小學(xué)奧數(shù)教案——抽屜原理

1、優(yōu)秀教案歡迎下載教案抽屜原理一本講學(xué)習(xí)目標(biāo)初步抽屜原理的方法和心得；二概念解析把 3 個(gè)蘋果任意放到兩個(gè)抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？一個(gè)抽屜放一個(gè)，另一個(gè)抽屜放兩個(gè)； 或 3 個(gè)蘋果放在某一個(gè)抽屜里. 盡管放蘋果的方式有所不同，但是總有一個(gè)共同的規(guī)律：至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果. 假如把 5 個(gè)蘋果任意放到4 個(gè)抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結(jié)果 . 由此我們可以想到，只要蘋果的個(gè)數(shù)多于抽屜的個(gè)數(shù)，就肯定能保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果 . 道理很簡潔：假如每個(gè)抽屜里的蘋果都不到兩個(gè)（也就是至多有1 個(gè)），那么全部抽屜里的蘋果數(shù)的和就比總數(shù)少了. 由此得到：

2、抽屜原理：把多于n 個(gè)的蘋果放進(jìn)n 個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果；假如把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結(jié)論，所以有時(shí)也把抽屜原理叫做鴿籠原理 . 不要小看這個(gè)“原理”，利用它可以解決一些表面看來好像很難的數(shù)學(xué)問題；比如，我們從街上任憑找來13 人，就可以肯定他們中至少有兩個(gè)人屬相（指鼠、牛、虎、兔、等十二種生肖）相同. 怎樣證明這個(gè)結(jié)論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很簡潔把道理講清晰. 事實(shí)上，由于人數(shù)（ 13）比屬相數(shù)（12）多，因此至少有兩個(gè)人屬相相同（在這里，把13 人看成 13 個(gè)“蘋果”，把 12 種屬相看成12 個(gè)“抽屜”）；應(yīng)用抽屜原理要留

3、意識別“抽屜”和“蘋果”，蘋果的數(shù)目肯定要大于抽屜的個(gè)數(shù)；三例題講解例 1 有 5 個(gè)小伴侶，每人都從裝有很多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子 . 請你證明，這 5 個(gè)人中至少有兩個(gè)小伴侶摸出的棋子的顏色的配組是一樣的；分析與解答第一要確定 3 枚棋子的顏色可以有多少種不同的情形，可以有：3 黑，2 黑 1 白， 1 黑 2 白，3 白共 4 種配組情形，看作4 個(gè)抽屜 . 把每人的 3 枚棋作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果，因 此共有 5 個(gè)蘋果 . 把每人所拿3 枚棋子按其顏色配組情形放入相應(yīng)的抽屜. 由于有 5 個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以依據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿

4、棋子的顏色配組是一樣的；優(yōu)秀教案歡迎下載例 2 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨便摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中肯定有兩人所摸兩張牌的花色情形是相同的？分析與解答撲克牌中有方塊、 梅花、黑桃、紅桃 4 種花色， 2 張牌的花色可以有： 2 張方塊，2 張梅花， 2 張紅桃， 2 張黑桃， 1 張方塊 1 張梅花， 1 張方塊 1 張黑桃， 1 張方塊 1 張紅桃，1 張梅花 1 張黑桃， 1 張梅花 1 張紅桃， 1 張黑桃 1 張紅桃共計(jì) 10 種情形 . 把這 10 種花色配組看作 10 個(gè)抽屜，只要蘋果的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多 1 個(gè)就可以有題目所要的結(jié)果 . 所以至少有 11 個(gè)

5、人；例 3 證明：任取8 個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7 的倍數(shù)；分析與解答在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，假如兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m 的余數(shù)相同，那么它們的差a-b 是 m的倍數(shù) . 依據(jù)這個(gè)性質(zhì)，此題只需證明這8 個(gè)自然數(shù)中有 2 個(gè)自然數(shù)，它們除以7 的余數(shù)相同 . 我們可以把全部自然數(shù)按被7 除所得的7 種不同的余數(shù) 0、1、2、3、4、5、6 分成七類 . 也就是 7 個(gè)抽屜 . 任取 8 個(gè)自然數(shù)，依據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以7 的余數(shù)相同， 因此這兩個(gè)數(shù)的差肯定是7 的倍數(shù)；把全部整數(shù)依據(jù)除以某個(gè)自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做 m的剩余類或同余類

6、， 用0 ，1 ， 2 ， m-1 表示. 每一個(gè)類含有無窮多個(gè)數(shù)，例如1 中含有 1， m+1，2m 1， 3m 1，. 在討論與整除有關(guān)的問題時(shí)，常用剩余類作為抽屜. 依據(jù)抽屜原理，可以證明：任意 n+1 個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n 的倍數(shù)；在有些問題中， “抽屜”和“蘋果”不是很明顯的，需要細(xì)心制造“抽屜”和“蘋果”. 如何制造“抽屜” 和“蘋果” 可能是很困難的， 一方面需要仔細(xì)地分析題目中的條件和問題， 另一方面需要多做一些題積存體會；例 4 從 2、4、6、30 這 15 個(gè)偶數(shù)中，任取9 個(gè)數(shù)，證明其中肯定有兩個(gè)數(shù)之和是34；分析與解答我們用題目中的15 個(gè)偶數(shù)制造8 個(gè)

7、抽屜：凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34；現(xiàn)從題目中的15 個(gè)偶數(shù)中任取9 個(gè)數(shù)，由抽屜原理（由于抽屜只有8 個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中. 由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34；例 5 從 1、2、3、4、 19、20 這 20 個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其中一 定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12；分析與解答在這20 個(gè)自然數(shù)中，差是12 的有以下 8 對：優(yōu)秀教案歡迎下載20，8， 19，7， 18，6， 17，5， 16， 4， 15， 3， 14，2， 13，1；另外仍有4 個(gè)不能配對的數(shù) 9， 10， 11， 12，共制成12 個(gè)抽屜（每個(gè)括號看

8、成一個(gè)抽屜）. 只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，依據(jù)抽屜原理至少任選13 個(gè)數(shù)，即可辦到（取 12 個(gè)數(shù)：從 12 個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù) （例如取 1，2，3， 12），那么這12 個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12）；例 6 從 1 到 20 這 20 個(gè)數(shù)中，任取11 個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；分析與解答依據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮依據(jù)同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系 的原就制造抽屜 . 把這 20 個(gè)數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10 個(gè)抽屜（明顯，它們具有上述性質(zhì)）：1，2，4，8，16，3，6，12，5，10，20，7，14， 9，18，1

9、1， 13， 15， 17， 19；從這 10 個(gè)數(shù)組的 20 個(gè)數(shù)中任取11 個(gè)數(shù)，依據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜. 由于凡在同一抽屜中的兩個(gè)數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)肯定是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；例 7 證明：在任取的5 個(gè)自然數(shù)中，必有3 個(gè)數(shù)，它們的和是3 的倍數(shù)；分析與解答依據(jù)被 3 除所得的余數(shù)， 把全體自然數(shù)分成3 個(gè)剩余類， 即構(gòu)成 3 個(gè)抽屜 . 假如任選的 5 個(gè)自然數(shù)中， 至少有 3 個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜， 那么這 3 個(gè)數(shù)除以3 得到相同的余數(shù)r ，所以它們的和肯定是3 的倍數(shù)（ 3r 被 3 整除）；假如每個(gè)抽屜至多有2 個(gè)選定的數(shù)， 那么 5 個(gè)數(shù)在

10、 3 個(gè)抽屜中的安排必為1 個(gè)，2 個(gè)，2個(gè)，即 3 個(gè)抽屜中都有選定的數(shù). 在每個(gè)抽屜中各取1 個(gè)數(shù)，那么這3 個(gè)數(shù)除以3 得到的余數(shù)分別為0、1、2. 因此，它們的和也肯定能被3 整除（ 0+1+2 被 3 整除）；例 8 某校校慶，來了n 位校友，彼此熟悉的握手問候. 請你證明無論什么情形，在這n 個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多；分析與解答共有 n 位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)最少是0 次，即這個(gè)人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1 次，即這個(gè)人與每位到會校友都握了手. 校友人數(shù)與握手次數(shù)的不憐憫形（ 0， 1， 2， n-1 ）數(shù)都是n，仍無法用抽屜原理；然而，假如有一個(gè)校友握手的次

11、數(shù)是0 次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n-2 次；假如有一個(gè)校友握手的次數(shù)是n-1 次，那么握手次數(shù)最少的不能少于1 次. 不管是前一種狀態(tài)0、 1、2、n-2 ，仍是后一種狀態(tài)1、2、3、n-1 ，握手次數(shù)都只有n-1 種情形 . 把這 n-1種情形看成n-1 個(gè)抽屜，到會的n 個(gè)校友每人依據(jù)其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，依據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽屜，就這兩個(gè)人握手的次數(shù)一樣多；優(yōu)秀教案歡迎下載五課堂練習(xí)1. 從 10 至 20 這 11 個(gè)自然數(shù)中，任取7 個(gè)數(shù)，證明其中肯定有兩個(gè)數(shù)之和是29；2. 從 1、2、3、20 這 20 個(gè)數(shù)中，任選12 個(gè)數(shù)，證明其中肯定包括兩個(gè)數(shù)

12、，它們的差是 11；3.20 名小圍棋手進(jìn)行單循環(huán)競賽（即每個(gè)人都要和其他任何人競賽一次），證明： 在競賽中的任何時(shí)候統(tǒng)計(jì)每人已經(jīng)賽過的場次都至少有兩位小棋手競賽過相同的場次；4. 從整數(shù) 1、2、3、199、200 中任選 101 個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).5.將這 11 個(gè)自然數(shù)分成以下6 組：10，19， 11， 18， 12，17， 13，16， 14，15， 20，從中任取7 個(gè)數(shù)，依據(jù)抽屜原理，肯定有兩個(gè)數(shù)取自同一數(shù)組，就這兩個(gè)數(shù)的和是29；優(yōu)秀教案歡迎下載6.把這 20 個(gè)數(shù)分成以下11 個(gè)組；1，12， 2，13，3，14， 9，20

13、， 10， 11 .其中前 9 組中的兩數(shù)差為 11.任取 12 個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)取自同一數(shù)組，就它們的差是11.7.假如有一個(gè)人賽過0 次（即他仍未與任何人賽過），那么最多的只能賽過18 次；假如有人賽過19 次（即他已與每個(gè)人都賽過了），那么最少的只能賽過1 次.無論怎樣，都只有 19 種情形，依據(jù)抽屜原理，20 名棋手肯定有兩人賽過的場次相同；8.把這 200 個(gè)數(shù)分類如下：1，1×2，1×22，1×23， 1×27，2363，3×2，3×2 ，3×2 ， 3×2 ，5，5×2，5×22，5×23， 5×25，5099， 99×2， 51101， 52103，100199，以上共分為100 類，即 100 個(gè)抽屜，明顯在同一類中的數(shù)如不少于兩個(gè)，那么這類中的 任意兩個(gè)數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系.從中任取 101 個(gè)數(shù)，依據(jù)抽屜原理，肯定至少有兩個(gè)數(shù)取自同一類，因此其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).優(yōu)秀教案歡迎下載六勵志或?qū)W科小故事居里夫人幾十年前，波蘭有個(gè)叫瑪妮雅的小姑娘