線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、大學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章行列式二三階行列式N 階 行 列 式 ： 行 列 式 中 所 有 不 同 行 、 不 同 列 的 n 個(gè) 元 素 的 乘 積 的 和aijn( 1) ( j1 j2 . jn )a1 ja2 j2.anjn1j 1 j2 j n（奇偶）排列、逆序數(shù)、對(duì)換行列式的性質(zhì)： 行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式DD T ） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。 常數(shù) k 乘以行列式的某一行（列），等于 k 乘以此行列式。推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列

2、式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開(kāi)：余子式M ij 、代數(shù)余子式Aij( 1)i j M ij定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零。克萊姆法則：非齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D0 時(shí)，有唯一解： x jD j ( j1、2n)D齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D1 0 時(shí)，則只有零解逆否：若方程組存在非零解，則D 等于零特殊行列式：a11a12a13a11a21a31轉(zhuǎn)置行列式： a21a22a23a12a22a32a31a32a33a13a23a33對(duì)稱行列式 : aija ji反對(duì)稱行列式 :

3、 aija ji奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零a11a12a13三線性行列式 :a21a220方法：用 k1a22 把 a21 化為零，?；癁槿切涡辛惺絘310a33上（下）三角形行列式:行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣的概念： Am* n （零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n 階方陣、相等矩陣 )矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣）-交換、結(jié)合律數(shù)乘 kA (kaij )m* n - 分配、結(jié)合律lA* B( aik )m*l * (bkj )l * n ( aik bkj ) m* n乘法1注意什么時(shí)候

4、有意義一般 AB=BA，不滿足消去律；由AB=0 ，不能得 A=0 或 B=0轉(zhuǎn)置 (AT)TA(A B)TATBT(kA)TkAT( AB)TBT AT (反序定理 )方冪： Ak1 Ak2Ak1 k2( Ak1 ) k2Ak1 k2幾種特殊的矩陣：對(duì)角矩陣 ：若AB都是 N 階對(duì)角陣，k 是數(shù)，則 kA 、 A+B 、AB 都是 n 階對(duì)角陣數(shù)量矩陣： 相當(dāng)于一個(gè)數(shù)（若 ）單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若 ）對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣階梯型矩陣 ：每一非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方都是 0分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置注： 把分出來(lái)的小塊矩陣看成是元素逆

5、矩陣：設(shè)A是 N 階方陣，若存在 N階矩陣 B 的 AB=BA=I 則稱 A 是可逆的，A 1B (非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣 )初等變換1、交換兩行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、將某行（列）的K倍加到另一行（列） 初等變換不改變矩陣的可逆性初等矩陣都可逆初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嚱?jīng)過(guò)一次初等變換得到的（對(duì)換陣倍乘陣 倍加陣）等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 DrI rOOO矩陣的秩r(A) ：滿秩矩陣降秩矩陣若 A 可逆，則滿秩若 A 是非奇異矩陣，則r（ AB ） =r（ B）初等變換不改變矩陣的秩求法： 1 定義 2 轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別：都是數(shù)表 ；行列式行數(shù)列數(shù)一

6、樣，矩陣不一樣 ；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等，就 相 等 ， 矩 陣 是 一 個(gè) 數(shù) 表 ， 對(duì) 應(yīng) 元 素 相 等 才 相 等 ； 矩 陣 ( kaij ) nk (aij ) n ， 行 列 式kaijnkn aijn逆矩陣注 ： AB=BA=I 則 A 與 B 一定是方陣 BA=AB=I則A 與B一定互逆；不是所有的方陣都存在逆矩陣；若A 可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律 ：1、可逆矩陣 A 的逆矩陣也是可逆的，且(A1)1A2、可逆矩陣 A 的數(shù)乘矩陣 kA 也是可逆的，且(kA) 11 A 1k3、可逆矩陣 A 的轉(zhuǎn)置 AT也是可逆的，且 ( AT ) 1(A

7、1)T4、兩個(gè)可逆矩陣A 與 B 的乘積 AB 也是可逆的，且 ( AB) 1B1A1但是兩個(gè)可逆矩陣 A 與 B 的和 A+B 不一定可逆， 即使可逆， 但 ( A B)A 1B 1A 為 N 階方陣，若 |A|=0，則稱 A 為奇異矩陣 ，否則為 非奇異矩陣 。5、若 A 可逆，則 A 11A伴隨矩陣： A 為 N 階方陣，伴隨矩陣： A*A11A12（代數(shù)余子式）A21A22特殊矩陣的逆矩陣 ：（對(duì) 1 和 2，前提是每個(gè)矩陣都可逆）AB1111、分塊矩陣 DAA BCO則 D 1COC 1A1A11A212、準(zhǔn)對(duì)角矩陣 A，則A1A2A31A31A4A43、 AA*A* AA I4、

8、A*A A 1（A 可逆）5、 A*An 16、 A*1A 1*1A （A 可逆）A7、 A*TAT *8、 AB*B* A*判斷矩陣是否可逆：充要條件是 A0，此時(shí) A1 1 A*A求逆矩陣的方法 ：定義法 AA 1I伴隨矩陣法 A 1A*A初等變換法A | I nI n | A 1只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系：設(shè) Aaijm* n是m*n階矩陣，則對(duì)A 的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m 階初等矩陣左乘以A ：對(duì) A 的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n 階初等矩陣右乘以A（行變左乘，列變右乘）第三章線性方程組消元法非齊次線性方程組：增廣矩陣 簡(jiǎn)化階梯型矩陣r(

9、AB)=r(B)=r當(dāng) r=n 時(shí)，有唯一解；當(dāng)rn 時(shí)，有無(wú)窮多解r(AB)r(B) ，無(wú)解齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A)<n當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)<未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要|A|=0齊次線性方程組若有零解，一定是無(wú)窮多個(gè)N 維向量：由n 個(gè)實(shí)數(shù)組成的n 元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量 ，負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系 : 線性組合或線性表示向量組間的線性相關(guān)（無(wú)）：定義 P179向量組的秩： 極大無(wú)關(guān)組（定義P188）定理 ：如果 j,j,.j是

10、向量組1, 2 ,. s 的線性無(wú)關(guān)的部分組，則它是12r極大無(wú)關(guān)組的充要條件是：1 , 2,. s 中的每一個(gè)向量都可由j ,j ,.j線性表出。12r秩 :極大無(wú)關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。定理：設(shè) A 為 m*n 矩陣，則 r ( A)r 的充要條件是：A 的列（行）秩為r?，F(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線 性 組 合 或 線 性 表 示 注 ： 兩 個(gè) 向 量， 若k則 是 線 性 組 合單位向量組任意向量都是單位向量組的線性組合零向量是任意向量組的線性組合任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無(wú)）注： n 個(gè) n 維單位向量組 一定是線性無(wú)關(guān)一個(gè)非零向量是線性

11、無(wú)關(guān)，零向量是線性相關(guān)含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)若兩個(gè)向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量 可由1 , 2 ,. n 線性表示的充要條件是 r ( 1T2T . nT ) r ( 1T2T . nT T )判斷是否為線性相關(guān)的方法 ：1、定義法：設(shè)k1 k2 .kn ，求 k1k2.kn （適合維數(shù)低的）2、向量間關(guān)系法P183 ：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)3、分量法（ n 個(gè) m 維向量組） P180：線性相關(guān)（充要）r (TT.T) n12n線性無(wú)關(guān)（充要）r (TTT) n12. n推論當(dāng) m=n 時(shí)，相關(guān)，則TTTTTT1230 ；無(wú)關(guān)，則 1 230當(dāng) m<n

12、時(shí)，線性相關(guān)推廣：若向量 1 , 2 ,.s 組線性無(wú)關(guān)，則當(dāng)s 為奇數(shù)時(shí)，向量組12 , 2 3 ,. s 1也線性無(wú)關(guān)；當(dāng)s 為偶數(shù)時(shí)，向量組也線性相關(guān)。定理：如果向量組1 , 2 ,. s, 線性相關(guān)，則向量可由向量組1, 2 ,. s 線性表出，且表示法唯一的充分必要條件是1, 2 ,. s 線性無(wú)關(guān)。極大無(wú)關(guān)組 注：向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個(gè)數(shù)是確定的；不全為零的向量組的極大無(wú)關(guān)組一定存在；無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組是其本身；向量組與其極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的。齊次線性方程組（I ）解的結(jié)構(gòu) ：解為1,2 .（ I）的兩個(gè)解的和12 仍是它的解；（ I）解的任意倍數(shù)k還

13、是它的解；（ I）解的線性組合 c11c22 .cs s 也是它的解， c1 ,c2 ,.cs 是任意常數(shù)。非齊次線性方程組（II ）解的結(jié)構(gòu) ：解為1, 2 .（ II ）的兩個(gè)解的差12 仍是它的解；若 是非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解， v 是其導(dǎo)出組 AX=O 的一個(gè)解，則 u+v 是（II ）的一個(gè)解。定理 ：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A 的秩 r ( A) r n ，則該方程組的基礎(chǔ)解系存在，且在每個(gè)基礎(chǔ)解系中，恰含有n-r 個(gè)解。若是非齊次線性方程組AX=B是（ II ）的全部解。的一個(gè)解，v 是其導(dǎo)出組AX=O的全部解，則u+v第四章向量空間向量的內(nèi)積實(shí)向量定義：（ ， ）

14、 =Ta1b1a2 b2. an bn性質(zhì)：非負(fù)性、對(duì)稱性、線性性(,k)=k( ,);(k,k)= k 2 (,);(+,)=( ,)+( ,)+( , )+( ,);rsrs, , ,Rn(kii ,l jj )kil j ( i , j ),i1j1i 1j1向量的長(zhǎng)度( ,)0 的充要條件是=0 ； 是單位向量的充要條件是（， ） =1單位化向量的夾角正交向量： 是正交向量的充要條件是（， ） =0正交的向量組必定線性無(wú)關(guān)正交矩陣：階矩陣AATAT AI性質(zhì)： 1、若 A為正交矩陣，則可逆，且A 1AT ，且 A 1也是正交矩陣；、若 A為正交矩陣，則A1；、若 A 、為同階正交矩陣，

15、則也是正交矩陣；、階矩陣（aij ）是正交矩陣的充要條件是的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量；第五章矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量A 是 N 階方陣，若數(shù)使個(gè)特征值，此時(shí)，非零解稱為AX=X ，即（I-A ） =0 有非零解，則稱為 A 的一A 的屬于特征值的特征向量。|A|=1 * 2 * . n注：1、 AX= X2、求特征值、特征向量的方法I A 0 求 i將i 代入（I-A ）X=0 求出所有非零解3、對(duì)于不同的矩陣，有重根、單根、復(fù)根、實(shí)根（主要學(xué)習(xí)的）c1特殊： ( I ) n 的特征向量為任意N 階非零向量或c2 (ci 不全為零 )cn4、特征值：若(0) 是 A 的特征值

16、則 A 1 - 1則 Am - m 則 kA - k若 A2=A 則 -=0或 1若 A2=I 則-=-1或1若 Ak=O 則 -=0跡 tr(A ) ：跡（ A ）= a11a22ann性質(zhì)：1、 N 階方陣可逆的充要條件是A 的特征值全是非零的2、 A 與 A 1有相同的特征值3、 N 階方陣 A 的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)4、 5、 P281相似矩陣定義 P283： A 、 B 是 N 階矩陣，若存在可逆矩陣P，滿足 P 1 APB，則矩陣 A與 B相似，記作 AB性質(zhì) 1、自身性： AA,P=I2、對(duì)稱性：若 AB 則 BAP1AP BAPBP 1(P 1) 1BP 1A3、

17、傳遞性：若AB、BC則ACP1APBP1BP C-1122-(PP )1A(PP) C1 21 24、若 AB ，則 A 與 B 同（不）可逆5、若AB，則 A1B1P 1APB 兩邊同取逆， P 1A 1P B 16、若 AB ，則它們有相同的特征值。（特征值相同的矩陣不一定相似）7、若 AB ，則 r ( A)r ( B)初等變換不改變矩陣的秩例子： P 1APB 則 A100PB100 P 1P 1APOA=OP 1APIA=IP 1APIA=I矩陣對(duì)角化定理：N 階矩陣 A 與 N 階對(duì)角形矩陣相似的充要條件是A 有 N 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量注： 1、 P 與 中的 xi 與i 順序一致2、 A, 則 與 P 不是唯一的推論：若n 階方陣 A 有 n 個(gè)互異的特征值，則A （ P281）定 理 ： n階 方 陣 A 的 充 要 條 件 是 對(duì) 于 每 一 個(gè) K i 重 特 征 根i， 都 有r ( i IA)nK i注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣I 的特征值為主對(duì)角線。約當(dāng)形矩陣11約當(dāng)塊：形如J的 n 階矩陣稱為n 階約當(dāng)塊；1