1.2.1任意角的三角函數(shù)

1、1.2.1任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)sinBCAAB tanBCAAC cosACAAB 1.在初中我們是如何定義銳角的三角函數(shù)？在初中我們是如何定義銳角的三角函數(shù)？ac bc ab ABCabc復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 上述定義只限于直角三角形中的銳角，上述定義只限于直角三角形中的銳角，而現(xiàn)在角的定義已經(jīng)拓廣到任意角，如而現(xiàn)在角的定義已經(jīng)拓廣到任意角，如:?315tan?150cos?120sin000ObaMP yx思考思考1 1：為了研究方便，我們把為了研究方便，我們把銳角銳角放到放到直角坐標(biāo)系中，在角直角坐標(biāo)系中，在角的終邊上取一點(diǎn)的終邊上取一點(diǎn)P P（a，b b），那么，），那么，si

2、n,cos，tan的值分別如何的值分別如何表示？表示？一、任意角的三角函數(shù)一、任意角的三角函數(shù)22ba r rO OP PraOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan 設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 是終邊上的是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)任意一點(diǎn)，點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而有關(guān)，而與點(diǎn)與點(diǎn) 在角的終邊上的位置無關(guān)在角的終邊上的位置無關(guān).P定義推廣：

3、定義推廣：任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 （單位圓）（單位圓）設(shè)設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn) ,則則),(yxP（1） 叫做叫做 的的正弦正弦，記作，記作 ，即，即 ；ysinysin（2） 叫做叫做 的的余弦余弦，記作，記作 ，即，即cosxxcos xy（3） 叫做叫做 的的正切正切，記作，記作 ，即，即 。 tan0tanxxy0 , 1AOyxy yx x, ,P P 正弦、余弦，正切都是以正弦、余弦，正切都是以角角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)。為函數(shù)值的函數(shù)。以

4、上三種函數(shù)統(tǒng)稱以上三種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)三角函數(shù)例例1、求、求 的正弦的正弦,余弦余弦,正切的值正切的值2335sin yyxO53 53 1123213,22P 12x 32y 2135cos x335tanxy點(diǎn)評：若已知角點(diǎn)評：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角終邊與終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后再利用定義求三角函數(shù)單位圓的交點(diǎn)，然后再利用定義求三角函數(shù)值。值。32OxyP（x，y）M2332sin2132cos332tan32)23,21(P分析：可得與單位園的交點(diǎn) ，故練習(xí)：求角練習(xí)：求角 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。22( 3)( 4)5r 解解:由已知可得由已知可得

5、例例2 已知角已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn) ，求，求角角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P 4sin;5yr 3cos;5xr 4tan3yx思考：思考：正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，在弧度制中，在弧度制中，這三個(gè)三角函數(shù)的定義域分別是什么？這三個(gè)三角函數(shù)的定義域分別是什么？三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanRR()2kkZ 三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量，以實(shí)數(shù)為函數(shù)值的三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量，以實(shí)數(shù)為函數(shù)值

6、的函數(shù)函數(shù).oxy的的終終邊邊 ),(yxPrMxyoxy的的終終邊邊 ),(yxProxy的的終終邊邊 ),(yxProxy的的終終邊邊 ),(yxPr?tancossin在各象限的符號(hào)問題、xyo sin tan cos xyo ry(1)sin rx(2)cos xy(3)tan xyo全為全為+sincostan一全正一全正二正弦二正弦三正切三正切四余弦四余弦三角函數(shù)值的符號(hào)三角函數(shù)值的符號(hào): sin tan cosxyo xyo xyoxyo規(guī)律規(guī)律:變式變式3：解答下列問題：解答下列問題：(1)若若 ，試指出，試指出 所在的所在的象限；象限；tan0,sin0第三象限第三象限A課堂

7、練習(xí)課堂練習(xí)D?sin)360sin(有有關(guān)關(guān)系系嗎嗎與與 koxy的的終終邊邊 ),(yxPrMxy終終邊邊相相同同的的角角與與 360 kxykrxkryk )360tan()360cos()360sin( 由三角函數(shù)的定義有由三角函數(shù)的定義有 cos sin tan 結(jié)論結(jié)論:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.二、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一二、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一:sin2sin kcos2cos ktan2tan k的角）。之間找出與它終邊相同到（方法在的角的同一三角函數(shù)值到化為正切函數(shù)值，余弦正弦作用：可以把任意角的000036003600, 611ta

8、n3;49cos2;780sin1 224cos)24cos(49cos2 336tan)26tan()611tan(3解：解： )360260sin(780sin160sin23例例2:求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值：特殊角的三角函數(shù)特殊角的三角函數(shù):sincostan00101010角度角 的弧度數(shù)00101321233222213231206030459018027036006342322不存在不存在不存在不存在sincossincosxxyxx2、函數(shù)、函數(shù) 的值域是的值域是( ) .2,4.2,0,2.2,0,2,4.4, 2,0,2,4ABCDsinsin22 1、設(shè)角、設(shè)角

9、屬于第二象限角屬于第二象限角,且且則角則角 屬于第屬于第 象限角？象限角？2.ABCD一二三四BC1.2.2 三角函數(shù)線三角函數(shù)線當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們把當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們把 ，都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段有向線段OMMP三角函數(shù)線三角函數(shù)線：用：用有向線段的數(shù)量有向線段的數(shù)量來表示。來表示。sin(yMPMPrOP 正弦線正弦線) )cos(xOMOMrOP 余余弦弦線線) )tan(yATATxOA 正正切切線線) )yOxPMAT(1) 作出角的終邊，畫單位圓作出角的終邊，畫單位圓;作作三角函數(shù)線三角函數(shù)線的

10、步驟的步驟:(2) 設(shè)設(shè)的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，作，作PMx軸于軸于M，則有向線段，則有向線段MP是正弦線是正弦線,有向線段有向線段OM是余弦線是余弦線;(3) 設(shè)單位圓與設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)軸的正半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)過點(diǎn)A作作x軸的垂線與角軸的垂線與角的終邊的終邊(或其反向延長線或其反向延長線)交于點(diǎn)交于點(diǎn)T，則有向線段則有向線段AT是正切線是正切線.yOxyOxyOxyOxP終邊終邊 MATPMAT正弦線正弦線余弦線余弦線正切線正切線PPMATPMAT1注意： 、正弦線、余弦線、正切線解釋了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的幾何意義。2、正弦線的起點(diǎn)在x軸上，正弦線與y軸平行；余弦線的起點(diǎn)在原點(diǎn)，余弦線在x軸上；正切線的起點(diǎn)在A（1，0）,正切線與y軸平行.3、當(dāng)正弦線、余弦線、正切線的方向與x軸或y軸的正方向相同時(shí)，對應(yīng)的三角函數(shù)值為正值；與x軸或y軸的正方向相反時(shí)，對應(yīng)的三角函數(shù)值為負(fù)值。例例1. NoImageD例例2. 54tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(1與與與與與與比比較較大大小?。?1xy11-1O例例3在單位圓中作出符合條件的角的終邊在單位圓中作出符合條件的角的終邊: 21sin121y665Zkkk