點、線和平面的投影詳解

1、【組織教學】清點人數，填寫教學日志【復習導入】1、平面圖形的尺寸及形狀分析的步驟。2、平面圖形的畫圖方法及作圖步驟?！局v授新課】§2. 1投影法的基本知識一、投影法物體在日光或燈光線的照射下，就會在墻 面或地面上出現影子，這種現象就稱為投影。 人們將這一現象加以科學的抽象和總結而形 成了投影法。投影線通過物體，向選定的面投 射，并在該面上得到圖形的方法,稱為投影法。 投影所在的平面稱為投影面。如左圖所示。常用的投影法分中心投影法和平行投影法:1、中心投影法假設投射線從一點出發(fā)，將空間形體投射到投影面上的方法稱為中 心投影法。如下圖所示，光源S稱為投射中心，光源S出發(fā)的一系列光 線稱為

2、投射線。2、平行投影法用相互平行的投射線對物體進行投影的方法稱為平行投影法。平行 投影法乂分為正投影法和斜投影法。正投影法是指投射線垂直于投影面 的平行投影法；斜投影法是指投射線傾斜于投影面的平行投影法；如上 圖所示。機械圖樣中的圖絕大多數都是用正投影法繪制的。二、正投影的基本特性1、類似性（又稱為收縮性）當直線、曲線或平面傾斜于投影面時，直線或曲線的投影仍為直線 或曲線，但小于實長，平面的投影仍為平面，與真實圖形類似，但小于 真實圖形的大小。2、真實性當直線、曲線或平面平行于投影面時，其投影反映原線段的實長或 平面圖形的真實形狀。3、積聚性當直線、平面或曲面垂直于投影面時，直線的投影積聚成點

3、，平面 的投影積聚成直線，曲面的投影積聚成曲線。§2. 2三視圖一、三視圖的形成1、三面投影體系的建立根據物體的一個投影圖是不能全面地表達出其空間形狀和大小的。因此我們建立一個由三個互相垂直的平面組成的投影體系來表達 物體的形狀，這個投影體系稱三面投影體系，如下圖所示，其中水平放 置的平面稱為水平投影面用H表示，簡稱為H面；正對著觀察者的 平面稱為正立投影面用V示，簡稱為V面；在觀察者右側的平面稱 為側立投影面用W表示，簡稱為W面。三個投影面的交線OX、OY、 OZ稱為投影軸，其交點O稱為原點，它們一起構成空間坐標系。72、三視圖的形成和名稱將被投影的物體正置于三面投影體系中，其位置

4、如上圖所示。用三 組分別垂直于三個投影面的投射線，對物體進行投影得到三個投影圖， 這個三面投影圖稱為三視圖。由前向后投影，在1/面上得到的投影圖，稱正立面投影圖，簡稱V面投影，又叫主視圖；由上向下投影，在H面上得到的投影圖，稱為 水平投影圖，簡稱H面投影，又叫俯視圖；由左向右投影，在"面 上得到的投影圏”稱側立面投影圖”簡稱W面投影，又叫左視圖。根據物體的三面投影圖，就可以確定物體的空間位置和形狀。為了 能在一張圖紙上同時反映出這三個投影圖，還需要將三個投影面展開。 如下圖(a)所示。這樣便在同一平面上得到了三面投影圖。投影面的大小與投影圖無關，畫圖時投影面的邊框一般都不畫，投 影軸

5、在工程圖樣中也可省去。如下圖(c)所示，這樣所得的三個投影圖， 稱三視圖。(a)1日1y.Yz二日i WfflA WWEEZn(C)3. 三視圖的投影關系根據三視圖的相對位置及其展開的方法，三視圖的位置關系是：以 主視圖為準，俯視圖放置在主視圖的正下方，左視圖放置在主視圖的正 右方。如下圖Q)所示。物體靠近觀察者的一面稱前面，反之為后面。同理還可以定岀物體其余的左、右、上、下四個面，如下圖(b)所示。左左(a)（b）三視圖的方位與投影規(guī)律(c)形體左右之間（平行于OX軸）的距離稱為長度：上下之間（平行于 OZ軸）的距離稱為高度；前后之間（平行"軸）的距離稱為寬度，如上圖 （c）所示，

6、因此俯視圖反映形體的長度和寬度，同時也反映形體的前后、 左右位置；主視圖反映形體的長度和高度，同時也反映形體的左右、上 下位置；左視圖反映形體的寬度和高度，同時也反映形體的前后、上下 位置。如上圖（C）所示,三視圖的投影規(guī)律：物體在主、俯視圖上投影（包括任一點）的左右位置完全對正，稱為一長對正；物體在主、左視圖上投影（包括任一點）的上下位置完全平齊，稱為一高平齊；物體在俯、左視圖上投影（包括任一點）的前后位置完全相同，稱 為一空相等。注意:在畫圖和讀圖時，對物體的總體或局部，乃至物體上任何點、 線、面之間都應遵循上述投影規(guī)律?！菊n堂小結】1、正投影的基本性質。2、三視圖的形成及投影規(guī)律?！静贾?/p>

7、作業(yè)】1、習題集：P21、預習下一章節(jié)?！窘M織教學】清點人數，填寫教學日志【復習導入】1、正投影的基本性質有哪些？2、三視圖的投影規(guī)律及六向方位關系是什么？【講授新課】§3. 1點的投影一、點的三面投影圖及投影規(guī)律如下圖(a)所示，為了便于區(qū)分，通常采用：空間點用大寫拉丁字母 表示，如A, B;H面投影用相應的小寫字母表示，如“、b;V面 投影用相應的小寫字母加一撇表示，如"，戻 ；W面投影用相應的 小寫字母加兩撇表示，如a ”，b ”。由下圖可以得出點的投影規(guī)律：1) 點的哂投影和H面投影的連線垂直于龍軸，即aR丄ox;2 )點的UTS投影和W面投影的連線垂直于OZ軸，即

8、訂八丄02；3 )點的”面投影到 期軸的距離等于點的“面投影到OZ軸的距離，可以用45。線(或者用園弧)反映該關系，即aax=a "卑 下圖(b)中的斜線和下圖(c)中的圓弧線是為保證寬相等而做的輔助線。例31如下圖（a）所示，已知點A的投影a； “ 求H面投影心作圖步驟：1）、如下圖（b）所示，過a'作s' aOX,并延長。2）、如下圖（c）所示，過/作寬相等，交點。即為A點的H面投影。(a)>H(C)二、點的直角坐標與三面投影的關系如果把三面投影體系看作空間直角坐標體系，則H、V、W面為坐標 面，OX, OY, OZ為坐標軸，點O為坐標原點。由下圖可知，點A

9、的 直角坐標川、）怙、N即為點A到三個投影面的距離，它們與點A的投影 宀"，"的關系如下：Xa0 a?點 A 到 W 面的距離:A au= axo = a9 az = aay = xa 點 A 到 H 面的距離：Au' = cm = a "az = aax = ya 點 A 到 H面的距離:Aa = ao = ar ay = a' ax= Za 由此可知：日由&的X. y兩坐標決定；#由旳的* N兩坐標決定；擴由A的 N兩坐標決定。在特殊情況下，點也可以處于投影面上或投影軸上。如果點的一個 坐標為零，則點在相應的投影面上，如下圖所示。如果點

10、的兩個坐標為零，則點在投影軸上，如果點的三個坐標為零， 則點與原點重合。如下圖所示，點K在X軸上，其投影h /與點K重 合，與原點O重合。例32已知點A的坐標(11, 16, 10),求點A的三面投影。作圖步驟：見下圖。0Z三、兩點的相對位置(a)(b)(c)判斷兩點間的相對位置，可以通過比較它們的坐標或到投影面的距 離來確定。如下圖所示，（a）為投影圖，（b）為A、3兩在空間的位置，我 們把A、B兩點作為長方體的對角線，則A為長方體前面、左面、底面 的交點，B為長方體后面、右面、上面的交點，故A點在3點之前、之 左、之下。（a）（b）故判別兩點相對位置的方法是：左右位置判定：空間兩點中的&q

11、uot;坐標越大，點的空間位置越靠左。前后位置判定：空間兩點中的y坐標趣大”點的空間位置越靠前。上下位置判定：空間兩點中的n坐標越大”點的空間位置越靠上。四、重影點及其投影的可見性當空間兩點位于某一投影面的同一條投射線上（即其有兩對坐標值 分別相等），則此兩點在該投影面上的投影重合為一點，此空間兩點稱為 對該投影面的重影點。如下圖所示，A、B兩點是V面的重影點。因yAVB自前向后觀 察時，點A在前，點B在后，故投影/可見夕為不可見。C、D兩點是 對H面的重影點，它們的H面投影c、重合。因3巾，點C在上， 點D在下，自上向下觀察時，c可見而d不可見。重影點的投影在投影圏上為對重合投影表明可見性，

12、對不可見點的投影另加括弧表示，如上圖中的曲牙口綜上所述：當空間兩點有兩對坐標值分別相等時，則該兩點必有重 合投影，其可見性山重影點的一對不等的坐標值來確定，坐標值大者為 可見，小者為不可見。【課堂小結】1、點的投影規(guī)律及兩點相對位置的判斷方法。2、重影點的的概念及可見性的判斷方法。【布置作業(yè)】1、習題集：P2、預習下一章節(jié)?！窘M織教學】清點人數，填寫教學日志【復習導入】1、點的形成及投影規(guī)律是什么？2、兩點相對位置的判斷方法及重影點可見性的判斷方法各是什 么？【講授新課】§ 3. 2直線的投影直線的投影圖直線的投影仍是直線。由于兩點決定一條直線，因此，求直線的投 影，就是分別求出兩端

13、點的投影，如下圖(a)所示。首先分別求岀A、B 兩點的投影，如下圖(b)所示；然后把同一投影面上兩點的投影用直線連K直線上點的投影直線與點的位置關系有兩種：點在直線上和點不在直線上。點在直線上,則點的各個投影必定在直線的同面投影上;反之,點的 各個投影均在直線的同面投影上Z則點一定在直線上。2、點分線段成定比點分空間線段成一比例z則點的投影分割線段的各個同面投影長度 之比等于其空間線段長度之比。例33如下圖(a)所示，已知側平線A3的兩面投影和直線上點S 的正面投影G,求水平投影s。方法一：分析：因佔是側平線，故不能山s直接求出$,需先求出$”，再由 寬相等求列。作圖步驟：如下圖(b)所示(a

14、)(c)方法二：分析：因為S點在直線上，因此必定符合點分線段成定比的規(guī) 律，即 as:sb = a's':s'b作圖步驟：如下圖（c）所示（1）過a作任意輔助線，在輔助線上量取aso=a's', Sobo=s'b'（2） 連接bob,并由So點作SoSbob,交"b于s點，s B|J為所求。三、直線與投影面的相對位置及直線的投影特性根據直線與投影面相對位置的不同，直線分為三類：投影面垂直線、 投影面平行線、一般位置直線.投影面的垂直線和平行線統(tǒng)稱為特殊位 置直線。直線與投影面的夾角稱為該直線對投影面的傾角，直線與投影 面H、V、

15、W的夾角分別用a、B、孑表示。1、投影面平行線水平線：円面ZV面ZW面正平線：面ZH面ZW面 側平線：¥面ZV面ZH面投影特性：空間線段在它們所平行的投影面上的投影反映線段的真 長，并反映該線段所在直線對另外兩個投影面的傾角；線段的另外兩個 投影平行于相應的投影軸，且投影長度縮短。判斷方法：若三個投影中，有兩個投影平行于相應的投影軸，另一 個投影成傾斜位置，則它一定是投影面的平行線。簡稱：一斜兩平線2、投影面垂直線鉛垂線：丄H面面¥面分類 J正垂線：丄V面日面¥面?zhèn)却咕€：丄W面V面日面投影特性：在其飭垂直的投影面上的投影積聚成一點，另外兩個投 影反映其真長，并垂直

16、于相應的投影軸。判斷方法：若三個投影中，有一個投影積聚為一點，則它一定是該 投影面的垂直線。簡稱：一點兩平線。1、影面傾斜線（一般位置直線）ZH面 ZV面 ZW面 投影特性：1）直線的三個投影都與投影軸傾斜。2）三個投影都小于真長。4）三個投影都不反映直線與投影面的傾角。 判斷方法：三個投影都為斜線例1：作出下列各直線的第三面投影，并判別各是什么位置線，在指 定位置填寫其名稱。例2：已知B點距H面25 mm,求作直線AB的三面投影。例3：已知直線CD的端點C的投影，D點在C點左方20 mm,下方25 mm,前方10 mm,求CD的投影。四、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置有平行、相交和交叉

17、三種情況。前兩種屬于 共面兩直線，后一種為異面兩直線。1、兩直線平行根據投影的基本特性可知：空間兩直線平行，其三面投影必定互相平行，因此平行兩直線在投 影圖上的各組同面投影必定互相平行，反之，如果兩直線在三面投影圖 上的投影都互相平行，則空間兩直線也必定互相平行。1 ）如果兩直線均為一般位置直線，其兩組同面投影平行，則可判定該兩聲平行；2）如果兩直線是同一投影面的平行線，只有當它們在三個投影面 上的投影都平行時”才可以判定其空間直線平行。2、兩直線相交根據投影的基本特性可知：空間兩直線相交，其三面投影必相交，且各投影的交點必符合點的 投影規(guī)律；反之，兩直線在三面投影圖上的投影都相交，且投影的交

18、點 符合點的投影規(guī)律，則兩直線在空間必定相交。在投影圖上判斷兩直線是否相交的方法是：如果兩直線其同面投影相交”且交點符合點的投影規(guī)律，則可判定兩直線相交。3、兩直線交叉交叉兩直線是指既不平行又不相交的兩直線，又稱為兩異面直線。 交義兩直線的同面投影可能平行，但不可能所有同面投影都平行。 它的同面投影也可能相交，但交點的投影不滿足點的投影規(guī)律，如下圖 所示，兩交義直線同面投影的交點是空間兩重影點的投影。判斷方法：當某兩條空間直線的投影既不符合平行兩直線的投影特性”又不符合相交兩直線的投影特性時”就可判斷其為交叉兩直線?！菊n堂小結】直線對投影面的位置及特點。根據直線對投影面的相對位置不同， 直線分

19、為三種位置：投影面平行線；投影面垂直線；投影面傾斜線。投影面平行線有兩個投影為直線，并與投影軸平行。另一個投影與 投影軸傾斜，并反映該線段的真長及對另外兩個投影面的傾角。投影面垂直線有一個投影積聚為點，另外兩個投影垂直于投影軸， 并反映該線段的真長。一般位置直線的三個投影都有與投影軸傾斜，投影不反映真長，也 不反映直線對投影面的傾角?！静贾米鳂I(yè)】1、習題集：P21、預習下一章節(jié)?！窘M織教學】清點人數，填寫教學日志【復習導入】1、直線的在三面投影體系中的投影特性及判斷方法是什么？2、一般位置直線的投影特性及判斷方法，并提出一般位置直線的 投影.從而引出新課【講授新課】§ 3. 3 平面

20、的投影一、平面的投影由初等兒何學可知，不在同一直線上的三個點，決定一個平面。平 面圖形可以是三角形、四邊形、圓、橢圓等。求平面多邊形的投影，實 際上就是求各平面多邊形頂點的投影，然后按順序連成平面多邊形。如 下圖所示。(a)(b)二、平面對投影面的相對位置及其投影特性根據平面相對于投影面的位置不同，平面分為投影面垂直面、投影 面平行面和一般位置平面三種。其中詢兩種乂稱為特殊位置平面?？臻g平面與三個投影面H、V、W面所形成的夾角，稱為該平面對 三投影面的二面角，分別用。、0、/表示。1、投影面垂直面1）定義及分類：垂直于一個投影面而與另外兩個投影面都傾斜的平面稱為投影面垂直面。正垂面：丄VZHZ

21、WJ側垂面：丄wZVZW鉛垂面：丄HZVZW2）投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與 投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影有類似性。3）判斷方法：如果空間平面的三個投影中有一個投影積聚為直線, 另外兩個投影為面，則該直線一定為投影面的垂直線。且垂直于積聚為 線的那個投影面。簡稱：二面一斜線。例1：已知正垂面ABCD的水平投影和正面投影，試作出其側面投影。 分析：根據正垂面的投影特性，四邊形ABCD的側面投影應為水平投影的類似形。作圖步驟：略例2：已知帶梯形缺口的長方形的兩面投影，求作其第三面投影。 分析：由圖可知，該平面?zhèn)让娣e聚為傾斜的直線

22、，故為側垂面，所以水平投影應為正面投影圖形的類似形。作圖步驟：略V V/V0Y<、2.投影面的平行面1）定義及分類：平行于一個投影面，同時垂直于另兩個投影面的 平面稱為投影面平行面。其中，平行于H面的稱為水平面；平行于V面 的稱為正平面；平行于W面的稱為側平面。（正平面：V丄H丄WY側平面：W IV丄W、水平面：H IV 丄W2）投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。3）判斷方法：如果空間平面的三個投影中有兩個投影積聚為平行于投影軸的線段另一個投影為面，則可以肯定該平面一定期是投影 面的平行面，且平行于投影為面的投影面。簡稱：一面二平線。例3：已知水平投影線AC的正面投影aC與水平投影as試以AC 為對角線作正方形ABCD平行于水平投影 面，求作其三面投影圖。分析：1） AC為水平線，水平投影反 映實長。2）正方