小學(xué)奧數(shù)教案——抽屜原理(解析版)

1、優(yōu)秀教案歡迎下載教案抽屜原理一 本講學(xué)習(xí)目標(biāo)初步抽屜原理的方法和心得。二 概念解析把 3 個蘋果任意放到兩個抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？一個抽屜放一個，另一個抽屜放兩個；或 3 個蘋果放在某一個抽屜里 . 盡管放蘋果的方式有所不同，但是總有一個共同的規(guī)律：至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果. 如果把 5 個蘋果任意放到4 個抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結(jié)果 . 由此我們可以想到，只要蘋果的個數(shù)多于抽屜的個數(shù)，就一定能保證至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果 . 道理很簡單：如果每個抽屜里的蘋果都不到兩個（也就是至多有1 個），那么所有抽屜里的蘋果數(shù)的和就比總數(shù)少了. 由此得

2、到：抽屜原理：把多于n 個的蘋果放進(jìn)n 個抽屜里，那么至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。如果把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結(jié)論，所以有時也把抽屜原理叫做鴿籠原理 . 不要小看這個“原理” ，利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數(shù)學(xué)問題。比如，我們從街上隨便找來13 人，就可以斷定他們中至少有兩個人屬相（指鼠、牛、虎、兔、等十二種生肖）相同. 怎樣證明這個結(jié)論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚. 事實(shí)上，由于人數(shù)（13）比屬相數(shù)（12）多，因此至少有兩個人屬相相同（在這里，把13 人看成13 個“蘋果”，把 12 種屬相看成12 個“抽屜”）。應(yīng)用抽屜原理要

3、注意識別“抽屜”和“蘋果”，蘋果的數(shù)目一定要大于抽屜的個數(shù)。三 例題講解例 1有 5 個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子 . 請你證明，這 5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。分析與解答 首先要確定 3 枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑2 白，3 白共 4 種配組情況，看作 4 個抽屜 . 把每人的 3 枚棋作為一組當(dāng)作一個蘋果，因此共有 5 個蘋果 . 把每人所拿 3 枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜 . 由于有 5 個蘋果，比抽屜個數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所

4、拿棋子的顏色配組是一樣的。優(yōu)秀教案歡迎下載例 2 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？分析與解答 撲克牌中有方塊、 梅花、黑桃、紅桃 4 種花色， 2 張牌的花色可以有： 2 張方塊， 2 張梅花， 2 張紅桃， 2 張黑桃， 1 張方塊 1 張梅花， 1 張方塊 1 張黑桃， 1 張方塊 1 張紅桃， 1 張梅花 1 張黑桃， 1 張梅花 1 張紅桃， 1 張黑桃 1 張紅桃共計(jì) 10 種情況 . 把這 10 種花色配組看作 10 個抽屜，只要蘋果的個數(shù)比抽屜的個數(shù)多 1 個就可以有題目所要的結(jié)果 . 所以至少有

5、11 個人。例 3 證明：任取 8 個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7 的倍數(shù)。分析與解答 在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個整數(shù) a、b，它們除以自然數(shù) m 的余數(shù)相同，那么它們的差 a-b 是 m的倍數(shù) . 根據(jù)這個性質(zhì)，本題只需證明這 8 個自然數(shù)中有 2 個自然數(shù)，它們除以 7 的余數(shù)相同 . 我們可以把所有自然數(shù)按被 7 除所得的 7 種不同的余數(shù) 0、1、2、3、4、5、6 分成七類 . 也就是 7 個抽屜 . 任取 8 個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個數(shù)在同一個抽屜中， 也就是它們除以 7 的余數(shù)相同， 因此這兩個數(shù)的差一定是 7 的倍數(shù)。把所有整數(shù)按照除以某個自然數(shù)m的余數(shù)分

6、為 m類，叫做 m的剩余類或同余類， 用0 ，1 ， 2 ， m-1 表示 . 每一個類含有無窮多個數(shù)，例如 1 中含有 1， m+1，2m 1， 3m 1， . 在研究與整除有關(guān)的問題時，常用剩余類作為抽屜 . 根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意 n+1 個自然數(shù)中，總有兩個自然數(shù)的差是 n 的倍數(shù)。在有些問題中， “抽屜”和“蘋果”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“蘋果” . 如何制造 “抽屜” 和“蘋果” 可能是很困難的， 一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。例 4 從 2、4、6、 30 這 15 個偶數(shù)中，任取9 個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是34

7、。分析與解答我們用題目中的 15 個偶數(shù)制造 8 個抽屜：凡是抽屜中有兩個數(shù)的，都具有一個共同的特點(diǎn)：這兩個數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的 15 個偶數(shù)中任取 9 個數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?8 個），必有兩個數(shù)在同一個抽屜中 . 由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個數(shù)的和是 34。例 5 從 1、2、3、4、 19、20 這 20 個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是 12。分析與解答在這 20 個自然數(shù)中，差是 12 的有以下 8 對：優(yōu)秀教案歡迎下載20，8， 19，7， 18，6， 17，5， 16， 4， 15， 3， 14，2， 13，1。另外還有 4 個不能

8、配對的數(shù) 9， 10， 11， 12，共制成 12 個抽屜（每個括號看成一個抽屜） . 只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于 12，根據(jù)抽屜原理至少任選 13 個數(shù)，即可辦到（取 12 個數(shù)：從 12 個抽屜中各取一個數(shù) （例如取 1，2，3，12），那么這 12 個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于 12）。例 6 從 1 到 20 這 20 個數(shù)中，任取 11 個數(shù)，必有兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。分析與解答根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原則制造抽屜 . 把這 20 個數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成 10 個抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)

9、）：1，2，4，8，16，3，6，12，5，10，20，7，14， 9，18，11， 13， 15， 17， 19。從這 10 個數(shù)組的 20 個數(shù)中任取 11 個數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)取自同一個抽屜 . 由于凡在同一抽屜中的兩個數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個數(shù)中，其中一個數(shù)一定是另一個數(shù)的倍數(shù)。例 7 證明：在任取的5 個自然數(shù)中，必有3 個數(shù)，它們的和是3 的倍數(shù)。分析與解答 按照被 3 除所得的余數(shù)， 把全體自然數(shù)分成 3 個剩余類，即構(gòu)成 3 個抽屜 . 如果任選的 5 個自然數(shù)中，至少有 3 個數(shù)在同一個抽屜， 那么這 3 個數(shù)除以 3 得到相同的余數(shù) r ，所以它們的和一定是

10、 3 的倍數(shù)（ 3r 被 3 整除）。如果每個抽屜至多有 2 個選定的數(shù)， 那么 5 個數(shù)在 3 個抽屜中的分配必為 1 個，2 個，2個，即 3 個抽屜中都有選定的數(shù) . 在每個抽屜中各取 1 個數(shù)，那么這 3 個數(shù)除以 3 得到的余數(shù)分別為 0、1、2. 因此，它們的和也一定能被 3 整除（ 0+1+2 被 3 整除）。例 8 某校校慶，來了 n 位校友，彼此認(rèn)識的握手問候 . 請你證明無論什么情況，在這 n 個校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。分析與解答 共有 n 位校友，每個人握手的次數(shù)最少是 0 次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有 n-1 次，即這個人與每位到會校友都握了手

11、. 校友人數(shù)與握手次數(shù)的不同情況（ 0， 1， 2， n-1 ）數(shù)都是 n，還無法用抽屜原理。然而，如果有一個校友握手的次數(shù)是 0 次，那么握手次數(shù)最多的不能多于 n-2 次；如果有一個校友握手的次數(shù)是 n-1 次，那么握手次數(shù)最少的不能少于 1 次 . 不管是前一種狀態(tài) 0、1、2、 n-2 ，還是后一種狀態(tài) 1、2、3、 n-1 ，握手次數(shù)都只有 n-1 種情況 . 把這 n-1 種情況看成 n-1 個抽屜，到會的 n 個校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數(shù)一樣多。優(yōu)秀教案歡迎下載五 課堂練習(xí)1. 從 10 至 20 這

12、11 個自然數(shù)中，任取7 個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是29。2. 從 1、2、3、 20 這 20 個數(shù)中，任選 12 個數(shù)，證明其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是11。3.20 名小圍棋手進(jìn)行單循環(huán)比賽 （即每個人都要和其他任何人比賽一次） ，證明：在比賽中的任何時候統(tǒng)計(jì)每人已經(jīng)賽過的場次都至少有兩位小棋手比賽過相同的場次。4. 從整數(shù) 1、2、3、 199、200 中任選 101 個數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個數(shù)，其中的一個是另一個的倍數(shù) .5.將這 11 個自然數(shù)分成下列6 組：10，19， 11， 18， 12，17， 13，16， 14，15， 20，從中任取7 個數(shù)，根據(jù)

13、抽屜原理，一定有兩個數(shù)取自同一數(shù)組，則這兩個數(shù)的和是29。優(yōu)秀教案歡迎下載6.把這 20 個數(shù)分成下列 11 個組。1，12， 2，13，3，14， 9，20， 10， 11 .其中前 9 組中的兩數(shù)差為 11.任取 12 個數(shù)，其中必有兩個數(shù)取自同一數(shù)組，則它們的差是 11.7.如果有一個人賽過0 次（即他還未與任何人賽過） ，那么最多的只能賽過18 次；如果有人賽過 19 次（即他已與每個人都賽過了），那么最少的只能賽過 1 次 .無論怎樣，都只有 19 種情況，根據(jù)抽屜原理， 20 名棋手一定有兩人賽過的場次相同。8.把這 200 個數(shù)分類如下：1，1×2，1×22，1×23， 1×27，3，3×2，3×22，3×23， 3×26，5，5×2，5×22，5×23， 5×25，(50)99， 99×2，(51)101，(52)103，(100)199，以上共分為 100 類，即 100 個抽屜，顯然在同一類中的數(shù)若不少于兩個，那么這類中的任意兩個數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系 .從中任取 101 個數(shù)，根據(jù)抽屜原理，一定至少有兩個數(shù)取自同一類，因此其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù).優(yōu)秀教案歡迎下載六 勵志或?qū)W科小故事居里夫人幾十年前，波蘭有個叫瑪妮