在頻率德拜理論，在頻率 dvvv 間隔間隔(jin g)內(nèi)的獨立振內(nèi)的獨立振動方式動方式數(shù)為數(shù)為 dvvvNdvvgD239 式中，式中， Dv為截止頻率；為截止頻率；N為晶體包含的

32、原子數(shù)。達(dá)到熱平衡時，為晶體包含的原子數(shù)。達(dá)到熱平衡時， 頻率為頻率為v的振動在溫度的振動在溫度T時平均激發(fā)的聲子數(shù)時平均激發(fā)的聲子數(shù) 11 TkhvBen。 因此，在頻率因此，在頻率 dvvv 間隔內(nèi)的聲子數(shù)為間隔內(nèi)的聲子數(shù)為 dvevvNdvvgednTkhvDTkhvvBB191123 第四十七頁，共91頁。每個聲子的能量等于每個聲子的能量等于hv， vdn個聲子所具有的總能量個聲子所具有的總能量dvevvNhhvdndETkhvDvB1933 由此求得晶體由此求得晶體(jngt)總振動能（略去零點能）總振動能（略去零點能） DBvTkhvDdvevvNhdEE03319 TxDBDdv

33、exTTNk03319式中式中 TkhvxB ，（，（ BDkhv 是德拜溫度）。是德拜溫度）。 第四十八頁，共91頁。上式中的積分一般的不能用解析方法求得，但在極限的情況下，上式中的積分一般的不能用解析方法求得，但在極限的情況下，它有如下簡單它有如下簡單(jindn)的結(jié)果：的結(jié)果：在高溫極限下：在高溫極限下： TDxDTdxex033311在低溫極限下：在低溫極限下： TxDdxex043151 代入上式，得到晶體在高溫代入上式，得到晶體在高溫(gown)極限下的總振動能極限下的總振動能 TNkEB3 低溫極限下的總振動能低溫極限下的總振動能3453 DBTTNkE 第四十九頁，共91頁。

34、3.17 3.17 對于對于NaClNaCl晶體，已知恢復(fù)力常數(shù)晶體，已知恢復(fù)力常數(shù) ，試分別求出試分別求出NaClNaCl晶體中光學(xué)支格波和聲學(xué)支格波的最高頻率和晶體中光學(xué)支格波和聲學(xué)支格波的最高頻率和最低頻率。（已知最低頻率。（已知ClCl和和NaNa的原子量分別為的原子量分別為35.535.5和和23.023.0）cmdyn4105 . 1 解：因為一維雙原子晶體解：因為一維雙原子晶體(jngt)的色散關(guān)系為的色散關(guān)系為 212222cos2aqMmmMmMMm 在本題設(shè)下，式中在本題設(shè)下，式中m、M分別代表分別代表Na、CL原子的質(zhì)量。當(dāng)括號原子的質(zhì)量。當(dāng)括號內(nèi)取內(nèi)取“+”號時代表光學(xué)

35、支號時代表光學(xué)支 ，取，取“”號時代表聲學(xué)支號時代表聲學(xué)支 。從。從上式得知，光學(xué)支的最大頻率是上式得知，光學(xué)支的最大頻率是 21max112 Mm 第五十頁，共91頁。由于由于 gm241066. 10 .23 ， gM241066. 15 .35 ，因而得，因而得 21244max1066. 15 .35166. 10 .231105 . 12 srad131060. 3 而光學(xué)而光學(xué)(gungxu)(gungxu)支的最小頻率是支的最小頻率是 212821min1066. 10 .235 . 122 m srad131080. 2 聲學(xué)聲學(xué)(shngxu)(shngxu)支的最大頻率是支

36、的最大頻率是 212821max1066. 15 .355 . 122 M srad131026. 2 第五十一頁，共91頁。（1）NaCl的恢復(fù)力常數(shù)；的恢復(fù)力常數(shù)； （2）長聲學(xué)波的波速；）長聲學(xué)波的波速； （3）NaCl的彈性模量。的彈性模量。已知已知Cl和和Na的原子量分別為的原子量分別為35.5和和23.0。3.18 對對 于于 NaCl 晶晶 體，測體，測 知知 其其 密密 度度 ，正，正 負(fù)負(fù) 離離子子 的的 平平 衡衡 距距 離離 ，光，光 學(xué)學(xué) 支支 格格 波波 的的 最最 高高 頻頻 率率為為 。試以一維雙原子晶鏈模型計算：。試以一維雙原子晶鏈模型計算： 318. 2cmg

37、 101081. 2 a srad18max1060. 3 解：解：(1)對于一維雙原子對于一維雙原子(yunz)鏈，格波光學(xué)支的最高頻率為鏈，格波光學(xué)支的最高頻率為 21max112 Mm (1) 第五十二頁，共91頁。式中，式中， 為原子間的恢復(fù)力常數(shù)；為原子間的恢復(fù)力常數(shù)；m、M分別代表兩種原子的質(zhì)分別代表兩種原子的質(zhì)量。對于量。對于NaCL，已知，已知Na原子質(zhì)量原子質(zhì)量 ，CL原原子質(zhì)量子質(zhì)量 ，平衡時，平衡時， 和和 的距離為的距離為 ， 。因此，從。因此，從(1)式可得其式可得其恢復(fù)力常數(shù)恢復(fù)力常數(shù) gm241066. 10 .23 g1066. 15 .35M24 Na Clm

38、101081. 2 srad18max1008. 3 MmmM max221 2621060. 321 5 .350 .235 .350 .23241066. 1 cmdyn4105 .1 (2)(2)對于聲學(xué)對于聲學(xué)(shngxu)(shngxu)波，在長波極限下，其傳播速度為波，在長波極限下，其傳播速度為 212 Mma 第五十三頁，共91頁。所以所以(suy) 2124481066. 15 .350 .23105 . 121081. 2 smscm49401094. 45 (3)(3)有彈性波理論知道，波速有彈性波理論知道，波速 E 式中，式中，E E是介質(zhì)的彈性模量；是介質(zhì)的彈性模量；

39、 為介質(zhì)密度。為介質(zhì)密度。 211252102 . 51094. 418. 2cmdynE ， 318. 2cmg 故有故有 已知已知第五十四頁，共91頁。3.19 設(shè)一維晶鏈由二價正離子組成，晶鍵靠離子之間的相互設(shè)一維晶鏈由二價正離子組成，晶鍵靠離子之間的相互斥力而達(dá)到平衡。離子的質(zhì)量為斥力而達(dá)到平衡。離子的質(zhì)量為kg27107 . 1 ，平衡時的離子，平衡時的離子 間距為間距為 m10100 . 5 。試求縱向格波的最高頻率和最大波速。試求縱向格波的最高頻率和最大波速。 解：解： , 3 , 2 , 1 n表示表示(biosh)；n1-n1n 2-n2n anx1-nx1nx 2-nx2n

40、x 如圖所示，離子如圖所示，離子(lz)的坐標(biāo)由的坐標(biāo)由na由于由于(yuy)熱熱第五十五頁，共91頁。運動運動(yndng)，nx , 3 , 2 , 1 n。庫侖定律，兩粒子間的互相庫侖定律，兩粒子間的互相(h xing)斥力為斥力為222422rekreekf 式中，式中，k k為靜電為靜電(jngdin)(jngdin)衡量；衡量；r r為離子間距。為離子間距。 21221244 nnnnnxxaekxxaekxm 2122122444nnnnxxaexxaeke(1)(1) 因為離子偏離平衡位置的熱動動只是一種微振動，可將因為離子偏離平衡位置的熱動動只是一種微振動，可將(1)(1)式

41、式括號中的項在平衡位置附近按泰勒級數(shù)展開，并只計及一次項括號中的項在平衡位置附近按泰勒級數(shù)展開，并只計及一次項它們離開平衡位置的位移記為它們離開平衡位置的位移記為根據(jù)根據(jù)相互作用，運動方程可表述為相互作用，運動方程可表述為如果只考慮相鄰離子間的如果只考慮相鄰離子間的第五十六頁，共91頁。則有則有 212212211114axxaaxxakexmnnnnn 2121221214aaxxaaxxkennnn nnnxxxake 11328令試探令試探(shtn)解為解為 naqtinAex （2 2）第五十七頁，共91頁。式中，式中，A、 、q分別分別(fnbi)為振幅、角頻率和波矢。為振幅、角頻

42、率和波矢。式得出式得出(d ch) aqakeeeakemiaqiaq21sin3228232322 即即 aqaqmake21sin21sin3222max2322 式中式中 max 為格波的最高角頻率：為格波的最高角頻率： 2122132max2432 makeamake （3）把上式代入把上式代入(2)第五十八頁，共91頁。把下列把下列(xili)數(shù)據(jù)代入：數(shù)據(jù)代入：mJke 2821030. 2ma10105 kggm2724107 .1107 .1 得到得到(d do) srad142110272810max108 . 1105107 . 11030. 221054 最大波速最大波速

43、(b s)對應(yīng)于長波極限下的波速對應(yīng)于長波極限下的波速(b s)。 第五十九頁，共91頁。此時此時(c sh)q(c sh)q很小，很小，(3)(3)式給出式給出 qamax21 于是于是(ysh)，得到最大波速為，得到最大波速為maxmaxmax221 aqqaq sm41410105 . 4108 . 12105 第六十頁，共91頁。3.21 試用一維單原子鏈模型證明：格林愛森系數(shù)試用一維單原子鏈模型證明：格林愛森系數(shù) 是一是一 個常數(shù)。個常數(shù)。 證明：對于一維單原子證明：對于一維單原子(yunz)鏈，格波的色散關(guān)系為鏈，格波的色散關(guān)系為 aqm21sin422 (1) 式中，式中， 為晶

44、鏈近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)；為晶鏈近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)；m為晶格原子的質(zhì)為晶格原子的質(zhì) 量；量；a是原子間距；是原子間距；q為格波的波矢。為格波的波矢。因而因而aq=S/N是一個與原子間距是一個與原子間距a無關(guān)的參量無關(guān)的參量(cnling)，可以把，可以把(1)式寫式寫成成矢矢q只能取分立值只能取分立值 Nasq ，且，且 22NSN （S為整數(shù)），為整數(shù)），設(shè)晶鏈包含設(shè)晶鏈包含N個原子，波個原子，波第六十一頁，共91頁。 aqm21sin422(2) 此處此處 aqm21sin42 是一個與是一個與a無關(guān)的量，頻率無關(guān)的量，頻率 對原子間距對原子間距a的關(guān)系是通過恢復(fù)力的關(guān)系是通過恢復(fù)力

45、常數(shù)常數(shù) 相關(guān)聯(lián)的。相關(guān)聯(lián)的。對于一維單原子鏈，格林愛森常數(shù)對于一維單原子鏈，格林愛森常數(shù) Naddlnln lnln21ln (3) 由由(2)式得式得第六十二頁，共91頁。Na為晶鏈的長度為晶鏈的長度(chngd)。把。把(3)式代入即得式代入即得 dadaaddaNdd 2lnlnlnlnlnln21 (4) 注意到恢復(fù)力常數(shù)注意到恢復(fù)力常數(shù) 是晶格原子互作用能是晶格原子互作用能U的二次微商，的二次微商， 即即 UdaUd 22 因而因而 UdaUddad 第六十三頁，共91頁。故故(4)(4)式可寫作式可寫作UUa 2 因為對于已知晶格，因為對于已知晶格， U 和和 U 是確定的數(shù)，因

46、此是確定的數(shù)，因此 也是確定也是確定的常數(shù)。此外，的常數(shù)。此外， 的出現(xiàn)是由于互作用能中的非諧項引起的，的出現(xiàn)是由于互作用能中的非諧項引起的，如果晶體做嚴(yán)格的諧振動，則如果晶體做嚴(yán)格的諧振動，則 0 U，必有，必有 0 。 第六十四頁，共91頁。3.22 3.22 證明：固體的體脹系數(shù)證明：固體的體脹系數(shù) ，體積，體積V V和體積彈性模量和體積彈性模量K K間間滿足格林愛森關(guān)系：滿足格林愛森關(guān)系：KVCV 。式中，。式中， VC為固體的定容為固體的定容熱容量；熱容量； 是格林愛森常數(shù)。是格林愛森常數(shù)。 證明：按定義，晶體的體脹系數(shù)證明：按定義，晶體的體脹系數(shù)pTVV 1 使用熟知的循環(huán)關(guān)系式使

47、用熟知的循環(huán)關(guān)系式 1 TVpVPPTTV上式化為上式化為TVpPVTPVTVV 11 VTVTPKVPTPV 11(1)(1) 第六十五頁，共91頁。式中式中 TVPVK 是體積彈性模量。是體積彈性模量。對于晶體，有格林愛森常數(shù)狀態(tài)方程：對于晶體，有格林愛森常數(shù)狀態(tài)方程： VEdVVdUP (2) 式中，式中，U(V)是是0K時晶體的互作用能，時晶體的互作用能， E為晶體熱振動的平均為晶體熱振動的平均 總能量；總能量； 是格林愛森常數(shù)。是格林愛森常數(shù)。代回代回(1)式即得式即得 VCKV 無關(guān)，則有無關(guān)，則有 VCTEVTPVVV 對對(2)式求微商，由于式求微商，由于U(V)與溫度與溫度

48、第六十六頁，共91頁。3.23 由正負(fù)離子構(gòu)成的一維離子鏈，離子間距為由正負(fù)離子構(gòu)成的一維離子鏈，離子間距為 ，離子質(zhì)量，離子質(zhì)量都為都為 ，電荷交替變化，即第，電荷交替變化，即第 個離子的電荷個離子的電荷 ，原子間的互作用勢是兩種作用勢之和，其一為近鄰兩原子的短程原子間的互作用勢是兩種作用勢之和，其一為近鄰兩原子的短程作用，力系數(shù)為作用，力系數(shù)為 ；其二是所有離子間的庫侖作用。證明：；其二是所有離子間的庫侖作用。證明： amn n1eq （1）庫侖力對力常數(shù)的貢獻(xiàn)為）庫侖力對力常數(shù)的貢獻(xiàn)為 ;ape12332ppn,n （2）色散關(guān)系為）色散關(guān)系為 ,pcospa112qasin1p3p22

49、02 其中其中;ae,m43220 （3）0.475,qa 時，格波為軟模。時，格波為軟模。第六十七頁，共91頁。證明證明(zhngmng)：（1）設(shè)離子鏈沿水平）設(shè)離子鏈沿水平(shupng)方向。方向。第第 個離子右端的第個離子右端的第 個個 離子與第離子與第 個離子間的庫侖力為個離子間的庫侖力為nnpn 2npn2npnp,nnuupae11f 上式右端加一負(fù)號，是我們規(guī)定坐標(biāo)上式右端加一負(fù)號，是我們規(guī)定坐標(biāo)(zubio)的正方向指向的正方向指向右端。右端。考慮到考慮到pa,uunpn 可將上式展成可將上式展成 npnuu 級數(shù)，級數(shù)，取一級近似得取一級近似得 pauu21pae1fnp

50、n22pp,nn第六十八頁，共91頁。第第 個離子左端的第個離子左端的第 個離子與第個離子與第 個離子間的庫侖力為個離子間的庫侖力為npn n 2pnn2npnp,nnuupae11f 取一級近似取一級近似(jn s)得得 pauu21pae1fpnn22pp,nn第第 個離子和第個離子和第 個離子對第個離子對第 個離子間的庫侖合力為個離子間的庫侖合力為pn pn n npnpn332pp,nn2uuuape12f 可見可見(kjin)庫侖力對力常數(shù)的貢獻(xiàn)庫侖力對力常數(shù)的貢獻(xiàn)為為 332pape12 第六十九頁，共91頁。（2） 第第 個離子的運動方程為個離子的運動方程為n 1pp,nnn1n1nnf2uuudtdum 1pnpnpn32pn1n1n2uuupae122uuu設(shè)格波解設(shè)格波解 tqnaintqapnipnAeu,Aeu 則由離子的運動則由離子的運動(yndng)方方程得程得第七十頁，共91頁。 ipqaipqa1p32piqaiqa2ee2pae12m1ee2m cospq