電磁場與電磁波課后習(xí)題答案楊儒貴編著第二版

1、第一章 矢量分析重點(diǎn)和難點(diǎn)關(guān)于矢量的定義、運(yùn)算規(guī)則等內(nèi)容可讓讀者自學(xué)。應(yīng)著重講解梯度、散度、旋度的物理概念和數(shù)學(xué)表示，以及格林定理和亥姆霍茲定理。至于正交曲面坐標(biāo)系一節(jié)可以略去?？紤]到高年級(jí)同學(xué)已學(xué)過物理學(xué)，講解梯度、散度和旋度時(shí)，應(yīng)結(jié)合電學(xué)中的電位、積分形式的高斯定律以及積分形式的安培環(huán)路定律等內(nèi)容，闡述梯度、散度和旋度的物理概念。詳細(xì)的數(shù)學(xué)推演可以從簡，僅給出直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式即可。講解無散場和無旋場時(shí)，也應(yīng)以電學(xué)中介紹的靜電場和恒定磁場的基本特性為例。至于格林定理，證明可免，僅給出公式即可，但應(yīng)介紹格林定理的用途。前已指出，該教材的特色之一是以亥姆霍茲定理為依據(jù)逐一介紹電磁場，因此該定

2、理應(yīng)著重介紹。但是由于證明過程較繁，還要涉及d 函數(shù)，如果學(xué)時(shí)有限可以略去。由于亥姆霍茲定理嚴(yán)格地定量描述了自由空間中矢量場與其散度和旋度之間的關(guān)系，因此應(yīng)該著重說明散度和旋度是產(chǎn)生矢量場的源，而且也是惟一的兩個(gè)源。所以，散度和旋度是研究矢量場的首要問題。此外，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)自由空間可以存在無散場或無旋場，但是不可能存在既無散又無旋的矢量場。這種既無散又無旋的矢量場只能存在于局部的無源區(qū)中。重要公式直角坐標(biāo)系中的矢量表示：矢量的標(biāo)積：代數(shù)定義：幾何定義：矢量的矢積：代數(shù)定義：幾何定義：標(biāo)量場的梯度：矢量場的散度：高斯定理：矢量場的旋度：；斯托克斯定理：無散場：；無旋場：格林定理：第一和第二標(biāo)量格林定

3、理：第一和第二矢量格林定理：亥姆霍茲定理： ，式中 三種坐標(biāo)系中矢量表示式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：題 解第一章 題 解1-1 已知三個(gè)矢量分別為；。試求；單位矢量；及；及。解因則。1-2 已知平面內(nèi)的位置矢量A與X軸的夾角為a，位置矢量B與X軸的夾角為b，試證證明 由于兩矢量位于平面內(nèi)，因此均為二維矢量，它們可以分別表示為已知，求得即1-3 已知空間三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，及。試問：該三角形是否是直角三角形；該三角形的面積是多少？解 由題意知，三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置矢量分別為；那么，由頂點(diǎn)P1指向P2的邊矢量為同理，由頂點(diǎn)P2指向P3的邊矢量由頂點(diǎn)P3指向P1的邊矢量分別為因兩個(gè)邊矢量，意味該兩個(gè)邊矢量相互

4、垂直，所以該三角形是直角三角形。因，所以三角形的面積為1-4 已知矢量，兩點(diǎn)P1及P2的坐標(biāo)位置分別為及。若取P1及P2之間的拋物線或直線為積分路徑，試求線積分。解 積分路線為拋物線。已知拋物線方程為, ，則 積分路線為直線。因,兩點(diǎn)位于平面內(nèi)，過,兩點(diǎn)的直線方程為，即，則。1-5 設(shè)標(biāo)量，矢量，試求標(biāo)量函數(shù)F在點(diǎn)處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)。解 已知梯度那么，在點(diǎn)處F 的梯度為因此，標(biāo)量函數(shù)F在點(diǎn)處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)為1-6 試證式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。證明 式（1-5-11）為，該式左邊為即，。根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則同樣可證式（1-5-12）和

5、式（1-5-13）。1-7 已知標(biāo)量函數(shù)，試求該標(biāo)量函數(shù)F 在點(diǎn)P(1,2,3)處的最大變化率及其方向。解 標(biāo)量函數(shù)在某點(diǎn)的最大變化率即是函數(shù)在該點(diǎn)的梯度值。已知標(biāo)量函數(shù)F的梯度為那么將點(diǎn)P(1,2,3) 的坐標(biāo)代入，得。那么，在P點(diǎn)的最大變化率為P點(diǎn)最大變化率方向的方向余弦為；1-8 若標(biāo)量函數(shù)為試求在點(diǎn)處的梯度。解 已知梯度，將標(biāo)量函數(shù)F代入得再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得標(biāo)量函數(shù)F 在P點(diǎn)處的梯度為1-9 試證式（1-6-11）及式（1-6-12）。證明 式（1-6-11）為，該式左邊為即式（1-6-12）為，該式左邊為；即1-10 試求距離在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)及圓球坐標(biāo)中的表示式。解 在直角

6、坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中，已知，因此在球坐標(biāo)系中，已知,因此 1-11 已知兩個(gè)位置矢量及的終點(diǎn)坐標(biāo)分別為及，試證與之間的夾角g 為證明 根據(jù)題意，兩個(gè)位置矢量在直角坐標(biāo)系中可表示為已知兩個(gè)矢量的標(biāo)積為，這里g為兩個(gè)矢量的夾角。因此夾角g為式中因此，1-12試求分別滿足方程式及的函數(shù)及。解 在球坐標(biāo)系中，為了滿足即要求 ，求得即在球坐標(biāo)系中，為了滿足由于，即上式恒為零。故可以是r的任意函數(shù)。1-13 試證式（1-7-11）及式（1-7-12）。證明 式（1-7-11）為 （為常數(shù)）令，則式（1-7-12）為令，則若將式（1-7-12）的右邊展開，也可證明。1-14 試證 ，及。證明 已知在球坐標(biāo)

7、系中，矢量A的旋度為對于矢量，因，代入上式，且因r與角度q，f無關(guān)，那么，由上式獲知。對于矢量，因，顯然。對于矢量，因，同理獲知。1-15 若C為常數(shù)，A及k為常矢量，試證： ； ； 。證明證明。利用公式，則而求得。證明。利用公式，則再利用的結(jié)果，則證明。利用公式，則再利用的結(jié)果，則。1-16 試證 ，式中k為常數(shù)。證明 已知在球坐標(biāo)系中則即1-17 試證 證明 利用公式令上式中的，則將上式整理后，即得。1-18 已知矢量場F的散度，旋度，試求該矢量場。解 根據(jù)亥姆霍茲定理，其中；當(dāng)時(shí)，則，即。那么因，求得則1-19 已知某點(diǎn)在圓柱坐標(biāo)系中的位置為，試求該點(diǎn)在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的位

8、置。解 已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為，因此，該點(diǎn)在直角坐標(biāo)下的位置為;z = 3同樣，根據(jù)球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，；可得該點(diǎn)在球坐標(biāo)下的位置為；1-20 已知直角坐標(biāo)系中的矢量，式中a, b, c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求該矢量在圓柱坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表示式。解 由于的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)，故是常矢量。已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為；求得；又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為將上述結(jié)果代入，求得即該矢量在圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式為直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為；由此求得；矢量A在直角

9、坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為求得即該矢量在球坐標(biāo)下的表達(dá)式為。1-21 已知圓柱坐標(biāo)系中的矢量，式中a, b, c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求及以及A在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表示式。解 因?yàn)殡m然a, b, c均為常數(shù)，但是單位矢量er和ef均為變矢，所以不是常矢量。已知圓柱坐標(biāo)系中，矢量A的散度為將代入，得矢量A的旋度為已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為;又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為將上述接結(jié)果代入，得即該矢量在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為，其中。矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及，求得即該矢量在球坐標(biāo)下的表達(dá)式為。1-22 已知圓球坐標(biāo)系中矢量，式中a, b, c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求及，以及A在直角坐標(biāo)系及圓柱坐標(biāo)系中的表示式。解 因?yàn)殡m然a, b, c均為常數(shù)，但是單位矢量er，eq，ef均為變矢，所以不是常矢量。在球坐標(biāo)系中，矢量A的散度為將矢量A的各個(gè)分量代入，求得。矢量A的旋度為利用矢量A在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及，求得該矢量在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為利用矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系求得其在圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式