線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)124.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 4.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)4.3 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)4.5 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型第4章 線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性4.4 對(duì)偶性4.6 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解第1頁(yè)/共135頁(yè)3 p能控性問(wèn)題:已知某系統(tǒng)的的當(dāng)前時(shí)刻及其狀態(tài),試問(wèn)是否存在一個(gè)容許控制,使得系統(tǒng)在該控制的作用下于有限時(shí)間后到達(dá)某希望的待定狀態(tài)?p能觀性問(wèn)題:已知某系統(tǒng)及其在某時(shí)間段上的輸入輸出,試問(wèn)可否依據(jù)這一時(shí)間段上的輸入和輸出決定系統(tǒng)這一時(shí)間段上的狀態(tài)?第2頁(yè)/共135頁(yè)4例4-1：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為1122401052xxuxx 1206xyx結(jié)構(gòu)

2、圖表明：通過(guò)控制量u可以控制狀態(tài)x1和x2，所以系統(tǒng)完全能控；但輸出y只能反映狀態(tài)變量x2，不能反映狀態(tài)變量x1，所以系統(tǒng)不完全能觀測(cè)。圖4-1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第3頁(yè)/共135頁(yè)5考慮n維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程00( )( )( )txA t xB t ux txtT如果對(duì)取定初始時(shí)刻 的一個(gè)非零初始狀態(tài)x(t0) =x0，存在一個(gè)時(shí)刻 和一個(gè)無(wú)約束的容許控制u(t)， ，使?fàn)顟B(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到t1時(shí)的x(t1)=0 ，則稱此x0是在時(shí)刻t0可控的.tTt 0011,ttTtt,10ttt 第4頁(yè)/共135頁(yè)6如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在t0（ ）時(shí)刻可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是完全

3、可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0可控。若系統(tǒng)在所有時(shí)刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的?？紤]n維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第5頁(yè)/共135頁(yè)7 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)取定初始時(shí)刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻t0是不可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第6頁(yè)/共135頁(yè)8 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng) 若存在能將狀態(tài)x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(tf)=xf的控制作用，則稱狀態(tài)xf是t0時(shí)刻可達(dá)的。 若xf對(duì)所有時(shí)刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài)xf為完全可

4、達(dá)到或一致可達(dá)。若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是時(shí)刻t0可達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是t0時(shí)刻完全可達(dá)的，或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是t0時(shí)刻可達(dá)的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtT第7頁(yè)/共135頁(yè)91系統(tǒng)完全可觀測(cè) 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)如果取定初始時(shí)刻 ，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ,對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出y(t)能唯一確定狀態(tài)向量的初值x(t0)，則稱系統(tǒng)在t0, t1內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)。如果對(duì)于一切t1t0系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)在t0, )內(nèi)是完全可觀測(cè)的。0ttT110,ttT tt01,tt t000( ) ,( ),( )txA t xx txt tTyC t x第8頁(yè)/共

5、135頁(yè)102系統(tǒng)不可觀測(cè) 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)如果取定初始時(shí)刻 ，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ,對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出y(t)不能唯一確定所有狀態(tài)的初值xi(t0)，i=0,1,n，即至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不能被y(t)確定，則稱系統(tǒng)在t0, t1內(nèi)是不完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱不可觀測(cè)。 0ttT110,ttT tt01,tt t000,( ) ,( )( )txA t xx txt tTyC t x第9頁(yè)/共135頁(yè)11 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算eAt，這在A的維數(shù)較高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。 1100,

6、TtAtTA tcWteBB edt-=1t第10頁(yè)/共135頁(yè)12證：充分性：已知W0, t1為非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可控，采用構(gòu)造法來(lái)證明。對(duì)任一非零初始狀態(tài)x0可構(gòu)造控制u(t)為： 1101( )0, ,0,TTA tcu tB eWt xtt 則u(t)作用下系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在t1時(shí)刻的結(jié)果:1111111111()1001010010110000( )( )0, 0, 0, 0TtAtA tttAtAtAtTA tcAtAtAtAtnccx texeBu t dtexeeBB edtWt xexe Wt Wt xexexxR這表明：對(duì)任一取定的初始狀態(tài)x00 ，都存在有限時(shí)刻t10

7、和控制u(t)，使?fàn)顟B(tài)由x0轉(zhuǎn)移到t1時(shí)刻的狀態(tài)x(t1)=0 ，根據(jù)定義可知系統(tǒng)為完全可控。第11頁(yè)/共135頁(yè)13必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證W(0, t1) 非奇異。反設(shè)W(0, t1)為奇異，即存在某個(gè)非零向量 ，使0nxR010(0, )0Tx Wt x 1110100000002000(0, )TTTTtTTAtTA tTtTA tTA ttTA tx Wt xx eBB ex dtB exB exdtB exdt 其中|為范數(shù)，故其必為非負(fù)。欲使上式成立，必有010,0, TTA tB extt 第12頁(yè)/共135頁(yè)14因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對(duì)此非零向量 應(yīng)有 0 x1111

8、00( )( )0tAtAtAtx texeeBu t dt100( )tAtxeBu t dt 1120000000( )( )TTttTAtTTA txx xeBu t dtxut B ex dt 020000 xx即此結(jié)果與假設(shè) 相矛盾，即W(0, t1)為奇異的反設(shè)不成立。因此，若系統(tǒng)完全可控， W(0, t1)必為非奇異。 00 x 第13頁(yè)/共135頁(yè)152 秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：能控判別陣1ncrankQrank B ABABn-=MML M能控性判據(jù)補(bǔ)充: 秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：其中:1n rn rrankQrank BABABn r

9、rankBp，r該方法是秩判據(jù)的改進(jìn)，特別適用于多輸入系統(tǒng)，可減少不必要的計(jì)算。第14頁(yè)/共135頁(yè)16證明：充分性：已知rankQ=n，欲證系統(tǒng)完全可控，采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控，則有： 1110(0, ),0TtAtTA tWteBB edtt 為奇異，這意味著存在某個(gè)非零n維常向量使111000(0, )TtTTAtTA ttTTAtTAtWteBB edteBeBdt 1,0,TAteBtt 0 將上式求導(dǎo)直到(n-1)次，再在所得結(jié)果中令t=0，則可得到:21,TTTTnBABA BAB0000第15頁(yè)/共135頁(yè)1721,TTTTnBABA BAB000021TnTB AB

10、 A BABS 0 由于 0，所以上式意味著S為行線性相關(guān)的，即r a n k S n 。這顯然與已知rankS=n相矛盾。因而反設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全可控，充分性得證。必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS=n ，采用反證法。反設(shè)rankSn ，這意味著S為行線性相關(guān)，因此必存在一個(gè)非零n維常向量 使成立。1TTnSB ABAB0 第16頁(yè)/共135頁(yè)181TTnSB ABAB0;0,1,1TiA Bin0 （由凱萊哈密爾頓定理）0,0,1,2,TiA Bi 10t1( 1)0;0,;0,1,2,!i iiAtBttii 第17頁(yè)/共135頁(yè)19110(0, )TtTAtTA tTeBB

11、edtWt 因?yàn)橐阎? ，若上式成立，則格拉姆矩陣W(0, t1)為奇異，即系統(tǒng)為不完全可控，和已知條件相矛盾，所以反設(shè)不成立。于是有rankS=n ，必要性得證。 2 23 322331112311230,TAtTTTTeBIAtA tA tBBABtA BtA Bttt ！0第18頁(yè)/共135頁(yè)20例4.4：已知判斷其能控性。401052xxu 2n 解：系統(tǒng)階次，確定出可控判別陣14210cQBAB2crankQn，所以系統(tǒng)為完全可控。 第19頁(yè)/共135頁(yè)21例：判斷下列系統(tǒng)的可控性11122233132210201101311xxuxxuxx解：2213254112244112244

12、cQBABA B矩陣的第二行與第三行線性相關(guān)，故rankQ =23，系統(tǒng)不可控。第20頁(yè)/共135頁(yè)22例：用可控性判別矩陣 判別上例所示系統(tǒng)的可控性。 npU11122233132210201101311xxuxxuxx解：n=3, 系統(tǒng)輸入向量是2維的列向量，即p = 2。2111211prankBrankp3 2213211221122U顯見矩陣S3-2的第二行與第三行線性相關(guān)，故 ，系統(tǒng)不可控。23nprankS第21頁(yè)/共135頁(yè)23線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要條件是：對(duì)矩陣A的所有特征值 ， (1,2, )iin1,2,

13、irankIABnin均成立，或等價(jià)地表示為,rank sIABnsC 注：當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)較高時(shí)，應(yīng)用秩判據(jù)可能不太方便，此時(shí)可考慮用PBH判據(jù)試一下。第22頁(yè)/共135頁(yè)24證明： ，為多項(xiàng)式矩陣，且對(duì)復(fù)數(shù)域上除i以外的所有s都有det(sI-A)0，即ranksI-A=n，進(jìn)而有ranksI-A B=n，所以只要證明 即可。,rank sIABnsC 1,2,irankIABnin必要性：系統(tǒng)完全可控，欲證上式成立，采用反證法。反設(shè)對(duì)某個(gè)i 有rankiI A B n，則意味著 iIA B為行線性相關(guān)。由此，必存在一個(gè)非零常向量，使iTIAB 0 成立。考慮到問(wèn)題的一般性，由上式可得到

14、：,0TTTiAB 第23頁(yè)/共135頁(yè)25進(jìn)而可得:1,TTTTniBABBAB000 于是有1TnTBABABS 0 因已知0，所以欲使上式成立，必有rankSn這意味著系統(tǒng)不完全可控，顯然與已知條件相矛盾。因此，反設(shè)不成立，即rankiI A B=n成立。充分性：已知式rankiI A B=n成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法：利用和上述相反的思路，即可證得充分性。第24頁(yè)/共135頁(yè)26例4.7：已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為010001001010000101005020 xxu判斷系統(tǒng)的可控性。解：根據(jù)狀態(tài)方程可寫出10001010100010100520sssIABss第25頁(yè)/共1

15、35頁(yè)27特征方程： 010001001010rankrank000101005020010001001010rank4000101000030sIAB2det()(5)(5)0sIAsss解得A的特征值為： 12340,5,5 1）當(dāng) 時(shí)，有 120s第26頁(yè)/共135頁(yè)282）當(dāng) 時(shí)，有 35s51010510rank=rank400010020sIAB3）當(dāng) 時(shí)，有 35s 51010510rank=rank400010020sIAB所以系統(tǒng)是完全可控的。第27頁(yè)/共135頁(yè)29線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要條件是：A不能有與B

16、的所有列相正交的非零左特征向量。即對(duì)A的任一特征值i，使同時(shí)滿足,TTTiAB 0 的特征向量 。 0 注：PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。第28頁(yè)/共135頁(yè)30證明：必要性：已知系統(tǒng)完全可控，反設(shè)存在一個(gè)向量0，使式 成立，則有,TTTiAB01,TTTTniBABBAB0001TnTBABABS 0由于0 ，所以上式意味著S為行線性相關(guān)的，即rankS時(shí)， 的全部p個(gè)列將線性相關(guān)于它的左邊各列，此時(shí) 的秩不再增加，即kQBAkkQ 稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)。=?”krankQn使成立的k的最小正整數(shù)第36頁(yè)/共135頁(yè)38 定理：能控性指數(shù)滿足nmin(n

17、,n1)pr 其中， 為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)， ，n為系統(tǒng)的階次。nrankBr 第37頁(yè)/共135頁(yè)39 定理：線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是：nn1rankQrankB ABABnrr 注：該方法是秩判據(jù)的改進(jìn)，特別適用于多輸入 系統(tǒng)，可減少不必要的計(jì)算。其中： rrankBp，r第38頁(yè)/共135頁(yè)40三 線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)1 格拉姆矩陣判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 為完全能控的充要條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。0t)tt , Jt (t011110t0T010) t ,t () t () t () t ,t (,t tTcdtBBtW第39頁(yè)/共135

18、頁(yè)412 秩判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 為完全能控的充分條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使下式成立0t)tt , Jt (t0111) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (B) t (M2-n2-n1 -n0010n)t (M)t (M)t (Mrank11 -n1110能控性判據(jù)第40頁(yè)/共135頁(yè)42 線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，存在有限時(shí)刻t10，使如下定義的格拉姆矩陣為非奇異。0(0)0 xAxxxtyCx1T10(0, )eeTtA tAtoWtC Cdt注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算eAt，這在A的維數(shù)

19、較高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。 第41頁(yè)/共135頁(yè)43 線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是:或0(0)0 xAxxxtyCx1onCCArankQranknCA1()TTTTnTrank CA CACn其中：n是系統(tǒng)的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可觀測(cè)性判別陣，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)性陣。1()TTTTnTTVCA CAC第42頁(yè)/共135頁(yè)44例：判斷下列系統(tǒng)的可觀性：xAxyCx20,1001AC(1) 解：(1) 101220oCrankQrankranknCA 系統(tǒng)不完全可觀測(cè)11101111AC，(2) (2)111020112TTTorankQrank CA Crankn系統(tǒng)完全可觀

20、測(cè)第43頁(yè)/共135頁(yè)45例：證明如下系統(tǒng)總是完全可觀測(cè)的。0110011naaxxa001yx證明：11101100nnaaVnV rank系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。 該題說(shuō)明：可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。第44頁(yè)/共135頁(yè)46補(bǔ)充：可觀測(cè)性判別矩陣 n qV線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中：x為n維狀態(tài)向量；y為q維輸出向量；A和C分別為(nn) 和(qn)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件是：其中： 0(0)0 xAxxxtyCxn qn qCCArankVranknCAqrankCqq，適用于多輸出系統(tǒng)第45頁(yè)/共135頁(yè)47例：判斷系統(tǒng)的可觀性。11101111AC，解：系統(tǒng)

21、輸出向量是2維的列向量，即q = 2。10211qrankCrankq2 21011V2n qrankVn故 ，系統(tǒng)完全可觀測(cè)。第46頁(yè)/共135頁(yè)48 線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：對(duì)矩陣A的所有特征值 ，均有0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(niirank;1,2,IiCninA( I)CranknsCsA ，成立。或等價(jià)地表示為第47頁(yè)/共135頁(yè)49 線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：A沒(méi)有與C的所有行相正交的非零右特征向量。即對(duì)A的任一特征值 ，使同時(shí)滿足0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(nii,iAC0 0 的特征向量 。注：PHB特征向量判據(jù)主

22、要用于理論分析中。第48頁(yè)/共135頁(yè)5012,nxxyCx 當(dāng)矩陣A的特征值 為兩兩相異時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型 12,n 中， 不包含元素全為零的。0(0)0 xAxxxtyCxC第49頁(yè)/共135頁(yè)51例：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為800000010,123002xxyx判斷系統(tǒng)的可觀測(cè)性。解：由于此規(guī)范型中 不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)完全可觀測(cè)。C第50頁(yè)/共135頁(yè)52 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A有重特征值時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型中， 中與同一特征值的各約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子塊的第一列組成的矩陣是線性無(wú)關(guān)的。0(0

23、)0 xAxxxtyCxACxxy =xC第51頁(yè)/共135頁(yè)53例4.15：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)如下：2100000020000000200000002000000031000000300000003xx試判斷其可觀測(cè)性。400020000301010005300yx解： 1400030 ,005C2201130C所以：系統(tǒng)完全可觀測(cè)。是列線性無(wú)關(guān)的；是列線性無(wú)關(guān)的；第52頁(yè)/共135頁(yè)54 完全可控且完全可觀測(cè)的子系統(tǒng)組合后不一定保持原有的可控性或可觀測(cè)性。例：設(shè)完全可控且完全可觀測(cè)的子系統(tǒng)為11111101021341Sxxuyx ：，222222Sxxuyx ：，求出并聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描

24、述，并判斷并聯(lián)組合系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。第53頁(yè)/共135頁(yè)55解：子系統(tǒng)并聯(lián)組合后的系統(tǒng)1111222200ABABxxuxx010034010011xxu 112122CCDDxyux21 1yx 可控性判別矩陣：20141413111cQBABA B第54頁(yè)/共135頁(yè)56可觀性判別矩陣2211321651oCQCACA輊輊犏犏犏犏= -犏犏犏犏臌臌det4 156 123 100oQ rankoQn該并聯(lián)組合系統(tǒng)不完全可控且不完全可觀測(cè)。det4 13 16 10cQ crankQn第55頁(yè)/共135頁(yè)57二 能觀測(cè)性指數(shù)k-1 TkVC CACA ,k0,1, 對(duì)線性定常系統(tǒng)，定義

25、kq n 矩陣： 能觀性指數(shù)：矩陣 的秩隨著k單調(diào)增加，直 至k=。在k時(shí)， 的秩不再增加，即kVkVkrankVnk使的 最小正整數(shù) 稱為線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)。第56頁(yè)/共135頁(yè)58 定理：能觀測(cè)性指數(shù)滿足nmin(n,nm 1)q 其中， 為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)， ，n為系統(tǒng)的階次。nmrankC第57頁(yè)/共135頁(yè)59 定理：線性定常系統(tǒng)完全能觀的充要條件是：nn1rankVrankC CACAnm Tm 定理：線性定常系統(tǒng)的能控性指數(shù)和能觀測(cè)性指數(shù)在狀態(tài)的非奇異變換下保持不變。mrankC第58頁(yè)/共135頁(yè)60三 線性時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)1 格拉姆矩陣判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在

26、時(shí)刻 為完全能觀的充要條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。10t0T0T10o)t , t () t (C) t (C)t , t (,t tdttW0t)tt , Jt (t0111第59頁(yè)/共135頁(yè)612 秩判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 為完全能觀的充分條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使下式成立n)t (N)t (N)t (NrankT11 -n11100t)tt , Jt (t0111) t (Ndtd) t (A) t (N) t (N) t (Ndtd) t (A) t (N) t (N) t (C) t (N2-n2-n1 -n0010第60頁(yè)/共135頁(yè)62能控性

27、能觀性意義輸入 狀態(tài)控制狀態(tài) 輸出估計(jì)代數(shù)判據(jù) rankB AB An-1B=nrankC AC (A)n-1C=n模態(tài)判據(jù)1同一特征值的約旦塊對(duì)應(yīng)B的分塊的最后一行是否相關(guān)同一特征值的約旦塊對(duì)應(yīng)C的分塊的第一列是否相關(guān)rankI-A B=n rankI-A C=n 模態(tài)判據(jù)2從前面的討論中可以看出,系統(tǒng)狀態(tài)能控性和能觀性,無(wú)論是從定義或判據(jù)方面來(lái)看,在形式和結(jié)構(gòu)上都極為相似。這種相似關(guān)系可以總結(jié)成下表:4.4 對(duì)偶性第61頁(yè)/共135頁(yè)63一 對(duì)偶系統(tǒng) 考慮線性時(shí)變系統(tǒng)x)t(CyB(t)u,A(t)xx: 線性時(shí)變系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：TTTTTTTTd) t (B(t)C(t)

28、A: 式中：-n維行向量，協(xié)態(tài)；-輸出，p維行向量； -輸入，q維行向量。（1）（2） 顯然,若系統(tǒng)(A,B,C)是一個(gè)p維輸入,q維輸出的n階系統(tǒng),則其對(duì)偶系統(tǒng)是一個(gè)q維輸入,p維輸出的n階系統(tǒng)。第62頁(yè)/共135頁(yè)64下圖是對(duì)偶系統(tǒng)和 的結(jié)構(gòu)圖。從圖中可以看出,兩系統(tǒng)互為對(duì)偶意味著輸入端與輸出端互換;信號(hào)傳遞方向的相反;信號(hào)引出點(diǎn)和相加點(diǎn)的互換,對(duì)應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置,以及時(shí)間的倒轉(zhuǎn)。 u B A C + x y x+ C A B uyxx+ + B第63頁(yè)/共135頁(yè)65二 對(duì)偶原理 對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣之間滿足如下關(guān)系： 線性時(shí)變系統(tǒng)的完全能控等同于其對(duì)偶系統(tǒng)的完全能觀測(cè)，線性時(shí)變系統(tǒng)的完全

29、能觀測(cè)等同于其對(duì)偶系統(tǒng)的完全能控。0000( ,)( ,)=( ,)( , )TTdt tt tt tt t-F= FF= F逆的轉(zhuǎn)置第64頁(yè)/共135頁(yè)66補(bǔ)充題：確定使下列系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的待定參數(shù)的a，b，c取值范圍010001000 xabxuc 2010416012618axxb uc （1） （2）ac0, b任意 0ac a,b,c為任何值都不能控 第65頁(yè)/共135頁(yè)6732( )7148saG ssss設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控且完全可觀, 試求a的范圍。解：可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，檢查可觀性： 0100001081471xxu；10 yax第66頁(yè)/共135頁(yè)68解得 a1 = 1； a2

30、 = 2； a3 = 4；答案：只需a1 1 、 a2 2 和 a3 4 。 ；0814723aaa71481001aaaV；814723aaa第67頁(yè)/共135頁(yè)694.5 能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形 一 單變量系統(tǒng)的能控能觀規(guī)范形1 非奇異線性變換的不變特性 系統(tǒng)經(jīng)過(guò)非奇異線性變換后，不會(huì)改變系統(tǒng)原有特性(包括系統(tǒng)特征值、傳遞函數(shù)矩陣、可控性、可觀性、能控性指數(shù)和能觀性指數(shù)等)，這就是所謂的非奇異線性變換的不變特性。第68頁(yè)/共135頁(yè)70 對(duì)單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式xcyu,bxAxccc100b,1010Ac1 -n10c 則稱此狀態(tài)空間描述為可控規(guī)范形

31、。2 能控規(guī)范形第69頁(yè)/共135頁(yè)71結(jié)論：對(duì)于完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng)Abycxxux設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為1110( )det()nnnssIAsss引入非奇異線性變換陣P-1：1212111n 1n 11n 1111111AbAb b1nncnPQbAbAb第70頁(yè)/共135頁(yè)72作變換 ，即可導(dǎo)出可控標(biāo)準(zhǔn)型為：1PxxAbycxxux式中：1012110110100000100;000101nnAPAPbPbccP 其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb第71頁(yè)/共135頁(yè)73證明：1）系統(tǒng)完全可控，必有1nrankSrank bAbAbn所以向量

32、是線性無(wú)關(guān)的。1,nb AbAb1PQS1QP取變換矩陣為式中： ，有121nnQ qqqq121211211111nnnnqqqSbAbAb第72頁(yè)/共135頁(yè)74所以： nqb111(I)nnnnnAAqqqb23232132()nnnnAAAAqqqI b12121121()nnnnAAAAqqqI b 由于S和都是線性無(wú)關(guān)的，顯然向量也是線性無(wú)關(guān)的。應(yīng)用凱萊-哈密頓定理得到12,nq qq111100()nnnnAAAA b qbq122121111()nnnnAAAAqbbb = qq2112222()nnnnnnnAAAqbbb = qq1111nnnnnnAAqbbb = qq第

33、73頁(yè)/共135頁(yè)75書寫成矩陣形式為：0112211nnnnnnnnAQ qqqqqqq101100nnQQAI所以： 11101100nnAQ AQPAPI第74頁(yè)/共135頁(yè)762）記變換矩陣P的行向量為pi，因PQ = I，即10ijijp qij故： 11001nnnnnnPP pqbbqpqp q3）對(duì)于向量 ，由 計(jì)算得1011nccP121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcbc第75頁(yè)/共135頁(yè)77 3 能觀測(cè)規(guī)范形 對(duì)單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式x cyu,bx Ax ooo01oon-1001A, c0011aaa輊-

34、犏犏-犏=犏犏犏-臌LLOM 則稱此狀態(tài)空間描述為能觀測(cè)規(guī)范形。第76頁(yè)/共135頁(yè)78結(jié)論：對(duì)于完全可觀測(cè)的單輸入單輸出系統(tǒng)Abycxxux1110( )det()nnnssIAsss引入非奇異線性變換陣P ：12111121211111111nnnonnnnAAPQAAA ccccccc第77頁(yè)/共135頁(yè)79作變換 ，即可導(dǎo)出可控標(biāo)準(zhǔn)型為：1PxxAbycxxux式中：其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb0011122111000100010;0010001nnnAPAPbPbccP第78頁(yè)/共135頁(yè)801 搜索線性無(wú)關(guān)行或列的方案考慮n維多輸入-多

35、輸出線性定常系統(tǒng)xAxu, yxBC其能控判別陣能觀判別陣分別為：TnoCACACQ11BAABBQnc 多變量系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形二 尋找線性 無(wú)關(guān)的列 尋找線性 無(wú)關(guān)的行 第79頁(yè)/共135頁(yè)81(1) 列向搜索方案搜索步驟： 第1步：對(duì)柵格圖的左第1列，若 非零，在乘積 格內(nèi)劃。轉(zhuǎn)入下一格，若 和 線性無(wú)關(guān)，則在其格內(nèi)劃。如此等等，直到首次出現(xiàn) 和 線性相關(guān)，在其格內(nèi)劃，并停止第1列的搜索，得到一組線性無(wú)關(guān)的列向量為： ，長(zhǎng)度為 。1b10bA1Ab1b11A b11111b ,Ab ,Ab 11111b ,Ab ,Ab1第80頁(yè)/共135頁(yè)82 第2步：向右轉(zhuǎn)入第2列，若 和

36、線性無(wú)關(guān)，則在其格內(nèi)劃。 轉(zhuǎn)入下一格，若 和 線性無(wú)關(guān)，則在其格內(nèi)劃。如此等等，直到首次出現(xiàn) 和 線性相關(guān)，在其格內(nèi)劃，并停止第2列的搜索，得到一組線性無(wú)關(guān)的列向量為： ，長(zhǎng)度為 。2b2Ab1211111222b ,Ab ,Ab ;b ,Ab ,Ab 21222b ,Ab ,Ab211111b ,Ab ,Ab 111112b ,Ab ,Ab ;b 22A b第81頁(yè)/共135頁(yè)83 第 步：向右轉(zhuǎn)入第l列，若 和 線性無(wú)關(guān)，則在其格內(nèi)劃。如此等等，直到首次出現(xiàn) 和 線性相關(guān)，在其格內(nèi)劃，并停止第l列的搜索，得到一組線性無(wú)關(guān)的列向量為： 長(zhǎng)度為 。lb1b ,Ab ,Ablllll-11211

37、111221-1b ,Ab ;b ,Ab ;b,Ab lllA bll121111122b ,Ab ;b ,Ab ;b ,Ab lll第82頁(yè)/共135頁(yè)84 第步：若 停止計(jì)算。并且，上述l組列向量即為按列向搜索方案找到的 中n個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量。12nlcQ第83頁(yè)/共135頁(yè)85(2) 行向搜索方案搜索步驟： 第1步： ，即B中有r個(gè)列是線性無(wú)關(guān)量。對(duì)柵格圖的第1行，若 非零，在格內(nèi)劃。由左至右找出r個(gè)線性無(wú)關(guān)向量：并在對(duì)應(yīng)格內(nèi)劃。1b10bAr21b,b,bprrankB第84頁(yè)/共135頁(yè)86 第2步：轉(zhuǎn)入第2行，從 格到 由左至右進(jìn)行搜索。若線性相關(guān)則在其格內(nèi)劃，否則劃。1AbrAb

38、 第l步：轉(zhuǎn)入第l行，從 格到 由左至右進(jìn)行搜索。若線性相關(guān)則在其格內(nèi)劃，否則劃。1bAlrbAl第85頁(yè)/共135頁(yè)87 第l+1步：若至此找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量，則結(jié)束搜索。柵格圖中劃格對(duì)應(yīng)的列向量組就是按行向搜索方案找到的 中n個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量。cQ第86頁(yè)/共135頁(yè)882 旺納姆能控規(guī)范形考慮多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)xAxBu, yCx得到 中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量（列向搜索）：cQ其中l(wèi)llbA,b;bA,b;bA,b121211121n21l其中n21l第87頁(yè)/共135頁(yè)89進(jìn)一步可導(dǎo)出：基于此，定義相應(yīng)的基組為：11112131, 11212111121, 11111bebb

39、AbAebbAbAe111111110j1j1j111bAbA第88頁(yè)/共135頁(yè)90表示：基于此，定義相應(yīng)的基組為：22222231,22222221221,22121bebbAbAebbAbAe2222222 10j11i1jij2ji2j2j22i2ebAbA第89頁(yè)/共135頁(yè)91依此類推，直到：基于此，定義相應(yīng)的基組為：lllllllllllllllllllllbebbAbAebbAbAe231,22121,11 10j11i1jijjijjiebAbAlllllll 在各基組的基礎(chǔ)上，得到非奇異變換陣：e,e,e;e,e,e211121111llllP第90頁(yè)/共135頁(yè)92 結(jié)論

40、：對(duì)完全能控的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)，引入非奇異變換 ，可導(dǎo)出其旺納姆能控規(guī)范形為：Pxx cccxA xB u, yC x11121222cAAAAAAAlllll , 2 , 1i,1010A1, ii1i0)(iiiii第91頁(yè)/共135頁(yè)93ijij1iij()j i00A00ji 1,l -1cCC P100100PBB) p(nc1l第92頁(yè)/共135頁(yè)94 結(jié)論：對(duì)完全能觀的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)，利用對(duì)偶性原理，則可導(dǎo)出其旺納姆能觀規(guī)范形為：3 旺納姆能觀規(guī)范形xCyuBxAxooommm2m1222111oAAAAAAAiiii1i2ii()i,1001A, i 1,

41、 ,m1 第93頁(yè)/共135頁(yè)95ii1ji jij00A00j 1,2,i 1無(wú)特殊形式oB100100Co第94頁(yè)/共135頁(yè)964 龍伯格能控規(guī)范形考慮完全能控的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)CxyBu,Axx得到 中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量（行向搜索）：cQ其中bA,b;bA,b;bA,Ab,bPr1r2121111-1r21nr21rrankB第95頁(yè)/共135頁(yè)97TrTr1T1T1111 -r1eeee)(PP令：1TrTr1T1T11rrr111AeeAeeS取P的每個(gè)塊陣中的末行構(gòu)成變換陣S:第96頁(yè)/共135頁(yè)98 結(jié)論：對(duì)完全能控的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)，引入非奇異變換 ，可

42、導(dǎo)出其龍伯格能控規(guī)范形為：1xxSxCyu,BxAxccc111rcr1rrAAAAAiiii()0 1A,i 1,r01 ijij00A,i j00 第97頁(yè)/共135頁(yè)99cCCS()無(wú)特殊形式1c(n p)001BB001S第98頁(yè)/共135頁(yè)100 結(jié)論：對(duì)不完全能控的系統(tǒng)，引入線性非奇異變換 ，即可導(dǎo)出系統(tǒng)按能控性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達(dá)式Pxx cccccccc12cccxxCCyu0BxxA0AAxx一 線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.6P矩陣如何確定？第99頁(yè)/共135頁(yè)101nn非奇異變換矩陣P-1的構(gòu)造方法：1）從可控性判別陣 中任意的選取k個(gè)線

43、性無(wú)關(guān)的列向量，記為 。2）在n維實(shí)數(shù)空間中任意選取盡可能簡(jiǎn)單的(n-k)個(gè)列向量記為 ，使它們和 線性無(wú)關(guān)。 這樣就可以構(gòu)成nn非奇異變換矩陣12,kq qq12,kknqqq1121kknPQqqqqqcQ12,kq qq第100頁(yè)/共135頁(yè)1021200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx展開寫有：12ccccccccccccxA xA xB uxA xyC xC x令 ，則可定義可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：ccyyy12ccccccccxA xA xB uyC xccccccxA xyC x不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：第101頁(yè)/共135頁(yè)103cA1/scCy+c

44、xcxcycxcxcyu+12AcBcA1/scC圖4.6 可控性規(guī)范分解方框圖 第102頁(yè)/共135頁(yè)1041）由于11112112111121( )()()0000()()()00()ccccccrcccn rccrcrcn rcccn rcG sC sIABC sIABBAACCsIABsIAACCsIABsIAsIAAsIACCsIA11()()0rcccccrccsIABCCCsIAB系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控性分解特點(diǎn)第103頁(yè)/共135頁(yè)1051111000nnncccccncccccrank BABABrank BABABBA BABrankrank BA BABr因而k維系統(tǒng) 是可控的，且

45、和系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣。如果從傳遞特性的角度分析系統(tǒng) 時(shí)，可以等價(jià)地用分析子系統(tǒng) 來(lái)代替，由于后者維數(shù)降低了很多，可能會(huì)使分析變得簡(jiǎn)單。(,)cccA B C, ,A B C, ,A B C(,)cccA B C第104頁(yè)/共135頁(yè)1062）輸入u只能通過(guò)可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，而與不可控子系統(tǒng)無(wú)關(guān)，故u至y之間的傳遞函數(shù)矩陣描述不能反映不可控部分的特性。3）由于在選取非奇異變換矩陣時(shí)，列向量 和 的選取不具有唯一性，雖然可控性規(guī)范分解的形式不變，但各系數(shù)矩陣因P-1的差異而不同，即可控性規(guī)范分解結(jié)果不唯一。111kknPqqqq12,kq qq12,kknqqq第105頁(yè)/共135頁(yè)1

46、074）系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式可分解為：12det()det()det0det() det()ccccsIAAsIAsIAsIAsIAsIA表明不完全可控系統(tǒng)的特征值由兩部分組成：一部分為 的特征值，稱為系統(tǒng)的可控振型；另一部分為 的特征值，稱為系統(tǒng)的不可控振型。外部輸入u的引入只能改變可控振型的位置，而不能改變不可控振型的位置。cAcA第106頁(yè)/共135頁(yè)108例： 已知系統(tǒng)（A,b,c），其中1210010011 11431A bc，試將系統(tǒng)作可控性規(guī)范分解。解：1）可控性判別矩陣2014000138cQbAbA bcrankQ23 ；故系統(tǒng)不完全可控。 第107頁(yè)/共135頁(yè)1092）從 中

47、選出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量 和 ，附加任意列向量 ，構(gòu)成非奇異變換矩陣P-1：001T103T010T0311000101P301100010P 則：11042114201210010APAPPP ，b =bc = ccQ第108頁(yè)/共135頁(yè)110即可得到系統(tǒng)按可控性分解的規(guī)范表達(dá)式為：042114201210010cccccc xxxu,y =xxx0421142012ccccc xxxuyxcccc xxyx故可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： 不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：第109頁(yè)/共135頁(yè)111例4.24：給定線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，其中101100110111010111cBA，試對(duì)系統(tǒng)作可控

48、性規(guī)范分解。解：已知 ，由于 ，故只需判斷 是否為行滿秩。3,2np2prankBpn pQBAB01121010230112rank BABrankn系統(tǒng)不完全可控。 第110頁(yè)/共135頁(yè)112從可控性判別陣中取線性無(wú)關(guān)的向量q1, q2，再任取q3，構(gòu)成非奇異線性變換矩陣： 1011100010P010001101P于是：1010111011100001010100121101111010000APAP第111頁(yè)/共135頁(yè)113010011000110011010100BPB1011101 100021010Pcc100100212101cccccxxxuyx ，0cccxyx，可控子

49、系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：不可控子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：第112頁(yè)/共135頁(yè)114 結(jié)論：對(duì)不完全能觀的系統(tǒng)，引入線性非奇異變換 ，即可導(dǎo)出系統(tǒng)按能觀性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達(dá)式Pxx 二 線性定常系統(tǒng)按能觀性的結(jié)構(gòu)分解P矩陣如何確定？oooooo0o21oooxx0CyuBBxxAA0Axx第113頁(yè)/共135頁(yè)115 變換矩陣的構(gòu)成：從 中任選m個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量： ，又在n維向量空間中任選n-m個(gè)與之線性無(wú)關(guān)的行向量： ，組成變換矩陣m21h,h,hn2m1mh,h,hn1mm1hhhhPoQ第114頁(yè)/共135頁(yè)116展開寫有：則可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：210oooooooo

50、oooBACBAA0 xxxu,y = y =xxx21oooooooooooABAABCxxuxxxuyxoooooooABCxxuyx21ooooooAAB 0 xxxuy第115頁(yè)/共135頁(yè)117圖4.7 可觀測(cè)性規(guī)范分解方塊圖第116頁(yè)/共135頁(yè)118例： 試將如下系統(tǒng)按可觀測(cè)性進(jìn)行分解。已知系統(tǒng)(A,B,C)，其中1210010011 11431A bc，解：n=3，系統(tǒng)的可觀測(cè)性判別矩陣為：2111232474ocQcAcArank23oQ 故系統(tǒng)不完全可觀。第117頁(yè)/共135頁(yè)119從中選取兩線性無(wú)關(guān)行向量 和 ，再選取一個(gè)與之線性無(wú)關(guān)的行向量 ，構(gòu)成非奇異線性變換矩陣：1

51、1 1232001111232001P則：1311210001P1010230 ;532APAP 12 ;1 b = Pb1100c = cP 第118頁(yè)/共135頁(yè)120即可得到系統(tǒng)按可觀測(cè)性分解的規(guī)范表達(dá)式：010123021005321oooooo xxxu,y =xxx可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： 01110232oooouy xxx，不可觀子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： 5320ooooxxuy x，第119頁(yè)/共135頁(yè)121三 線性定常系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)分解對(duì)多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)CxyBu,Axx假設(shè)系統(tǒng)既不能控又不能觀測(cè)。 1 對(duì)系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。 引入線性非奇異變換 ，得到分解后的狀態(tài)空間描述為：cccccccc12cccxxCCyu0BxxA0AAxxPxx 第120頁(yè)/共135頁(yè)122得到能控子系統(tǒng)：cc1cc12cccxCyuBxAx