定積分考研專題

1、精選ppt2012數(shù)學(xué)分析2第九章定積分考研專題典型例習(xí)題與考研題典型例習(xí)題與考研題-一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)精選ppt20sin1sincos(03(3)10229#4(2)xdxxxp例定積分的計(jì)算重慶大學(xué)二分，華上 質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。法二：利用定積分的性公式；定積分），再用法一：先求原函數(shù)（不定積分計(jì)算的一般方法LN 精選ppt變換。用三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行積分方法；用三角有理函數(shù)的不定先求不定積分解法一：)2) 1cossinsindxxxx 于是：參見華上則令法一：),10()8(194(12.11cos,12sin,2tan2222ptdtdxttxttxtx精選ppt Cttttdtt

2、ttttdtttttdtttttdtttttttdxxxx|21|ln21|21|ln21arctan)1ln(21)211212112111(1)21)(21(41212212111212cossinsin2222222222精選ppt Cxxxx|12tan2)2(tan|ln21)2arctan(tan)2(tan1ln(21224|12tan2)2(tan|ln21)2arctan(tan)2(tan1ln(21cossinsin202220 xxxxdxxxx所以：精選ppt Cxxxdxxxxxdxxxxxxxdxxxx|)cossin|ln(21cossin)cos(sin1 2

3、1cossin)cos(sin)cos(sin21cossinsin法二：4/|)cossin|ln(21cossinsin2/02/0 xxxdxxxx所以：精選ppt 4/21cossincossin21sincoscoscossinsin21cossinsinsincoscossincoscos2/cossinsin2/02/02/02/02/02/02/02/0dxdxxxxxdxxxxdxxxxdxxxxdxxxxdtttttxdxxxx法三：精選ppt dxxxxdxxxxpdxxfdxxfnnnnnn2/02/02/02/0cossincoscossinsin)1 (7#230(

4、)(cos)(sin或計(jì)算法三可推廣：參見華上性質(zhì)：法三則利用了定積分的；導(dǎo)數(shù)間關(guān)系，構(gòu)思巧妙法二利用了雙弦函數(shù)的；思路簡單但計(jì)算量太大，式的不定積分一般步驟法一利用三角函數(shù)有理注：精選ppt)8) 1 (01()cossincossin(402分四東南大學(xué)練習(xí)：dxxxxx 422cossinsincos|cossincossincossin1)cos(sin)cos(sin)cos(sincossin)cossincossin(404/040402402dxxxxxxxxxxxdxxxxdxxxxdxxxxx精選ppt102ln(1)(96(5)x dx例定積分的計(jì)算山東大學(xué)一 21|)|

5、ln221(2ln)12(2ln) 1(|ln) 1() 1(ln)1ln(,) 1(,121221212212221102tttdtttdttttttd tdxxtxtx則解：令要換積分限。換元的同時(shí)記住精選ppt分）三（西師。練習(xí)6100(1110dxxx 2ln4311|)|ln48332()243(2) 1(2) 1(1111212321221210ttttdttttdtttttxdxxx精選ppt20sin3(091 cos5 5;011 6011 5032 6230#7(2)xxdxxp例 定積分的計(jì)算浙江理工大學(xué)二（ ） 分 重大三（）分；哈工大一（） 分；杭州電子工業(yè)學(xué)院一（

6、）分；華上 行變換。其方法是利用換元法進(jìn)的結(jié)論。此題需要利用教材華上)2(7#230p精選ppt4| )arctan(cos2)(coscos112cos1sin2cos1sincos1sincos1sincos1sincos1sincos1sin)(cos1sin20020202020202020202xxdxdxxxdxxxxdxxxxdxxxdttttdtttdtttttxdxxxx解： 精選ppt12042(024 4xx dx例定積分的計(jì)算西師一（ ）分） tdcxbaxdcxbax并令形式法：將根式寫成法二：采用根式代換方后用三角代換；法一：將根式內(nèi)部配方分；此題考查根式函數(shù)的積,

7、精選ppt12042(024 4xx dx例定積分的計(jì)算西師一（ ）分） )198195(0)0(022ptxacbxaxccxtcbxax參見華上，令如果二次項(xiàng)系數(shù)大于，令如果二次項(xiàng)系數(shù)小于法三：用歐拉變換，精選ppt 4| )42sin2(cossin1) 1(1202022102102ttdtttxdxxdxxx法一：12042(024 4xx dx例定積分的計(jì)算西師一（ ）分）精選ppt 103210221032210322102221022222210102)1 (18)1 (18)1 (118)1 (8)1 (4122)1 (4,122 ,12,2,2)2(2dttdttdtttd

8、tttdtttttdxxxdtttdxtxttxtxxdxxxxdxxx則令法二：太難！?精選ppt122015(026 4( )32( ),( )_f xxf x dxf x dx例 定積分的計(jì)算 西師一（ ）分）設(shè)則 5| )2()23()(, 121)23()()(23)()(213212211021010210 xxdxxdxxfCCdxCxdxxfCdxxfxxfCdxxf則兩邊積分得到：對(duì)，達(dá)式。令此題需要先明確函數(shù)表精選ppt06|sin|(042 10nxx dxn例 定積分的計(jì)算，其中 為正整數(shù)武漢理工一（ ） 分） 積分區(qū)間進(jìn)行分段。應(yīng)考慮先去絕對(duì)值，將函數(shù)取絕對(duì)值，分析：

9、此題涉及到被積精選ppt。解：211)1(11)1(10) 12(| )cos(sin) 1(sin) 1(|sin|nkxxxxdxxdxxxnknkkkknkkkkn 精選ppt1207( )|,0,),( )(9813F yxyxdx yF y例 定積分的計(jì)算設(shè)求的最小值。重慶大學(xué)二分） 的范圍。量所不同的是需要考慮變絕對(duì)值，分析：此題同樣需要去y精選ppt10102|1|)(dxyxxdxyxxyF解： )1(01),10(011yxyxyxyxy 時(shí)，當(dāng)321| )32()1 ()(0110103210yyxxdxyxxyFyxy時(shí)，當(dāng)精選ppt 32131)3121()321(31

10、21| )32(| )32()1 ()1 ()(222221/132/10321/1/10yyyyyyyyxxyxxdxyxxdxyxxyFyyyy精選ppt ), 1 (32131 1 , 0321)(2yyyyyyF所以：61) 1 ()( 10 10)(1 , 0FyFmyFx的最小值為內(nèi)，內(nèi)單調(diào)遞減，所以其在，在而精選ppt 03)(,33)(), 1 (433yyFyyyFy時(shí)，當(dāng)唯一的極小值點(diǎn)。內(nèi)在區(qū)間為函數(shù)且所以), 1 ()(3, 0)3(33yFF3321931)3()(333), 1(FyFmx?61332193133精選ppt 成立。而272433232934612193

11、43321933321931333333321934)3(), 0)(33FyF上的最小值為在區(qū)間所以函數(shù)精選ppt220811arctan( 2 tan ),1 sin21(013 61 sinxxIdxx例定積分的計(jì)算已知求積分上海大學(xué) 一（ ）分） 0)tan2arctan(21sin11002xdxxILN公式：解：用公式。利用處不成立，故不能直接在系由在于題目所給導(dǎo)數(shù)關(guān)上述解法是錯(cuò)誤的。理LNx2精選ppt220811arctan( 2 tan ),1 sin21(013 61 sinxxIdxx例定積分的計(jì)算已知求積分上海大學(xué) 一（ ）分） 0221sin111sin1121002

12、2dxdxxx因?yàn)椋簭牧硪环矫嬉部煽闯觯xpptvvuuvvuuxxdxxdxxdxxdxxdxxI|)tan2arctan(21lim|)tan2arctan(21limsin11limsin11limsin11sin11sin11)2(0)2(2)2(02)2(2/22/0202解： 精選ppt2)2(2)tan2arctan(21lim)tan2arctan(21lim)2()2(vuvu 02cos11dxxI類例：求積分精選ppt21219(ln(1)(0041x xxdxx例定積分的計(jì)算。山東大學(xué)一（ ）2| )arctan(0)111 (1)1ln(11)1ln(1111211

13、2211221122xxdxxdxxxxdxxxdxxxxx解：精選ppt）一（陜西師范大學(xué)。練習(xí)：403() 1ln(ln2002200224200312dxxxxxdxxe奇偶性。對(duì)第二個(gè)積分用函數(shù)的分部積分法，提示：對(duì)第一個(gè)積分用精選ppt2010101( ),(1).01(014 5xxxxf xf xdxexe例定積分的計(jì)算設(shè)求華南理工大學(xué) 一（ ） 分）區(qū)間進(jìn)行分段。函數(shù)的分段情況對(duì)積分一般要根據(jù)提示：分段函數(shù)的積分精選ppt)1ln(2ln2|1|ln|1|ln111)()()(1) 1(11001100110011120etedttdteedttfdttfdttftxdxxft

14、tt解：精選ppt22211(Schwarz):( )( ) , ( ) ( )( )( )(0110237#6)bbbaaaf xg xa bf x g x dxfx dxgx dxp例積分不等式問題證明施瓦茨不等式若和在上可積，則哈工大八分；華上精選ppt精選ppt2212( ) , ( )1,( )cos)( )sin)1(0110237#6)babbaaf xa bf x dxkNf xkxdxf xkxdxp例積分不等式問題若在非負(fù)連續(xù)，對(duì)任意有哈工大八分；華上可證。提示了：利用上例結(jié)果精選ppt，同理，證明：bababababababababakxdxxfkxdxxfkxdxxfk

15、xdxxfdxxfdxkxxfdxxfkxdxxfxfkxdxxf22222222sin)()sin)(cos)(cos)()()cos)() )()cos)()()cos)(精選ppt。所以：1)(sin)cos(sin)(cos)()sin)()cos)(222222babababababadxxfdxkxkxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxf精選ppt)2(7#237;12209()(1)(, 0)(,)(2pabdxxfdxxfmxfbaxfbaba華上分）三（浙江理工大學(xué)證明：上可積，且在設(shè)函數(shù)練習(xí)：)1 (00()(1)(, 0)(,)(2二山東大學(xué)證明：上連續(xù)，

16、且在設(shè)函數(shù)abdxxfdxxfxfbaxfbaba精選ppt精選ppt分六練習(xí)：北京師范大學(xué)1599精選ppt精選ppt10013( )0101,( )( )(02 10;1976)f xf x dxf x dx例積分不等式問題設(shè)在 ，上連續(xù)單調(diào)遞減，當(dāng)證明：西師四 分 蘇聯(lián)高校競賽25125031993; 520749#200ppp月第一版，年與方法高教社的典型問題斐禮文編數(shù)學(xué)分析中例出版社選講西南師范大學(xué)周忠群數(shù)學(xué)分析方法；典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)精選ppt49#200p典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)精選ppt49#200p典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)精選ppt0)()()1 ()()(

17、)1 ()()()()()(1010100100dxfdxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf證法二：精選ppt2011230014( )0,1(0)00,10( )1,11(0,1)( )( ),22)( )( )1980(0411006)xf xffxxf t dtfxf x dxfx dx例積分不等式問題若在上可微，且在內(nèi)證明：）對(duì)任意的，（上海交大前）川大二（） 分；武大四精選ppt).(21)(0)0()() 1 , 0()(0)(1)()(),(21)()(10)0()() 1 , 0(1)(02020 xfdttfFxFxFxfxfxFxfdttfxFfxf

18、xxfxx即：內(nèi)嚴(yán)格遞增，于是在所以函數(shù)則）令時(shí)，知當(dāng)證明：由精選ppt10321020300320)()()0() 1 (10)(10)() 1 , 0(, 0)(21)()(2)()()(2)()()()()2dxxfdxxfGGtttGtGttfdxxftftftfdxxftGdxxfdxxftGtttt即連續(xù)，所以和在而）內(nèi)嚴(yán)格遞增，在（于是：則設(shè)精選ppt25125031993)2p月第一版，年與方法高教社數(shù)學(xué)分析中的典型問題另證，參考斐禮文編精選ppt25125031993)2p月第一版，年與方法高教社數(shù)學(xué)分析中的典型問題另證，參考斐禮文編精選ppt函數(shù)是成立的。為常值當(dāng)并證明上式

19、中，等號(hào)僅上連續(xù)且單增，證明：在設(shè)分十北京師范大學(xué)練習(xí)：)()(2)(,)(2004xfdxxfbadxxxfbaxfbaba行證明。變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)上例，利用提示：此題仍然可仿照精選ppt0)()(21)(21)(2)(21)(2)()(,)()(2)()(tatatatatadxxftfdxxftfatdxxftftattftFbatFdxxftadxxxftF而上連續(xù)且可導(dǎo)，在則證明：令精選ppt為常值函數(shù)。又若上式中等號(hào)，則即單增，于是所以函數(shù))(0)()()(,)()()(2)(0)()()(xftFaFtFbataFbFdxxfbadxxxfaFbFtFbaba精選ppt20

20、, 15( )0(0)0,|( )|sup |( )|2(03 17)axa bfxafMf x dxaMfx例積分不等式問題設(shè)在 ， 上連續(xù)，證明：，其中華東師范大學(xué)四 分?jǐn)?shù)存在性定理?？煽紤]中值定理或原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此分析：題目中涉及到函精選ppt2020002|2| )(|)(| )(| )(|)()()0()(aMxMMxdxdxxfdxxfMxxfxfxfxffxfaaaa證明：精選ppt月第一版年，東北大學(xué)出版社，例導(dǎo)分析學(xué)習(xí)方法及解題指此法參考王曉敏數(shù)學(xué)10200517. 480p精選ppt22 , 16( )( )0,()( )sup |( )|(02 1520760)baxa

21、 bf xabf aMbafxdxMf xp例積分不等式問題設(shè)在 ， 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：，其中四川大學(xué)四 分；參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析例精選ppt精選ppt精選ppt精選ppt317( )( )( )0,|( )|,|( )|() (01 10)12baf xabf af bfxMMf x dxba例積分不等式問題設(shè)在 ， 上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，證明：西師 七 分59#206p典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)精選ppt精選ppt精選ppt59#206p典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)精選ppt六練習(xí)：東北師范大學(xué)016 . 3 . 4245593例月第一版，年高等教育出版社，法分析中的典型問題與方解

22、答參考斐禮文數(shù)學(xué)p精選ppt6 . 3 . 4245593例月第一版，年高等教育出版社，法分析中的典型問題與方解答參考斐禮文數(shù)學(xué)p精選ppt五練習(xí)：上海大學(xué)02精選ppt分）一（華南理工大學(xué)練習(xí)：5201精選ppt8#28712,11#151pp上冊(cè)第二版復(fù)旦大學(xué)編數(shù)學(xué)分析典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)分十）重慶大學(xué)（例1504915精選ppt8#28712,11#151pp上冊(cè)第二版復(fù)旦大學(xué)編數(shù)學(xué)分析典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)精選ppt8#28712,11#151pp上冊(cè)第二版復(fù)旦大學(xué)編數(shù)學(xué)分析典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)精選ppt8#28712,11#151pp上冊(cè)第二版復(fù)旦大學(xué)編數(shù)學(xué)分析

23、典習(xí)題解析參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)精選ppt18(08 15例積分等式問題山東科技大學(xué)四 分）精選pptaaaaaaaaaaaadxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxfdttgtfdxxgxfdttgtftxdxxgxfdxxgxfdxxgxf0000000000)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() 1證明：精選ppt2tan)(0,2tan)(0, 1)(tan)(tan22)(,arctan)(|,sin|)()2xxxxxearacxfearacxfeexfxfxgexfxxg且內(nèi)為偶函數(shù)，而，在則令證明：精選ppt2

24、|cos2|sin|2arctan|sin|1,2)()(202022xdxxdxexxfxfx）有由所以精選ppt219( ) , ( )( )0,1( )1,( )( )2(0010;066 10bbaaf xa bf af bfx dxxf x fx dx 例積分等式問題設(shè)在上連續(xù)可微，試證明：西師九分 三峽大學(xué)一（ ） 分）等式。法，則可出現(xiàn)條件中的因此如果利用分部積分為：分析：原結(jié)論左邊可化babaxxdfdxxfxxf)(21)()(2精選ppt21)(21| )(21)(21)()(222dxxfxxfxxdfdxxfxxfbabababa證明：精選ppt( ) , ( , )(

25、 )( )0,( , ),( )0(01 1002 10220#10bbaaf xa ba bf x dxxf x dxa bfp例20積分等式問題設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，試證明：存在點(diǎn)使得西師 六分；北航六分；華上）造相應(yīng)條件。中值定理。因此需要構(gòu)用問題，一般可考慮分析：關(guān)于導(dǎo)數(shù)有根的Rolle精選ppt0)()()()(0),(111xfabxfdxxfbaxba使得知，存在點(diǎn)證明：由積分中值定理矛盾或則內(nèi)恒正或恒負(fù)，在否則，若異號(hào)內(nèi)內(nèi)和在的連續(xù)性知?jiǎng)t由若對(duì)任意的. 00)(),()(.),(),()()(, 0)(),(,111badxxxfbaxfbxxaxfxfxfbaxxx精選ppt矛

26、盾。于是：時(shí)當(dāng)時(shí)；當(dāng)不妨假設(shè), 0)()()()()()(0.),(, 0)(),(, 0)(1111111bxxabadxxfxxdxxfxxdxxfxxbxxxfxaxxf。使得存在點(diǎn)定理知，利用上對(duì)在使得因此必然存在點(diǎn)0)(),(),()(,0)(),(,21212212fbaxxRollexfxxxfbaxxx精選ppt七類例：北京師范大學(xué)06精選ppt）例析數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解解答參考孫濤分四重慶大學(xué)證明：有上連續(xù)，對(duì)任意自然數(shù)在設(shè)推廣：64209,1399(0)(, 0)(,)(pxfdxxxfnbaxfban精選ppt64209例析經(jīng)典習(xí)題解析解答參考孫濤數(shù)學(xué)分p精選ppt6420

27、9例析經(jīng)典習(xí)題解析解答參考孫濤數(shù)學(xué)分p精選ppt64209例析經(jīng)典習(xí)題解析解答參考孫濤數(shù)學(xué)分p精選ppt0)() 1, 0()0()(9) 1 , 0( 10)(1207198ffdxxfxf，使得，證明：存在內(nèi)可微，若上連續(xù)且在，在設(shè)函數(shù)分三類例：南京財(cái)經(jīng)大學(xué)0)() 1 , 0(), 0()()981 ()(9)(9)0(198fffdxxffRolle，使得存在定理。和提示：用積分中值定理精選ppt12020211( )(2)arctan(),2(1)1,( )(0815f xtfxt dtxff x dx例積分等式問題設(shè)連續(xù)，且求福建師范大學(xué)八分）精選ppt精選ppt0(0415( )

28、sin d( )2( )2203#55)xnnf xttnf xnf xp例22 積分等式問題 北航八分）設(shè) 為自然數(shù)，。求證：當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，為以為周期的周期函數(shù)；當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，是線性函數(shù)和周期函數(shù)之和。（參見孫濤數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析精選ppt精選ppt精選ppt精選ppt362)2()(cos,)()(,)(06(916dxxxxdxxbafdxxfbaxfbaba并計(jì)算上連續(xù)，求證：在區(qū)間設(shè)四）清華大學(xué)）（積分等式問題例精選ppt362362)2()(sin)2()(cos3,6)()()(,dxxxxdxxxxbadxxbafdttbafdxxfxbatbababa用前一部分結(jié)果，有對(duì)則

29、證明：令精選ppt2ln1|2ln2122121)2(121)2()(sin)2()(cos21363636362362xdxxxdxxxdxxxxdxxxx精選ppt1023lim1(002 5;062 10)nnxdxx例積分的極限問題極限西師一（ ） 分 三峽大學(xué)一（ ） 分的性質(zhì)。一種策略是利用定積分，有關(guān)，故不宜直接積分與分式的過程中，其項(xiàng)數(shù)有關(guān)，故在化為真的分式與分式求積分。但本題中化為真函數(shù)的積分，可考慮先而此題中的積分為有理極限。般考慮先求積分，再求對(duì)積分的極限計(jì)算，一nn精選ppt10lim1(002 5;062 10)nnxdxx例23 積分的極限問題求極限西師一（ ） 分

30、 三峽大學(xué)一（ ） 分限的迫斂性來計(jì)算。的不等式性質(zhì)和數(shù)列極數(shù)進(jìn)行放縮利用定積分故可將被積函的積分比較容易計(jì)算，注意到nx精選ppt10101001lim, 00lim, 011lim1110,1010dxxxnndxxdxxxxxxxnnnnnnnn由數(shù)列極限的迫斂性知而所以時(shí)，有解：當(dāng)精選ppt12024sinlim(034 10)1 cosnnxdxx例積分的極限問題求極限西師一（ ） 分縮后用迫斂性。而應(yīng)當(dāng)考慮先將積分放直接先積分再求極限，此題與上例類似，不宜精選ppt1021010220cos1sinlim, 00lim, 011lim11cos1sin0,cos1sin010dxx

31、xnndxxdxxxxxxxnnnnnnnn由數(shù)列極限的迫斂性知而所以時(shí)，有解：當(dāng)精選ppt1200251 lim12) limcos(03 15)nnnnxxdxxdx例積分的極限問題.求證：）北航六分精選ppt1026( )0,1,(0)0,(1)1,0( )1(0,1)lim( )0(0110)nnf xCfff xxfx dx例積分的極限問題設(shè)且時(shí)）。求證：大連理工十三分慮用定積分的性質(zhì)。直接積分，因此仍需考，明顯不能先分析：此題從形式上看精選ppt1110111010)()()()()(0. 1)(0 11 1010)(, 0) 1 , 0( 1)(0. 10)( 10)(dxxfd

32、xxfdxxfdxxfdxxfxfMMxfxxfxfxfnnnnn于是：上，且在滿足上的最大值，在閉區(qū)間時(shí)），所以對(duì)任意而上存在最大值，在閉區(qū)間于是上連續(xù)，在閉區(qū)間證明：因?yàn)楹瘮?shù)精選ppt0)(lim2)1 (0)1 (,)0)1 ()1 (1101110dxxfMMNnNnMMdxdxMnnnnnnn于是時(shí)，使得當(dāng)故存在（而精選ppt1027( )0,1|( )| 1,(0,1),lim ( )0(02)nnf xf xxf xdx 例積分的極限問題設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且證明：陜西師范大學(xué)八精選ppt. 0)(lim)(0|)( |)(|0, 1|1| )(|. 10)( 10)(1010101

33、0dxxfnMdxMdxxfdxxfMMxfxfxfnnnnnn于是：滿足以最大值，所而上存在最大值，在閉區(qū)間上連續(xù)，于是，在閉區(qū)間證明：因?yàn)楹瘮?shù)精選ppt120lim1)0(993 10)nnxdx例28 積分的極限問題求極限（北京大學(xué)二（ ） 分的具體運(yùn)用。因此此題屬于大連理工時(shí)）且當(dāng)則令，例子的情形。容易看出此題實(shí)質(zhì)上為上面兩個(gè)01. 1)0( 1 , 0( 1)(0,1)(2fxxfxxf精選ppt)1 ()1)11)1)1)1)1)10, 1, 021201202112102102nnnnnnndxdxdxxdxxdxxdxxdxx（有解：對(duì)任意的0)1lim2)10)1 ()1,)

34、0)1 ()110210222dxxdxxNnNnnnnnn（于是時(shí)，（使得當(dāng)所以存在（而（精選ppt)1503(0coslim)201lim12/010分六北航）求證：練習(xí)xdxdxxxnnnn0cotlim0tanlim, 0sinlim)2) 14/04/02/0 xdxxdxxdxnnnnnn類例：用積分區(qū)間拆分方法。用放縮法；提示：精選ppt10( )0,11lim( )(1)nnf xxnx f x dxf例30 積分的極限問題設(shè)在上可積，在處連續(xù)，求證：因此解法將有所改變。表達(dá)式中多了一個(gè)別的，區(qū)別在于此題與上面幾例是有區(qū), n精選ppt1030( )0,11lim( )(1)n

35、nf xxnx f x dxf例積分的極限問題設(shè)在上可積，在處連續(xù)，求證：.) 1 ()() 1 () 1 ,1 (:)( , 0101)(),1 , 0(| )(|0 1 , 0)(fxffxxxfxMxfMxf有時(shí)，當(dāng)，使得存在，處連續(xù)，則對(duì)任意的在又使得存在上可積，則必有界，即在證明：精選ppt0)(lim)(0)1 (1| )(|)(|0)()()(101101010111010dxxfxnnMnndxxMndxxfxndxxfxndxxfxndxxfxndxxfxnnnnnnnnnn于是：精選ppt)1 (1() 1 (1|1) 1 () 1 ()(11111111nnnnfnnnx

36、fndxfxndxxfxn同理，) 1 ()1 (1() 1 (1lim1ffnnnn而)1 (1() 1 (1|1) 1 () 1 ()(11111111nnnnfnnnxfndxfxndxxfxn精選ppt) 1 () 1 (0)(lim)(lim)(lim111010ffdxxfxndxxfxndxxfxnnnnnnn于是) 1 ()(lim11fdxxfxnnn的任意性知，由) 1 ()(lim) 1 (11fdxxfxnfnn所以，精選ppt152192181990例年第一版，西南師范大學(xué)出版社，數(shù)學(xué)分析方法選講，類例，參見周忠群編p精選ppt精選ppt精選ppt211492003例

37、月第一版，年科學(xué)出版社，分析選論類例：毛羽輝編數(shù)學(xué)p精選ppt精選ppt1220031( )0,1( )lim(0)2(002002 12)xf xxf tdtftx例積分的極限問題設(shè)在上連續(xù)，求證：四川大學(xué)三分；華東師大六分1220221022)()()(xxdtxttxfdtxttxfdtxttxf提示：精選ppt)0)(0(2arctan)()()(022022xfxfdtxtxfdtxttxfxx0)22()1arctan1(arctan| )(|)(|122122122MxxMdtxtxMdtxttfxdtxttxfxxx精選ppt032( )1lim( )lim( )(021023

38、7#3)xxxf xf xf t dtxp例積分的極限問題設(shè)在任何有限區(qū)間上可積，求證：大連理工十二分；注意與華上區(qū)別精選ppt)(1)(1)(1)(1)(1)(101|)(1|)(1)(1)(1000 xxxdtxdttfxxxxdtxdttfxxMxdttfxdttfxdttfxdttfxxxxxxxxxxxxxx提示：精選ppt033( )( , lim( )( )0limln(05110)xbnannf xa bf xAf xbabdxAxa例積分的極限問題設(shè)在連續(xù)，則對(duì)任意有：青島科技大學(xué)二（） 分。分開，用積分中值定理和因此可考慮將式，可以設(shè)想分析：按照題目的表達(dá)xxfdxxxfn

39、anbxfabAnbnaxx1)(1)(limln)ln(limln00精選pptabfdxxfdxxxfnbnanbnaxnbnaxxfnnbnanbnaln)(1)()(,1,1)(, 1使得：存在點(diǎn)定理知，上不變號(hào)，由積分中值在且上連續(xù)，都在和證明：易見，對(duì)精選pptabAdxxxfabAabfAfnnbnanln)(limlnln)()(,0即：所以時(shí)，而當(dāng)連續(xù)。在連續(xù)似應(yīng)改為在，原題目條件不能推出連續(xù)，在比如由已知條件設(shè)誤，出，原題目條件似乎有說明：從證明過程中看 1 , 0()(,()()(lim0,()(0 xfbaxfAxfbabaxfx精選ppt163702003303例內(nèi)容、方法與技巧數(shù)學(xué)分析年