線性系統(tǒng)的能控性與能觀測性PPT學習教案

1、會計學124.1 能控性和能觀測性的定義 4.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)4.3 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)4.5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型第4章 線性系統(tǒng)的能控性與能觀測性4.4 對偶性4.6 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結構分解第1頁/共135頁3 p能控性問題:已知某系統(tǒng)的的當前時刻及其狀態(tài),試問是否存在一個容許控制,使得系統(tǒng)在該控制的作用下于有限時間后到達某希望的待定狀態(tài)?p能觀性問題:已知某系統(tǒng)及其在某時間段上的輸入輸出,試問可否依據(jù)這一時間段上的輸入和輸出決定系統(tǒng)這一時間段上的狀態(tài)?第2頁/共135頁4例4-1：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為1122401052xxuxx 1206xyx結構

2、圖表明：通過控制量u可以控制狀態(tài)x1和x2，所以系統(tǒng)完全能控；但輸出y只能反映狀態(tài)變量x2，不能反映狀態(tài)變量x1，所以系統(tǒng)不完全能觀測。圖4-1 系統(tǒng)結構圖第3頁/共135頁5考慮n維線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程00( )( )( )txA t xB t ux txtT如果對取定初始時刻 的一個非零初始狀態(tài)x(t0) =x0，存在一個時刻 和一個無約束的容許控制u(t)， ，使狀態(tài)由x(t0)=x0轉移到t1時的x(t1)=0 ，則稱此x0是在時刻t0可控的.tTt 0011,ttTtt,10ttt 第4頁/共135頁6如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在t0（ ）時刻可控的，則稱系統(tǒng)在時刻t0是完全

3、可控的，簡稱系統(tǒng)在時刻t0可控。若系統(tǒng)在所有時刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的?？紤]n維線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第5頁/共135頁7 對于線性時變系統(tǒng)取定初始時刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻t0是不可控的，則稱系統(tǒng)在時刻t0是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第6頁/共135頁8 對于線性時變系統(tǒng) 若存在能將狀態(tài)x(t0)=0轉移到x(tf)=xf的控制作用，則稱狀態(tài)xf是t0時刻可達的。 若xf對所有時刻都是可達的，則稱狀態(tài)xf為完全可

4、達到或一致可達。若系統(tǒng)對于狀態(tài)空間中的每一個狀態(tài)都是時刻t0可達的，則稱該系統(tǒng)是t0時刻完全可達的，或簡稱系統(tǒng)是t0時刻可達的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtT第7頁/共135頁91系統(tǒng)完全可觀測 對于線性時變系統(tǒng)如果取定初始時刻 ，存在一個有限時刻 ,對于所有 ，系統(tǒng)的輸出y(t)能唯一確定狀態(tài)向量的初值x(t0)，則稱系統(tǒng)在t0, t1內(nèi)是完全可觀測的，簡稱可觀測。如果對于一切t1t0系統(tǒng)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)在t0, )內(nèi)是完全可觀測的。0ttT110,ttT tt01,tt t000( ) ,( ),( )txA t xx txt tTyC t x第8頁/共

5、135頁102系統(tǒng)不可觀測 對于線性時變系統(tǒng)如果取定初始時刻 ，存在一個有限時刻 ,對于所有 ，系統(tǒng)的輸出y(t)不能唯一確定所有狀態(tài)的初值xi(t0)，i=0,1,n，即至少有一個狀態(tài)的初值不能被y(t)確定，則稱系統(tǒng)在t0, t1內(nèi)是不完全可觀測的，簡稱不可觀測。 0ttT110,ttT tt01,tt t000,( ) ,( )( )txA t xx txt tTyC t x第9頁/共135頁11 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，存在一個有限時刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。注意：在應用該判據(jù)時需計算eAt，這在A的維數(shù)較高時并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。 1100,

6、TtAtTA tcWteBB edt-=1t第10頁/共135頁12證：充分性：已知W0, t1為非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可控，采用構造法來證明。對任一非零初始狀態(tài)x0可構造控制u(t)為： 1101( )0, ,0,TTA tcu tB eWt xtt 則u(t)作用下系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在t1時刻的結果:1111111111()1001010010110000( )( )0, 0, 0, 0TtAtA tttAtAtAtTA tcAtAtAtAtnccx texeBu t dtexeeBB edtWt xexe Wt Wt xexexxR這表明：對任一取定的初始狀態(tài)x00 ，都存在有限時刻t10

7、和控制u(t)，使狀態(tài)由x0轉移到t1時刻的狀態(tài)x(t1)=0 ，根據(jù)定義可知系統(tǒng)為完全可控。第11頁/共135頁13必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證W(0, t1) 非奇異。反設W(0, t1)為奇異，即存在某個非零向量 ，使0nxR010(0, )0Tx Wt x 1110100000002000(0, )TTTTtTTAtTA tTtTA tTA ttTA tx Wt xx eBB ex dtB exB exdtB exdt 其中|為范數(shù)，故其必為非負。欲使上式成立，必有010,0, TTA tB extt 第12頁/共135頁14因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對此非零向量 應有 0 x1111

8、00( )( )0tAtAtAtx texeeBu t dt100( )tAtxeBu t dt 1120000000( )( )TTttTAtTTA txx xeBu t dtxut B ex dt 020000 xx即此結果與假設 相矛盾，即W(0, t1)為奇異的反設不成立。因此，若系統(tǒng)完全可控， W(0, t1)必為非奇異。 00 x 第13頁/共135頁152 秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：能控判別陣1ncrankQrank B ABABn-=MML M能控性判據(jù)補充: 秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：其中:1n rn rrankQrank BABABn r

9、rankBp，r該方法是秩判據(jù)的改進，特別適用于多輸入系統(tǒng)，可減少不必要的計算。第14頁/共135頁16證明：充分性：已知rankQ=n，欲證系統(tǒng)完全可控，采用反證法。反設系統(tǒng)為不完全可控，則有： 1110(0, ),0TtAtTA tWteBB edtt 為奇異，這意味著存在某個非零n維常向量使111000(0, )TtTTAtTA ttTTAtTAtWteBB edteBeBdt 1,0,TAteBtt 0 將上式求導直到(n-1)次，再在所得結果中令t=0，則可得到:21,TTTTnBABA BAB0000第15頁/共135頁1721,TTTTnBABA BAB000021TnTB AB

10、 A BABS 0 由于 0，所以上式意味著S為行線性相關的，即r a n k S n 。這顯然與已知rankS=n相矛盾。因而反設不成立，系統(tǒng)應為完全可控，充分性得證。必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS=n ，采用反證法。反設rankSn ，這意味著S為行線性相關，因此必存在一個非零n維常向量 使成立。1TTnSB ABAB0 第16頁/共135頁181TTnSB ABAB0;0,1,1TiA Bin0 （由凱萊哈密爾頓定理）0,0,1,2,TiA Bi 10t1( 1)0;0,;0,1,2,!i iiAtBttii 第17頁/共135頁19110(0, )TtTAtTA tTeBB

11、edtWt 因為已知0 ，若上式成立，則格拉姆矩陣W(0, t1)為奇異，即系統(tǒng)為不完全可控，和已知條件相矛盾，所以反設不成立。于是有rankS=n ，必要性得證。 2 23 322331112311230,TAtTTTTeBIAtA tA tBBABtA BtA Bttt ！0第18頁/共135頁20例4.4：已知判斷其能控性。401052xxu 2n 解：系統(tǒng)階次，確定出可控判別陣14210cQBAB2crankQn，所以系統(tǒng)為完全可控。 第19頁/共135頁21例：判斷下列系統(tǒng)的可控性11122233132210201101311xxuxxuxx解：2213254112244112244

12、cQBABA B矩陣的第二行與第三行線性相關，故rankQ =23，系統(tǒng)不可控。第20頁/共135頁22例：用可控性判別矩陣 判別上例所示系統(tǒng)的可控性。 npU11122233132210201101311xxuxxuxx解：n=3, 系統(tǒng)輸入向量是2維的列向量，即p = 2。2111211prankBrankp3 2213211221122U顯見矩陣S3-2的第二行與第三行線性相關，故 ，系統(tǒng)不可控。23nprankS第21頁/共135頁23線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要條件是：對矩陣A的所有特征值 ， (1,2, )iin1,2,

13、irankIABnin均成立，或等價地表示為,rank sIABnsC 注：當系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)較高時，應用秩判據(jù)可能不太方便，此時可考慮用PBH判據(jù)試一下。第22頁/共135頁24證明： ，為多項式矩陣，且對復數(shù)域上除i以外的所有s都有det(sI-A)0，即ranksI-A=n，進而有ranksI-A B=n，所以只要證明 即可。,rank sIABnsC 1,2,irankIABnin必要性：系統(tǒng)完全可控，欲證上式成立，采用反證法。反設對某個i 有rankiI A B n，則意味著 iIA B為行線性相關。由此，必存在一個非零常向量，使iTIAB 0 成立?？紤]到問題的一般性，由上式可得到

14、：,0TTTiAB 第23頁/共135頁25進而可得:1,TTTTniBABBAB000 于是有1TnTBABABS 0 因已知0，所以欲使上式成立，必有rankSn這意味著系統(tǒng)不完全可控，顯然與已知條件相矛盾。因此，反設不成立，即rankiI A B=n成立。充分性：已知式rankiI A B=n成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法：利用和上述相反的思路，即可證得充分性。第24頁/共135頁26例4.7：已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為010001001010000101005020 xxu判斷系統(tǒng)的可控性。解：根據(jù)狀態(tài)方程可寫出10001010100010100520sssIABss第25頁/共1

15、35頁27特征方程： 010001001010rankrank000101005020010001001010rank4000101000030sIAB2det()(5)(5)0sIAsss解得A的特征值為： 12340,5,5 1）當 時，有 120s第26頁/共135頁282）當 時，有 35s51010510rank=rank400010020sIAB3）當 時，有 35s 51010510rank=rank400010020sIAB所以系統(tǒng)是完全可控的。第27頁/共135頁29線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要條件是：A不能有與B

16、的所有列相正交的非零左特征向量。即對A的任一特征值i，使同時滿足,TTTiAB 0 的特征向量 。 0 注：PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復頻域分析中。第28頁/共135頁30證明：必要性：已知系統(tǒng)完全可控，反設存在一個向量0，使式 成立，則有,TTTiAB01,TTTTniBABBAB0001TnTBABABS 0由于0 ，所以上式意味著S為行線性相關的，即rankS時， 的全部p個列將線性相關于它的左邊各列，此時 的秩不再增加，即kQBAkkQ 稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)。=?”krankQn使成立的k的最小正整數(shù)第36頁/共135頁38 定理：能控性指數(shù)滿足nmin(n

17、,n1)pr 其中， 為矩陣A的最小多項式次數(shù)， ，n為系統(tǒng)的階次。nrankBr 第37頁/共135頁39 定理：線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是：nn1rankQrankB ABABnrr 注：該方法是秩判據(jù)的改進，特別適用于多輸入 系統(tǒng)，可減少不必要的計算。其中： rrankBp，r第38頁/共135頁40三 線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)1 格拉姆矩陣判據(jù) 線性時變系統(tǒng)在時刻 為完全能控的充要條件是，存在一個有限時刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。0t)tt , Jt (t011110t0T010) t ,t () t () t () t ,t (,t tTcdtBBtW第39頁/共135

18、頁412 秩判據(jù) 線性時變系統(tǒng)在時刻 為完全能控的充分條件是，存在一個有限時刻 ，使下式成立0t)tt , Jt (t0111) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (B) t (M2-n2-n1 -n0010n)t (M)t (M)t (Mrank11 -n1110能控性判據(jù)第40頁/共135頁42 線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是，存在有限時刻t10，使如下定義的格拉姆矩陣為非奇異。0(0)0 xAxxxtyCx1T10(0, )eeTtA tAtoWtC Cdt注意：在應用該判據(jù)時需計算eAt，這在A的維數(shù)

19、較高時并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。 第41頁/共135頁43 線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是:或0(0)0 xAxxxtyCx1onCCArankQranknCA1()TTTTnTrank CA CACn其中：n是系統(tǒng)的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可觀測性判別陣，簡稱可觀測性陣。1()TTTTnTTVCA CAC第42頁/共135頁44例：判斷下列系統(tǒng)的可觀性：xAxyCx20,1001AC(1) 解：(1) 101220oCrankQrankranknCA 系統(tǒng)不完全可觀測11101111AC，(2) (2)111020112TTTorankQrank CA Crankn系統(tǒng)完全可觀

20、測第43頁/共135頁45例：證明如下系統(tǒng)總是完全可觀測的。0110011naaxxa001yx證明：11101100nnaaVnV rank系統(tǒng)是完全可觀測的。 該題說明：可觀測標準型系統(tǒng)是完全可觀測的。第44頁/共135頁46補充：可觀測性判別矩陣 n qV線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中：x為n維狀態(tài)向量；y為q維輸出向量；A和C分別為(nn) 和(qn)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充要條件是：其中： 0(0)0 xAxxxtyCxn qn qCCArankVranknCAqrankCqq，適用于多輸出系統(tǒng)第45頁/共135頁47例：判斷系統(tǒng)的可觀性。11101111AC，解：系統(tǒng)

21、輸出向量是2維的列向量，即q = 2。10211qrankCrankq2 21011V2n qrankVn故 ，系統(tǒng)完全可觀測。第46頁/共135頁48 線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是：對矩陣A的所有特征值 ，均有0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(niirank;1,2,IiCninA( I)CranknsCsA ，成立?；虻葍r地表示為第47頁/共135頁49 線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是：A沒有與C的所有行相正交的非零右特征向量。即對A的任一特征值 ，使同時滿足0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(nii,iAC0 0 的特征向量 。注：PHB特征向量判據(jù)主

22、要用于理論分析中。第48頁/共135頁5012,nxxyCx 當矩陣A的特征值 為兩兩相異時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型 12,n 中， 不包含元素全為零的。0(0)0 xAxxxtyCxC第49頁/共135頁51例：已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為800000010,123002xxyx判斷系統(tǒng)的可觀測性。解：由于此規(guī)范型中 不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)完全可觀測。C第50頁/共135頁52 當系統(tǒng)矩陣A有重特征值時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是：由其導出的約當規(guī)范型中， 中與同一特征值的各約當塊對應的各子塊的第一列組成的矩陣是線性無關的。0(0

23、)0 xAxxxtyCxACxxy =xC第51頁/共135頁53例4.15：約當標準型系統(tǒng)如下：2100000020000000200000002000000031000000300000003xx試判斷其可觀測性。400020000301010005300yx解： 1400030 ,005C2201130C所以：系統(tǒng)完全可觀測。是列線性無關的；是列線性無關的；第52頁/共135頁54 完全可控且完全可觀測的子系統(tǒng)組合后不一定保持原有的可控性或可觀測性。例：設完全可控且完全可觀測的子系統(tǒng)為11111101021341Sxxuyx ：，222222Sxxuyx ：，求出并聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描

24、述，并判斷并聯(lián)組合系統(tǒng)的可控性和可觀測性。第53頁/共135頁55解：子系統(tǒng)并聯(lián)組合后的系統(tǒng)1111222200ABABxxuxx010034010011xxu 112122CCDDxyux21 1yx 可控性判別矩陣：20141413111cQBABA B第54頁/共135頁56可觀性判別矩陣2211321651oCQCACA輊輊犏犏犏犏= -犏犏犏犏臌臌det4 156 123 100oQ rankoQn該并聯(lián)組合系統(tǒng)不完全可控且不完全可觀測。det4 13 16 10cQ crankQn第55頁/共135頁57二 能觀測性指數(shù)k-1 TkVC CACA ,k0,1, 對線性定常系統(tǒng)，定義

25、kq n 矩陣： 能觀性指數(shù)：矩陣 的秩隨著k單調(diào)增加，直 至k=。在k時， 的秩不再增加，即kVkVkrankVnk使的 最小正整數(shù) 稱為線性定常系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)。第56頁/共135頁58 定理：能觀測性指數(shù)滿足nmin(n,nm 1)q 其中， 為矩陣A的最小多項式次數(shù)， ，n為系統(tǒng)的階次。nmrankC第57頁/共135頁59 定理：線性定常系統(tǒng)完全能觀的充要條件是：nn1rankVrankC CACAnm Tm 定理：線性定常系統(tǒng)的能控性指數(shù)和能觀測性指數(shù)在狀態(tài)的非奇異變換下保持不變。mrankC第58頁/共135頁60三 線性時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)1 格拉姆矩陣判據(jù) 線性時變系統(tǒng)在

26、時刻 為完全能觀的充要條件是，存在一個有限時刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。10t0T0T10o)t , t () t (C) t (C)t , t (,t tdttW0t)tt , Jt (t0111第59頁/共135頁612 秩判據(jù) 線性時變系統(tǒng)在時刻 為完全能觀的充分條件是，存在一個有限時刻 ，使下式成立n)t (N)t (N)t (NrankT11 -n11100t)tt , Jt (t0111) t (Ndtd) t (A) t (N) t (N) t (Ndtd) t (A) t (N) t (N) t (C) t (N2-n2-n1 -n0010第60頁/共135頁62能控性

27、能觀性意義輸入 狀態(tài)控制狀態(tài) 輸出估計代數(shù)判據(jù) rankB AB An-1B=nrankC AC (A)n-1C=n模態(tài)判據(jù)1同一特征值的約旦塊對應B的分塊的最后一行是否相關同一特征值的約旦塊對應C的分塊的第一列是否相關rankI-A B=n rankI-A C=n 模態(tài)判據(jù)2從前面的討論中可以看出,系統(tǒng)狀態(tài)能控性和能觀性,無論是從定義或判據(jù)方面來看,在形式和結構上都極為相似。這種相似關系可以總結成下表:4.4 對偶性第61頁/共135頁63一 對偶系統(tǒng) 考慮線性時變系統(tǒng)x)t(CyB(t)u,A(t)xx: 線性時變系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：TTTTTTTTd) t (B(t)C(t)

28、A: 式中：-n維行向量，協(xié)態(tài)；-輸出，p維行向量； -輸入，q維行向量。（1）（2） 顯然,若系統(tǒng)(A,B,C)是一個p維輸入,q維輸出的n階系統(tǒng),則其對偶系統(tǒng)是一個q維輸入,p維輸出的n階系統(tǒng)。第62頁/共135頁64下圖是對偶系統(tǒng)和 的結構圖。從圖中可以看出,兩系統(tǒng)互為對偶意味著輸入端與輸出端互換;信號傳遞方向的相反;信號引出點和相加點的互換,對應矩陣的轉置,以及時間的倒轉。 u B A C + x y x+ C A B uyxx+ + B第63頁/共135頁65二 對偶原理 對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣之間滿足如下關系： 線性時變系統(tǒng)的完全能控等同于其對偶系統(tǒng)的完全能觀測，線性時變系統(tǒng)的完全

29、能觀測等同于其對偶系統(tǒng)的完全能控。0000( ,)( ,)=( ,)( , )TTdt tt tt tt t-F= FF= F逆的轉置第64頁/共135頁66補充題：確定使下列系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的待定參數(shù)的a，b，c取值范圍010001000 xabxuc 2010416012618axxb uc （1） （2）ac0, b任意 0ac a,b,c為任何值都不能控 第65頁/共135頁6732( )7148saG ssss設系統(tǒng)狀態(tài)完全可控且完全可觀, 試求a的范圍。解：可控標準型實現(xiàn)，檢查可觀性： 0100001081471xxu；10 yax第66頁/共135頁68解得 a1 = 1； a2

30、 = 2； a3 = 4；答案：只需a1 1 、 a2 2 和 a3 4 。 ；0814723aaa71481001aaaV；814723aaa第67頁/共135頁694.5 能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形 一 單變量系統(tǒng)的能控能觀規(guī)范形1 非奇異線性變換的不變特性 系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換后，不會改變系統(tǒng)原有特性(包括系統(tǒng)特征值、傳遞函數(shù)矩陣、可控性、可觀性、能控性指數(shù)和能觀性指數(shù)等)，這就是所謂的非奇異線性變換的不變特性。第68頁/共135頁70 對單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式xcyu,bxAxccc100b,1010Ac1 -n10c 則稱此狀態(tài)空間描述為可控規(guī)范形

31、。2 能控規(guī)范形第69頁/共135頁71結論：對于完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng)Abycxxux設系統(tǒng)的特征多項式為1110( )det()nnnssIAsss引入非奇異線性變換陣P-1：1212111n 1n 11n 1111111AbAb b1nncnPQbAbAb第70頁/共135頁72作變換 ，即可導出可控標準型為：1PxxAbycxxux式中：1012110110100000100;000101nnAPAPbPbccP 其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb第71頁/共135頁73證明：1）系統(tǒng)完全可控，必有1nrankSrank bAbAbn所以向量

32、是線性無關的。1,nb AbAb1PQS1QP取變換矩陣為式中： ，有121nnQ qqqq121211211111nnnnqqqSbAbAb第72頁/共135頁74所以： nqb111(I)nnnnnAAqqqb23232132()nnnnAAAAqqqI b12121121()nnnnAAAAqqqI b 由于S和都是線性無關的，顯然向量也是線性無關的。應用凱萊-哈密頓定理得到12,nq qq111100()nnnnAAAA b qbq122121111()nnnnAAAAqbbb = qq2112222()nnnnnnnAAAqbbb = qq1111nnnnnnAAqbbb = qq第

33、73頁/共135頁75書寫成矩陣形式為：0112211nnnnnnnnAQ qqqqqqq101100nnQQAI所以： 11101100nnAQ AQPAPI第74頁/共135頁762）記變換矩陣P的行向量為pi，因PQ = I，即10ijijp qij故： 11001nnnnnnPP pqbbqpqp q3）對于向量 ，由 計算得1011nccP121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcbc第75頁/共135頁77 3 能觀測規(guī)范形 對單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式x cyu,bx Ax ooo01oon-1001A, c0011aaa輊-

34、犏犏-犏=犏犏犏-臌LLOM 則稱此狀態(tài)空間描述為能觀測規(guī)范形。第76頁/共135頁78結論：對于完全可觀測的單輸入單輸出系統(tǒng)Abycxxux1110( )det()nnnssIAsss引入非奇異線性變換陣P ：12111121211111111nnnonnnnAAPQAAA ccccccc第77頁/共135頁79作變換 ，即可導出可控標準型為：1PxxAbycxxux式中：其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb0011122111000100010;0010001nnnAPAPbPbccP第78頁/共135頁801 搜索線性無關行或列的方案考慮n維多輸入-多

35、輸出線性定常系統(tǒng)xAxu, yxBC其能控判別陣能觀判別陣分別為：TnoCACACQ11BAABBQnc 多變量系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形二 尋找線性 無關的列 尋找線性 無關的行 第79頁/共135頁81(1) 列向搜索方案搜索步驟： 第1步：對柵格圖的左第1列，若 非零，在乘積 格內(nèi)劃。轉入下一格，若 和 線性無關，則在其格內(nèi)劃。如此等等，直到首次出現(xiàn) 和 線性相關，在其格內(nèi)劃，并停止第1列的搜索，得到一組線性無關的列向量為： ，長度為 。1b10bA1Ab1b11A b11111b ,Ab ,Ab 11111b ,Ab ,Ab1第80頁/共135頁82 第2步：向右轉入第2列，若 和

36、線性無關，則在其格內(nèi)劃。 轉入下一格，若 和 線性無關，則在其格內(nèi)劃。如此等等，直到首次出現(xiàn) 和 線性相關，在其格內(nèi)劃，并停止第2列的搜索，得到一組線性無關的列向量為： ，長度為 。2b2Ab1211111222b ,Ab ,Ab ;b ,Ab ,Ab 21222b ,Ab ,Ab211111b ,Ab ,Ab 111112b ,Ab ,Ab ;b 22A b第81頁/共135頁83 第 步：向右轉入第l列，若 和 線性無關，則在其格內(nèi)劃。如此等等，直到首次出現(xiàn) 和 線性相關，在其格內(nèi)劃，并停止第l列的搜索，得到一組線性無關的列向量為： 長度為 。lb1b ,Ab ,Ablllll-11211

37、111221-1b ,Ab ;b ,Ab ;b,Ab lllA bll121111122b ,Ab ;b ,Ab ;b ,Ab lll第82頁/共135頁84 第步：若 停止計算。并且，上述l組列向量即為按列向搜索方案找到的 中n個線性無關列向量。12nlcQ第83頁/共135頁85(2) 行向搜索方案搜索步驟： 第1步： ，即B中有r個列是線性無關量。對柵格圖的第1行，若 非零，在格內(nèi)劃。由左至右找出r個線性無關向量：并在對應格內(nèi)劃。1b10bAr21b,b,bprrankB第84頁/共135頁86 第2步：轉入第2行，從 格到 由左至右進行搜索。若線性相關則在其格內(nèi)劃，否則劃。1AbrAb

38、 第l步：轉入第l行，從 格到 由左至右進行搜索。若線性相關則在其格內(nèi)劃，否則劃。1bAlrbAl第85頁/共135頁87 第l+1步：若至此找到n個線性無關列向量，則結束搜索。柵格圖中劃格對應的列向量組就是按行向搜索方案找到的 中n個線性無關列向量。cQ第86頁/共135頁882 旺納姆能控規(guī)范形考慮多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)xAxBu, yCx得到 中n個線性無關的列向量（列向搜索）：cQ其中l(wèi)llbA,b;bA,b;bA,b121211121n21l其中n21l第87頁/共135頁89進一步可導出：基于此，定義相應的基組為：11112131, 11212111121, 11111bebb

39、AbAebbAbAe111111110j1j1j111bAbA第88頁/共135頁90表示：基于此，定義相應的基組為：22222231,22222221221,22121bebbAbAebbAbAe2222222 10j11i1jij2ji2j2j22i2ebAbA第89頁/共135頁91依此類推，直到：基于此，定義相應的基組為：lllllllllllllllllllllbebbAbAebbAbAe231,22121,11 10j11i1jijjijjiebAbAlllllll 在各基組的基礎上，得到非奇異變換陣：e,e,e;e,e,e211121111llllP第90頁/共135頁92 結論

40、：對完全能控的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)，引入非奇異變換 ，可導出其旺納姆能控規(guī)范形為：Pxx cccxA xB u, yC x11121222cAAAAAAAlllll , 2 , 1i,1010A1, ii1i0)(iiiii第91頁/共135頁93ijij1iij()j i00A00ji 1,l -1cCC P100100PBB) p(nc1l第92頁/共135頁94 結論：對完全能觀的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)，利用對偶性原理，則可導出其旺納姆能觀規(guī)范形為：3 旺納姆能觀規(guī)范形xCyuBxAxooommm2m1222111oAAAAAAAiiii1i2ii()i,1001A, i 1,

41、 ,m1 第93頁/共135頁95ii1ji jij00A00j 1,2,i 1無特殊形式oB100100Co第94頁/共135頁964 龍伯格能控規(guī)范形考慮完全能控的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)CxyBu,Axx得到 中n個線性無關的列向量（行向搜索）：cQ其中bA,b;bA,b;bA,Ab,bPr1r2121111-1r21nr21rrankB第95頁/共135頁97TrTr1T1T1111 -r1eeee)(PP令：1TrTr1T1T11rrr111AeeAeeS取P的每個塊陣中的末行構成變換陣S:第96頁/共135頁98 結論：對完全能控的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)，引入非奇異變換 ，可

42、導出其龍伯格能控規(guī)范形為：1xxSxCyu,BxAxccc111rcr1rrAAAAAiiii()0 1A,i 1,r01 ijij00A,i j00 第97頁/共135頁99cCCS()無特殊形式1c(n p)001BB001S第98頁/共135頁100 結論：對不完全能控的系統(tǒng)，引入線性非奇異變換 ，即可導出系統(tǒng)按能控性結構分解的規(guī)范表達式Pxx cccccccc12cccxxCCyu0BxxA0AAxx一 線性定常系統(tǒng)按能控性的結構分解連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結構分解4.6P矩陣如何確定？第99頁/共135頁101nn非奇異變換矩陣P-1的構造方法：1）從可控性判別陣 中任意的選取k個線

43、性無關的列向量，記為 。2）在n維實數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的(n-k)個列向量記為 ，使它們和 線性無關。 這樣就可以構成nn非奇異變換矩陣12,kq qq12,kknqqq1121kknPQqqqqqcQ12,kq qq第100頁/共135頁1021200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx展開寫有：12ccccccccccccxA xA xB uxA xyC xC x令 ，則可定義可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：ccyyy12ccccccccxA xA xB uyC xccccccxA xyC x不可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：第101頁/共135頁103cA1/scCy+c

44、xcxcycxcxcyu+12AcBcA1/scC圖4.6 可控性規(guī)范分解方框圖 第102頁/共135頁1041）由于11112112111121( )()()0000()()()00()ccccccrcccn rccrcrcn rcccn rcG sC sIABC sIABBAACCsIABsIAACCsIABsIAsIAAsIACCsIA11()()0rcccccrccsIABCCCsIAB系統(tǒng)結構可控性分解特點第103頁/共135頁1051111000nnncccccncccccrank BABABrank BABABBA BABrankrank BA BABr因而k維系統(tǒng) 是可控的，且

45、和系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣。如果從傳遞特性的角度分析系統(tǒng) 時，可以等價地用分析子系統(tǒng) 來代替，由于后者維數(shù)降低了很多，可能會使分析變得簡單。(,)cccA B C, ,A B C, ,A B C(,)cccA B C第104頁/共135頁1062）輸入u只能通過可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，而與不可控子系統(tǒng)無關，故u至y之間的傳遞函數(shù)矩陣描述不能反映不可控部分的特性。3）由于在選取非奇異變換矩陣時，列向量 和 的選取不具有唯一性，雖然可控性規(guī)范分解的形式不變，但各系數(shù)矩陣因P-1的差異而不同，即可控性規(guī)范分解結果不唯一。111kknPqqqq12,kq qq12,kknqqq第105頁/共135頁1

46、074）系統(tǒng)的特征多項式可分解為：12det()det()det0det() det()ccccsIAAsIAsIAsIAsIAsIA表明不完全可控系統(tǒng)的特征值由兩部分組成：一部分為 的特征值，稱為系統(tǒng)的可控振型；另一部分為 的特征值，稱為系統(tǒng)的不可控振型。外部輸入u的引入只能改變可控振型的位置，而不能改變不可控振型的位置。cAcA第106頁/共135頁108例： 已知系統(tǒng)（A,b,c），其中1210010011 11431A bc，試將系統(tǒng)作可控性規(guī)范分解。解：1）可控性判別矩陣2014000138cQbAbA bcrankQ23 ；故系統(tǒng)不完全可控。 第107頁/共135頁1092）從 中

47、選出兩個線性無關的列向量 和 ，附加任意列向量 ，構成非奇異變換矩陣P-1：001T103T010T0311000101P301100010P 則：11042114201210010APAPPP ，b =bc = ccQ第108頁/共135頁110即可得到系統(tǒng)按可控性分解的規(guī)范表達式為：042114201210010cccccc xxxu,y =xxx0421142012ccccc xxxuyxcccc xxyx故可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為： 不可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：第109頁/共135頁111例4.24：給定線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，其中101100110111010111cBA，試對系統(tǒng)作可控

48、性規(guī)范分解。解：已知 ，由于 ，故只需判斷 是否為行滿秩。3,2np2prankBpn pQBAB01121010230112rank BABrankn系統(tǒng)不完全可控。 第110頁/共135頁112從可控性判別陣中取線性無關的向量q1, q2，再任取q3，構成非奇異線性變換矩陣： 1011100010P010001101P于是：1010111011100001010100121101111010000APAP第111頁/共135頁113010011000110011010100BPB1011101 100021010Pcc100100212101cccccxxxuyx ，0cccxyx，可控子

49、系統(tǒng)的動態(tài)方程為：不可控子系統(tǒng)的動態(tài)方程為：第112頁/共135頁114 結論：對不完全能觀的系統(tǒng)，引入線性非奇異變換 ，即可導出系統(tǒng)按能觀性結構分解的規(guī)范表達式Pxx 二 線性定常系統(tǒng)按能觀性的結構分解P矩陣如何確定？oooooo0o21oooxx0CyuBBxxAA0Axx第113頁/共135頁115 變換矩陣的構成：從 中任選m個線性無關的行向量： ，又在n維向量空間中任選n-m個與之線性無關的行向量： ，組成變換矩陣m21h,h,hn2m1mh,h,hn1mm1hhhhPoQ第114頁/共135頁116展開寫有：則可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：210oooooooo

50、oooBACBAA0 xxxu,y = y =xxx21oooooooooooABAABCxxuxxxuyxoooooooABCxxuyx21ooooooAAB 0 xxxuy第115頁/共135頁117圖4.7 可觀測性規(guī)范分解方塊圖第116頁/共135頁118例： 試將如下系統(tǒng)按可觀測性進行分解。已知系統(tǒng)(A,B,C)，其中1210010011 11431A bc，解：n=3，系統(tǒng)的可觀測性判別矩陣為：2111232474ocQcAcArank23oQ 故系統(tǒng)不完全可觀。第117頁/共135頁119從中選取兩線性無關行向量 和 ，再選取一個與之線性無關的行向量 ，構成非奇異線性變換矩陣：1

51、1 1232001111232001P則：1311210001P1010230 ;532APAP 12 ;1 b = Pb1100c = cP 第118頁/共135頁120即可得到系統(tǒng)按可觀測性分解的規(guī)范表達式：010123021005321oooooo xxxu,y =xxx可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為： 01110232oooouy xxx，不可觀子系統(tǒng)動態(tài)方程為： 5320ooooxxuy x，第119頁/共135頁121三 線性定常系統(tǒng)的一般結構分解對多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)CxyBu,Axx假設系統(tǒng)既不能控又不能觀測。 1 對系統(tǒng)按能控性進行結構分解。 引入線性非奇異變換 ，得到分解后的狀態(tài)空間描述為：cccccccc12cccxxCCyu0BxxA0AAxxPxx 第120頁/共135頁122得到能控子系統(tǒng)：cc1cc12cccxCyuBxAx