點(diǎn)、線和平面的投影詳解

1、【組織教學(xué)】清點(diǎn)人數(shù)，填寫(xiě)教學(xué)日志【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】1、平面圖形的尺寸及形狀分析的步驟。2、平面圖形的畫(huà)圖方法及作圖步驟?！局v授新課】§2. 1投影法的基本知識(shí)一、投影法物體在日光或燈光線的照射下，就會(huì)在墻 面或地面上出現(xiàn)影子，這種現(xiàn)象就稱(chēng)為投影。 人們將這一現(xiàn)象加以科學(xué)的抽象和總結(jié)而形 成了投影法。投影線通過(guò)物體，向選定的面投 射，并在該面上得到圖形的方法,稱(chēng)為投影法。 投影所在的平面稱(chēng)為投影面。如左圖所示。常用的投影法分中心投影法和平行投影法:1、中心投影法假設(shè)投射線從一點(diǎn)出發(fā)，將空間形體投射到投影面上的方法稱(chēng)為中 心投影法。如下圖所示，光源S稱(chēng)為投射中心，光源S出發(fā)的一系列光 線稱(chēng)為

2、投射線。2、平行投影法用相互平行的投射線對(duì)物體進(jìn)行投影的方法稱(chēng)為平行投影法。平行 投影法乂分為正投影法和斜投影法。正投影法是指投射線垂直于投影面 的平行投影法；斜投影法是指投射線傾斜于投影面的平行投影法；如上 圖所示。機(jī)械圖樣中的圖絕大多數(shù)都是用正投影法繪制的。二、正投影的基本特性1、類(lèi)似性（又稱(chēng)為收縮性）當(dāng)直線、曲線或平面傾斜于投影面時(shí)，直線或曲線的投影仍為直線 或曲線，但小于實(shí)長(zhǎng)，平面的投影仍為平面，與真實(shí)圖形類(lèi)似，但小于 真實(shí)圖形的大小。2、真實(shí)性當(dāng)直線、曲線或平面平行于投影面時(shí)，其投影反映原線段的實(shí)長(zhǎng)或 平面圖形的真實(shí)形狀。3、積聚性當(dāng)直線、平面或曲面垂直于投影面時(shí)，直線的投影積聚成點(diǎn)

3、，平面 的投影積聚成直線，曲面的投影積聚成曲線。§2. 2三視圖一、三視圖的形成1、三面投影體系的建立根據(jù)物體的一個(gè)投影圖是不能全面地表達(dá)出其空間形狀和大小的。因此我們建立一個(gè)由三個(gè)互相垂直的平面組成的投影體系來(lái)表達(dá) 物體的形狀，這個(gè)投影體系稱(chēng)三面投影體系，如下圖所示，其中水平放 置的平面稱(chēng)為水平投影面用H表示，簡(jiǎn)稱(chēng)為H面；正對(duì)著觀察者的 平面稱(chēng)為正立投影面用V示，簡(jiǎn)稱(chēng)為V面；在觀察者右側(cè)的平面稱(chēng) 為側(cè)立投影面用W表示，簡(jiǎn)稱(chēng)為W面。三個(gè)投影面的交線OX、OY、 OZ稱(chēng)為投影軸，其交點(diǎn)O稱(chēng)為原點(diǎn)，它們一起構(gòu)成空間坐標(biāo)系。72、三視圖的形成和名稱(chēng)將被投影的物體正置于三面投影體系中，其位置

4、如上圖所示。用三 組分別垂直于三個(gè)投影面的投射線，對(duì)物體進(jìn)行投影得到三個(gè)投影圖， 這個(gè)三面投影圖稱(chēng)為三視圖。由前向后投影，在1/面上得到的投影圖，稱(chēng)正立面投影圖，簡(jiǎn)稱(chēng)V面投影，又叫主視圖；由上向下投影，在H面上得到的投影圖，稱(chēng)為 水平投影圖，簡(jiǎn)稱(chēng)H面投影，又叫俯視圖；由左向右投影，在"面 上得到的投影圏”稱(chēng)側(cè)立面投影圖”簡(jiǎn)稱(chēng)W面投影，又叫左視圖。根據(jù)物體的三面投影圖，就可以確定物體的空間位置和形狀。為了 能在一張圖紙上同時(shí)反映出這三個(gè)投影圖，還需要將三個(gè)投影面展開(kāi)。 如下圖(a)所示。這樣便在同一平面上得到了三面投影圖。投影面的大小與投影圖無(wú)關(guān)，畫(huà)圖時(shí)投影面的邊框一般都不畫(huà)，投 影軸

5、在工程圖樣中也可省去。如下圖(c)所示，這樣所得的三個(gè)投影圖， 稱(chēng)三視圖。(a)1日1y.Yz二日i WfflA WWEEZn(C)3. 三視圖的投影關(guān)系根據(jù)三視圖的相對(duì)位置及其展開(kāi)的方法，三視圖的位置關(guān)系是：以 主視圖為準(zhǔn)，俯視圖放置在主視圖的正下方，左視圖放置在主視圖的正 右方。如下圖Q)所示。物體靠近觀察者的一面稱(chēng)前面，反之為后面。同理還可以定岀物體其余的左、右、上、下四個(gè)面，如下圖(b)所示。左左(a)（b）三視圖的方位與投影規(guī)律(c)形體左右之間（平行于OX軸）的距離稱(chēng)為長(zhǎng)度：上下之間（平行于 OZ軸）的距離稱(chēng)為高度；前后之間（平行"軸）的距離稱(chēng)為寬度，如上圖 （c）所示，

6、因此俯視圖反映形體的長(zhǎng)度和寬度，同時(shí)也反映形體的前后、 左右位置；主視圖反映形體的長(zhǎng)度和高度，同時(shí)也反映形體的左右、上 下位置；左視圖反映形體的寬度和高度，同時(shí)也反映形體的前后、上下 位置。如上圖（C）所示,三視圖的投影規(guī)律：物體在主、俯視圖上投影（包括任一點(diǎn)）的左右位置完全對(duì)正，稱(chēng)為一長(zhǎng)對(duì)正；物體在主、左視圖上投影（包括任一點(diǎn)）的上下位置完全平齊，稱(chēng)為一高平齊；物體在俯、左視圖上投影（包括任一點(diǎn)）的前后位置完全相同，稱(chēng) 為一空相等。注意:在畫(huà)圖和讀圖時(shí)，對(duì)物體的總體或局部，乃至物體上任何點(diǎn)、 線、面之間都應(yīng)遵循上述投影規(guī)律。【課堂小結(jié)】1、正投影的基本性質(zhì)。2、三視圖的形成及投影規(guī)律?！静贾?/p>

7、作業(yè)】1、習(xí)題集：P21、預(yù)習(xí)下一章節(jié)?！窘M織教學(xué)】清點(diǎn)人數(shù)，填寫(xiě)教學(xué)日志【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】1、正投影的基本性質(zhì)有哪些？2、三視圖的投影規(guī)律及六向方位關(guān)系是什么？【講授新課】§3. 1點(diǎn)的投影一、點(diǎn)的三面投影圖及投影規(guī)律如下圖(a)所示，為了便于區(qū)分，通常采用：空間點(diǎn)用大寫(xiě)拉丁字母 表示，如A, B;H面投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示，如“、b;V面 投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母加一撇表示，如"，戻 ；W面投影用相應(yīng)的 小寫(xiě)字母加兩撇表示，如a ”，b ”。由下圖可以得出點(diǎn)的投影規(guī)律：1) 點(diǎn)的哂投影和H面投影的連線垂直于龍軸，即aR丄ox;2 )點(diǎn)的UTS投影和W面投影的連線垂直于OZ軸，即

8、訂八丄02；3 )點(diǎn)的”面投影到 期軸的距離等于點(diǎn)的“面投影到OZ軸的距離，可以用45。線(或者用園弧)反映該關(guān)系，即aax=a "卑 下圖(b)中的斜線和下圖(c)中的圓弧線是為保證寬相等而做的輔助線。例31如下圖（a）所示，已知點(diǎn)A的投影a； “ 求H面投影心作圖步驟：1）、如下圖（b）所示，過(guò)a'作s' aOX,并延長(zhǎng)。2）、如下圖（c）所示，過(guò)/作寬相等，交點(diǎn)。即為A點(diǎn)的H面投影。(a)>H(C)二、點(diǎn)的直角坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系如果把三面投影體系看作空間直角坐標(biāo)體系，則H、V、W面為坐標(biāo) 面，OX, OY, OZ為坐標(biāo)軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。由下圖可知，點(diǎn)A

9、的 直角坐標(biāo)川、）怙、N即為點(diǎn)A到三個(gè)投影面的距離，它們與點(diǎn)A的投影 宀"，"的關(guān)系如下：Xa0 a?點(diǎn) A 到 W 面的距離:A au= axo = a9 az = aay = xa 點(diǎn) A 到 H 面的距離：Au' = cm = a "az = aax = ya 點(diǎn) A 到 H面的距離:Aa = ao = ar ay = a' ax= Za 由此可知：日由&的X. y兩坐標(biāo)決定；#由旳的* N兩坐標(biāo)決定；擴(kuò)由A的 N兩坐標(biāo)決定。在特殊情況下，點(diǎn)也可以處于投影面上或投影軸上。如果點(diǎn)的一個(gè) 坐標(biāo)為零，則點(diǎn)在相應(yīng)的投影面上，如下圖所示。如果點(diǎn)

10、的兩個(gè)坐標(biāo)為零，則點(diǎn)在投影軸上，如果點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零， 則點(diǎn)與原點(diǎn)重合。如下圖所示，點(diǎn)K在X軸上，其投影h /與點(diǎn)K重 合，與原點(diǎn)O重合。例32已知點(diǎn)A的坐標(biāo)(11, 16, 10),求點(diǎn)A的三面投影。作圖步驟：見(jiàn)下圖。0Z三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置(a)(b)(c)判斷兩點(diǎn)間的相對(duì)位置，可以通過(guò)比較它們的坐標(biāo)或到投影面的距 離來(lái)確定。如下圖所示，（a）為投影圖，（b）為A、3兩在空間的位置，我 們把A、B兩點(diǎn)作為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，則A為長(zhǎng)方體前面、左面、底面 的交點(diǎn)，B為長(zhǎng)方體后面、右面、上面的交點(diǎn)，故A點(diǎn)在3點(diǎn)之前、之 左、之下。（a）（b）故判別兩點(diǎn)相對(duì)位置的方法是：左右位置判定：空間兩點(diǎn)中的&q

11、uot;坐標(biāo)越大，點(diǎn)的空間位置越靠左。前后位置判定：空間兩點(diǎn)中的y坐標(biāo)趣大”點(diǎn)的空間位置越靠前。上下位置判定：空間兩點(diǎn)中的n坐標(biāo)越大”點(diǎn)的空間位置越靠上。四、重影點(diǎn)及其投影的可見(jiàn)性當(dāng)空間兩點(diǎn)位于某一投影面的同一條投射線上（即其有兩對(duì)坐標(biāo)值 分別相等），則此兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合為一點(diǎn)，此空間兩點(diǎn)稱(chēng)為 對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。如下圖所示，A、B兩點(diǎn)是V面的重影點(diǎn)。因yAVB自前向后觀 察時(shí)，點(diǎn)A在前，點(diǎn)B在后，故投影/可見(jiàn)夕為不可見(jiàn)。C、D兩點(diǎn)是 對(duì)H面的重影點(diǎn)，它們的H面投影c、重合。因3巾，點(diǎn)C在上， 點(diǎn)D在下，自上向下觀察時(shí)，c可見(jiàn)而d不可見(jiàn)。重影點(diǎn)的投影在投影圏上為對(duì)重合投影表明可見(jiàn)性，

12、對(duì)不可見(jiàn)點(diǎn)的投影另加括弧表示，如上圖中的曲牙口綜上所述：當(dāng)空間兩點(diǎn)有兩對(duì)坐標(biāo)值分別相等時(shí)，則該兩點(diǎn)必有重 合投影，其可見(jiàn)性山重影點(diǎn)的一對(duì)不等的坐標(biāo)值來(lái)確定，坐標(biāo)值大者為 可見(jiàn)，小者為不可見(jiàn)?！菊n堂小結(jié)】1、點(diǎn)的投影規(guī)律及兩點(diǎn)相對(duì)位置的判斷方法。2、重影點(diǎn)的的概念及可見(jiàn)性的判斷方法?！静贾米鳂I(yè)】1、習(xí)題集：P2、預(yù)習(xí)下一章節(jié)。【組織教學(xué)】清點(diǎn)人數(shù)，填寫(xiě)教學(xué)日志【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】1、點(diǎn)的形成及投影規(guī)律是什么？2、兩點(diǎn)相對(duì)位置的判斷方法及重影點(diǎn)可見(jiàn)性的判斷方法各是什 么？【講授新課】§ 3. 2直線的投影直線的投影圖直線的投影仍是直線。由于兩點(diǎn)決定一條直線，因此，求直線的投 影，就是分別求出兩端

13、點(diǎn)的投影，如下圖(a)所示。首先分別求岀A、B 兩點(diǎn)的投影，如下圖(b)所示；然后把同一投影面上兩點(diǎn)的投影用直線連K直線上點(diǎn)的投影直線與點(diǎn)的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)不在直線上。點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的各個(gè)投影必定在直線的同面投影上;反之,點(diǎn)的 各個(gè)投影均在直線的同面投影上Z則點(diǎn)一定在直線上。2、點(diǎn)分線段成定比點(diǎn)分空間線段成一比例z則點(diǎn)的投影分割線段的各個(gè)同面投影長(zhǎng)度 之比等于其空間線段長(zhǎng)度之比。例33如下圖(a)所示，已知側(cè)平線A3的兩面投影和直線上點(diǎn)S 的正面投影G,求水平投影s。方法一：分析：因佔(zhàn)是側(cè)平線，故不能山s直接求出$,需先求出$”，再由 寬相等求列。作圖步驟：如下圖(b)所示(a

14、)(c)方法二：分析：因?yàn)镾點(diǎn)在直線上，因此必定符合點(diǎn)分線段成定比的規(guī) 律，即 as:sb = a's':s'b作圖步驟：如下圖（c）所示（1）過(guò)a作任意輔助線，在輔助線上量取aso=a's', Sobo=s'b'（2） 連接bob,并由So點(diǎn)作SoSbob,交"b于s點(diǎn)，s B|J為所求。三、直線與投影面的相對(duì)位置及直線的投影特性根據(jù)直線與投影面相對(duì)位置的不同，直線分為三類(lèi)：投影面垂直線、 投影面平行線、一般位置直線.投影面的垂直線和平行線統(tǒng)稱(chēng)為特殊位 置直線。直線與投影面的夾角稱(chēng)為該直線對(duì)投影面的傾角，直線與投影 面H、V、

15、W的夾角分別用a、B、孑表示。1、投影面平行線水平線：円面ZV面ZW面正平線：面ZH面ZW面 側(cè)平線：¥面ZV面ZH面投影特性：空間線段在它們所平行的投影面上的投影反映線段的真 長(zhǎng)，并反映該線段所在直線對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角；線段的另外兩個(gè) 投影平行于相應(yīng)的投影軸，且投影長(zhǎng)度縮短。判斷方法：若三個(gè)投影中，有兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸，另一 個(gè)投影成傾斜位置，則它一定是投影面的平行線。簡(jiǎn)稱(chēng)：一斜兩平線2、投影面垂直線鉛垂線：丄H面面¥面分類(lèi) J正垂線：丄V面日面¥面?zhèn)却咕€：丄W面V面日面投影特性：在其飭垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)，另外兩個(gè)投 影反映其真長(zhǎng)，并垂直

16、于相應(yīng)的投影軸。判斷方法：若三個(gè)投影中，有一個(gè)投影積聚為一點(diǎn)，則它一定是該 投影面的垂直線。簡(jiǎn)稱(chēng)：一點(diǎn)兩平線。1、影面傾斜線（一般位置直線）ZH面 ZV面 ZW面 投影特性：1）直線的三個(gè)投影都與投影軸傾斜。2）三個(gè)投影都小于真長(zhǎng)。4）三個(gè)投影都不反映直線與投影面的傾角。 判斷方法：三個(gè)投影都為斜線例1：作出下列各直線的第三面投影，并判別各是什么位置線，在指 定位置填寫(xiě)其名稱(chēng)。例2：已知B點(diǎn)距H面25 mm,求作直線AB的三面投影。例3：已知直線CD的端點(diǎn)C的投影，D點(diǎn)在C點(diǎn)左方20 mm,下方25 mm,前方10 mm,求CD的投影。四、兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置有平行、相交和交叉

17、三種情況。前兩種屬于 共面兩直線，后一種為異面兩直線。1、兩直線平行根據(jù)投影的基本特性可知：空間兩直線平行，其三面投影必定互相平行，因此平行兩直線在投 影圖上的各組同面投影必定互相平行，反之，如果兩直線在三面投影圖 上的投影都互相平行，則空間兩直線也必定互相平行。1 ）如果兩直線均為一般位置直線，其兩組同面投影平行，則可判定該兩聲平行；2）如果兩直線是同一投影面的平行線，只有當(dāng)它們?cè)谌齻€(gè)投影面 上的投影都平行時(shí)”才可以判定其空間直線平行。2、兩直線相交根據(jù)投影的基本特性可知：空間兩直線相交，其三面投影必相交，且各投影的交點(diǎn)必符合點(diǎn)的 投影規(guī)律；反之，兩直線在三面投影圖上的投影都相交，且投影的交

18、點(diǎn) 符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則兩直線在空間必定相交。在投影圖上判斷兩直線是否相交的方法是：如果兩直線其同面投影相交”且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則可判定兩直線相交。3、兩直線交叉交叉兩直線是指既不平行又不相交的兩直線，又稱(chēng)為兩異面直線。 交義兩直線的同面投影可能平行，但不可能所有同面投影都平行。 它的同面投影也可能相交，但交點(diǎn)的投影不滿(mǎn)足點(diǎn)的投影規(guī)律，如下圖 所示，兩交義直線同面投影的交點(diǎn)是空間兩重影點(diǎn)的投影。判斷方法：當(dāng)某兩條空間直線的投影既不符合平行兩直線的投影特性”又不符合相交兩直線的投影特性時(shí)”就可判斷其為交叉兩直線。【課堂小結(jié)】直線對(duì)投影面的位置及特點(diǎn)。根據(jù)直線對(duì)投影面的相對(duì)位置不同， 直線分

19、為三種位置：投影面平行線；投影面垂直線；投影面傾斜線。投影面平行線有兩個(gè)投影為直線，并與投影軸平行。另一個(gè)投影與 投影軸傾斜，并反映該線段的真長(zhǎng)及對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角。投影面垂直線有一個(gè)投影積聚為點(diǎn)，另外兩個(gè)投影垂直于投影軸， 并反映該線段的真長(zhǎng)。一般位置直線的三個(gè)投影都有與投影軸傾斜，投影不反映真長(zhǎng)，也 不反映直線對(duì)投影面的傾角。【布置作業(yè)】1、習(xí)題集：P21、預(yù)習(xí)下一章節(jié)?！窘M織教學(xué)】清點(diǎn)人數(shù)，填寫(xiě)教學(xué)日志【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】1、直線的在三面投影體系中的投影特性及判斷方法是什么？2、一般位置直線的投影特性及判斷方法，并提出一般位置直線的 投影.從而引出新課【講授新課】§ 3. 3 平面

20、的投影一、平面的投影由初等兒何學(xué)可知，不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，決定一個(gè)平面。平 面圖形可以是三角形、四邊形、圓、橢圓等。求平面多邊形的投影，實(shí) 際上就是求各平面多邊形頂點(diǎn)的投影，然后按順序連成平面多邊形。如 下圖所示。(a)(b)二、平面對(duì)投影面的相對(duì)位置及其投影特性根據(jù)平面相對(duì)于投影面的位置不同，平面分為投影面垂直面、投影 面平行面和一般位置平面三種。其中詢(xún)兩種乂稱(chēng)為特殊位置平面。空間平面與三個(gè)投影面H、V、W面所形成的夾角，稱(chēng)為該平面對(duì) 三投影面的二面角，分別用。、0、/表示。1、投影面垂直面1）定義及分類(lèi)：垂直于一個(gè)投影面而與另外兩個(gè)投影面都傾斜的平面稱(chēng)為投影面垂直面。正垂面：丄VZHZ

21、WJ側(cè)垂面：丄wZVZW鉛垂面：丄HZVZW2）投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與 投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影有類(lèi)似性。3）判斷方法：如果空間平面的三個(gè)投影中有一個(gè)投影積聚為直線, 另外兩個(gè)投影為面，則該直線一定為投影面的垂直線。且垂直于積聚為 線的那個(gè)投影面。簡(jiǎn)稱(chēng)：二面一斜線。例1：已知正垂面ABCD的水平投影和正面投影，試作出其側(cè)面投影。 分析：根據(jù)正垂面的投影特性，四邊形ABCD的側(cè)面投影應(yīng)為水平投影的類(lèi)似形。作圖步驟：略例2：已知帶梯形缺口的長(zhǎng)方形的兩面投影，求作其第三面投影。 分析：由圖可知，該平面?zhèn)让娣e聚為傾斜的直線

22、，故為側(cè)垂面，所以水平投影應(yīng)為正面投影圖形的類(lèi)似形。作圖步驟：略V V/V0Y<、2.投影面的平行面1）定義及分類(lèi)：平行于一個(gè)投影面，同時(shí)垂直于另兩個(gè)投影面的 平面稱(chēng)為投影面平行面。其中，平行于H面的稱(chēng)為水平面；平行于V面 的稱(chēng)為正平面；平行于W面的稱(chēng)為側(cè)平面。（正平面：V丄H丄WY側(cè)平面：W IV丄W、水平面：H IV 丄W2）投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。3）判斷方法：如果空間平面的三個(gè)投影中有兩個(gè)投影積聚為平行于投影軸的線段另一個(gè)投影為面，則可以肯定該平面一定期是投影 面的平行面，且平行于投影為面的投影面。簡(jiǎn)稱(chēng)：一面二平線。例3：已知水平投影線AC的正面投影aC與水平投影as試以AC 為對(duì)角線作正方形ABCD平行于水平投影 面，求作其三面投影圖。分析：1） AC為水平線，水平投影反 映實(shí)長(zhǎng)。2）正方