導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念

1、亞弗發(fā)林鞭型提木學(xué)鵬第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一實(shí)例分析二、導(dǎo)數(shù)的概念三、利用定義求導(dǎo)數(shù)舉例八導(dǎo)數(shù)的幾何意義:五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系六、小結(jié)與作業(yè)旭菊農(nóng)林鞭里攜木爭(zhēng)腐一、實(shí)例分析1.變速直線運(yùn)動(dòng)中某時(shí)刻的瞬時(shí)速度問）設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為s = f（t）則力0到t的平均速度為，：-=/（，）一/（，。）t。f t _ tot °而在ro時(shí)刻的瞬時(shí)速度為v = lim'于，幺） 7777777Z77ZZ>i鍍菊麻林鞭電摭木要隆2.切線問題割線的極限位置切線位置距黃發(fā)林觸電想木學(xué)鵬如圖如果割線MN繞點(diǎn)M旋 轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直 線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處.的切線極限位置即|MN

2、|f 0,Z2VMTf 0.設(shè) Af(x(”yo),N(x,y).割線MN的斜率為tan(p = N喇嬰->x(”切線MT的斜率為A=tana=lim £(肛二八功J二、導(dǎo)數(shù)的概念1.定義2.1設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)光o的某鄰 域 U(%)內(nèi)有定義.Xo + Are(xo)AV = /(Xo + -)-，(/)若 lim 生=lim ”入 + )-(1)Ax>0 AxArfO人丫值為函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),產(chǎn)(%)= 1加 /(1。+ 3-八/)Ax-»O Ax近弗農(nóng)林鞭電盤木爭(zhēng)旗存在,則稱函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，并稱此極限J .dy ； d/(

3、x)dx x = Xq dx x = x0也可記作： y x=xq ；注1、若極限不存在，則稱在點(diǎn)x次不可導(dǎo).特別地，當(dāng)lim 電十)二%)=8時(shí)，則稱/(X) Ar->0At在點(diǎn)x(處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.此時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在；若/(X)在巧)處連續(xù)，則有幾何意義:曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)有垂直于X軸的切線.J2、，(Xo+，)一/(Xo)3、函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是變量在點(diǎn)X。處的變化率,導(dǎo)數(shù)定義的其它表達(dá)形式產(chǎn)(Xo)= Um 也+-(?)Arf 0Axx = / +與im一/(.0)xf X。 X Xq它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度一.I 對(duì)于任一 X e，都對(duì)應(yīng)著/(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.

4、這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作y'j'(x),字或等2 ax ax即 y，=lim ”" + .)二八工) At0Ax或 /'(%) = lim.5 h注意：1，(X°) =7(x)X=Xo范弟農(nóng)用鞭亶攜木爭(zhēng)腐2.導(dǎo)函數(shù)（瞬時(shí)變化率）是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).范弟農(nóng)用鞭亶攜木爭(zhēng)腐單側(cè)導(dǎo)數(shù)1 左導(dǎo)數(shù)：r（x0）= lim "X-= lim ”。）；Xfx。- 0x XQArf-oAr2 .右導(dǎo)數(shù)：f：（Xo）= lim r（x）-/（x0）= lim “X。+"）-/（/）；。x x0AreoAr函數(shù)/（x）在點(diǎn)/處可

5、導(dǎo)=左導(dǎo)數(shù)/二（40）和右 導(dǎo)數(shù)/（X。）都存在且相等.亞弗席稼鞭曲摭木爭(zhēng)譙如果/J）在開區(qū)間（。,力）內(nèi)可導(dǎo)，且£3）及£S）都存在，就說""）在閉區(qū)間明句上可導(dǎo).設(shè)函數(shù)/（x） =X-X0,討論在點(diǎn)x。的 力（x）, X V X。若limAx->-0/(x0 + Ar)-/(x0)=limAtt-0Ax (Xo+Ax)-p(Xo)= £'(%)存在,亞弗席稼鞭曲摭木爭(zhēng)譙若limAr->4-0/(x0+Ar)-/(x0)Ax=limAtt+O。(工0 + Ar) 0(x°)AxK/(x0) = /；(x0)=a,

6、則/（X）在點(diǎn)X。可導(dǎo), 且/（0）=。,迓菊席林鞭第摭木強(qiáng)震三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:求增量 Ay = f(x + Ax) -/(x);算比值 Aj=/(x + Ar)-/(x)； AxAx(3)求極限y'=lim，. - Ar例1求函數(shù)x) = C(。為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解/(X)= lim £(%,無)-/(X)= lim=力f。h，to h例2 設(shè)函數(shù) f(x) = sin x,求(sin x)，及(sin x粒 / .、， r sin(x + /i)-sinx用華(smx) =hmh u=lim cos(x + -) . =cos x.力 to2 h2即 (sin xY =

7、 cos x.A (sinxY冗=cos xn x=4 /2范薨發(fā)稼融第盤次第饋例3求函數(shù)y = x（為正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù)./ , r (x+/2) 一X 解(x)=想一%一=limlnx加TO+ n(n 1)x.2!即 (x'')' = x'i更一般地（爐），=產(chǎn)(pe/?)例如，（e，=吳i志.范薨發(fā)稼融第盤次第饋求函數(shù)/（*） =。、3 >0,。工1）的導(dǎo)數(shù).(axy =ax Ina.(ex)f = ex.(axY = lim%tO例5求函數(shù)y = log” >0,a。1)的導(dǎo)數(shù).yr = lim力-0log.(x + )- log。Xlog/1

8、+ )1 lim x，t0= -lim loga(l + -), = k)g e.x dx x 牛(lo8flx)-llogfle.(如") = ；.例6 討論函數(shù)x) = |x|在x = 0處的可導(dǎo)性解./(0 + 7)-/(0)=0h h 9lim= lim /ito*hh50 +叱“0)=5心=_1f。-h力f。- h即/；(0)工£(0),二函數(shù)y = /(x)在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo).!1!I、導(dǎo)數(shù)的幾何意義正赤發(fā)株鞭電搏術(shù)學(xué)席/'（與）表示曲線y = /（x） 在點(diǎn)拉（x°J（x。）處的 切線的斜率，即_/'（X。）= tana, （a 為

9、傾角）°切線方程為 J-Jo =/U0)(x-x0).法線方程為J-Jo =-7；;（X70）. f（X。）過第府林事業(yè)報(bào)木學(xué)集例7求等邊雙曲線y = 上在點(diǎn)（總2）處的切線的 x 2斜率,并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線斜率為k = yf t = （）z 尸7 i = -4.x=- x x=-v x=-2 -2人 2所求切線方程為y-2 = -4（x-1）,即4x + y-4 = 0.法線方程為y-2 = ；（x-；）,即2x-8y + 15 = 0.旭第跟林鞭第提木爭(zhēng)展五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理證凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).設(shè)函數(shù)/（X）在點(diǎn)X。可導(dǎo)，H

10、m ?=.（工0）?=/（0）+。Ar.。ArAxa f 0 （Ax -» 0） Ay = ff（xQ）Ax + aAxlim Ay = lim /）Ax + aAx = 0AttO ArfO函數(shù)/（X）在點(diǎn)X。連續(xù).旭第跟林鞭第提木爭(zhēng)展注意：該定理的逆定理不成立. 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例1.函數(shù)/（X）連續(xù)，若£。）工£（與）則稱點(diǎn)/為函數(shù)"X）的角點(diǎn)，函數(shù)在角點(diǎn)手可導(dǎo).例如，'x2, x <0/U） =在x = 0處不可導(dǎo)， = 0為/（%）的角點(diǎn).J亞菊派棒融電找木爭(zhēng)譙2.設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)x。連續(xù)，但lim 包=lim/(x°+=) /6)AtfO Av Ax->0Ay=00,稱函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。有無窮導(dǎo)數(shù).(不可導(dǎo))六、小結(jié)與作業(yè)L導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)：增