導數導數的概念

1、亞弗發(fā)林鞭型提木學鵬第一節(jié)導數的概念一實例分析二、導數的概念三、利用定義求導數舉例八導數的幾何意義:五、可導與連續(xù)的關系六、小結與作業(yè)旭菊農林鞭里攜木爭腐一、實例分析1.變速直線運動中某時刻的瞬時速度問）設描述質點運動位置的函數為s = f（t）則力0到t的平均速度為，：-=/（，）一/（，。）t。f t _ tot °而在ro時刻的瞬時速度為v = lim'于，幺） 7777777Z77ZZ>i鍍菊麻林鞭電摭木要隆2.切線問題割線的極限位置切線位置距黃發(fā)林觸電想木學鵬如圖如果割線MN繞點M旋 轉而趨向極限位置MT,直 線MT就稱為曲線C在點M處.的切線極限位置即|MN

2、|f 0,Z2VMTf 0.設 Af(x(”yo),N(x,y).割線MN的斜率為tan(p = N喇嬰->x(”切線MT的斜率為A=tana=lim £(肛二八功J二、導數的概念1.定義2.1設函數y = f (x)在點光o的某鄰 域 U(%)內有定義.Xo + Are(xo)AV = /(Xo + -)-，(/)若 lim 生=lim ”入 + )-(1)Ax>0 AxArfO人丫值為函數y=/(x)在點處的導數,產(%)= 1加 /(1。+ 3-八/)Ax-»O Ax近弗農林鞭電盤木爭旗存在,則稱函數/(X)在點X。處可導，并稱此極限J .dy ； d/(

3、x)dx x = Xq dx x = x0也可記作： y x=xq ；注1、若極限不存在，則稱在點x次不可導.特別地，當lim 電十)二%)=8時，則稱/(X) Ar->0At在點x(處的導數為無窮大.此時，導數不存在；若/(X)在巧)處連續(xù)，則有幾何意義:曲線上對應點有垂直于X軸的切線.J2、，(Xo+，)一/(Xo)3、函數在一點的導數是變量在點X。處的變化率,導數定義的其它表達形式產(Xo)= Um 也+-(?)Arf 0Axx = / +與im一/(.0)xf X。 X Xq它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度一.I 對于任一 X e，都對應著/(x)的一個確定的導數值.

4、這個函數叫做原來函數f(x)的導函數.記作y'j'(x),字或等2 ax ax即 y，=lim ”" + .)二八工) At0Ax或 /'(%) = lim.5 h注意：1，(X°) =7(x)X=Xo范弟農用鞭亶攜木爭腐2.導函數（瞬時變化率）是函數平均變化率的逼近函數.范弟農用鞭亶攜木爭腐單側導數1 左導數：r（x0）= lim "X-= lim ”。）；Xfx。- 0x XQArf-oAr2 .右導數：f：（Xo）= lim r（x）-/（x0）= lim “X。+"）-/（/）；。x x0AreoAr函數/（x）在點/處可

5、導=左導數/二（40）和右 導數/（X。）都存在且相等.亞弗席稼鞭曲摭木爭譙如果/J）在開區(qū)間（。,力）內可導，且£3）及£S）都存在，就說""）在閉區(qū)間明句上可導.設函數/（x） =X-X0,討論在點x。的 力（x）, X V X。若limAx->-0/(x0 + Ar)-/(x0)=limAtt-0Ax (Xo+Ax)-p(Xo)= £'(%)存在,亞弗席稼鞭曲摭木爭譙若limAr->4-0/(x0+Ar)-/(x0)Ax=limAtt+O。(工0 + Ar) 0(x°)AxK/(x0) = /；(x0)=a,

6、則/（X）在點X。可導, 且/（0）=。,迓菊席林鞭第摭木強震三、由定義求導數步驟:求增量 Ay = f(x + Ax) -/(x);算比值 Aj=/(x + Ar)-/(x)； AxAx(3)求極限y'=lim，. - Ar例1求函數x) = C(。為常數)的導數.解/(X)= lim £(%,無)-/(X)= lim=力f。h，to h例2 設函數 f(x) = sin x,求(sin x)，及(sin x粒 / .、， r sin(x + /i)-sinx用華(smx) =hmh u=lim cos(x + -) . =cos x.力 to2 h2即 (sin xY =

7、 cos x.A (sinxY冗=cos xn x=4 /2范薨發(fā)稼融第盤次第饋例3求函數y = x（為正整數）的導數./ , r (x+/2) 一X 解(x)=想一%一=limlnx加TO+ n(n 1)x.2!即 (x'')' = x'i更一般地（爐），=產(pe/?)例如，（e，=吳i志.范薨發(fā)稼融第盤次第饋求函數/（*） =。、3 >0,。工1）的導數.(axy =ax Ina.(ex)f = ex.(axY = lim%tO例5求函數y = log” >0,a。1)的導數.yr = lim力-0log.(x + )- log。Xlog/1

8、+ )1 lim x，t0= -lim loga(l + -), = k)g e.x dx x 牛(lo8flx)-llogfle.(如") = ；.例6 討論函數x) = |x|在x = 0處的可導性解./(0 + 7)-/(0)=0h h 9lim= lim /ito*hh50 +叱“0)=5心=_1f。-h力f。- h即/；(0)工£(0),二函數y = /(x)在x = 0點不可導.!1!I、導數的幾何意義正赤發(fā)株鞭電搏術學席/'（與）表示曲線y = /（x） 在點拉（x°J（x。）處的 切線的斜率，即_/'（X。）= tana, （a 為

9、傾角）°切線方程為 J-Jo =/U0)(x-x0).法線方程為J-Jo =-7；;（X70）. f（X。）過第府林事業(yè)報木學集例7求等邊雙曲線y = 上在點（總2）處的切線的 x 2斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程. 解由導數的幾何意義，得切線斜率為k = yf t = （）z 尸7 i = -4.x=- x x=-v x=-2 -2人 2所求切線方程為y-2 = -4（x-1）,即4x + y-4 = 0.法線方程為y-2 = ；（x-；）,即2x-8y + 15 = 0.旭第跟林鞭第提木爭展五、可導與連續(xù)的關系定理證凡可導函數都是連續(xù)函數.設函數/（X）在點X。可導，H

10、m ?=.（工0）?=/（0）+。Ar.。ArAxa f 0 （Ax -» 0） Ay = ff（xQ）Ax + aAxlim Ay = lim /）Ax + aAx = 0AttO ArfO函數/（X）在點X。連續(xù).旭第跟林鞭第提木爭展注意：該定理的逆定理不成立. 連續(xù)函數不存在導數舉例1.函數/（X）連續(xù)，若£。）工£（與）則稱點/為函數"X）的角點，函數在角點手可導.例如，'x2, x <0/U） =在x = 0處不可導， = 0為/（%）的角點.J亞菊派棒融電找木爭譙2.設函數/(x)在點x。連續(xù)，但lim 包=lim/(x°+=) /6)AtfO Av Ax->0Ay=00,稱函數/(X)在點X。有無窮導數.(不可導)六、小結與作業(yè)L導數的實質：增